用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数

用导数的基本运算法则巧构造导函数的原函数

构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数. 通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答. 本文从一到高考试题出发，追根溯源，研究并揭示高考试题的本质.

1 高考真题

真题 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 取值范围（ ）.

A. (,1)(0,1)-∞-

B. (1,0)(1,)-+∞

C. (,1)(1,0)-∞--

D. (0,1)(1,)+∞

解析：设()()f x F x x =，则2

()()'()xf x f x F x x '-=. 因为0x >时，()()0xf x f x '-<，所以'()0F x <,即当0x >时，()F x 单调递减. 又因为()f x 为奇函数，且(1)0f -=，所以()()f x F x x

=

为偶函数，且(1)(1)0F F -==, 则当0x <时，()F x 单调递增.当(,1)x ∈-∞-时，()0F x <，()0f x >.当(0,1)x ∈时，()0F x <，()0f x >.所以()0f x >成立的x 取值范围(,1)(0,1)-∞-，即答案为A.. 上述题为2015年课标全国Ⅱ选择题第12题，创新有难度，丰富有内涵. 此其题表面看上，不知道如何入手，解决问题. 因为这是一道没有具体函数表达式的不等式试题，且不等式中含有()f x '和()f x ，更是难上加难. 从试题的解析可以看出，巧妙地构造出了函数()F x ，通过分析()F x 的单调性和奇偶性，解答问题. 解题突破口不易寻找，给人一种“旧时茅店社林边,路转溪桥忽见”的感觉.

对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出()()f x F x x

=

，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.

2 巧构导函数的原函数

例 1 已知函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若0.20.22(2)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，33log 9(log 9)b f =⋅，则,,a b c 的大小关系（ ）

A. b a c >>

B. c a b >>

C. c b a >>

D. a b c >>

解析：设()()F x xf x =，则'()()()F x f x xf x '=+.因为0x <时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <,则

当0x <时，()F x 单调递减.又因为函数()f x 的图像关于y 轴对称，所以()f x 为奇函数，当0x >时，

()F x 单调递减.又因为0.2122<<，0log 31π<<，3log 92=，则b a c >>，即答案为A.

例 2已知函数()f x 满足：()2()0f x f x '+>，那么系列不等式成立的是（ ）

A. (1)f

B. (0)(2)f f e <

C. (1)(2)f

D. 2(0)(4)f e f > 解析：设12()2()x F x e f x =，则1

112221'()2[()()][()2()]2

x x x F x e f x e f x e f x f x ''=+=+.因为()2()0f x f x '+>，所以'()0F x >,则()F x 在定义域上单调递增，所以(1)(0)F F >,则(1)f

，即答案为A. 例 3 已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x R ∈恒成立且e 为自然对数的底，则（ ）

A. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e

f >⋅>⋅ B. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅>⋅ C. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e

f >⋅<⋅ D. 2012(1)(0),(2012)(0)f e f f e f <⋅<⋅ 解析：设()()x f x F x e =，则22()()[()()]'()x x x x x

f x e f x e f x f x e F x e e ''--==.由()()f x f x '<，得()()0f x f x '-<，则'()0F x <,()F x 在定义域上单调递减，所以(1)(0)F F >,(2012)(0)F F >即答案为A. 例4 定义在(0,

)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立，则（ ）

()()43π

π B. (1)2()sin16f f π>()()64f ππ>()()63f ππ

> 解析：因为(0,)2x π

∈，所以sin 0x >，cos 0>.由()()tan f x f x x '>，得()cos ()sin 0f x x f x x '->

设()()sin f x F x x =，则2()sin ()cos '()sin f x x f x x F x x

'-=，可得'()0F x <,则()F x 在定义域上单调递减，

所以()()43F F ππ>,()()43

ππ

>，即答案为A.

3.导数的运算法则与构造的思路分析

爱因斯坦赞叹：“数学美，本质上终究是简单性”. 那又如何构造出函数，将问题简单化，这在数学上是一个值得深究的问题.

仔细的观察和思考例1和例2的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法则，即

[()()]'()()'()()f x g x f x g x g x f x '=+. 例3和例4的解法，它们也有一个共同点：采用导数的商运算法则，即2()()()'()()[]'()()

f x f x

g x g x f x g x g x '-=.由此可见，对于含有()f x 和()f x '的不等式，将不等式的右边化0，若左边是()()x f x μ和()()x f x ν'相加得形式，其中()x μ和()x ν常见的变量或常量. 此时用导数的积运算法则；若左边是()()x f x μ和()()x f x ν'相减得形式，此时用导数的商运算法则.当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数.

波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。以下给出例1至例4的方法技巧

例1中，()()0f x xf x '+<，根据导数的积运算法则得(箭头指向方向为函数的导函数，后面不做说明)

1(f ⨯)<0 可以看出()f x 的导数为()f x '，x 的导数为1，从而构造出函数

()()F x xf x =.

例2()0f x '>，根据导数的积运算法则得

)x <0 可以看出()f x 的导数为()f x '，2的导数为1，显然不成立. 则不等

式两边定约去了一个不为0的变量. 函数和本身的导函数有相同的变

量，则猜想到函数x y e =. 但这里还要考虑系数1和2，进一步猜想

到复合函数12x y e =. 给上述不等式两边同乘以12x e

，则

12x e f ⋅)<0 从而构造出函数12()2()x F x e f x =⋅.

例3中，)0>，根据导数的商运算法则得

2)0x e

< 可以看出()f x 的导数为()f x '，x e 的导数为x e ，且分母为2x e ，从而构造出函数()()x f x F x e

=. 例4 中，可得 ()cos ()sin 0f x x f x x '->且sin 0x >，根据导数的商运算法则得

2c o s 0s i n f x x

< 可以看出()f x 的导数为()f x '，sin x 的导数为cos x ，且分母为2sin x ，从而构造出()()sin f x F x x

=. 对于以上4个例题的不等式可以总结为()()()()0x f x x f x μν'+<和()()()()0x f x x f x μν'-<.这里有所疑问，当不等式的右边不是0时，那上述的构造函数方法显然不适用. 下面给出一道试题进行研究.

4构造中变化

例6 ()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '. 若()()1f x f x '-<，(0)2016f =，则不等式()20151x f x e >⋅+的解集.

分析： 数学变式题的给出，都离开最初的原题. 借助例1至例6构造函数的方法，找出函数与本身导函数的关系. 并根据[()]'()f x c f x '+=，从而可以解答试题. 因为()()1f x f x '-<，

所以[()1][()1]'0f x f x ---<. 这里把()1f x -看做一个整体，再由例4知，