探索二次函数性质(几何画板动态)
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学二次函数是高中数学中的重要内容，几何画板可以很好地辅助教学，帮助学生直观地理解二次函数的图像性质。
本文将介绍如何利用几何画板构建二次函数的图像，并通过直观的方法教学。
让我们来绘制一个二次函数的图像。
打开几何画板，选择直线和抛物线工具。
利用直线工具绘制x轴和y轴，这是我们的坐标系。
接下来，利用抛物线工具绘制一个二次函数的图像。
选择一个坐标点作为抛物线的顶点，并选择两个离顶点较近的点作为抛物线的两个焦点。
连接顶点和两个焦点，就得到了一个二次函数的图像。
接下来，让我们来观察二次函数的图像性质。
二次函数的图像是一个抛物线。
当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
这个性质可以通过调整二次项系数来观察得出。
二次函数的图像关于顶点对称。
利用几何画板的对称工具，以抛物线的顶点为对称轴进行对称操作，我们可以观察到抛物线的两侧图像完全对称。
二次函数的图像与一次函数的图像相比，更加平滑。
我们可以在几何画板上绘制一个一次函数的图像，然后将二次函数的图像与之进行对比，可以直观地感受到二次函数的图像比一次函数的图像更加平滑。
我们可以通过改变二次函数的其他系数来观察其对图像的影响。
改变一次项系数可以使得图像在x轴上平移；改变常数项可以使得图像在y轴上平移。
利用几何画板，我们可以方便地进行这些操作，并观察到图像的变化。
通过利用几何画板构建二次函数的图像，并观察其性质，可以帮助学生更好地理解二次函数的图像性质。
学生可以通过直观的方法体验到二次函数的图像相比于一次函数更加平滑，并且可以通过调整系数来观察图像的变化。
这样的直观教学方法可以提高学生的学习兴趣，使他们更加深入地理解二次函数的概念和性质。
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质作者：顾桂新来源：《教师·下》2016年第10期在二次函数的教学中，二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是学生难以理解也很容易错的知识点。
而二次函数一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c与二次函数的图象与性质的关系更是学生容易混淆、难以掌握的知识点。
文章通过运用几何画板动态解析二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k是如何产生的，动态解析一般式y=ax2+bx+c中系数a、b、c的改变后二次函数的图象是如何变化的，从中梳理二次函数的图象和性质。
一、二次函数y=ax2的图象与性质在二次函数的图象和性质的教学中，我们是从简单的二次函数y=ax2入手学习二次函数的图象和性质的。
二次函数y=ax2中只含有一个系数a，我们利用几何画板改变a的取值观看y=ax2的图象的变化。
从图1、图2发现：a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上；a利用几何画板，把二次函数y=ax2的左侧抛物线翻折到右侧（如图3、图4所示），可以发现：二次函数y=ax2不管a的正负，其对称轴都是y轴（即直线x=0）；顶点坐标是（0，0）。
当a>0时，图象有最低点，即有最小值0；当a在二次函数y=ax2上取一点Q，通过移动点Q。
如图5所示：当a>0时，在y轴左侧（即x0），y随x的增大而增大。
如图6所示：当a0），y随x的增大而变小。
二、二次函数顶点式y=a（x-h）2+k的动态形成在函数的学习中，先学习最简单函数。
从简单到复杂，从特殊到一般。
二次函数顶点式的形成可以看作由二次函数y=ax2的图形移动得到。
1.二次函数y=a（x+h）2可以看作y=ax2左右移动得到如图7所示：y=0.4（x+4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向左移动4.7个单位长度得到。
y=0.4（x-4.7）2的图象可以看作y=0.4x2的函数图象向右移动4.7个单位长度得到。
用几何画板研究二次函数性质
用几何画板研究二次函数性质迄今为止，绝大部分教师都是利用几何画板来探讨二次函数开口方向、开口大小、对称轴等. 本文是利用几何画板从二次函数的重要点之间形成的关系来展开研究和探讨.二次函数中的重要点主要指与x轴的交点、与y轴的交点、顶点. 为方便起见，下面研究二次函数y=ax2+bx与x轴的交点、顶点之间形成的关系. 对y=ax2+bx+c假设（1）c=0；（2）与x轴的交点为A，B；（3）顶点为C；（4）b≠0.一、用几何画板探求问题蕴涵的规律性1. 确定系数a和ba和b是二次函数y=ax2+bx的系数，它们的值是可以任意变化. 在坐标轴x 轴上任取一点t，过t点作x轴的垂线l，在垂线l上任取一点B’，度量B’的纵坐标，并更改结果的标签为b. 这样就确定了系数b. 然后，度量点t的横坐标，并与任一个大于零的数作为纵坐标，在垂线l上画点m，过点t和m作射线r，最后在射线r上任取一点A’并度量A’的纵坐标，并更改结果的标签为a，这样就确定了系数a（在这里只讨论a>0的情况）.确定了系数a和b之后，然后为动点a和动点b建立动画，并分别改标签为“动点a”和“动点b”. 如图1所示.2. 计算并画点首先，根据系数a和b绘制函数y=ax2+bx的图象. 如图2所示.其次，根据系数a和b计算与x轴交点A，B及抛物线顶点C的坐标.然后，绘制点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），并连结AC和BC，度量∠ACB的度数.3. 度量角的度数以上操作完成之后，度量∠BCA的度数. 下面用几何画板来探求这个角度与系数a和b的关系. 提出以下问题：（1）当b取某个值时，使a发生变化时，∠BCA的度数如何变化？（2）当a取某个值时，使b发生变化时，∠BCA的度数又如何变化？对于第一种情况，单击“动点a”按钮，可以看到不管a是不断减小还是a是不断增大，∠BCA的度数未发现任何变化. 如图3和4所示.对于第二种情况，单击“动点b”按钮，可以发现当b的绝对值越来越大时，∠BCA的度数越来越小，反之，当b的绝对值越来越小时，∠BCA的度数越来越大. 如图5和6所示.因此，函数与x轴的两个交点和顶点构成的∠BCA的度数与系数a和b的关系借助几何画板，可以得出以下结论：结论1系数b固定，无论系数a怎么变化，∠ACB的度数不变.结论2系数a固定，则∠ACB的度数随着b的绝对值的增大而减小；∠ACB 的度数随着b的绝对值的减小而增大.二、代数方法验证结论通过讨论，得出了∠ACB与系数a，b的变化. 