数学物理方法第九章二阶常微分方程的劫数解法本征值问题
数学物理方法课件：二阶常微分方程级数解法
）R
0
（ k2 2）
当： 0 （欧拉型常微分方程）
2
d2R
d 2
dR
d
m2R
0
R（）
E F ln E m F m
（m 0） （m 0）
当： 0
（m 阶贝塞尔方程）（x ）
x2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
m 2）R
0
§9·2 常点邻域上的级数解法
讨论用级数解法求解带初始条件的
d2Z dz 2
Z
0
d2R
d 2
1
dR
d
（
m2
2
）R
0
Z（z） Ce z De z
对R（）作变量代换：x dR dR dx dR
dx d
d dx d
dx
d 2R
d 2
d（ dR ）
d d
d（ dx
dR ）dx
dx d
d 2R dx2
m
阶贝塞尔方程：
x
2
d2R dx 2
x
dR dx
（x 2
0
同乘 2 移项：
RZ
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
2
Z
d2Z dz 2
k2 2
1
d 2
d 2
分解成两个方程：
d 2
d 2
0
构成本征值问题
（ 2） （）（自然周期条件）
本征值： m2 （m 0，1，2，3，）
本征函数：（） Acos m B sinm
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
湘潭大学数学物理方法课件之92常点邻域上的级数解法
数学物理方法
k l k l 1 ak 2 ak k 2 k 1
按照递推公式具体进行系数的递推，首先看偶数项 l l 1 a2 a0 2!
a4
2 l l 3 a 43
2
2 l l l 1 l 3 a 4!
的奇点 。
数学物理方法
定理 ：若方程（9.2.2）的系数 p ( z ) 和 q( z ) 为点 z0 的邻域
| z z0 | R 中的解析函数，则方程（9.2.2）在这个圆中 存 在 唯 一 的 解 析 的 解 w( z ) 满 足 初 值 条 件 w( z 0 ) C0 , w' ( z0 ) C1 。
（9.2.8）
数学物理方法
需要确定级数 y0 ( x) 和 y1 ( x ) 的收敛半径。把幂级数收敛
0
k l k l 1 a3.2.3 半径的公式（ ）应用于 y ( x) 和 y1a (kx) ，在这里就是 k 2 k 2 k 1 R lim | a / a | . 利用递推公式(9.2.5),
(三) 勒让德方程 自然边界条件
(1) 勒让德方程的级数解 在 x0 0 的邻域上求解 l 阶勒让德方程
(1 x ) y' '2xy'l (l 1) y 0
2
(9.2.4)
数学物理方法
即: y' '[2x /(1 x 2 )]y'[l (l 1) /(1 x 2 )]y 0 ， 方程的系数:
k 0
k 0
将它们代入 (1 x 2 ) y' '2xy'l (l 1) y 0 （9.2.4） ，合并 同幂项，即得到左边是级数形式的勒让德方程
二阶常微分方程级数解法变换本征值问题.pdf
简化为
T '' = Δv a 2T v
令
T '' a 2T
=
Δv v
= −k 2
T '' a 2T
=
Δv v
= −k 2
分解为 T "+a 2k 2T = 0
Δv + k 2v = 0
称为亥姆霍兹方程
第一个方程的解为
T = C + Dt T = C cos kat + D sin kat
(k = 0) (k ≠ 0)
(m = 0,1,2,3L)
r2
d 2R dr 2
+
2r
dR dr
− l(l
+ 1) R
=
0
R = Crl + Dr−(l+1)
（2）、柱坐标系
Δu
=
∂ 2u
∂ρ 2
+
1
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂ 2u
∂ϕ 2
+
∂ 2u ∂z 2
试图将变量变 ρ 与 θ 和 z 分离 代入
u(ρ,ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)
d (r 2 dR ) = l(l +1)R dr dr
−1
sinθ
∂
∂θ
(sinθ
∂Y
∂θ
)
−
1
sin 2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
= l(l
+ 1)Y
称为球函 数方程
上边第一式化为
r 2 d 2R + 2r dR − l(l +1)R = 0
二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1精品PPT课件
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
数学物理方法第九章二阶常微分方程的劫数解法本征值问题
特殊函数常微分方程
球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
一般情况 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程 轴对称情况 勒让德方程
极坐标下热传导方程的分离变量
