1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
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固体物理简答题
第一章1.何为布拉伐格子，简单晶格、复式格子？并举例说明哪种晶体是简单格子，哪种晶体是复式格子？了解常见的几种晶体结构。
布拉伐格子：由332211a l a l a l ++确定的空间格子。
简单晶格：每一个原胞有一个原子。
复式格子：每一个原胞含有两个或更多的原子。
举例：（1）简单晶格：具有体心立方晶格结构的碱金属和具有面心立方晶格结构的Au,Ag,Cu 晶体都是简单晶格。
（2）复式格子：NaCl 晶格，CsCl 晶格，金刚石，ZnS,Si,Ge 等晶体结构：面心立方单胞原子数4，配位数12体心立方单胞原子数2，配位数8CsCl 单胞原子数2，配位数8金刚石单胞原子数8，配位数4NaCl 单胞原子数na4cl4共8个，配位数62简述晶体、非晶体和准晶体的特点。
晶体：原子排列是十分有规律的，主要体现是原子排列具有周期性，或称为是长程有序的。
非晶体：不具有长程有序的特点,短程有序。
准晶体：有长程取向性，而没有长程的平移对称性。
3晶格点阵与实际晶体结构有何区别和联系？晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实际晶体结构4结晶学原胞和固体学原胞有何不同？（何为单胞和原胞？二者有何不同？）结晶学原胞（单胞）：为了同时反映晶格的对称性，常取最小重复单元(原胞)的一倍或几倍作为重复单元。
固体学原胞（原胞）：一个晶格中最小重复单元，反映晶格的周期性。
不同：结晶学原胞除了要考虑晶体结构的周期性外，还要反映晶体的对称性。
它的结点既可以在顶角上也可以在体心或者面心处。
固体物理学原胞只要求反映晶格周期性的特征，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。
而且，固体物理学原胞只含一种原子。
5根据晶体的对称性进行分类，有多少种点群、空间群、布拉伐格子？32种点群，230个空间群，14种布拉伐格子，7大晶系321,,b b b 6倒格子定义，倒格子与正格子的关系有哪些？倒格子定义：以关系：是正格基矢123()a a a Ω=⋅⨯ 7布里渊区的定义及特点，举例说明常见的布拉伐格子的布里渊区形状？定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区。
晶体结构章节要求1掌握晶体的特征晶格周期性的描述
第一章晶体结构（一）章节要求1、 掌握晶体的特征晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢 的概念。
简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。
常 见晶格结构及其代表晶体。
2、 掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与 确定方法。
3、 掌握倒格子和布里源区的概念，正空间和倒空间的联系和转换,会计算倒格子体积等量4、 熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。
七大晶系与十四种布拉菲格子。
5、 熟悉晶体衍射理论，会推导劳厄定理和布拉格定理的等价关系6、 理解基于衍射理论的晶体结构计算方法匕4.金刚石结构（二）章节结构 1.长程有序•晶体共性2•自限性和晶面角守恒定律 3. 各向异性 4. 固定熔点 5. 非晶体与准晶体厂1.简单立方晶体结构（sc ）2. 体心立方晶体结构（bcc ）•常见晶体结构3.密堆积-六角密排（hcp ）'面心立方（ccp ）•晶体结构模型化研究：晶体结构 =晶格+基元(转化为晶格研究)-分类：简单格子；复式格子晶格 丿组成：原胞与原胞基矢；晶胞；常见晶体结构的原胞或晶胞描述方法：晶列和晶面指数；晶面和密勒指数广1.晶体的对称性 2•晶体的对称操作和对称元素四•晶体的宏观对称性 S 3.点群和空间群4.七大晶系和十四种布拉菲格子五.晶体结构计算1.布拉格定理2.劳厄定理 3.两者等价(2)倒格子1.倒矢量，倒格矢和倒格子2. 倒矢量和倒格矢的性质1. 布里渊衍射条件⑶布里渊区 Y2.布里渊区：一维，二维，简立方，面心立方，体心立方3. 布里渊区的性质(4)基于衍射理论的晶体结构计算(三)基础知识-、晶体的共性定义内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
1、长程有序一一晶体中的原子都是按一定规则排列的，这种至少在微米量级范围的有序 排列，称为晶体的长程有序。
晶体可以分为单晶体和多晶体，多晶体是由许多单晶体构成的。
单晶体，在整体范围内原子排列都是规则的。
晶体学基础第一章-1
其内部微粒（原子、分子、离子）的空间排列不具 有周期性的固体。
Be2O3 晶体
Be2O3 非Βιβλιοθήκη 体二、晶体的基本性质晶体具有以下共同性质： 均匀性：晶体内部任意两部分之间的组成、性质
一致
各向异性：在不同的观测方向上性质出现差异 自范性：自发地形成封闭的凸几何多面体外形 对称性：等同部分有规律地重复出现 稳定性：最小内能
固体分类：
晶体：内部微粒空间排列长程有序 非晶体：内部微粒空间排列短程有序，无长程序 准晶：内部微粒空间排列只有取向序，无长程平移序
一、晶体的概念
晶体（crystal）：
其内部微粒（原子、分子、离子）按一定规则周期 性排列而构成的固体，或具有格子构造的固体。
晶体材料： 单晶，多晶
非晶体（non-crystal）：