其实，以上结论也可以用代数方法进行验证.由此可见，∠ACB只与系数b有关，而与系数a无关. 因此，只要确定了b 值，不管a如何变化，∠ACB永远保持不变.对于a<0，结论同样成立.针对以上结论，教师在教学过程中或者让学生进行数学实验时，就可以设计一些思考题，开阔学生思考问题的空间，全方位认识二次函数y=ax2+bx蕴涵的有趣的规律.三、拓展与延伸1. 根据结论确定b值借助以上结论，可以展开进一步的思考，b取何值时，∠ACB是直角或等于60°？可以做以下实验：（1）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化，当∠ACB=90°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于2或-2. 如图7和8所示.（2）单击“动点b”按钮，使b发生变化，同时，观察∠ACB的变化？当∠ACB=60°时，再次单击“动点b”按钮，停止b的变化，这时的b值即是所求，可以看出等于3.4或-3.4. 如图9和10所示.根据以上实验，可以得出以下结论：结论3函数y=ax2+bx中的b=2或-2时，△ACB为等腰直角三角形.结论4函数y=ax2+bx中的b=3.4或-3.4时，△ACB为等边三角形.2. 坐标平移对角的影响坐标平移包括横坐标上（下）平移和纵坐标左（右）平移. 由此，可进一步思考如下问题：坐标平移对以上结论将造成什么影响？利用几何画板，可以继续做以下实验：（1）纵坐标左（右）平移：设将y轴向左（右）平移h个单位，∠ACB如何变化？（2）横坐标上（下）平移：设将x轴向上（下）平移h个单位，∠ACB如何变化？对于第（1）种情况，当y轴向左（右）平移了h个单位后，函数图象与x 轴的交点未发生变化，顶点也不变，因此，∠ACB的度数也不改变. 但是，函数的表达式由y=ax2+bx变成了y=a（x±h）2+b（x±h），该表达式可变形如下：y=ax2+（b±2ah）x+ah2±bh，令a’=a，b’=b±2ah，c’=ah2±bh，则该表达式为y=a’x2+b’x+c’ ，根据上述结论，可以得出：结论5 当二次函数y=a’x2+b’x+c’中的系数满足a’=a，b’=b±2ah和c’=ah2±bh 关系时，以上结论同样成立.对于第（2）种情况，当x轴向上（下）平移h个单位，函数图象与x轴的交点位置则发生了变化，∠ACB也跟随变化. 根据图象可以看出，可以得出以下结论：结论6 当x轴向上平移h个单位时，∠ACB不断减小.结论7 当x轴向下平移时，当且仅当h<|-|时，∠ACB不断增大，否则图象与x轴无交点.著名数学家欧拉曾说过：“数学这门科学，需要观察，也需要实验. ”同时，《数学课程标准》中指出：“20世纪以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展. ”因此，利用信息技术构建实验情境，通过运用实验方法，进行数学教学活动，已越来越显示了现代教育技术手段在数学教学中的创造性应用.。
如何用几何画板动态演示二次函数函数图像
如何用几何画板作二次函数图二次函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，是以变化与对应为基础的重要数学概念。
要让学生理解二次函数的变量之间的相互依赖关系，清楚地看到二次函数的几种形式y=ax2、y=ax2 +k、y=（x－h）2、y=a（x－h）2+k、y=ax2+bx+c之间的平移、对称关系，需要给学生提供大量的图象素材，让学生观察、分析与对比。
当然最好还是让他们直观地观看当函数中的几个参数a、b、c或参数h、k发生变化时，图形是如何变化的，看到在运动和变化的过程中变量之间的对应关系。
这个靠老师口头讲解、黑板上画图都很难达到这个要求，而利用多媒体技术可以帮助我们做到这一点。
几何画板与Z+Z教育平台可以让抽象的函数问题变得直观形象、化静为动，动态地演示作图过程，动态地演示函数值随自变量的变化而变化的情景，有利于学生理解函数的概念、图象与性质。
如何有效地把信息技术和数学教学进行整合？如何把几何画板与Z+Z教育平台这些新的教学工具完美地融合到二次函数的教学过程中？下面我简单介绍一下用几何画板制作二次函数课件：我想用几何画板制作课件的目标主要有三个：1、快速地作出我们想要的二次函数的图象；2、动态演示几种形式的二次函数的图象，帮助学生理解二次函数的图象、性质及几种形式的二次函数图象之间的平移与对称关系；3、动态演示二次函数的函数值随自变量的变化而变化的情景，帮助学生理解二次函数的单调性与二次函数的极值问题。
一、利用几何画板作二次函数y=3x2－4x+1的图象。
这种形式的图象比较容易在几何画板窗口上画出，教师可以在上课过程中即兴作图。
1、建立平面直角坐标系。
在进入几何画板窗口后，单击编辑窗口上的“图面”选择“显示坐标轴”，此时你可以看到窗口上出现了一个坐标轴，你拉动x轴正半轴上的一个滑动点，可以改变单位长度的大小。
2、画点。
点击编辑窗口左侧的工具栏中的画点工具，在x轴上任意处单击，可以在x轴上做出一个点，如点A。
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学
利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学一、引言二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。
在教学中，如何让学生更直观地理解二次函数的图像性质，是一个重要的教学难点。
本文将介绍利用几何画板构建二次函数图像性质的直观教学方法，通过这种方法，学生可以更加直观地理解二次函数图像的性质，提高学习效果。
二、直观理解二次函数图像性质的必要性在学习二次函数的过程中，学生往往会觉得二次函数的图像性质比较抽象，不容易理解和掌握。
尤其是对于抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴、零点和判别式等概念，学生很难通过纯粹的数学符号和公式进行直观理解。
为了让学生更加深入地理解二次函数的图像性质，利用几何画板进行直观教学是非常必要的。
1. 准备工作在进行二次函数图像性质的直观教学前，首先需要准备好几何画板、图像纸、铅笔和尺子等。
几何画板是一种能够画直线、曲线和其它图形的工具，能够让学生通过动手操作来理解数学概念，非常适合进行直观教学。
2. 抛物线开口方向的直观理解通过几何画板和图像纸，让学生绘制出一个开口向上的抛物线。
然后，让学生在画板上做一个标记，表示抛物线的顶点位置。
接下来，让学生倾斜画板，观察抛物线的图像变化。
通过这样的操作，学生可以直观地理解抛物线开口方向与顶点位置之间的关系，从而更好地掌握这一概念。
3. 顶点坐标、对称轴和零点的直观理解在绘制抛物线的过程中，让学生通过几何画板和图像纸来确定抛物线的顶点坐标、对称轴的位置以及零点的位置。