一般情况 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程 轴对称情况
§9.2常点邻域上的级数解法
常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解
常微分方程中点的分类
二阶变系数常微分方程的一般形式
w”+p(z)w’+q(z)w=0
方程中点的分类
常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
•常点z0邻域
sin 1 cos
2 1 2
1 12
2、柱坐标下拉普拉斯方程
2 2 1 u 1 u u 2 ( ) 2 2 0 2 z
0为正则奇点，邻域解为 ：y k 0 ak x s k
x y k 0 ak x
2
sk 2
k 2 ak 2 x
sk
k 0 ak 2 x s k
级数解的导数为： y ' k 0 ( s k )ak x s k 1 y" k 0 ( s k )(s k 1)ak x s k 2
1 v 1 2v 2v 2 ( ) 2 k v 0 2 2 z
令
v( , , z ) R( ) ( )Z ( z )
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
第九章 二阶常微分方程的级数解法
∞
(k l )(k + l + 1) a , (3) (k + 1)(k + 2 ) k (l + 1)(l + 3) (l + 2k 1)( l )(2 l ) (2k 2 l ) a a2 k = 0 (2k )! (l + 2 )(l + 4 ) (l + 2k )(1 l )(3 l ) (2k 1 l ) a a2 k +1 = 1 (2k + 1)!
[(
)
]
9.2 二阶常微分方程的级数解法
二阶常微分方程的形式
W
''
(z ) + p (z )W ' + q (z )W (z ) = 0 .(1) W ( z 0 ) = c1 , W ' ( z 0 ) = c 2 .
当z0是p(z)与q(z)的解析点时, z0称为方程(1)的常点,若 z0为p(z)与q(z)的奇点时, z0称为方程(1)的奇点. (一)常点邻域上的级数解法 令:
W(z) = ∑ak (z z0 ) , p(z) = ∑pk (z z0 ) , q(z) = ∑qk (z z0 ) .(2)
k k k k=0 k=0 k=0
∞
∞
∞
代入(1)式可确定系数ak,得出方程的解.
例题1 在x0=0的邻域上用级数解法求解常微分方程
y '' + ω
∞ k
2
y = 0
得出 : Φ '' + λΦ = 0, (3) 对周期性的自然边界条件 : Φ( + 2πn ) = Φ( )(4) .
9-二阶常微分方程级数解法_本征值问题
第九章二阶常微分方程级数解法本征值问题§9.1 特殊函数常微分方程（球坐标系、柱坐标系中的分离变量法）球坐标系：⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x 体积元)0,20,0(πθπϕ≤≤<≤∞<≤r ϕθθd drd r dV sin 2=yzOθϕr•(r ,θ,ϕ)e ϕe r e θP⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x ρρϕρsin cos ),20 ,0(∞<<∞-<≤∞<≤z πϕρzdV d d d ρϕρ=体积元柱坐标：（一）Laplace 方程(9.1.1) .0sin 1sin sin 112222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕθθθθθur u r r u r r r （1）球坐标系2=∇u •xyz O(ρ, ϕ, z )ϕρze ρe z e ϕP.0sin sin sin d d d d 2222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕθθθθθYr R Y r R r R r r r Y RYr /2⨯代入（9.1.1）得到),()(),,(ϕθϕθY r R r u =分离变量解：2222sin 11sin sin 11d d d d 1ϕθθθθθ∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Y Y Y Y r R r r R )1(+≡l l ——Euler 方程0)1(d d d d 2=+-⎪⎭⎫⎝⎛R l l r R r r i ）径向方程(9.1.2)0)1(2222=+-+R l l dR r R d r 即：)1()(+-+=l l DrCr r R 该方程的解为：(9.1.4)0)1(2222=+-+R l l drdR r dr R d r ter =dtdR edr dR t -=222222dtR d e dt dR e dr R d t t --+-=0)1()(2)(22222=+-++----R l l dtdR e e dt R d e dt dR ee t t t tt0)1(22=+-+R l l dtdR dt R d )1()1(+-+-+=+=l l tl lt DrCr DeCe Rii ）单位球面上方程：0)1(sin 