有固定熔点
对X射线衍射产生衍射
晶体和非晶体的区别：
1. 晶体有规则的几何外形; 2. 晶体有固定的熔点; 1. 非晶体没有一定的外形； 2. 非晶体没有固定熔点；
3. 晶体显各向异性;
4. 使X射线发生衍射。
3. 非晶体显各向同性；
4. 使X射线散射。
晶体和非晶体之间在一定条件下的转化：
晶化作用 晶体 玻璃化作用 非晶体
转化不可逆：发生转化的条件不完全相同。
第一章 晶体的周期性
晶体与非晶体的概念 晶体的基本性质 一些晶体实例 空间点阵的概念及其基本规律 布拉菲点阵 晶胞 倒易点阵概念
1.1 晶体与非晶体的概念
物质的状态：
气态：内部微粒（原子、分子、离子）无规运动 液态：内部微粒（原子、分子、离子）无规运动 固态：内部微粒（原子、分子、离子）振动
Be2O3 晶体
Be2O3 非Βιβλιοθήκη 体二、晶体的基本性质晶体具有以下共同性质： 均匀性：晶体内部任意两部分之间的组成、性质
一致
各向异性：在不同的观测方向上性质出现差异 自范性：自发地形成封闭的凸几何多面体外形 对称性：等同部分有规律地重复出现 稳定性：最小内能
固体分类：
晶体：内部微粒空间排列长程有序 非晶体：内部微粒空间排列短程有序，无长程序 准晶：内部微粒空间排列只有取向序，无长程平移序
一、晶体的概念
晶体（crystal）：
其内部微粒（原子、分子、离子）按一定规则周期 性排列而构成的固体，或具有格子构造的固体。
晶体材料： 单晶，多晶
非晶体（non-crystal）：
有固定熔点
对X射线衍射产生衍射
晶体和非晶体的区别：
1. 晶体有规则的几何外形; 2. 晶体有固定的熔点; 1. 非晶体没有一定的外形； 2. 非晶体没有固定熔点；
3. 晶体显各向异性;
4. 使X射线发生衍射。
3. 非晶体显各向同性；
4. 使X射线散射。
晶体和非晶体之间在一定条件下的转化：
晶化作用 晶体 玻璃化作用 非晶体
转化不可逆：发生转化的条件不完全相同。
第一章 晶体的周期性
晶体与非晶体的概念 晶体的基本性质 一些晶体实例 空间点阵的概念及其基本规律 布拉菲点阵 晶胞 倒易点阵概念
1.1 晶体与非晶体的概念
物质的状态：
气态：内部微粒（原子、分子、离子）无规运动 液态：内部微粒（原子、分子、离子）无规运动 固态：内部微粒（原子、分子、离子）振动
固体物理_第一至第七章总复习详解
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总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
固体物理考题第一章晶体的结构
第一章晶体的结构简单回答下面的问题：1 a原胞与单胞有什么不同？何谓布拉菲格子？何谓倒格子？以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元．体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞.它能反映晶格的周期性．原胞的选取不是惟一的，但它们的体积都相等．为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞．晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性无限分布，这些点子的总体称为布喇菲点阵。
布拉菲格子：由基元代表点（格点）在空间中的周期性排列所形成的晶格。
倒格子*（Reciprocal Lattice，Reciprocal有相互转换的含意）已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为:；； .其中为正格子原胞体积。
由平移操作所产生的格点叫倒格点：为倒格矢;倒格点的总体叫倒格子，叫一组倒格基矢。
由与所决定的点阵为互为倒格子b晶体的宏观对称性可以概括为多少点群？晶体中有几种基本对称素？多少个晶系？这些晶系分别包括哪些布拉菲格子？晶体学中共有32种点群八种基本对称素C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)、Ci (i)、CS (m)和 S4七大晶系十四种布拉菲格子c什么是晶体、准晶体和非晶体？晶体:组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或次近邻原子间的键合：如配位数、键长和键角等具有一定的规律性），无长程周期性准晶:有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性2试推导面心和体心立方点阵的x射线衍射的系统消光规律3多晶体与单晶体的x射线衍射图有什么区别？多晶（衍射环对应一个晶面）；单晶（衍射点对应一个晶面）4a）何谓晶体、准晶体及非晶体？它们的x光或电子衍射有何区别？黄昆第45页晶体：衍射图样是一组组清晰的斑点非晶体：由于原子排列是长程无序的，衍射图样呈现为弥散的环，没有表征晶态的斑点准晶体：衍射图样具有五重对称的斑点分布，斑点的明锐程度不亚于晶体的情况(b)何谓布拉菲格子、晶体学点群、晶系和晶体学空间群？C1 (1)、C2 (2)、C3 (3)、C4 (4)、C6 (6)及S1，S2，S3，S4，S5这十种对称素组成32个不同的点群结晶学中把a, b, c满足同一类要求的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。
晶体结构
晶体结构和布拉菲格子的区别
晶体结构和布拉菲格子的区别
基矢 原胞 晶胞（单胞）
初基元胞 点阵的基本 平移矢量。
有多种取法。
12面体
14面体
布拉伐格子 晶向 晶面
标志？
互质的整数（h1h2h3）-----晶面指数