通过观察和实际操作，学生可以更清晰地理解这些概念，并且能够直观地感受到它们之间的几何关系。
这样可以帮助学生更深入地理解二次函数的图像性质。
4. 判别式的直观理解在教学中，可以通过几何画板来模拟不同的二次函数，然后让学生观察这些函数的图像特点，通过实际操作来感受判别式对二次函数图像的影响。
这样可以让学生更直观地理解判别式与二次函数图像的关系，从而更好地掌握这一概念。
利用几何画板探究二次函数一般式的性质
利用几何画板探究二次函数一般式的性质第一篇：利用几何画板探究二次函数一般式的性质2y=ax+bx+c(a≠0)的性质二次函数目标：学生经历使用几何画板绘制二次函数图像，通过观察、思考、讨论得出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的待定系数a、b、c与图像之间的关系重点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质难点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)性质的得出信息技术硬件：信息技术教室、学生计算机信息技术软件：几何画板、幻灯片投影过程：一、几何画板操作讲解1.将下载好的几何画板分发给学生机器，并控制所有学生机2.启动几何画板的方法：双击图标，进入界面3.启动函数绘图的操作方法：图表→绘制新函数→新建函数对话框或用快捷键（Ctrl+G）4.绘制指定函数图像的输入方法：注意：指数使用“”输入例如：要绘制函数y=3x2+4x-1，应该在对话框中依次输入3,X，︿，2，+，4，*，X，-，1，然后确定，就得到图像可以通过向右、向左拖拽下图中的红点控制坐标系的精度大小和图像的大小例如：要绘制函数y=3(x-1)2+2，应该在对话框中依次输入3，（，X,-,1，）︿,2，+,2然后确定，就得到图像二、学生实践1.教师取消学生机控制，让学生尝试用几何画板作函数y=-x2和y=x2-2x+1的图像2.教师指导个别边缘学生操作三、自主探究探究1.利用几何画板分别作函数y=x2+3x+2，y=-2x2-x+1的图像探究2.利用几何画板分别作函数y=x2-2x-2，y=-x2+3x-4四、思考与讨论1.教师利用幻灯展示以上四个函数的图像2.教师提问，学生独立思考一下问题，教师随机抽查：问题1：以上四个二次函数都是以一般式y=ax2+bx+c(a≠0)形式给出的，他们的图像都是什么形状的？问题2：以上四个二次函数中的待定系数a、b、c各是多少？问题3：以上四个二次函数图像的开口方向、顶点位置、图像与y 轴的交点位置情况如何？3.学生以四人小组讨论：二次函数中的待定系数a、b、c与图像的开口方向、顶点位置、图像与y轴的交点位置有怎样的关系？学生展示，教师逐一抽查各小组讨论结果五、教师讲解难点问题：“待定系数b的作用”注意观察第一组函数y=x2+3x+2和y=-2x2-x+1的待定系数与图像，他们的二次项系数与一次项系数同号，且顶点都位于y轴的左侧；而第二组函数y=x2-2x-2，y=-x2+3x-4的二次项系数与一次项系数异号，且顶点都位于y轴的右侧，由此我们不难得出这样的猜想：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的待定系数b与抛物线的顶点位置有关，当b与a同号时，顶点位于y轴的左侧，当b与a异号时，顶点位于y 轴的右侧。
用几何画板探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
用几何画板探究二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质资料编号:202211051045在探究二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质时,我们可以利用配方法把一般式化为顶点式进行探究,配方过程如下:c a b a b x a b x a c x a b x a c bx ax y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=222222244 a b ac a b x a 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,其图象的对称轴为直线a b x 2=,顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ac a b 44,22.当a b x 2=时,函数取得最值,最值为a b ac y 442-=:当0>a 时,a b ac y 442min -=;当0<a 时,ab ac y 442max -=.虽然我们可以用学习顶点式的成果来研究一般式,但我们还不能对一般式有一个全面的了解和掌握,如b a ,的符号与对称轴的位置关系、抛物线与y 轴的交点与c 的关系以及抛物线与x 轴的相交情况等.下面,我们通过制作几何画板课件,设置c b a ,,三个参数,来探究一下二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象及其性质.几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在x 轴上任意作出一点A ,选中点A 和x 轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出x 轴的垂线.单击“点工具”,在x 轴上方的垂线上任取一点B ,在x 轴下方的垂线上任取一点C .选中点B 、C ,依次单击“构造”、“线段”,作出线段BC .选中垂线BC 并隐藏.单击“点工具”,在线段BC 上任取一点,标签设为a .选中点a ,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点a 的纵坐标.选中点a 纵坐标的度量值,右单击,选择“度量值的标签”,在“标签”中输入a .如图1所示.单击确定.2.用同样的方法制作参数c b ,.依次单击“绘图”、“隐藏网格”,如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次输入“a的值”、“*”、“x”、“∧”、“2”、“+”、“b的值”、“*”、“x”、“+”、“c的值”,如图3所示.单击确定,作出函数()c+=2的图象.如图4所示.f+bxaxx4.选中函数的图象,修改线型为“中等”.选中函数解析式,右单击,选中“函数的标签”,在“标签”中输入“y”,如图5所示.单击“确定”.5.单击“点工具”,在抛物线上任取一点P,选中点P和x轴,依次单击“构造”、“平行线”,交抛物线于另一点Q.