1sin sin 1222=++∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂Y l l YY ϕθθθθθ——球函数方程222d d 1sin )1(d d sin d d sin ϕθθθθθΦΦ-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛ΘΘl l )()(ϕθΦΘ=Y 可以进一步分离变量：(9.1.3)λ≡)()2( ,0''ϕπϕλΦ=+Φ=Φ+Φ[]sin )1(d d sin d d sin 2=Θ-++⎪⎭⎫ ⎝⎛Θλθθθθθl l φ方向：(9.1.6)(9.1.5)).0,1,2,3,(,sin cos )(2+=Φm m m B m A λϕϕϕ(9.1.8)),()( ,cos x x Θ=Θ=θθ令：,d dsin d d d d d d xx x θθθ-==,d d sin d d )sin (sin 1d d sin d d sin 12⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θx x θθθθθθθ[]0sin )1(d d sin d d sin 22=Θ-++⎪⎭⎫ ⎝⎛Θm l l θθθθθ(9.1.6)’θ2sin /1⨯0sin )1(sin sin 122=Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎪⎭⎫ ⎝⎛Θθθθθθm l l d d d d (9.1.9)()01)1(d d 1d d 222=Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-x m l l x x x ——称为l 阶连带Legendre 方程(9.1.10)0)1(2)1(22222=Θ⎥⎤⎢⎡-++Θ-Θ-m l l d x d x (9.1.11)即：当m =0 时，称为Legendre 方程：()0)1(d d 1d d 2=Θ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-l l x x x ()0)1(d d 2d d 1222=Θ++Θ-Θ-l l xx x x 注意：因x =cos θ, 而θ的变化范围是[0, π], 所以x 的变化范围是[-1，+1]。
第九章 二阶常微分方程
x = cos θ
2
m [(1 − x 2 )Θ' ]'+[l (l + 1) − 1−x 2 ]Θ = 0
球 坐 标 下 拉 普 拉 斯 方 程
r −2 [ ∂ r ( r 2 ∂ r u ) + ∆ ' u ] = 0 ( r 2 R ' )' / R = − ∆ ' Y / Y = l ( l + 1)
常微分方程中点的分类
• 二阶变系数常微分方程的一般形式
– w”+p(z)w’+q(z)w=0
• 方程中点的分类
– 常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点 – 正则奇点：z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点 – 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
•常点z0邻域
( s + k )( s + k − 1) a k x s + k − 2 ∑ k =0
代入方程得： {[( k + s ) 2 − m 2 ]a k + a k − 2 } x s + k = 0 ∑ k =0
即： [( k + s ) 2 − m 2 ]a k + a k − 2 = 0
贝塞尔方程的级数解
勒让德方程的级数解
递推公式： a k + 2 = 具体递推： a3 =
(1 − l )( l + 2 ) l a1 = (1− l )(！+ 2 ) a1 3⋅2 3 ） ) l a 5 = （ 3 − l5⋅(4l + 4 ) a 3 = ( 3 − l（1− l )(！+ 2 )( l + 4 ) a1 5 （ 5 − l）l + 6 ) ( ( 5 − l )( 3 − l（1 − l )( l + 2 )( l + 4 )( l + 6 ) ) a7 = a5 = 7 ⋅6 7！ k ( k +1) − l ( l +1) ( k + 2 )( k +1)
2.2 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
xy (x) =
k=0 ∞
kak xk ,
∞
x2 y (x) =
k=0 k −2
k (k − 1)ak xk ,
∞
(11a) (11b)
y (x) =
k=0
k (k − 1)ak x
k −2
=
k=2
k (k − 1)ak x
=
k=0
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk ,
代入方程并整理得
C2 (x) 是未知函数，满足附加条件 y1 C1 + y2 C2 = 0,
代入非齐次方程 (5)，利用附加条件以及 y1 (x) 和 y2 (x) 满足齐次方程的事实，易得
(6a)
y1 C1 + y2 C2 = f.