若以单胞的棱a，b，c为坐标系对应的指数（h1h2h3）----miller index
33 23
13
32 22 12
31
33 11
21 31 13;32 12 32 0
11
23 21 21 0
同样若沿Z轴作对称操作-转动900
0 1 0 A 1 0 0
0 0 1
A1A
22
0
0
11
0
13
11
0
0
22
13
0
0 31 33
31 0 33
7晶系14种Bravais Lattice介绍
可以证明，由于对称性的要求，共有14种Bravais Lattice， 分为7个晶系（点阵只有7种点群）。 对称操作群{D/t} D--点（宏观）对称操作; t--平移对称操作. 点阵点群-------{D/t=0}7个7个晶系 点阵空间群-------{D/t}14个14 lattices
绪论
������ 固体物理是研究固体的结构和其组成粒子之间的相互作用 及运动规律，以阐明其性能和用途的学科。
固体的分类 晶体（晶态）：原子按一定的周期规则排列的固体（长程有序)。 非晶体（非晶态）：原子排列没有明确的周期性（短程有序)。
晶体结构.01
2
1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），无长程 周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
第一章 晶体结构(crystal structure)
1-1 几种常见的晶体结构 1-2 晶格的周期性 1-3 晶向、晶面和它们的标志 1-4 对称性和Brawais点阵
1-5 倒点阵及其基本性质
1-6 晶体衍射物理基础
1
1-1几种常见的晶体结构
主要内容
1.1简立方晶格结构(cubic)
1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
20
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
21
CsCl晶体
22
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
六角密排晶格的原胞基矢选取 —— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 —— 共两个原子 k
定义：
i
j
原胞基矢为：
a1 , a2 , a3
a1 a2 a3
（四）晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
Bravais lattices
由于组成晶体的组分和 组分的原子排列方式的 多样性，使得实际的晶 体结构非常复杂。
1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），无长程 周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
第一章 晶体结构(crystal structure)
1-1 几种常见的晶体结构 1-2 晶格的周期性 1-3 晶向、晶面和它们的标志 1-4 对称性和Brawais点阵
1-5 倒点阵及其基本性质
1-6 晶体衍射物理基础
1
1-1几种常见的晶体结构
主要内容
1.1简立方晶格结构(cubic)
1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
20
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
21
CsCl晶体
22
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
六角密排晶格的原胞基矢选取 —— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 —— 共两个原子 k
定义：
i
j
原胞基矢为：
a1 , a2 , a3
a1 a2 a3
（四）晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
Bravais lattices
由于组成晶体的组分和 组分的原子排列方式的 多样性，使得实际的晶 体结构非常复杂。
固体物理课件 第一章 晶体结构
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。
在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)
金刚石
c
c
面心立方
钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
固体物理：1-晶体结构-1
1 4
a1
1 4
a2
1 4
a3
晶列、晶向、晶面、及其指数标记
在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线 可以将所有的格点包括无遗。
—— 在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等 —— 每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向
沿晶向到最短的一个格点的位矢
l1a1 l2a2 l3a3
晶向指数 [l1, l2 , l3 ]
Graphene, 石墨烯（2010 Nobel Prize）
布拉维格子（Bravais lattice）
晶体可以看作是在布拉维点阵（Bravais Lattice）的 每一个格点上放上一组基元（Basis )