双击点P,选中点Q,依次单击“变换”、“缩放”,设置“固定比”为“1/2”,如图6所示.单击“确定”,作出线段PQ的中点'Q.6.选中直线PQ、点P、点Q并隐藏,选中点'Q和x轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出抛物线的对称轴.选中对称轴,修改线型为“细线/虚线”,颜色为红色.选中点'Q并隐藏.如图7所示.7.单击抛物线与y轴的交点处,得到点M.选中点M,依次单击“度量”、“纵坐标”,量出点M的纵坐标.如图8所示.8.选中点a,修改点的颜色为浅蓝色;选中点b,修改点的颜色为粉红色;选中点c,修改点的颜色为浅绿色.如图8所示.经此一步,完成作图.课件探索对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,课件设置了三个参数c b a ,,,通过拖动点c b a ,,,使这三个参数可以在一定范围内变化,以观察函数图象的变化与这三个参数之间的关系.探究参数a 对函数图象的影响（1）拖动点a 在线段AB 上移动,此时0>a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越小,函数图象的开口越_________;（2）拖动点a 在线段AC 上移动,此时0<a ,观察函数图象的变化,不难发现函数图象开口_________,且a 的值越大,函数图象的开口越_________.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,函数图象开口_________,当0<a 时,函数图象开口_________,并且a 越小,函数图象的开口越_________,a 越大,函数图象的开口越_________.探究参数b a ,对函数图象的影响在由二次函数的一般式化为顶点式的过程中,我们得到函数图象的对称轴为直线ab x 2-=,这说明抛物线的对称轴与b a ,有着直接的关系,同时参数b a ,的改变也必将影响抛物线的变化.我们来实际操作一下.（3）把点a 移动到线段AB 上,此时0>a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现:当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧.（4）把点a 移动到线段AC 上,此时0<a ,拖动点b 在线段EF 上移动,可以发现: 当点b 在线段DE 上移动,即0>b 时,抛物线的对称轴在y 轴的右侧;当点b 在线段DF 上移动,即0<b 时,抛物线的对称轴在y 轴的左侧.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0,0>>b a 或0,0<<b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧;当0,0<>b a 或0,0><b a 时,函数图象的对称轴在y 轴的_________侧.特别地,当0=b 时,函数图象的对称轴是_________.由此,我们可以根据b a ,的符号确定抛物线对称轴与y 轴的相对位置关系,也可以根据抛物线的对称轴与y 轴的相对位置关系,确定b a ,的符号.实际上,当b a ,同号时,02<-=a b x ,抛物线的对称轴位于y 轴的左侧;当b a ,异号时,02>-=ab x 抛物线的对称轴位于y 轴的右侧.如此,我们探究参数b a ,对二次函数图象影响的过程,经历了由观察到推理,由感性认识到理性认识的过程.探究参数c 对函数图象的影响（5）拖动点c 在线段HI 上移动,观察函数图象的变化,不难发现,函数图象与y 轴的交点的纵坐标,等于_________的值.当0>c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交;当0=c 时,函数图象经过_________;当0<c 时,函数图象与y 轴的_________轴相交.因此,参数c 的值,决定了函数图象与y 轴的相交情况.实际上,对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当函数图象与y 轴相交时,令0=x ,则=y _________,所以函数图象与y 轴的交点为_________.二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象及性质的应用例1. 用配方法将二次函数6422++-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式,则k h a ++的值为【 】（A ）5 （B ）7 （C ）1- （D ）2-解析 ∵()()81261122642222+--=+-+--=++-=x x x x x y ∴8,1,2==-=k h a ∴7812=++-=++k h a ∴选择答案【 B 】.例2. 关于抛物线122+-=x x y ,下列说法错误的是【 】（A ）开口向上（B ）顶点在x 轴上（C ）对称轴是直线1=x（D ）当1>x 时,y 随x 的增大而减小解析 ()22112-=+-=x x x y .对于（A ）,01>=a ,抛物线开口向上.故（A ）正确;对于（B ）,抛物线顶点坐标为()0,1,在x 轴上.故（B ）正确;对于（C ）,抛物线的对称轴为直线1=x .故（C ）正确;对于（D ）,当1>x 时,y 随x 的增大而增大.故（D ）错误.∴选择答案【 D 】.例3. 若二次函数a x ax y ++=42的最大值是3,则=a _________。
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
“左加右减” ）。
2 . 二 次 函 数 y=ax2± k可 以 看 作 y=ax2上下移动得到
y x 图 8 所 示 ： =0.4 2+4.4的 图 象 可 y x 以 看 作 是 =0.4 2 的函数图象向上移动 y x 4.4个 单 位 长 度 得 到 。 =0.4 2-3.6的图 y x 象 可 以 看 作 是 =0.4 2 的函数图象向下
一 、 二 次 函 数 y=ax2 的图 象与性质
在二次函数的图象和性质的教学
中 ，我 们 是 从 简 单 的 二 次 函 数 y= ax2 人
手学习二次函数的图象和性质的。二次
函 数 y=ax2 中 只 含 有 一 个 系 数 a ，我们 a 利 用 几 何 画 板 改 变 的 取 值 观 看 y=ax2
是由
移动得到
y x 例如：图 9 所示 ， =0.4( ±4.8)2+
y x 3.1可 以 看 作 =0.4 2 的函数图象向右移
动 4.8个 单 位 长 度 ，再 向 上 移 动 3.1个
单位长度得到。
V::
Vy
/_
_
丨
.