(6b)
由于 y1 (x) 和 y2 (x) 线性无关，故 ∆ ≡ y1 y2 − y2 y1 = 0 （否则可以证明 y1 (x) ∝ y2 (x)，则 y1 (x) 与
∗
c 1992–2004 林琼桂
本讲义是中山大学物理系学生学习数学物理方法课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复 制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．
1
§1 常点邻域的级数解法2 Nhomakorabea对偏微分方程分离变量后，马上需要解决的就是常微分方程及其本征值问题的求解． 本书遇到的都是二阶线性常微分方程， 因为它们来源于二阶线性偏微分方程． 虽然常微分方 程比偏微分方程简单， 但也并不存在什么普遍有效的解析求解的程式． 我们知道， 一阶线性 常微分方程的解可以用系数和非齐次项的积分表出， 尽管这些积分不一定能积出来 （即其原 函数不一定是初等函数） ． 但对于二阶线性常微分方程， 并不存在类似的结果． 除了常系数 情况和少数特殊类型 （比如 Euler 方程） 可以用初等函数求解之外， 级数解法可能就是最好 的选择了． 级数解法可以算是比较系统的一种方法， 因为对于那些能够用初等函数求解的简 单情况， 级数解法通常也一样有效． 不过， 应该指出， 能够用级数解法求解的方程也是非常 有限的， 这取决于方程的系数的性质， 通过具体问题的研究，可以逐步看清这一点．
二阶常微分方程级数解法
( d ) E ( d )[( d ) d dz]
( d ) ( ) [E ( d ) ( d ) E ( ) ] d dz
( E ) d d dz ( E ) d d dz ( E ) dV
同理
( d ) ( ) 1 E d d dz 1 E dV
2u
2u
2
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
推导
空间中某一点电场的散 度代表该点附近单位体 积
中电通量的净流出量 .
E
1
(E )
1
E
E z z
E
u
eˆ
u
eˆ
1
u
eˆz
u z
(I) (推导见下页 ） (II)
(II)代入(I)式得
u
u
1
( u ) 1
(1
u
)
2u z 2
1
(
u )
(r2 Er ) sin dr d d
r
1 r2
(r2 Er ) r
r 2sin
dr d
d
1 r2
(r2 Er ) r
dV
5
同理
( d ) ( ) 1 E r2 sin dr d d r sin
1 E dV
r sin
( d ) ( ) 1 (E sin ) r2 sin dr d d r sin
0
D2 D l(l 1) 0
[D (l 1)][D l] 0
R(r) C el t D e(l1)t
C el ln r D e(l1) ln r
C rl D r(l1)
14
ii）球函 数方程：
二阶常微分方程级数解法_本证值问题
2 Y ∂ 1 1 ⎞ . ⎟− 2 2 ⎠ Y sin θ ∂ϕ
1 d ⎛ 2 dR ⎞ 1 1 ∂ ⎛ ∂Y ⎞ 1 1 ∂ 2Y = μ. ⎟− ⎜r ⎟=− ⎜ sin θ 2 2 R dr ⎝ dr ⎠ Y sin θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ Y sin θ ∂ϕ
i）径向方程
d ⎛ 2 dR ⎞ ⎜r ⎟ − μR = 0, dr ⎝ dr ⎠ 后面解出 μ = l (l + 1)
——该方程称为连带 Legendre 方程。
6
当 m=0 时，称为 Legendre 方程：
d ⎡ 2 dy ⎤ ( 1 − x ) ⎥ + μy = 0 ⎢ dx ⎦ dx ⎣
即：
d y dy (1 − x ) dx 2 − 2 x dx + μy = 0
2 2
注意： 因 x=cosϑ, 而 ϑ 的变化范围是 [0, π], 所以 x 的变化范围是 [-1，+1] 。
Φ ' ' + λΦ = 0 Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ )
d2R dR r + 2r + k 2 r 2 − l (l + 1) R = 0 R： 2 dr dr 齐次边值
[
]
Z： R：
Z ' '− μZ = 0 齐次边值
k 2v = 0
Θ:
⎡ m2 ⎤ d ⎡ 2 dy ⎤ ( ) − x y =0 + − 1 μ ⎢ dx ⎢ dx ⎥ 1 − x2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ | x |≤ 1 解有界
⎧ J m ( x) ⎪ ⎨N m ( x) ⎪H ( x) ⎩ m
19
分离变量结果
北京大学数学物理方法经典课件第九章——二阶常微分方程
dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件 3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
r2 r r r2 sin
r2 sin2 2
（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量
1 (r2 u) 1 (sin u ) 1 2u 0
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
令 u(r, ,) R(r)Y( ,)
4
Y r2
r
(r2
R) r
R
r2 sin
(sin
Y
u f ( ,)
u
ra r0
有限值,
u(r, ,) u(r, , 2 ),
隐含着的周期边值条 件和球内约束条件
u 有限值, 0,
拉普拉斯算子：
直角坐标： 2 2 2
x2 y2 z2
柱坐标： 1 ( ) 1 2 ( )
2 2 z z
球坐标：
1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
l 阶连带 Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l1m2 1 x2 Nhomakorabeay
0
m 0 ,Legendre 方程
1 x2
d2y dx2
2x
dy dx
l
l
1
y
0
17
9.2 常点邻域的级数解法
第九章级数解法本征值问题
第九章二阶常微分方程的本征值问题级数解法§9.1 特殊常微分方程的本征值问题§9.2 常点邻域上的级数解法§9.3 正则奇点邻域上的级数解法§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题§9.1 特殊常微分方程的本征值问题在球坐标下的分离变量0=∆u 1.θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x ===πϕπθ2000≤≤≤≤∞≤≤r 0sin 1sin sin 112222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕθθθθθur u r r u r r r ),()(ϕθY r R u =0sin 1sin sin 2222222=∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕθθθθθYr Y r R dr dR r dr d r Y r θφxyz)1(sin 11sin sin 112222+=ϕ∂∂θ-⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂∂θθ∂∂θ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛l l YY Y Y dr dR r dr d R ⇒=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛0)1(2R l l dr dR r dr d 0)1(2222=+-+R l l dr dR r dr R d r 11)(++=l lll rD r C r R 欧勒型常微分方程0)1(sin 1sin sin 1222=++ϕ∂∂θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂∂θθ∂∂θY l l Y Y 这是球函数方程，称为球函数。
),(ϕθY )()(),(ϕθϕθΦΘ=Y 0)1(sin sin sin 222=ΘΦ++ϕ∂Φ∂θΘ+⎪⎭⎫ ⎝⎛θ∂Θ∂θθ∂∂θΦl l欧拉(Euler，1707－1783)，瑞士数学家及自然科学家。
在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。
欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。
13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
二阶常微分方程的级数解法及本征值问题
m 0,1, 2, ； ( ) A cos m B sin m
记常数 k 2 2 ，即 k 2 2 ，(3)式可改写为：
d 2 R 1 dR m2 R 0 ，相应地作变量代换： x ，可以化为： 2 d2 d
本章习题
P237：1,3 题
10
E F ln （1） 0 ， Z ( z ) C ； R m m E F
m0 m 1, 2,3,
（2） 0 ， Z ( z ) Ce
z
De
z
d 2R dR 令 ，则方程(4)可化为 2 m 2 R 0 ，称为 m 阶贝塞 2 d d
2