原胞(元胞，初基元胞) primitive cell
和一个给定格点的最近邻格点的数量为配位数 z
原子球排列为：AB AB AB ……
Be、Mg、Zn、Cd
各种晶格的堆积比
金刚石晶格结构(diamond)
碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个 原子，分别位于四个空间对角线的 1／4处
NaCl晶体的结构 (sodium chloride)
CsCl晶体的结构(cesium chloride)
CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的 长度套构而成
闪锌矿结构 (zinc blende) ZnS
立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
钙钛矿结构 (perovskite）
钙钛矿型的化学式可写为ABO3 —— A代表二价或一价的金属 —— B代表四价或五价的金属 —— BO3称为氧八面体基团, 是钙钛矿型晶体结构的特点
晶体结构1
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
第一章 晶体结构_9700783
固体物理第一章
2.空间点阵（布喇菲点阵）
空间点阵学说认为：晶体内部结构可概括为一些相 同的点子，在空间有规则地作周期性的无限分布， 而这些相同的点，可代表原子、离子、分子或其集 团的重心。这些点子的总体称空间点阵，是晶体结 构周期性规则排列的数学抽象。 基元（basis）：重复排列的具体基本结构单元称为 基元。
固体物理第一章
2
§1-2几种简单的晶体结构 一、简立方结构(simple cubic,sc)
a1 ai a 2 aj a 3 ak
二、体心立方结构(body-centered cubic，bcc)
Po (polonium，钋)，每个原胞包含 一个原子。结晶学和固体物理学原 胞体积同为 a3 晶体中一个原子的最近邻原子数目 称为配位数(Coordination number) 。
固体物理第一章
一 、 晶 体 的 对 称 性 与 对 称 操 作 (symmetry operation) 如果一个物体经过一定动作后又能回复原来 的状态，物体上每一点的新位置，与开始 时另一个点在这个位置上的情况完全重合， 则这个物体是对称的 则这个物体是对称的。 对称操作或对称变化 ----- 使物体回复原来状 态的几何变换。 对称元素(symmetry element)------ 在对称变换 中所凭借的几何元素（点、线、面） 。
三、面心立方结构(face-centered cubic，fcc)
结晶学原胞基矢分别为： a a i , b aj , c ak , a 3 固体物理学原胞中含有一个原子，结晶学原胞 中两个。配位数为8，如金属Li, Na, K, Rb, Cs, Mo, W 等。
维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞——以晶格中某一 格点为中心，做其与近邻格点连线的垂直平分面， 这些平面所围成的以该点为中心的最小体积是属于 该点的WS原胞。 不涉及对基矢的任 何选择 与相应的 何选择，与相应的 布拉菲格子有完全 相同的对称性
2.空间点阵（布喇菲点阵）
空间点阵学说认为：晶体内部结构可概括为一些相 同的点子，在空间有规则地作周期性的无限分布， 而这些相同的点，可代表原子、离子、分子或其集 团的重心。这些点子的总体称空间点阵，是晶体结 构周期性规则排列的数学抽象。 基元（basis）：重复排列的具体基本结构单元称为 基元。
固体物理第一章
2
§1-2几种简单的晶体结构 一、简立方结构(simple cubic,sc)
a1 ai a 2 aj a 3 ak
二、体心立方结构(body-centered cubic，bcc)
Po (polonium，钋)，每个原胞包含 一个原子。结晶学和固体物理学原 胞体积同为 a3 晶体中一个原子的最近邻原子数目 称为配位数(Coordination number) 。
固体物理第一章
一 、 晶 体 的 对 称 性 与 对 称 操 作 (symmetry operation) 如果一个物体经过一定动作后又能回复原来 的状态，物体上每一点的新位置，与开始 时另一个点在这个位置上的情况完全重合， 则这个物体是对称的 则这个物体是对称的。 对称操作或对称变化 ----- 使物体回复原来状 态的几何变换。 对称元素(symmetry element)------ 在对称变换 中所凭借的几何元素（点、线、面） 。
三、面心立方结构(face-centered cubic，fcc)
结晶学原胞基矢分别为： a a i , b aj , c ak , a 3 固体物理学原胞中含有一个原子，结晶学原胞 中两个。配位数为8，如金属Li, Na, K, Rb, Cs, Mo, W 等。
维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞——以晶格中某一 格点为中心，做其与近邻格点连线的垂直平分面， 这些平面所围成的以该点为中心的最小体积是属于 该点的WS原胞。 不涉及对基矢的任 何选择 与相应的 何选择，与相应的 布拉菲格子有完全 相同的对称性
1.1晶格
六角相绿玉 单斜相石膏
三角相石英
非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这 一过程被称为解理，容易被 切开的面被称为解理面。
切点
切 点
最终被切开
离子晶体沿特定 方向被解理的示 意图。
1.1 晶格（Crystal lattice）