—
J—
图9
通 过 动 态 解 析 二 次 函 数 顶 点 式 y=a x h k ( - ) 2+ 的图象，从图象就可以直观 得出二次函数顶点式y=a (x-h ) 2+k 的
© 优课堂
YOUKETANG
运用几何画板动态解析二次函数的图象和性质
顾桂新
在 二 次 函 数 的 教 学 中 ，二 次 函 数
顶 点 式 y=a (x-h ) 2+k 的顶点坐标是学
生难以理解也很容易错的知识点。而二
利用几何画板，培养学生探究能力——以《二次函数的图象和性质》教学为例
利用几何画板，培养学生探究能力——以《二次函数的图象和性质》教学为例发布时间：2022-10-21T08:14:42.870Z 来源：《教育学》2022年8月总第293期作者：潘荣义[导读] 探究能力是一种重要的学习能力，培养学生的探究能力是数学教学的一个重要的根本目标。
上林县白圩中学广西南宁530507摘要：探究能力是一种重要的学习能力，培养学生的探究能力是数学教学的一个重要的根本目标。
本文试以几何画板为辅助的二次函数的图象和性质的教学，谈谈学生探究能力的培养。
关键词：几何画板探究能力二次函数 “品质教育，学在南宁”提出：要全面落实国家“双减政策”，通过提升学生的学习品质提高课堂教学质量。
老师们也都知道“授人以鱼不如授人以渔”，培养学生的学习能力要比知识输灌重要得多，而探究能力是一种重要的学习能力。
因此在教学中，教师要注意发挥学生作为教学活动的主体地位，充分调动学生的学习主动性，培养学生的探究能力。
下面本人就以初中数学第二十二章《二次函数》(新人教版)的教学为例，谈谈学生探究能力的培养。
因为本人是借助几何画板来调动学生的学习兴趣，培养学生的探究能力，所以本人先简单介绍几何画板的功能。
几何画板是一款由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的优秀教学软件，它具有动态图形功能、简便的动画功能、有趣的变换功能、方便的计算功能、独特的自定义工具、丰富的图象功能、及时的帮助功能等七大常用功能。
可以说，几何画板既是一个优秀的演示工具，能准确、动态地表达以及演示数学问题；也是一个有力的探索工具，可以用它去发现、探索、表现、总结数学规律。
二次函数是初中数学中学生感到最难学、老师感到最难教的一章，究其原因主要是：一是二次函数与一元二次方程关系紧密；二是二次函数的解析式有四种形式，它们之间的关系及转化理不清；三是二次函数手工画图象花费时间多，且精确度不高。
要学习这一章，学习好第一单元《二次函数的图象和性质》是关键。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数几何画板课件
复习导入
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
平移前解析式
Hale Waihona Puke 平移后解析式简记向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
探究新知
画出二次函数 =
,
=
(−) ,
=
(−) +3的图象，并探究它们的图
象特征和性质．
列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．
x
0
2
3
4
=
0
2
8
x
1
2
3
4
5
(−)
0
2
8
x
1
2
3
4
5
= (−) +3
3
5
11
=
1
探究新知
描点和连线：画出图
象在对称轴右边的部
分．利用对称性，画
第一章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质4
复习导入
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
利用几何画板研究二次函数图像
利用几何画板研究二次函数图像二次函数在初中数学中是比较难学的内容，而在中考中所占比例比较大，要解决二次函数问题，首先要解决二次函数的图像问题，用几何画板研究二次函数图像，加强了直观性、生动、形象，效果良好，能够引起学生的兴趣，教学事半功倍。
一、利用参数建立二次函数，画出二次函数的图像演示图像的开口大小与二次项系数的关系做法：建立参数a，b,c,然后用几何画板画出函数y=ax2+bx+c图像，改变a的取值观察得知；当a的绝对值变大时（选中a按数字键盘中的“+”号），图像的开口变小，当a的二、利用已经建立的参数二次函数函数的图像演示二次函数的图像形状与二次项系数a有关，而b,c的值影响图像的位置具体做法：选定a的取值，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，可以看到图像的形状变化，当选定b或c，或同时选中b,c,按数字键盘中的“+”或“-”号，变换b,c的取值,发现图像的形状没有发生变化，只是位置移动了，并且只变化c时，图像只做上下平移。
操作如图:三、用几何画板验证函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像的关系做法：建立参数a，h，k，用几何画板在同一坐标系内画出函数y=a(x-h)2+k, y=a(x-h)2, y=ax 2+k，y=ax 2的图像,然后选中a，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换a的取值，发现四只图像的形状都在变，但是仍然保持相同；再取消选a，选中h，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换h的取值，发现图像的形状都不变，h的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k接近抛物线y=ax2+k；抛物线y=a(x-h)2接近抛物线y=ax 2；若只选中k，按数字键盘中的“+”或“-”号，变换k的取值,图像的形状也不变，k的值接近0时，抛物线y=a(x-h)2+k 接近抛物线y=a(x-h)2，抛物线y=ax2+k接近抛物线y=ax2，当h、k 的值同时取0时，四条抛物线归一，都重合于抛物线y=ax2处，这说明四者之间可以相互平移得到。
利用几何画板探究二次函数问题
