§5-4 差分方程的z变换解法.

设差分方程为： ak y(n k) br x(n r)
k0
r0
两边同求z变换：
N
1
M
ak zk [Y (z) y(n)zn ] br zr X (z)
k0
nk
r0
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
N
N
1
M
Y (z) ak zk ak zk [ y(n)zn ] br zr X (z)
yzs
Leabharlann Baidu
(n)
1 12
[9(3)n
(4n
7)(1)n
]u(n)
yzi (n) 0
《Signals & Systems》
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
Y (z)(1 1 z1) 1 y(1)
2
2
Y
( z)
1 2
(1
y(1) 1 z1)
1 (1 1 z1)
2
2
y(n) ( 1)nu(n) 2
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求输出y(n)的z变换
Y (z)(1 0.7z1 0.1z2 ) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1] X (z)(1 z1)
Y (z)(1 0.7z1 0.1z2 ) X (z)(1 z1) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1]
《Signals & Systems》
k0
k0
nk
r0
N
M
N
1
Y (z) ak zk X (z) br zr ak zk [ y(n)zn ]
k0
r0
k0
nk
其中：
M
N
1
X (z) br zr ak zk [ y(n)zn ]
Y(z)
r0
k0 N
nk
ak zk
k0
M
br zr
Yzs (z)
r0 N
X (z)
x(n) (n 2)u(n) 试求系统的响应。
4
练习2：因果系统方程为： y(n) 2 y(n 1) y(n 2) x(n)
y(1) 0
, y(0) 4 3
3 x(n) (3)n u(n)
试求系统的响应，并指出零输入和零状态响应。
答案：练习1： 练习2：
y(n) 1 [(3n 2) 50(2)n ]u(n) 9
z
(z 0.2)( z 0.5)
0.7z 0.2 (z 0.2)( z 0.5)
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Y(z)
2 3
5 3
1 5
1 2
z z 0.2 z 0.5 z 0.2 z 0.5
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2z 5z
1z
1z
Y(z) 3 3 5 2
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y
(z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
1
1
3 z 1
6 z1
2
4
y(n) [1 ( 1)n 1 (1)n ]u(n) 3 2 64
《信号与系统》
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练习1：因果系统方程为：y(n) 2y(n 1) x(n) y(1) 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1)
x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
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例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
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§5-4 LTI系统Z变换分析法
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利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
⑵ 求零状态响应，对方程两边求z变换，但不考虑起始条件。
y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
Y (z)(1 1 z1) 1 X (z)
2
2
X(z)
z
z
1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
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z 0.2 z 0.5 z 0.2 z 0.5
求反z变换
y(n) [ 2 (0.2)n 5 (0.5)n 1 (0.2)n 1 (0.5)n ]u(n)
3
3
5
2
零状态响应
零输入响应
[ 7 (0.2)n 13 (0.5)n ]u(n)
15
6
自由响应
与拉氏变换解微分方程类似，用z变换解差分方程可以一次求 出系统的全解。同样因为带有起始条件，使运算繁杂。
代入x(n)的z变换1/(1-z-1)与起始条件
1
2(0.7 0.1z1) 0.7
Y (z) 1 0.7z1 0.1z2 1 0.7z1 0.1z2
z2
z2 0.7z
0.1
z(0.7z 0.2) z2 0.7z 0.1
Y (z) z
z2
z
0.7z 0.1
0.7z 0.2 z2 0.7z 0.1
ak zk
k0
N
1
ak zk [ y(n)zn ]
Yzi (z) k0
nk N
ak zk
k0
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例如：已知因果系统的差分方程、输入序列与起始条件如下，试求：
系统的全响应，并指出零输入响应、零状态响应和自由响应
与受迫响应。
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X (z)(1 z1) 0.7 y(1) 0.1[ y(2) y(1)z1]
Y(z)
(1 0.7z 1 0.1z2 )
1 z1
(0.7 0.1z1) y(1) 0.1y(2)
1 0.7z1 0.1z2 X (z)
1 0.7z1 0.1z2