一. 什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原 子在空间做有规律的周期性排列的结果。
晶体点阵
二维正方点阵
＋ 基元
点阵学说最早在1848年由Bravais提出，所 以晶体点阵又称布拉菲格子（ Bravais lattice ）， 也叫空间格点（Space lattice ）。
Auguste Bravais (1811-1863)
描 述 晶 体 表 面 原 子 排 列 的 二 维 长 方 点 阵
NaCl结构
CsCl结构
见 kittel p15
六. 体心和面心立方点阵的基矢和原胞
1 a b c j k 2 2 1 a a c a k i 2 2 1 a a a b i j 2 2 a
1 2 3
c
fcc：
a1
Cu Ag Al Au Ca Ni a=3.16 a=4.09 a=4.05 a=4.08 a=5.58 a=3.52 NaCl a=5.63, KBr a=6.59, MgO a=4.43, MnO a=4.43, AgBr a=5.57, KCl a=6.29, (单位：0.1nm)
NaCl结构中的原子排列
几个常用词的理解： Cell 晶胞
Primitive cell
Wigner-Seitz primitive cell
原胞(初基晶胞）
三角相石英
非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这 一过程被称为解理，容易被 切开的面被称为解理面。
切点
切 点
最终被切开
离子晶体沿特定 方向被解理的示 意图。
1.1 晶格（Crystal lattice）
一. 什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原 子在空间做有规律的周期性排列的结果。
晶体点阵
二维正方点阵
＋ 基元
点阵学说最早在1848年由Bravais提出，所 以晶体点阵又称布拉菲格子（ Bravais lattice ）， 也叫空间格点（Space lattice ）。
Auguste Bravais (1811-1863)
描 述 晶 体 表 面 原 子 排 列 的 二 维 长 方 点 阵
NaCl结构
CsCl结构
见 kittel p15
六. 体心和面心立方点阵的基矢和原胞
1 a b c j k 2 2 1 a a c a k i 2 2 1 a a a b i j 2 2 a
1 2 3
c
fcc：
a1
Cu Ag Al Au Ca Ni a=3.16 a=4.09 a=4.05 a=4.08 a=5.58 a=3.52 NaCl a=5.63, KBr a=6.59, MgO a=4.43, MnO a=4.43, AgBr a=5.57, KCl a=6.29, (单位：0.1nm)
NaCl结构中的原子排列
几个常用词的理解： Cell 晶胞
Primitive cell
Wigner-Seitz primitive cell
原胞(初基晶胞）
第1章 晶体与晶格结构
体心立方结构
钠（Na）钼（Mo）钨（W）
晶格结构
5
面心立方结构
铝（Al）铜（Cu）金（Au）银（Ag）
晶格结构
6
金刚石晶格
硅（Si）锗（Ge）
由两个面心立方结构沿空间对角线错开四分之一的空间对角线长度相互嵌套而成。
晶格结构
7
闪锌矿晶格
与金刚石晶格结构类似，只是两个相互套构的面心立方副晶格中的组成原子不同
晶体结构
2
晶体结构
2
晶体
自然界中存在的固体材料，按其结构形式不同，可以分为晶体（如石英、金刚石、硫酸铜等）和非晶体（玻璃、松香、沥青等）。
单胞
晶体中原子的周期性排列称为晶格，对半导体晶体而言，通常会用一个单胞或晶胞来代表整个晶格，将此单胞向晶体的四面八方连续延伸，即可产生整个晶格。
晶格结构
砷化镓（GaAs）磷化镓(GaP) 硫化锌(ZnS) 硫化镉(CdS)
8
假使将圆球放入一体心立方晶格中，并使中心圆球与立方体8个顶点的圆球紧密接触，试计算这些圆球占此体心立方单胞的空间比率。
例1-1
解
晶格结构
在体心立方单胞中，每个角落的圆球与邻近的八个单胞共用，因此每个单胞各有8个1/8个顶点圆球和1个中心圆球，得 每单胞中的圆球(原子)数为=(1/8) 8（角落）+1（中心）=2； 相邻两原子距离= 每个圆球半径= 每个圆球体积= 单胞中所能填的最大空间比率=圆球数 每个圆球体积/每个单胞总体积 = 因此，整个体心立方单胞有68%为圆球所占据，32%的体积是空的。
单胞与晶格的关系可用三个向量a、b及c表示为
式中，m、n及p是整数。
广义原始单胞图
3
3
第一章晶体结构
NaCl结构
每个原胞中含两个或多 个原子，且原子不等价
复式晶格
简单晶格
举例 简立方晶格， 体心立方晶格， 面心立方晶格等
特征：每个原胞中只含一 个原子，且所有原子等价
复式晶格
举例 金刚石， 六方密排， 闪锌矿结构等 特征：每个原胞中含两个 或多个原子，且原子不等 价
复式晶格与简单晶格结构有何联系？
• 1.4金刚石结构(Diamond) • 1.5化合物的晶格结构(NaCl,CsCl,C……)
基本概念
晶格(lattice)是指晶体中原子排列的具体形式。
具有不同晶格是指原子规则排列的形式不同；
具有相同晶格是指原子排列形式相同而原子 间距不同。
1.1 简立方晶格
结构特征
原子球占据立方 体的8个顶点； 配位数为6； 立方体边长a定 义为晶格常数。
3、 六角密排与立方密排密堆结构图示
• 第一步：将全同小球 平铺成密排面（A 层）； 第二步：第二层密排 面的球心对准A层的 球隙，即B层； A 第三步：第三层密排 B 面放在B层的球隙上， 可形成两种不同的晶 格，即六角密排和立 方密排结构。 六角密排