2013-02课堂内外在历年的中考中，二次函数都属于重头戏，所占的分值比例都很高，而且学习上也是学生学习的难点.所以，在研究二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质、平移、翻折变换等问题时，可以用“几何画板”辅助教学活动，引导学生“操作、观察—比较、猜想、探索—抽象和概括”，和学生共同探究二次函数的有关问题，感觉比采用传统的教学手段，效果要好得多.利用几何画板分析二次函数图象、性质等，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.一、引入情景，体验操作通过利用几何画板先让学生动手体验操作过程，以激发学生做数学的兴趣.例1.利用几何画板探究y=ax2（a≠0）的图象、性质与系数a的关系.学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，在多媒体教室进行教学.首先，教师将事先做好的“几何画板”文件（如图1）分发给学生，图中点A为x轴上的动点，y=ax2（a≠0）中系数a的值等于点A 的横坐标.探究序列：（1）用鼠标拖动点A（在x轴上原点向右运动）时，改变了y= ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.（2）拖动点A（在x轴上原点向左运动）时，改变了y=ax2（a≠0）中a的值，体会图象开口方向和开口大小变化.归纳发现：系数a的作用是：a>0时，抛物线开口向下；a<0时，抛物线开口向上.a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大.在学生会用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象后，使用图1这个几何画板，目的是让学生探究和体会a值的变化带来图象的开口方向和开口大小变化.例2.利用几何画板探究y=ax2+c（a≠0）的图象、性质以及上、下平移.首先，在学生会画y=x2+1、y=x2-2的图象，为了上课的顺便进行，将事先做好的几何画板文件（如图2、图3）分发给学生，图中点C为y轴上的动点，y=x2+c中c的值等于点C的纵坐标.探究序列：（1）如图2，用鼠标上下移动点C，体会c的值变化时函数y= x2+c图象的变化，与函数y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=ax2+ c（a≠0）的图象和性质吗？（2）c的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线上、下平移的规律吗？图2、图3主要是让学生体会上下移动点C时，函数y=x2+c、y=-x2+c图象的变化以及与y=x2、y=-x2的关系，解决上下平移问题.例3.利用几何画板探究y=a（x-h）2+c（a≠0）的图象、性质以及左、右平移.将事先做好的“几何画板”文件（如图4）分发给学生，图中点H为x轴上的动点，y=a（x-h）2+c（a≠0）中h的值等于点H的横坐标.2探究序列：（1）用鼠标左右移动H点，看函数y=（x-h）2图象的变化，与y=x2的图象有什么关系？你能归纳y=a（x-h）2（a≠0）的图象和性质吗？（2）h的值变化时，图象如何移动？你能用简洁的语言归纳出抛物线左、右平移的规律吗？发现：h值在变化，图象在左右平移，h值增大，图象____移（填“左”或“右”）；h值减小，图象____移（填“左”或“右”）.图4主要是让学生体会左右移动点H时函数y=（x-h）2图象的变化以及与y=x2的关系，解决左右平移问题,及再次验证图象的对称性.二、自主探究，其乐无穷信息技术，“时”半功倍。
利用几何画板探究二次函数图像性质教学设计
二次函数图像性质教学设计一．教材分析《二次函数》是数学新人教版九年级上册第二十二章内容.二次函数是反映现实生活中变量与变量间的数值关系与规律的一种十分重要的数学模型，应用广泛，许多实际问题都可以用二次函数来进行分析.二次函数作为初中阶段学习的最后一个函数，地位十分重要，在历年来的各地中考中占有相当大的比重.本章重点需要学生掌握二次函数的概念及不同的表达形式，理解它的图像、性质及平移变换的实质，并使学生深化对“数形结合”思想的认识.重点：使学生理解解析式中系数变化与图像变化之间的关系，培养学生创造性思维和动手实践能力.难点：探索使用几何画板工具改变解析式或图像.二．教学目标1.知识目标:通过操作实验使学生理解二次函数性质.2.能力目标：使学生理解解析式中系数变化与图像变化之间的关系，培养学生创造性思维和动手实践能力.3.情感目标：在动手操作过程中体验“做数学”的乐趣.三．教具多媒体、《几何画板》四．教学过程（一）体验操作，情景引入1.利用几何画板形象地展示二次函数图像的特征，帮助学生初步认识图像 二次函数的概念：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数.在学习了二次函数的概念之后，我们将对二次函数的图像进行初步学习.这是学生对二次函数图像的第一次认识，以课堂演示一个简单的二次函数2x y =的图像为例，引导学生观察，展示二次函数图像的基本特征.【操作步骤】（1）打开《几何画板》，在“绘图”菜单下选取“定义坐标系”指令，建立直角坐标系；（2）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入2x y =，绘制出其函数图像（紫色实线）；（3）在2x y =图像上远离顶点处任意选取一点A ，选中点A 和Y 轴，做Y 轴的垂线交图像的另一个交点为'A ，隐藏垂线，并选中A 、'A ，构造线段'AA 及'AA 的中点B ，分别选中点B 和线段'AA ，做'AA 的垂线，则此线就是抛物线的对称轴（红色实线）.图2.2-1【师生互动】师：结合之前学过的函数图像，同学们猜一猜二次函数的图像会是什么样子？现在老师已经用计算机精确的作出了二次函数2xy=的图像，同学们看看它和你想象的二次函数图像一样吗？我们就以这个图像为例，来初步认识一下二次函数的图像.生：通过老师上下拉动图像，可以看出二次函数图像是无限的平滑曲线；观察发现图像左右两个部分还有可能是对称的.师：那我们一起来验证一下，结合操作（3）及对称的定义，我们发现同学们的猜想是正确的，二次函数的图像关于某一条直线对称，而且这条直线与Y 轴平行或重合.小结：二次函数图像是关于平行于Y轴的一条直线对称的无限平滑曲线.