塞尔方程，具体求解后面将具体介绍。 （b）柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量
1 u 1 2u 2u 2 2 2 k 2v2 0 z
柱坐标系与球坐标系中的讨论类似，令 v( , , z ) R( ) ( ) Z ( z ) ，引入两个常数
d 2 R 1 dR m 2 y ' m2 ， m 阶贝塞尔方程。 （ R y 1 0 " 1 2 R 0 ） dx 2 x dx x2 x x
7
第(2)式是偏微分方程，称为亥姆霍兹方程。 同样地，对于输运方程 ut a 2 u 0 同样作分离变量代换，可以得到：
d 2 R 1 dR m 2 1 R 0 d2 d 2
即： 2
d 2R dR 2 m 2 R 0 ，称为 m 阶贝塞尔方程。 2 d d
2
连带勒让德方程隐含 1 ( 0, )的自然边界条件构成本征值问题， 决定 l 只 能取整数值。 第（2）式即 r 2
9. 二阶常微分方程级数解法
第九章二阶常微分方程级数解法•§9.1 特殊函数常微分方程•§9.2 常点邻域上的级数解法•§9.3 正则奇点邻域上的级数解法•§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题•前面讨论的都是两个自变量的偏微分方程，涉及到的本征函数都是三角函数，除了圆形泊松问题外，大多是反射对称的问题；•从现在开始，我们要讨论三维的定解问题。
实际的边界问题可能具有其它对称性，比如球或柱对称边界，这时的本征函数采用三角函数就不方便了，我们将发现新的本征函数和本征值，并且用它们做级数展开来求解偏微分方程。
•本章主要讨论拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等在球坐标系、柱坐标系满足的常微分方程及其定解。
我们依然采用分离变量法。
§9.2 常点邻域上的级数解法•前面我们通过分离变量法得到了一些特殊的二阶常微分方程，本节讨论这些方程在特定的边界条件下的定解问题。
•这些二阶常微分方程大多不能用通常的方法，比如直接积分的方法求解；•通常采用幂级数解法，即在某一选定的点的邻域上将待求的解表示成系数待定的级数，得到系数之间的递推关系，然后利用边界条件确定所有系数的值。
•级数求解问题的关键在于收敛性。
•考虑一般的复变函数w(z)的线性二阶常微分方程：w’’+p(z)w’+q(z)w=0, w(z 0)=C 0, w’(z 0)=C 1. 其中z 为复变数，z 0为选定的点。
•（一）方程的常点和奇点：在z 0邻域，如果p(z)和q(z)是解析的，则z 0称作方程的常点；如果p(z)和q(z)是奇异的，则z 0称作方程的奇点。
•（二）常点邻域上的级数解：如果线性二阶常微分方程的系数p(z)和q(z)在点z 0的邻域|z-z 0|<R 是解析函数，则方程在这个圆中存在满足初值条件的唯一解析解。
•因此可以把解表示成此邻域上的泰勒级数形式：•后面的任务就是确定这些级数解的系数a k ，通常会得到它们之间的一些递推关系。
第九章二阶微分方程的解法
y(x) an (x x0 )n n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
数学物理方程与特殊函数
第九章
系数的确定
➢ 将解的级数形式代入方程，合并同幂次项； ➢ 令合并后的各系数分别找零，找出系数之间的递推关系； ➢ 用已知的初始调试条件确定系数，从而求得级数解
以l 阶勒让德方程为例进行分析
a1
a7
（5l7）(6l 6)
a5
(5l )(3l（) 1l )(l 2)(l 4)(l 6) 7！
a1
………
a2k 1
（2(k2k11l）)((l2k2)k )
a2k 1
(2k 1l )（1l )(l 2)(l 2k ) (2k 1)！
a1
数学物理方程与特殊函数
得到l 阶勒让德方程解：
第九章
y
定理
如果方程 y'' p(x) y' q(x) y 0
的系数 p (x) , q (x) 在点 x0的邻域 x x0 R 内解析，则
方程在这圆内存在唯一的解析的解 y (x)，满足初始条件
y(x0 ) C0 , y(x0 ) C1. （C0 , C1为任意复常数）
表示成泰勒级数的形式
数学物理方程与特殊函数
第九章
第九章 二阶常微分方程的级数解法
• 概述 • 常点邻域上的级数解法 • 正则奇点邻域上的级数解法 • 本章小结
数学物理方程与特殊函数
第九章
一、概述
分离变量法
直角坐标系、平面极坐标 本征函数是三角函数
实际 正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系） 拉普拉斯方程的分离变量
数学物理方程与特殊函数
a2k x2k
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uT(t)v(r)
