02 第二节 一阶微分方程

第二节 一阶微分方程

分布图示

★ 可分离变量微分方程

★ 例1 ★ 例2

★ 例3

★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7

★ 一阶线性微分方程及其解法

★ 例7 ★ 例8

★ 例9

★ 例10

★ 内容小结

★ 课堂练习

★ 习题6—2

内容要点

一、可分离变量的微分方程

设有一阶微分方程

),(y x F dx

dy =,

如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有

)()(y g x f dx

dy =. (2.1)

则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.

二、一阶线性微分方程

形如

)()(x Q y x P dx

dy =+ (3.1)

的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当

,0)(≡x Q 方程(3.1)成为

0)(=+y x P dx

dy (3.2)

这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.

方程(3.2)的通解

.)(⎰-=dx

x P Ce

y (3.3)

其中C 为任意常数.

求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为

,)()(⎰-=dx x P e x u y

一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为

[]

⎰-⎰+=

⎰dx

x P dx

x P e

C dx e

x Q y )()()( (3.5)

例题选讲

一阶线性微分方程

例1（E01）求微分方程xy dx

dy 2=的通解.

解 分离变量得xdx

y

dy 2=两端积分得⎰⎰=

xdx

y dy 212||ln C x y +=

从而2

1

1

2

x

C C x

e

e e y ⋅±=±=+,

记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2

x Ce y =

例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项, 得 dx y dy x y )1()1(2-=- 设 ,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx

x dy y y 1

11

2

-=

-

两端积分 ⎰⎰-=

-dx

x dy y

y

11

1

2

得

||ln |1|ln |1|ln 2

112

C x y +-=-

于是 2212)1(1-±=-x C y

记,21C C ±= 则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解

2

2

)

1(1-=-x C y 中.

例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.

解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:

⎪⎩

⎪⎨⎧=--==100|)

20(0t T T k dt

dT )

2()1( 其中)0(>k k 为比例常数. 下面来求上述初值问题的解. 分离变量, 得 ;20

kdt T dT -=-

两边积分

,201

⎰⎰-=-kdt dT T

得 1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1

1

20(其中1

C e C ±=).

从而 ,20kt Ce T -+=

再将条件(2)代入,得,8020100=-=C 于是，所求规律为 .8020kt e T -+=

注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸

体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.

例4设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时

)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.

解 设降落伞下落速度为),(t v 降落伞下落时，同时收到重力P 与阻力R 的作用. 降落伞所受外力为 kv mg F -=

根据牛顿第二定律: αm F =,得到)(t v 满足微分方程

kv mg dt

dv m -= (1)

初始条件 .00

==t v

将方程(1)分离变量得

m

dt kv

mg dv =-

两边积分得

⎰⎰=

-m dt

kv

mg

dv

1)ln(1C m

t kv mg k

+=

--，

即 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=-1C m t k e kv mg 或 ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=

--

k e C Ce

k

mg v kC

t

m

k 1＝－