圆的对称性与性质

圆的对称性与性质

【重点知识】

1.弦心距：圆心到弦的距离.

2.圆周角：顶点在圆上，它的两边分别和圆相交的角，叫做圆周角.

3.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

4.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

5.直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径.

【归纳总结】

1.在同圆或等圆中：①两个圆心角相等；②两条弧相等；③两条弦相等；④两条弦的弦心距相等.此四项中任何一项成立，则其余对应的三项都成立.

【典型例题】

例1.①如图1，在⊙O 中，,AB AC = 070,A ∠=则C ∠=______.

②如图2，已知,,A B C 在⊙O 上，且040,BAC ∠=则OCB ∠=_____.

③如图3，已知AB 是⊙O 的直径，,,C D E 都是⊙O 上的点，则12∠+∠=_____. ④如图4，已知圆心角AOB ∠的度数为0100，则圆周角ACB ∠的度数是______.

(图1) （图2） （图3） （图4） (图5) ⑤如图5，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点,,,,8,1,G B F E GB cm AG cm == 2,DE cm =则EF =_______cm ．

⑥如图6，在⊙O 中，0

60,3,ACB D AC ∠=∠==则ABC ∆的周长为________．

⑦（2008湘潭）如图7，已知⊙O 半径为5，弦AB 长为8，点P 为弦AB 上一动点，连结OP ，则线段OP 的最小长度是 ．

图6 图7

⑧（2008重庆）已知，如图8，AB 为⊙O 的直径，,AB AC BC =交⊙O 于点,D AC 交⊙O

于点0,45.E BAC ∠=给出以下五个结论：①0

22.5;EBC ∠=②;BD DC =③2;AE EC = ④劣弧⋂ AE 是劣弧⋂DE 的2倍；⑤.AE BC =其中正确结论的序号是 . ⑨（2008黄石）如图9，AB 为⊙O 的直径，点C D ，在⊙O 上，50BAC ∠=，则ADC ∠= ．

图8 图9

⑩如图10，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= .

例2.①在半径为2的⊙O 中，弦AB

的长为AOB ∠=______.

②⊙O 的半径2,OA =弦,AB AC

的长为一元二次方程20x x -+=的两

个根，则BAC ∠=_____.

③如图，在⊙O 中，AB 是直径，

CD 是一条弦，//,AB CD 圆周角030,10,CAD AB cm ∠==则弦CD 的长是______.

④如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立的是（ ）

A. COE DOE ∠=∠

B. CE DE =

C.OE BE =

D. BD BC =

⑤（2008上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）

A.第①块

B.第②块

C.第③块

D.第④块

③图 ④图 ⑤图 ⑥图

B ∙E D

C B A O 20 题图

图10

⑥如图，点P 是⊙O 外一点，从点P 出发的两条射线与⊙O 相交于点,,,,A B C D 且,AB CD =则BPO ∠与DPO ∠之间的关系是（ ）

A. BPO DPO ∠>∠

B. BPO DPO ∠<∠

C. BPO DPO ∠=∠

D.无法确定 ⑦已知,AB CD 是同圆的两条弧，且2AB CD =，则弦,AB CD 之间的关系是（ ）

A. 2AB CD =

B. 2AB CD >

C. 2AB CD <

D.无法确定

例3.①如图，AD 交⊙O 于点,,B D ⊙O 的半径为05,8,30,r cm AO cm A ==∠=求BD 和

AD 的长.

②如图，在RT ABC ∆中，0

90,3,4,C AC BC ∠===以点C 为圆心，CA 的长为半径的

圆与,AB BC 分别相交于点,,D E 求,AD BD 的长.

例4.如图，AB 是半圆的直径，延长弦CD 交AB 的延长线于点,E 且02,15,AB DE E =∠=求AOC ∠的度数.

例5.（金华市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点,C D 在⊙O 上，且6, 3.AB BC ==

（1）求sin BAC ∠的值；

（2）如果OE AC ⊥，垂足为E ，求OE 的长；

（3）求tan ADC ∠的值．（结果保留根号）

例 6.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线,AC BD OE BC ⊥⊥于,E 求证：

1.2

OE AD =

例7.如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AD 是BC 边上的高，若8,3,6,BD CD AD ===求⊙O 的面积.

（拔高题）

如图所示，AB 为⊙O 的直径，D 为BC 中点，连接BC 交AD 于,E DG AB ⊥于G .

（1） 求证：2BD AD DE =⋅.

（2） 如果3tan ,8,4

A DG =

=求DE 的长.