第3章：离散时间信号的傅里叶变换教学幻灯片

起到了平滑作用，降低了谱峰分辨能力，主瓣宽度B=4*pi/N; 但使某些不存在的DTFT变得存在。
DTFT结果每个周期按窗长点数离散化—— 离散傅里叶变换（DFT）
抽样信号由于加窗的原因，DTFT必然是一个连续谱， 但计算机只能获得谱的一些离散值。如何离散化？ 一种方法是一个周期2pi内离散出N点。
u(n)
11ej
(2k),
k
kZ
DTFT的物理意义
看频率组成、看频率响应
300
200
100
0
-5
0
5
10
15
20
25
w/rad
300
200
X(ej） x(n)ejn n
x ( n ) a c2 o f 0 n s s ( T ) a co 0 n s )(
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 30 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001
X ( j ) x ( t ) e j t dt
即有：
X~ ( k )
N
1
~x
(
n
)
e
j
2 N
nk
n0
~x ( n )
1
N
1
X~
(k
)e
j 2 N
nk
N k 1
k , n ,
DFT对
离散周期序列的傅立叶级数DFS
N1
j2nk
X(k) x(n)e N
k0,N1
n0
1 N1
j2nk
x(n)
X(k)e N
n0,N1
N k1
FT :
m
N
1
Px 2
Px
(e
j
)d
X 2 N (e j ) 2 2N 1
能量谱、功率谱始终为 能量谱、功率谱都是自
的实函数，失去了相位 信息。 相关函数的傅里叶变换 ，只是自相关函数的定
义略有不同。
一些典型信号的DTFT
(n)X(ej)1,所有 幅频响1， 应相 为频响 0 应为
(nm)X(ej) (nm)ejnejm,所有 幅频响1， 应为 n 相频响 （ 应 ）arctaX XnR I((eejj))arctacnso[i sn(m (m))]m
能量信号自相关函数的 傅里叶变换是信号傅里 叶变换的模的平方
Parseval （巴塞 伐）定理 ：若
x 2 x ( n ) 2 1 X (e j ) 2 d
2 n
2
Wiener Khinchin (维纳 辛钦 ）定理 :
lim Px (e j )
rx (m )e jm
e e e j0n
j 0 nT s
j 0 t
(t nTs )
n
X (e j ) 2 ( 0 2k), k Z k
x(n) 1
2
2
( 0 2k )e jnd
k
(
0 )e
jnd
e
j0n
sin(0n) j [(0 2k)(0 2k)],kZ k
cos( 0n) [(0 2k)(0 2k)],kZ k
d(n)
1 0
n0,1,, N1 n为 其 它 值
X~(k) X(ej)
N1
j2 nk
x(j)
N1
j2 nk
x(n)e N
2k/ N
n0
k ,, k 0,, N1
离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换（DFT）的数学模型
频域抽样函数：
Q ( j ) 0 ( k 0 ) k
0
5
10
15
20
25
30
w/rad
0
200
400
600
800
1000
f/Hz
的确出现了原信号频率分量。 问题: (1)-f0处未出现频率分量
(2)出现2pi(或fs)周期性 (3)其他分量
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001
频 域 卷 积 定 理 ： 若 y ( n ) x ( n ) h ( n ), 则 Y ( e j ) X ( e j ) * H (e j ) 1 X (e j ) H (e j ( ) )d
2
时 域 相 关 定 理 ： 若 y ( m ) x ( n ) h ( n m ) x ( m ) * h ( m ), 则 Y (e j ) X * (e j ) H (e j ) n rx ( m ) x ( m ) * x ( m )，则 E x ( e j ) X * ( e j ) X (e j ) X ( e j ) 2
1
Ts
X a ( j
k
jk s )
T s X ( e j )
卷积与周期延拓 P116，图3.3.1
DTFT结果与离散信号的加窗
d
(n)
1
0
n 0,1, , N 1 n为其它值
D (e j ) e j ( N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
时移：若 x ( n ) X ( e j )，则 x ( n n 0 ) e j n 0 X ( e j )
奇偶虚实对称：
若 x ( n ) 为实信号，则（ 1） X R ( e j ) X R ( e j );
（ 2） X I ( e j ) X I ( e j ); ( 3 ) X * ( e j ) X ( e j );
w0 =0.6283(f0=20) Aw0 =499.4717 Pw0 =1.2795 w0N =-0.6283(f=-20) Aw0N =0.1354 Pw0N =0.4922 Elapsed time is 7.619203 seconds.
其他分量 泄漏
250 200 150 100
50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
n
n
X ( ) x (n)e jn x (n)(cos( n) j sin( n))
n
n
X ( ) X ( ) ( x (n) cos( n))2 ( x (n) sin( n))2
n
n
x (n) sin( n)
( ) ( ) arctan
n
x (n) cos( n)
x ( n ) e j n
n
n
解释 2：
x ( n ) x s ( nT s ) x a ( t ) ( t nT s ) n
X s (e j ) X a ( j ) * P ( j )
2 X a ( j ) * [ T s
(
k
k
s )]
1 2
2 Ts
X a ( j ) ( k s )d k
x ( n ) 1
0
X
R (e
j
) cos(
n)d
(8) x (n )再为奇函数时，
X R ( e j ) 0 ; X I ( e j ) 2 x ( n ) sin n ; n 1
x ( n ) 1
0
X
I
(e
j
) sin(
n)d
时域卷积定理： 若 y ( n ) x ( n ) * h ( n ), 则 Y (e j ) X (e j ) H (e j )
离散时间信号傅里叶变换(DTFT)的定义
当限定 z ej时，离散信Z号 变的 换变为 傅立叶变换 DT（FT),如下：
复变函数X(e j)， 关于e j的幂级数
X(z) zej X(ej） x(n)ejn n
X(e j)是以2为周期
X(e j)是连续信号
傅立叶变换 r即 z1 限 单定 位在 圆 Z变 上换 的。e jn X(ej)e jnX(e j)
100
w0 =0.6283 rad (f0 =20Hz)
0 -200
0
200
400
600
800
1000 Aw0 =249.7494
f/Hz
Pw0 =1.2797
的确出现了原信号频率分量。
w0N =-0.6283 rad(f0=-20Hz)
问题: (1)-f0处出现频率分量 (2)出现2pi(或fs)周期性
（ 4） X ( e j ) X ( e j ) ;
(5 ) arctan
X X
I (e j ) R (e j )
(
);
( 6 ) x ( n ) 1
[X
0
R (e
j ) cos(
n)
X
I (e
j ) sin(
n )]d
(7 ) x (n )再为偶函数时，
X R ( e j ) x ( 0 ) 2 x ( n ) cos( n ), X I ( e j ) 0 ; n 1