T''/a (2T)v/vk2
T''a2k2T0 vk2v0
T CcoskatDsinkat 或CeiaktDeiakt 或CDt
亥姆霍兹方 程
（三）输运方程
ut a22u
uT(t)v(r)
T '/a (2 T ) 2 v/v k2
(m0) (m1,2,)
0
x
Z(z) Ce z Ce z
x2
d2R dx2
x
dR(x2 dx
m2)R
0
0
m阶贝塞尔方程
x
Z(z) Ccos zDsin z
x2
d2R dx2
x
dR(x2 dx
m2)R0
m阶虚总量贝塞尔方程
（二）波动方程
1(r2 R ) [k2r2l(l 1 )R ]0 R r r
l阶球贝塞尔方程
令
xkr R(r) y(x)
2x
x2d d2y 2x xd d x y[x2(l1/2)2]y0
（2）柱坐标系
L+1/2阶贝塞尔方程
1 ( v)12 2v2 z2v 2k2v0
A co m s B sm i n
x
m阶贝塞尔方程
特殊函数常微分方程
球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
一般情况
欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程
轴对称情况
勒让德方程
极坐标下热传导方程的分离变量
一般情况
亥姆霍兹方程，贝塞尔方程
轴对称情况
§9.2常点邻域上的级数解法
dR2Z''
Rd2 Rd Z
A co m s B sim n
λ=m2
1d2R 1dR m 2 Z''
Rd2Rd2
Z
0
R 1d d2R 21RddRm 2 2Z Z''
Z CDz
REEmFlnF/ m
柱坐标
Δ2=ρ1∂ ρρ∂ ρ+ρ12 ∂ =∂ ρρ+ρ1∂ ρ+ρ2∂
Δ=Δ2 +∂zz Δ=Δ2 +∂zz
球坐标
Δ'=s1iθn∂ θsiθn∂ θ+s1 i2nθ∂
Δ=r12 ∂rr2∂r +r12 Δ' =∂rr+2r 1∂r +r 2Δ'
1、球坐标下拉普拉斯方程
1(r 2 u ) 1 (s iu n ) 1 2 u 0 r 2 r r r 2s i n r 2s2 i n 2
章
重点
二阶常微分方程级数解法本征 值问题
1、laplace方程在球坐标和柱坐标系下的分
离变量得到的常微分方程；
2、常点和奇点邻域级数解的一般解的形式；
3、勒让德方程在x=0和贝塞尔方程在x=0邻域上
§9.1 特殊函数常微分方程 一、Laplace方程分离变量
拉普拉斯算符的形式
二维
三维
直角坐标 Δ2 =∂ xx +∂ yy
R 1 r(r 2 R r) k 2 r 2 Y s 1i n (s Y i) n Y s 1 2 i n 2 Y 2 l( l 1 )
s1 in (si Y n)s1 i2n 2 Y 2 l(l 1 )Y0
T'a2k2T0
TAex pa(2k2t)
2vk2v0
（四）亥姆霍兹方程
（1）球坐标系
r 1 2 r( r 2 v r ) r 2 s 1i n (s i v )n r 2 s 1 2 i n 2 v 2 k 2 v 0
令 v(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)
s i (n s ' i )/n ' l( l 1 ) s2 i n " /
"0 si (n s ') i [ n 'l( l 1 ) s2 i n ] 0
A co m s B sm i n
xcos
r 2[r(r2ru) 'u]0
r 2[r(r2ru) 'u]0
欧拉方程
(r2 R ')/'R 'Y /Y l(l 1 )
uR(r)Y(,)
球函数方程
(r2R') 'l(l1)R0
'Yl(l1)Y0Y()()
RCrl Dr1l1
令 v (, ,z ) R () ( )Z (z )
Z"2Z0
"0
d2R1 d R(m2)R0
d2 d
2
k2 2
2vk2v0
v R()()
(R ')/R ' 2 R " /
"0 1(R') '(2)R0
连带勒让 德方程
[1 (x 2 ) '] [ 'l(l 1 ) 1 m x 2 2] 0
极坐标下拉普拉斯算符形式的推导
•直角坐标下的形式 •坐标变换关系 •微分变换关系 •极坐标下的形式
2 xxyy
x cos
y
sin
xycsio ns csoins1
常微分方程中点的分类 各点邻域级数解的形式 勒让德方程的级数解 贝塞尔方程的级数解
常微分方程中点的分类
二阶变系数常微分方程的一般形式
w”+p(z)w’+q(z)w=0
方程中点的分类
常点：z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点 正则奇点：z0 是 (z-z0) 2
1
1 2
2、柱坐标下拉普拉斯方程
1(2 u)12 2u 2 z2u 20
uR () ()Z(z)
2d2RdR2Z'' '' Rd2 Rd Z
"0
2d2R