大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动

13 机械振动解答

13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2

m ，周期T=1.0s ，初相ϕ=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1

分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程

()ϕω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就

要设法确定这三个物理量。题中除A 、ϕ已知外，

ω可通过关系式T

π

ω2=

确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因T

π

ω2=，则运动方程

()⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+=ϕπϕωt T t A t A x 2cos cos

根据题中给出的数据得

]75.0)2cos[()100.2(12ππ+⨯=--t s m x

振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+⋅⨯-==---t s s m dt dx v

πππ75.0)2cos[()108(/112222+⋅⨯-==---t s s m dt x d a

x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示

13-2 若简谐运动方程为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和

初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。

13-2

分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。

解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相πϕ25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为

m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-⨯=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+⋅-==-s m dt dx v

)25.040cos()40(/2222πππ+⋅-==-s m dt x d a

13-3 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度ρ5.5×103kg •m -3

。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m 的质点在此隧道做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。

13-3

分析 证明方法与上题相似。 分析质点在隧道运动时的受力特征即可。

证（l ）取图13-3所示坐标。 当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为

2

x m

m G

F x -= 式中

G 为引力常量，m x 是以x 为半径的球体质量，即3/43x m x πρ=。令3/4Gm k πρ=，则质点受力 kx Gmx F -=-=3/4πρ 因此，质点作简谐运动。 （2）质点振动的周期为

s

G k m T 3

1007.5/3/2⨯===ρππ

13-4 如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。

13-4

分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。 为此，建立如图13-4（b ）所示的坐标。 设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。 利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率ν。 证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x 1、x 2，则由物体受力平衡，有

2211sin x k x k mg ==θ

按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸'1x 和'2x ，即''21x x x +=。 则物体受力为 )'(sin )'(sin 111222x x k mg x x k mg F +-=+-=θθ 将式（1）代人式（2）得

''2211x k x k F -=-=

由式（3）得2211/'/'k F x k F x -=-=、，而''21x x x +=，则得到

kx x k k k k F -=+-=)/(2121

式中)/(2121k k k k k +=为常数，则物体作简谐运动，振动频率

m k k k k m k /)/(21/212/2121+=

==π

π

πϖν

讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。 事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。 而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。 （2）如果振动系统如图13-4（c ）（弹簧并联）或如图13-4（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为m k k /)(21

21+=

π

ν

读者可以一试。 通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的

13-5 为了测得一物体得质量m ，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率Hz 0.11=ν。而将另一质量kg m 5.0'=的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率Hz 0.22=ν。设振动均在弹簧的弹性限度进行，求被测物体的质量。 13-5

分析 物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率m k /21π

ν=，即m /1∝ν。采用比较

频率ν的方法可求出未知物体的质量。

解 由分析可知，m /1∝ν，则有m m /'/21=νν。 根据题中绘出的数据可得物体的质