【设计说明】由于学生是首次接触二次函数的图像，利用《几何画板》准确作出图像能帮助学生准确认识二次函数的图像，形成良好的“第一印象”.（二）问题驱动，操作探究2.利用几何画板动态地展现解析式与图像的关系，渗透“数形结合”的思想探究1：二次函数2xy=图像的关系y=与2-x【操作步骤】（1）打开《几何画板》，在“绘图”菜单下选取“定义坐标系”指令，建立直角坐标系；（2）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入2xy=，绘制出其函数图像（紫色实线）；（3）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入2y=，绘制出其-x函数图像（红色虚线）；（4）在2xy=图像上任意选取一点A，以X轴为镜面反射，得到点'A，选定点A和'A，在“变换”菜单下选取“创建自定义变换”指令.（5）选定2xy=的图像，在“变换”菜单下执行“新创建自定义变换”得到2xy=图像关于X轴翻折后的图像.图2.2-2【师生互动】师：前面我们通过2xy=的图像认识了二次函数的图像，现在老师在做出2y=的图像，同学们找一找他的解析式有什么不同，再结合图像观察这样的-x不同对函数的图像有什么影响？生：观察得出两个函数的二次项系数互为相反数，发现两个函数的图像的形状和大小可能都相同.师：那我们一起来验证一下同学们的猜想，如果满足两个函数的图像的形状和大小都相同，即两个函数的图像能够完全重合，那么再观察图像，能验证到2y=的图像重合即可.接下来再进行操-xxy=的图像沿X轴翻折之后的图像与2作（4）和（5），观察发现2xy=的图像完全重y=的图像沿X轴翻折下来与2-x合，说明猜想正确.小结：在二次函数c+=2中，如果两个函数的a、b、c值均相同，axy+bx那么两个函数图像的形状和大小也都相同.探究2：c b a 、、的值对二次函数c bx ax y ++=2图像的影响【操作步骤】（1）打开《几何画板》，在“绘图”菜单下选取“定义坐标系”指令，建立直角坐标系；（2）在X 轴上取三点并分别标记为A 、B 、C ，选中点A 和X 轴做X 轴的垂线，在该垂线上选取一点标记为'A ，隐藏垂线，度量'A 点的纵坐标，标记参数点的纵坐标值'A a =；（3）同（2）作出'B 、'C 点，度量'B 、'C 点的纵坐标，标记参数点的纵坐标值'B b =，标记参数点的纵坐标值'C c =；（4）在“绘图”菜单下选取“绘制新函数”指令，输入c bx ax y ++=2，绘制出其函数图像；（5）保持'B 、'C 点位置不变，用鼠标拖动'A 点，形成动态图像；（6）在c bx ax y ++=2图像上远离顶点处任意选取一点A ，选中点A 和Y 轴，做Y 轴的垂线交图像的另一个交点为'A ，隐藏垂线，选中A 、'A ，构造线段'AA 及'AA 的中点B ，选中点B 和线段'AA ，并做'AA 的垂线，此线就是抛物线的对称轴（红色实线），隐藏线段'AA ，点A 、'A 、B ；（7）保持'C 点不动，拖动'A 、'B 点，形成动态图像；（8）确定图像与Y 轴的交点并标记为点M （绿色），并度量M 点的坐标；（9）保持'A 、'B 点位置不变，用鼠标拖动'C 点，形成动态图像.图2.2-3图2.2-4图2.2-5【师生互动】师：通过探究1我们知道了a的值会对二次函数cy+=2的图像造成+bxax影响，那同学们想不想知道a的值变化到达会造成c=2的图像怎样的+bxaxy+变化呢？下面让我们一起来探究一下.进行操作（5），引导学生观察.生：观察得出a的正负会对抛物线的开口方向造成影响：0a时，函数开>口向上；0<a时，函数开口向下.师：同学们观察的很好，那同学们再仔细一点，看看参数a的值发生具体变化时对函数图像还有什么影响？生：还发现a的大小对抛物线的开口的大小有影响，开口随a的增大而变小，随a的减小而增大.师：找出了a的值对二次函数c=2的图像的影响，接着我们来看+bxaxy+一看b 的值对图像又会有怎样的影响.通过进行操作（7），引导学生发现b a 、可能会影响图像的对称轴，那就先做出对称轴，进行操作（6），为了不影响学生观察，隐藏作图过程.再进行操作（7），引导学生观察.生：观察发现，b a 、同正负则对称轴在Y 轴的左边；b a 、异正负号则对称轴在Y 轴的右边.师：那什么情况下对称轴刚好与Y 轴重合，结合之前的学习，我们想到试一试0=b 的情形.生：当0=b 时，函数c bx ax y ++=2的对称轴刚好与Y 轴重合.师：最后我们来看一看c 的值是怎样影响函数c bx ax y ++=2的图像的变化的，结合代数知识我们很快知道了函数图像必过定点()c ，0，那我们先在图像上找出这个点，进行操作（8），标出定点之后进行操作（9），引导学生观察. 生：观察发现：0=c 时，图像经过原点； 0>c 时，交点在正半轴；0<c 时，交点在负半轴.【设计说明】二次函数表达式与图像的关系对于初中的学生本就难于理解，传统教学中静态的图形使原本相互联系的知识分裂开来，忽略了知识间内在的本质，会使我们只注意到了片面的东西而忽视了整体[6].在此教师利用《几何画板》在课堂上演示c bx ax y ++=2的图像更好地展示了图像对函数关系的动态反映，把抽象的内容变得具体化.让学生通过一步步的探究，并在动脑观察的基础上自己总结出二次函数c bx ax y ++=2中c b a 、、对图像的影响，其间利用《几何画板》进行动态的演示，极大地吸引了学生的注意力，增强了学生学习函数的兴趣.（三）形成结论,交流分享让学生将上述探究活动中记录的结论进行综合分析，形成规律，提炼观点，以小组为单位，分层进行展示交流，可以相互补充或提出修改意见。
用几何画板探究二次函数y=ax2的图象和性质