•
•
立方密排（面心 立方）(A-B-C)
(-A-B-)
•
S原子 Zn原子
§1-2晶格的周期性(periodicity)
主要内容
• （一）原胞与基矢(primitive cell and unit vitor) • （二）晶胞(crystal unit cell) • （三）简单晶格与复杂晶格(crystal lattice) • （四）布拉伐格子(Bravais lattice)
的对称性高于平行六面体原胞。
（二）晶胞（晶格学单胞 crystal unit cell) 1、定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研
《固体物理基础》晶体的结构
B
0
aA
[ 001]
[ 010]
等效晶向（等效方向）： l m n
等效方向： 100
[ 100]
[ 001]
[10 0 ]
[ 010]
等效晶面：{hkl}
等效晶面：{100}
(001) (010)
(100)
§ 1.4 晶体的宏观对称性
一、点对称操作
对称操作： 若一个空间图形经过一空间操作（线性变换），
晶体的对称轴定理： 晶体中只有1，2，3，4和6五种对称轴
C
AE mAB
mZ
2AB cos AC AB
A
BE
cos m
2
D
m 2 2 1 0 1
3600 1800 1200 900 600
n 1 2 3 4 6
晶体中八种独立的对称要素 ➢ 旋转对称轴 Cn （纯旋转）
C1 (1)
C2 (2)
Bravais格子（14种）
P：简单Bravais格子 C：底心Bravais格子 I：体心Bravais格子 F：面心Bravais格子 R：三方Bravais格子 H：六方Bravais格子
P
Triclinic
P
C
Monoclinic
P
C
I
F
Orthorhombic
R
P
I
Rhombohedral
一、正格子与倒格子
正格子与倒格子之间的关系
一、正格子与倒格子
正格子与倒格子之间的关系
二、布里渊区
定义
在倒格子中，以某一倒格点为原点，从原点出 发作所有倒格矢的垂直平分面，这些平面把倒格子 空间分成许多部分，形成各个布里渊区。
1晶体结构02
3.格点只出现在平行六面体的顶角上。 每个原胞中平均包含一个格点（非原子）。
7.晶胞：晶体学通常选取较大的重复单元来研究晶格结构， 以反映晶格的对称性，称为晶胞。 晶胞基矢： a , b , c
例1：简立方结构原胞晶胞相同
c
b
O
a
例2：面心立方晶格
为反映整个格子的立方对称性，选图中的立方体为其晶胞。
基矢： 正格矢：
a1 , a2 , a3
R l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
（l1, l2 , l3 为整数）
3 a a a a 原胞体积： a (a a ) (i j ) [ ( j k ) (k i )] 1 2 3 2 2 2 4
§1-2 晶格的周期性
a
1. 布拉伐格子：原子用点来代表是一种数学上的抽象，这些点 形成的具有周期性的晶格，称为布拉伐格子。 特点：每个格点是几何等价
例：Cu的面心立方晶格
NaCl晶格 特点：一个格点代表两个原子的集合
相同点：Cu和NaCl晶格都是面心立方 结构。 不同点：每个格点代表不同成分，分 别为Cu原子和一对Na+、Cl离子。
3a 2r 4 4 3 r 8 3 3 x 0.34 3 a 16
a3
R
a2
A
O
a1
设某一格点处的原子位置坐标用R来表示 5.正格矢： 二维： R l a l a 1 1 2 2
（l1 , l2为整数）
三维： R l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
a2 a1 a2 a1
a2 a1
a1
a2
a2 a1
说明：※原胞及基矢的选取——不唯一※
7.晶胞：晶体学通常选取较大的重复单元来研究晶格结构， 以反映晶格的对称性，称为晶胞。 晶胞基矢： a , b , c
例1：简立方结构原胞晶胞相同
c
b
O
a
例2：面心立方晶格
为反映整个格子的立方对称性，选图中的立方体为其晶胞。
基矢： 正格矢：
a1 , a2 , a3
R l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
（l1, l2 , l3 为整数）
3 a a a a 原胞体积： a (a a ) (i j ) [ ( j k ) (k i )] 1 2 3 2 2 2 4
§1-2 晶格的周期性
a
1. 布拉伐格子：原子用点来代表是一种数学上的抽象，这些点 形成的具有周期性的晶格，称为布拉伐格子。 特点：每个格点是几何等价
例：Cu的面心立方晶格
NaCl晶格 特点：一个格点代表两个原子的集合
相同点：Cu和NaCl晶格都是面心立方 结构。 不同点：每个格点代表不同成分，分 别为Cu原子和一对Na+、Cl离子。
3a 2r 4 4 3 r 8 3 3 x 0.34 3 a 16
a3
R
a2
A
O
a1
设某一格点处的原子位置坐标用R来表示 5.正格矢： 二维： R l a l a 1 1 2 2
（l1 , l2为整数）
三维： R l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
a2 a1 a2 a1
a2 a1
a1
a2
a2 a1
说明：※原胞及基矢的选取——不唯一※
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考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ?
