《魔术师的地毯》的发现与探究

《魔术师的地毯》的发现与探究[摘要]以学生论文形式呈现学生发现与探究的过程，解密“魔术师的地毯”的设计、构造原理，实现研发能力的发现。

[关键词]魔术师地毯发现探究构造论文

必修2第90页《魔术师的地毯》是一节以发现与探究方式呈现的内容，如何深度挖掘它的培养学生发现与探究能力的价值，我组织、引导学生从问题到结论，从实践到理论，从具体到一般，从个体操作到小组合作，从行为思维到科学小论文，完成从惊讶到发现进而实现心智熏陶与自我价值的提升。发现与探究教学基本的流程是：呈现情境——问题置疑——解决问题——撰写论文。

在讲述了“魔术师的地毯”之后，让学生说出心中的疑惑，学生提的问题很多，主要归结于以下几个问题：

1.魔术师是怎么设计的？

2.计算机对魔术师设计方法的检验；

3.为什么魔术师用的是“地毯”？

4.面积为什么不相等？

5.丢失的部分是什么样子？

6.丢失部分的面积究竟有多大；？

7.换一种方式设计面积会不会增大？

8.怎样剪接才不会改变面积？

9.如何设计类似的“地毯”？

下面以学生最后撰写的科学小论文为题来勾画学生发现与探究的轮廓。

1.魔术师地毯故事（略）

2.魔术师地毯的设计与计算机检验

设正方形abcd的边长为13厘米，在ad、bc边长分别取e、f

两点，使ae=bf=8，ed=fc=5，；连接ef和df，在ab、ef；边是分别取点g、h，使ag=hf=5，gb=eh=8，连接gh如图（1）；沿ef、df、gh剪开，然后接图（2）的方式接拼、缝合。

使fc与hf、ed与ag重合，就可得到长21厘米，宽8厘米的长方形。

在上述的制作过程中，由于采用的是纸质材料，产生毛边，以及测量的误差，我们看到正方形变成长方形过程中的重叠。为了更精准地检验这一设计，我们用几何画板来实现这一转身。

在几何画板中，给aghe、gbfh、fcd、fde四块涂上不同的颜色，将它们平移、旋转，观察结果表明：基本图式与图（2）相同，但的确有重叠。按比例放大图形，则重叠就越显著，接比例缩小，则重叠就不那么明显。

注：要求学生动手设计、制作，有三种优越，一为后续的探究作准备，二是让学生进入角色，激发探索热情，三是能够象科学工作者一样的工作。“解决这类问题，物理学家和工程师通常采用作模型的方法，你们这样做，既是体验魔术师的设计，也是象科学家

一样地工作”。当学生的设计和魔术师的一模一样，有一种自信洋溢在脸上。而用计算机拟合，学生看到了重叠的真面目，为后续学习提供了感性材料。

3.面积不等四重奏

正方形变成长方形，面积变了，我们可以从四个不同的角度来说明它们是不相等的。

，bd为y轴建立直角坐标系，则则点g、c的坐标为g（3，8），c（8，21），所以ag与gc不重合，因而面积不等。

（4）方程说：在（3）所建立的直角坐标系中，直线ag的方程是8x-5y=0，直线gc的方程为13x-5y+1=0，显然ag与gc不是一条直线。从而面积不等。

注：面积不等四重奏不是一次完成的，在第一阶段，学生可用前三种理论来说明理由，在学习直线方程后，再论魔术师的地毯时，学生用方程理论重新给予证明。

4.失去的图形与面积

正方形的面积减去长方形的面积等于1，就是丢掉的面积。这是一种解释。下面我们可以作更深入地了解：

建立如图所示的直角坐标系，则直线ag的方程是8x-5y=0；直线fc的方程是，即8x-3y-1=0；直线af的方程是13x-5y=0；直线gc的方程为13x-5y+1=0。ag//fc，gc//af，因此，重叠部分agcf 是一个平行四边形。而且

两平行直线ag与fc之间的距离

所以遗失的图形的面积为1。

注：学习两平行直线的距离后，三论魔术师的地毯，学生用新的理论作出论证。找到了丢失的面积的大小，也找出了丢失的面积的图形。

5.怎样设计才不会产生误差？

注：老师关注学生的探索过程，及时捕获学生智慧的火花，点燃并因势利导为潦原烈火。

6.象魔术师一样的智慧

我被魔术师的睿智引导，被老师的鼓动激励，我想：为什么魔术师能够提出这样的问题？是巧合，还是有什么内在联系？我们能象魔术师一样的智慧，构造类似的问题吗？我的想法得到了老师极大的赞许。

容易发现，在剪拼变换中，有些数作为正方形边长会产生较大误差，有些数则|s正-s长|=1，把这些数按从小到大的顺序写出：2，3，5，8，13，21，44，它们均服从斐波拉契数列！检验更多的斐波拉契数无不符合。于是得到三元数组：（1，2，3），（2，3，5），（3，5，8），（5，8，13}，（8，13，21），（13，21，34），...，（an，an+1，an+2），按它们来构造的“魔毯”，|a2n+1-anan+2|=1。这是一个不变量。是变化莫测中的永恒，是复杂繁冗中的简单。

注：可以说，学生发现了斐波拉契数列。从简单与常识入手寻

找变化规律是常用方法，除了需要知识，更需要毅力。

结语：在这次活动中，学生发现了很多问题，也发现了自我探究的能力。整个活动中，老师是启发者，点爆学生智慧的烈焰；老师是鼓励者；在学生碰壁或思想的曦光微现的时候，鼓励学生坚持。学生是新问题的提出者，也是问题的解决者；他们象科研人员一样思考问题，收获体验、探索、合作、迷惑、苦闷、努力、坚持、惊奇、喜悦、快乐。这次活动，使学生对数学思想呈豁然开朗之象，智育收事半功倍之奇。

（作者单位：1.北京体育大学，2.湖北省洪湖贺龙高中）