用几何画板探究二次函数2y 的图象和性质ax资料编号:202211022123 几何画板课件制作1.打开几何画板,单击“绘图”,选择“定义坐标系”,单击“点工具”,在y轴上任意画出一点A,选中点A和y轴,依次单击“构造”、“垂线”,作出y轴的一条垂线.单击“点工具”,在y轴左侧的垂线上任画一点B,在y轴右侧的垂线上任画一点C.选中垂线并隐藏,选中点B、C,隐藏单击“构造”、“线段”,作出线段BC.如图1所示.2.单击“点工具”,在线段BC上任意画出一点P.选中点P,依次单击“度量”、“横坐标（X）”,量出点P的横坐标.选中点P横坐标的度量值右单击,选择“属性”,在对话框中选择“标签”,输入“a”.如图2所示.3.依次单击“绘图”、“绘制新函数”,在弹出的对话框中依次单击输入“a 的值”、“ *”、“x ”、“∧””、“2”,如图3所示,单击“确定”.在平面直角坐标系中画出作出二次函数()02≠=a ax 的图象,选中函数图象,修改线型为“中等”,如图4所示.4.选中点P ,修改点的颜色为浅蓝色,表示该点为可拖动的点. 课件探索对于二次函数()02≠=a ax y ,课件1把点P 的横坐标作为a 的值,通过拖动点P ,改变点P 的横坐标,包括符号,来观察并探究二次项系数a 对二次函数图象的影响,包括对其图象开口方向、开口大小的影响.（1）拖动点P 在线段AB 上移动,观察a 的变化以及二次函数()02≠=a ax y 图象的开口方向和开口大小,你发现了什么?如图5所示（选中抛物线,依次单击“显示”、“追踪函数图象”,拖动点P ,即可追踪函数的图象）.对于二次函数()02≠=a ax y ,当0<a 时,其图象的开口_________,a 的值越_________（填“大”或“小”）,其图象的开口越大.（2）拖动点P 在线段AC 上移动,观察a 的变化以及二次函数()02≠=a ax y 图象的开口方向和开口大小,你发现了什么?如图6所示.对于二次函数()02≠=a ax y ,当0>a 时,其图象的开口_________,a 的值越_________（填“大”或“小”）,其图象的开口越大.探究结果通过几何画板课件的展示,我们不能得到二次函数()02≠=a ax y 的图象和性质.二次函数2ax y =的图象与性质 函数2ax y =0>a0<a图象xyOxy O开口方向 向上向下对称轴 y 轴 y 轴顶点 ()0,0()0,0最值 有最小值0有最大值0增减性当0<x 时,y 随x 的增大而减小; 当0>x 时,y 随x 的增大而增大.当0<x 时,y 随x 的增大而增大; 当0>x 时,y 随x 的增大而减小.a 对函数2ax y =图象的影响a 的符号决定函数2ax y =图象的开口方向,a 的大小决定图象的开口大小:a 的值越大,抛物线开口越小;a 的值越小,抛物线开口越大.二次函数2ax y =的图象与性质的应用例1. 已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数.（1）求m 的值;（2）当m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时,抛物线的开口方向、增减性如何?（3）当m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时抛物线的开口方向、增减性如何?解:（1）由题意可知:⎩⎨⎧=-+≠+24022m m m ,解之得:2=m 或3-=m ; （2）抛物线有最低点,即抛物线开口向上 ∴2=m ,24x y =,其图象开口向上.当x ≤0时,y 随x 的增大而减小;当x ≥0时,y 随x 的增大而增大;（如图7） （3）当3-=m 时,2x y -=,其图象开口向下,函数有最大值,最大值是0. 当x ≤0时,y 随x 的增大而增大;当x ≥0时,y 随x 的增大而减小.（如图8）图 7图 8图 9例2. 已知抛物线2ax y =经过点()3,1. （1）求a 的值;（2）当3=x 时,求y 的值; （3）说出此二次函数的三条性质. 解:（1）把()3,1代入2ax y =得:3=a ; （2）由（1）可知:23x y = 当3=x 时,27332=⨯=y ;（3）①该二次函数的图象开口向上; ②该二次函数的图象关于y 轴对称; ③该二次函数有最小值,最小值为0. 巩固练习1. 抛物线()02<=a ax y 的图象经过第_________象限.2. 二次函数25x y -=的图象是一条_________,其图象开口_________,对称轴是直线_________,顶点坐标是_________,当=x _________时,函数有最_________值,最值为_________.3. 若二次函数()22x m y -=的图象开口向上,则m 的取值范围是_________.4. 二次函数()222-+=mx m y 的图象开口_______,函数有最______值,为_______.5. 若二次函数2mx y =有最大值,则m 的取值范围是_________.6. 已知点()()2211,,,y x y x 在抛物线241x y -=上,若021>>x x ,则21______y y ;若012<<x x ,则21______y y .7. 已知二次函数221x y =的图象如图9所 示,线段x AB //轴,交抛物线于A 、B 两点, 且点A 的横坐标为2,则线段AB 的长度为 _________.8. 关于函数2223,,31x y x y x y ===的图象,下列说法不正确的是【 】 （A ）顶点相同 （B ）对称轴相同 （C ）开口方向相同 （D ）形状相同9. 已知二次函数2ax y =与一次函数2-=kx y 的图象相交于A 、B 两点,如图10所示,其中()1,1--A .（1）二次函数的表达式为__________,一次函数的表达式为__________; （2）求△OAB 的面积.y x图 10BAO。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
几何画板运用于探索二次函数性质（y=ax2）（动态）二次函数图像的性质是初三学习的一个难点，通过改变二次函数系数大小，直观看见图像变化，采取动态比较过程，学生更容易吸收理解，下面我将介绍具体操作过程：
打开几何画板：步骤1准备工作：绘图→网络样式→方形网格
得到如图所示：
y=ax2的图像性质
步骤2绘制函数图像：数据→新建参数→名称输入a→点击确定→绘图→绘制新函数，
在弹出的方框中选择“方程→符号y=”，
选择参数a，并依次在方框中选择*、x、^、2,；点击确定即可。
具体操作方法见下图
步骤3设置动态系数：
选中参数后选择编辑→操作类按钮→动画
如下图所示更改参数（如图中所示范围为参数变化范围可根据自己需求设置），其中标签为按钮名称。
完成后如图所示点击a<0按钮即可生成动画：
同理：按照上述方法操作可制作而成系数为正时。
也可以再绘制y=x2图形作为参考。