26
思
例：Honeycomb structure（蜂巢结构） （蜂巢结构）
f a b
e d c
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ? 判断根据： 判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点？ 并且只有这些点27 ？
思
一些重要的例子： 一些重要的例子：
j
a1 a2 a3
k
i
32
简单六角（hc）
a
a1 = aˆ i
a3
c
a2 a1
a ˆ a 2 = (i + 3ˆ) j 2 ˆ a 3 = ck
j
k i
33
结晶学原胞） 晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
34
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
29
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic（bcc） （ ）
a ˆ ˆ ˆ a1 = (−i + j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 = (i − j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j − k ) 2 j
i 是否Bravais格子？ 格子？ 是否 格子
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子， 给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里 布拉伐格子
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） 可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子 二维布拉伐格子 布拉伐
M P
a2
Q
a1
16
易混淆：简单格子、 易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体 拉伐格子 • 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 复式格子： 相同或不同原子） （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成 复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成 布拉伐
17
原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 最小的重复单元， • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏， 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏， 也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 选取方法可以不只是一种， • 三维 • 二维 • 一维
9
格
10
原胞的选取
11
• 结点 格点 ：代表基元的几何点 结点(格点 代表基元的几何点 格点)： • 点阵(格子 ：结点的总和 点阵 格子)： 格子
晶体结构= 点阵+ 基元
结构 具体
用没有大小的 几何点来代表 基元， 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵 阵列 点阵
12
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 基元平移（没有转动） 晶体结构， 上 晶体结构，基元将填满所有空 没有重叠， 间，没有重叠，也没有遗漏 • 思考：基元形状？ 思考：基元形状？
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？ 思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞 原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积 最小体积的区域 这些中垂面所包含最小体积的区域 • 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 对称性原胞，与基矢的选择无关， 拉伐格子有完全相同的对称性
21
例子：二维 例子：二维Wigner-Seitz原胞 原胞
22
原胞体积
Ω = a1 • (a 2 × a 3 )
a3
a2 a1
23
原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 多个原子： • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、 晶体
24
25
例：二维六方格子
5
准晶体： 准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
简单立方结构单元 原子的正方堆积
7
体心立方结构单元 体心立方堆积
8
空间点阵——晶体的数学抽象 晶体的数学抽象 空间点阵
• 将固体理想化，简化，抽象化 将固体理想化，简化， • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、 以完全相同的方式在空间排列而成
39
密堆积
Up Down
六角密排 ABAB… 立方密排 ABCABC 40 …
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。 •底心立方（简立方上下面中心各加一点） •侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习
题
41
简单立方结构： 简单立方结构：sc 面心立方结构： 面心立方结构：fcc 体心立方结构： 体心立方结构：bcc 简单六角结构： 简单六角结构：sh
• • • •
28
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
a1 = aˆ i a = aˆ j
2
k
ˆ a 3 = ak
j i
a3
a2 a1
38
二维Kepler填装问题 填装问题 二维
1892年被挪威数学家 1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 证明。 证明 三维的证明？？？？ 三维的证明？？？？ 上限： 上限：77.97%(1958) 77.84%(1988) 密堆积： 密堆积：74.04% 绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
30
a1 a2 a3
k
bcc基矢的另一种选取： a = aˆ i 1 a = aˆ j
2
a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j + k ) 2
P
格点P的位矢：
a3 a1 a2
P = −a1 − a2 + 2a3
i
j k
31
面心立方
a ˆ ˆ a1 = ( j + k ) 2 a ˆ ˆ a1 = (k + i ) 2 a ˆ ˆ a 3 = (i + j) 2
4
多晶体： 多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体 液晶：
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论 布拉伐格子 一个无限的分立的列阵。 无限的分立的列阵
从这个列阵中的那一点去观察， 从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的 • 由矢量（格矢） 由矢量（格矢） • Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3
第一章、晶体的结构
1
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 物理：固定熔点，长程有序， • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、 守恒
2
3
非晶体： 非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。 Be2O3晶体内部结构 Be2O3玻璃内部结构
k
a3
a2
j i
a1
35
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic
a3 a2 a1
k j i
36
面心立方： 面心立方：Face-centred cubic
a3 a2 a1
k j i
37
配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 离某一粒子最近的粒子， • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密 配位数：最近邻的粒子数， 的程度 • 最大配位数 最大配位数=12（密堆积）！？ （密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小 填装问题： 填装问题
描写晶体的对称性
• 点对称性 点对称性——周期性 周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 空间（实空间） 布拉伐格子 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间) 空间(相空间) 倒格子 布里渊区 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格 格子，
