【精选】人教版八年级上册数学 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；

（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．

【答案】(1)1；(2)3．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．

【详解】

解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，

∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，

∴(x+y)2+(y+1)2=0，

∴x+y=0，y+1=0，

解得，x=1，y=−1，

∴2x+y=2×1+(−1)=1；

(2)∵a−b=4，

∴a=b+4，

∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得

b2+4b+c2−6c+13=0，

∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，

∴(b+2)2+(c−3)2=0，

∴b+2=0，c−3=0，

解得，b=−2，c=3，

∴a=b+4=−2+4=2，

∴a+b+c=2−2+3=3．

【点睛】

此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.

2．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨

辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着

+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：

（1）写出4()a b +的展开式；

（2）利用整式的乘法验证你的结论．

【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.

【详解】

（1）4322344()464a b a a b a b ab b +=++++，

（2）方法一：()()()43a b a b a b +=+•+

=()()322333a b a a b ab b ++++

4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++

432234464a a b a b ab b =++++

方法二：()()()422a b a b a b +=+•+

=2222(2)(2)a ab b a ab b ++++

=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++

= ++++432234a 4a b 6a b 4ab b .

【点睛】

解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.

3．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.

（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.

（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++

++.

【答案】（1）提公因式 ; （2）()

20201x + ；（3）()11n x ++

【解析】

【分析】

（1）用的是提公因式法； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.

（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.

【详解】

解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．

（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()4

1x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……

由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +

（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，

=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，

=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，

=（1+x ）n +x （x+1）n ，

=（1+x ）n+1．

【点睛】

本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．

4．观察以下等式：

（x+1)(x 2-x+1)=x 3＋1

（x+3）（x 2-3x+9）=x 3+27

（x+6）（x 2-6x+36）=x 3+216

．．．．．． ．．．．．．

(1)按以上等式的规律，填空：（a+b ）（___________________）=a 3+b 3

(2)利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立.

(3)利用（1）中的公式化简：（x+y ）（x 2-xy+y 2）-（x-y ）（x 2+xy+y 2）

【答案】（1）a 2-ab+b 2；（2）详见解析；（3）2y 3．

【解析】

【分析】

（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）结合题目本身的特征，利用（1）中的公式直接运用即可．

【详解】