数学建模的运筹学方法

0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
计算软件： Maltab软件：求解0-1整数规划 Lingo软件：整数规划 bintprog
• 整数规划的典型例子
例2 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
max Z (或 min Z )
c
j 1
n
j
xj
n a ij x j bi ( i 1.2 m ) j 1 x j 0 (j 1.2 n) 且 部 分 或 全 部 为 整 数
• 整数线性规划问题的种类： 纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数 线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值， 另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
甲、乙、丙三种糖果，xij为生产第j种糖果耗用的第i种原 料的kg数量。该厂的获利为三种牌号糖果的售价减去相应 的加工费和原料成本，三种糖果的生产量分别为： x甲，x乙，x丙
maxz (3.40 0.50)(x11 x 21 x31 ) (2.85 0.40)(x12 x 22 x32 ) (2.25 0.30)(x13 x 23 x33 ) 2.0( x11 x12 x13 ) 1.50( x 21 x 22 x 23 ) 1.0( x31 x32 x33 ) 0.9 x11 1.4 x 21 1.9 x31 0.45x12 0.95x 22 1.45x32 0.05x13 0.45x 23 0.95x33
B1
A1 A2 2 8
B2
9 3
B3
3 5
B4
4 7
年生产能力
400 600
A3
A4 年需求 量
7
4 350
6
5 400
1
2 300
2
5 150
200
200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500 万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费 用最少。
• 解：这是一个物资运输问题，特点是事先不能确 定应该建A3还是A4中哪一个，因而不知道新厂投 产后的实际生产物资。为此，引入0-1变量：
表 1-17
原料 A
甲 ≥60% ≤20% 0.50 3.40
乙 ≥30% ≤50% 0.40 2.85
丙
原料成本 （元/kg） 2.00
每月限制 用量(kg) 2000
B
C 加工费（元/kg） 售价（元/kg ） ≤60% 0.30 2.25
1.50
1.00
2500
1200
解 用i=1,2,3分别代表原料A，B，C，用j=1,2,3分别代表
例1 混合配料问题
某糖果厂用原料A，B，C加工成三种不同牌号的糖果 甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量、原 料成本、各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的 单位加工费及售价，如表1-17所示。问该厂每月生产 这三种牌号糖果各多少kg，才能使其获利最大。试建 立这个问题的线性规划的数学模型。
x11 x12 x13 2000 x21 x22 x23 2500 x31 x32 x33 1200 x11 0.6( x11 x21 x31 ) s.t. x31 0.2( x11 x21 x31 ) x 0.3( x x x ) 12 22 32 12 x32 0.5( x12 x22 x32 ) x33 0.6( x13 x23 x33 ) x ij 0(i 1, 2,3; j 1, 2,3)
计算结果
x11=0.5800e+003 x21= 0.2862e+003 x31= 0.1005e+003 x12=1.4200e+003 x22=2.2138e+003 x32= 1.0995e+003 x13=0.0000 x23=0.0000 x33= 0.0000
整数规划
( Integer Programming )
• • • • • • • •
线性规划 整数规划 动态规划 层次分析法（决策论） 非线性规划 排队论 存贮论 对策论
Matlab软件 Optimization Toolbox
• • • • • linprog 求解线性规划 bintprog 求解0-1整Βιβλιοθήκη Baidu规划 fmincon 求解带约束的非线性规划 fminunc 求解无约束非线性规划 ga 采用遗传算法求解规划问题
主要内容：
整数规划的特点及应用
分支定界法
•整数规划（简称：IP）
要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问 题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标 函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问 题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性规划，则 称该整数规划为整数线性规划。
整数线性规划数学模型的一般形式：
原料月供应量限制
含量成分的限制
• 计算采用Matlab软件 [x,feval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
结果：
Matlab code
f=-[0.9 1.4 1.9 0.45 0.95 1.45 -0.05 0.45 0.95]'; A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 0 1 0 0 1; -0.4 0.6 0.6 0 0 0 0 0 0; -0.2 -0.2 0.8 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 -0.7 0.3 0.3 0 0 0; 0 0 0 -0.5 -0.5 0.5 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 -0.6 -0.6 0.4]; b=[2000 2500 1200 0 0 0 0 0]'; lb=zeros(9,1); [x,feval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)