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子 布拉伐格子
26
思
例：Honeycomb structure（蜂巢结构） （蜂巢结构）
f a b
e d c
考 ： 布 拉 伐 格 子 ? ? ? ? 判断根据： 判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点？ 并且只有这些点27 ？
思
一些重要的例子： 一些重要的例子：
j
a1 a2 a3
k
i
32
简单六角（hc）
a
a1 = aˆ i
a3
c
a2 a1
a ˆ a 2 = (i + 3ˆ) j 2 ˆ a 3 = ck
j
k i
33
结晶学原胞） 晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
34
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
29
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic（bcc） （ ）
a ˆ ˆ ˆ a1 = (−i + j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a 2 = (i − j + k ) 2 a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j − k ) 2 j
i 是否Bravais格子？ 格子？ 是否 格子
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子， 给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里 布拉伐格子
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） 可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子 二维布拉伐格子 布拉伐
M P
a2
Q
a1
16
易混淆：简单格子、 易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体 拉伐格子 • 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 复式格子： 相同或不同原子） （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成 复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成 布拉伐
17
原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 最小的重复单元， • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏， 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏， 也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 选取方法可以不只是一种， • 三维 • 二维 • 一维
9
格
10
原胞的选取
11
• 结点 格点 ：代表基元的几何点 结点(格点 代表基元的几何点 格点)： • 点阵(格子 ：结点的总和 点阵 格子)： 格子
晶体结构= 点阵+ 基元
结构 具体
用没有大小的 几何点来代表 基元， 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵 阵列 点阵
12
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 基元平移（没有转动） 晶体结构， 上 晶体结构，基元将填满所有空 没有重叠， 间，没有重叠，也没有遗漏 • 思考：基元形状？ 思考：基元形状？
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？ 思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞 原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积 最小体积的区域 这些中垂面所包含最小体积的区域 • 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 对称性原胞，与基矢的选择无关， 拉伐格子有完全相同的对称性
21
例子：二维 例子：二维Wigner-Seitz原胞 原胞
22
原胞体积
Ω = a1 • (a 2 × a 3 )
a3
a2 a1
23
原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 多个原子： • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、 晶体
24
25
例：二维六方格子
5
准晶体： 准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
简单立方结构单元 原子的正方堆积
7
体心立方结构单元 体心立方堆积
8
空间点阵——晶体的数学抽象 晶体的数学抽象 空间点阵
• 将固体理想化，简化，抽象化 将固体理想化，简化， • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、 以完全相同的方式在空间排列而成
39
密堆积
Up Down
六角密排 ABAB… 立方密排 ABCABC 40 …
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。 •底心立方（简立方上下面中心各加一点） •侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习
题
41
简单立方结构： 简单立方结构：sc 面心立方结构： 面心立方结构：fcc 体心立方结构： 体心立方结构：bcc 简单六角结构： 简单六角结构：sh
• • • •
28
简单立方： 简单立方：Simple cubic (sc)
a1 = aˆ i a = aˆ j
2
k
ˆ a 3 = ak
j i
a3
a2 a1
38
二维Kepler填装问题 填装问题 二维
1892年被挪威数学家 1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 证明。 证明 三维的证明？？？？ 三维的证明？？？？ 上限： 上限：77.97%(1958) 77.84%(1988) 密堆积： 密堆积：74.04% 绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
30
a1 a2 a3
k
bcc基矢的另一种选取： a = aˆ i 1 a = aˆ j
2
a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j + k ) 2
P
格点P的位矢：
a3 a1 a2
P = −a1 − a2 + 2a3
i
j k
31
面心立方
a ˆ ˆ a1 = ( j + k ) 2 a ˆ ˆ a1 = (k + i ) 2 a ˆ ˆ a 3 = (i + j) 2
4
多晶体： 多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体 液晶：
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论 布拉伐格子 一个无限的分立的列阵。 无限的分立的列阵
从这个列阵中的那一点去观察， 从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的 • 由矢量（格矢） 由矢量（格矢） • Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3
第一章、晶体的结构
1
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 物理：固定熔点，长程有序， • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、 守恒
2
3
非晶体： 非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。 Be2O3晶体内部结构 Be2O3玻璃内部结构
k
a3
a2
j i
a1
35
体心立方： 体心立方：Body-centred cubic
a3 a2 a1
k j i
36
面心立方： 面心立方：Face-centred cubic
a3 a2 a1
k j i
37
配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 离某一粒子最近的粒子， • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密 配位数：最近邻的粒子数， 的程度 • 最大配位数 最大配位数=12（密堆积）！？ （密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小 填装问题： 填装问题
描写晶体的对称性
• 点对称性 点对称性——周期性 周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 空间（实空间） 布拉伐格子 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间) 空间(相空间) 倒格子 布里渊区 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格 格子，
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子 布拉伐格子