联合分布与边缘分布

xy
F( x, y)
f (s,t)dsdt,
则称( X ,Y )为二维连续型随机变量，并称 f ( x, y) 为
X与Y 的联合概率密度(联合密度函数). 概率密度函数 f ( x, y) 的性质：
(1) f ( x, y) 0;
(2)
f ( x, y)dxdy F (,) 1;
y
(x, y)
O
x
F (,) 0, F (,) 1;
（2）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为单调非减函数， （3）F ( x, y) 关于 x 和 y 均为右连续。
二、离散型随机变量及其概率分布
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2, )
为 X 与 Y 的联合概率分布(分布律).
一、 二维随机变量的分布函数
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} 记为 P{ X x,Y y}
称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数或称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数.
注：由概率的加法法则，随机点( X ,Y ) 落入矩形域
{ x1 x x2 , y1 y y2 }的概率
y
y2
( x2 , y2 )
P{ x1 x x2 , y1 y y2 }
y1
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 )
O x1
x2 x
F ( x1, y2 ) F ( x1, y1 ).
图 2.
联合分布函数的性质：
(1) 0 F ( x, y) 1, 且 F (, y) 0, F ( x,) 0,
(3) 设 D 是 xOy 平面上的区域，点 ( X ,Y ) 落入 D 内
的概率为 P{( x, y) D} f ( x, y)dxdy D
(4) 若 f ( x, y) 在点( x, y) 连续，则有
2
F ( x, xy
y
)
f ( x, y).
注：
设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A.若二维随机
则称 X ,Y 相互独立.
变量 ( X ,Y )具有概率密度函数
z
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y)G
1 A
0, 其它
O
则称 ( X ,Y )在G上服从均匀分布.
x
z f ( x, y) y
G
边缘分布密度
fX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y)
f ( x, y)dx,
若对任意的 x, y, 有 f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
pij 满足下列性质：
(1) pij 0,1, j 1,2, ; (2)
pij 1.
ij
由 X 和 Y 的联合概率分布，
得边缘分布:
pi P{ X xi } pij 源自文库i 1,2, j
p j P{Y y j } pij , j 1,2, i
三、连续型随机变量及其概率密度