多级泵平衡盘径向间隙流动的理论分析

+
b 1
rh
⎞ ⎟ ⎠
c2
=
(
p 3
−
p 4
)
⎡⎣rh2
ln
( rh
+
b 1
)
−
( rh
4µ
L
ln
⎛ ⎜1+ ⎝
b 1
rh
⎞ ⎟ ⎠
+
b 1
)2
ln
rh
⎤ ⎦
代入式（4）得到 vz 随 r 的变化规律。
( ) Vz
=
p 4
−
p 3
4µL
r2
+
( p3 − p4 )
4µL ⎡⎣ln (rh
2rhb1
+
发生在 rmax=0.016 m 且 Vzmax＝16.5 m/s。 利用 fluent 软件对径向间隙内流场的速度分布
进行模拟，在模拟中，参数选取与计算值一致，模 拟结果如图 4。将模拟结果（图 4）与公式曲线图（图 3）比较后发现，两者十分接近，表明了理论结果的 可靠性。
18 16
Vz
14
12
10
的情况。因此分析时假设间隙中流动为层流运动。
径向间隙为同心环形圆柱体，内圆半径为 rh，外圆
半径为 rh+b1，柱体高为 L。取柱坐标系（图 2）的 Z 轴与泵轴重合，正向为流动方向。在某空间点（r，
θ，z），V 水流速度矢量在半径方向、圆周方向和
轴线方向投影Vr 、Vθ 、Vz 均为 r、θ、z 的函数。
=0
其中：
V ⋅∇ = Vr
∂ ∂r
+
Vθ r
∂ ∂θ
+ Vz
∂ ∂z
∆
=
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂ ∂r
⎞ ⎟⎠
+
1 r2
∂2 ∂θ 2
+
∂2 ∂z 2
先 考 查 连 续 方 程 ： 因 为 Vr=V θ =0 ， 所 以
∂Vθ ∂θ
=
∂Vr ∂r
=
Vr r
=
0
；连续方程简化为：
∂Vz ∂z
= 0 。又
+
υ
⎛ ⎜⎝
∆Vr
−
2 r2
∂Vθ ∂θ
−
Vr r2
⎞ ⎟⎠
∂Vθ ∂t
+V ⋅∇Vθ
+
VrVθ r
= Fθ
−
1 ρr
∂p ∂θ
+
υ
⎛ ⎜⎝
∆Vθ
−
2 r2
∂Vr ∂θ
−
Vθ r2
⎞ ⎟⎠
∂Vz ∂t
+V
⋅ ∇Vz
=
Fz
−
1 ρ
∂p ∂z
+ υ∆Vz
∂Vr ∂r
+
1 r
∂Vθ ∂θ
+
∂Vz ∂z
+
Vr r
机械 2008 年第 5 期 总第 35 卷
设计与研究
·17·
（3）不计重力； （4）流动为轴对称，即 ∂ = 0 ；
∂θ （5）水流无圆周方向运动，Vθ＝0。
Z
Y θ X
图 2 径向间隙柱坐标系
柱坐标系下 N-S 方程和连续方程如下：
∂Vr ∂t
+V ⋅∇Vr
−
V
2 θ
r
= Fr
−1 ρ
∂p ∂r
µ r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂Vz ∂r
⎞ ⎟⎠
−
∂p ∂z
=
0
（1）
由分析知Vz 仅为 r 的函数，p 仅为 z 的函数。故
上式可写为
µ r
d dr
⎛ ⎜⎝
r
dVz dr
⎞ ⎟⎠
−
dp dz
=
0 ，即
1 µ
dp dz
=
1 r
d dr
⎛ ⎜⎝
r
dVz dr
⎞ ⎟⎠
（2）
平衡盘径向间隙长是 L，进口处压力为 p3，出
本文将在平衡盘静止状态下，对径向间隙建立 柱坐标系，根据 N-S 方程和连续方程推导出径向间 隙内速度分布、流量和间隙平均速度，同时以流场 计算软件模拟这一流动，验证了上述分析结果的正 确性。
1 间隙流动理论分析
由于平衡盘的径向间隙仅为 0.2～0.3 mm，间隙
很小，湿周很大，水有一定的粘度，流动属小 Re
型，利用数值模拟软件 Fluent 模拟径向间隙内流动流场，验证了所推导出理论结果的可靠性和正确性。
关键词：多级泵；平衡盘；径向间隙；层流
中图分类号：TP311.132
文献标识码：A
文章编号：1006－0316（2008）05－0016－00
Theoretical analysis of fluid flow within radial gap in balancing disk of multi-stage-section pump PAN Guang-yu，YAN Jing，KAN Neng-qi，WANG Tao
在分段式多级泵中，平衡盘多用于平衡转子上 的轴向力。平衡盘装置中有两个间隙，一个是由轴 套外圆形成的径向间隙 b1，另一个是平衡盘内端面 形成的轴向间隙 b2，如图 1 所示。在前一个间隙中， 由于 p3 与 p4 的压力差，引起了水流的轴向运动，同 时，由于轴套均匀旋转，引起了水流的圆周运动， 因此，前一个间隙中的流动可以视为无压差时仅由 轴套旋转引起的圆周运动和部件静止时由压力差引 起的轴向运动的叠加。前一流动的分析与模拟结果 见文献[6]。
8
6
4
2
0
0.015 0.0155
r 0.016 0.0165 0.017 0.0175
图 3 径向间隙 vz 速度曲线
图 4 径向间隙速度分布
3 结论
本文对平衡盘径向间隙内速度分布、间隙流量 和径向间隙平均速度进行理论推导，假设间隙内流 动为层流，在圆柱坐标系下由 N-S 方程和连续方程 推导 Vz、qv 和平均速度 Vm 关于半径 r 的新的数学表 达式，并通过建立模型，利用数值模拟软件模拟流 动情况验证了公式的正确性。
对应的最大值Vz max 。
( ) ( ) Vzmax
=
(
p 4
−
p 3
)
8µL ⎡⎣ln (rh
2rhb1
+
b2 1
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
+
(
p 3
−
p 4
)
4µL ⎡⎣ln (rh
2rhb1
+
b2 1
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
⋅ ln
2 ⎡⎣ln
2rhb1 + b12
(
rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
2
⎤ ⎦
⋅
⎡
⎢( rh
⎢⎣
+
b 1
)2
+
rh 2
−
( rh
+
b 1
)2
ln
( rh
+
b 1
)
− −
rh 2 ln rh
⎤ ⎥ ⎥⎦
（8）
径向间隙断面面积为 π
⎡⎣( rh
+
b 1
)2
−
rh 2
⎤ ⎦
，因此平
均速度表达式为
Vm=
(
p3 − p4 8µ L
)
⎡
⎢( rh
⎢⎣
+
b 1
)2
+
rh 2
−
(rh + b1 )2 ln (rh + b1 )
已知边界条件：r=rh，vz=0；r=rh+b1，Vz=0。
将边界条件代入式（4）得：
rh 2 4µ
p4 − p3 L
+
c 1
ln
rh
+
c 2
=0
(rh
+
b 1
)
2
4µ
p 4
− L
p 3
+
c 1
(ln
rh
+
b 1
)
+
c 2
=
0
联立求得：
( ) c1
=
(
p 3
−
p 4
)
2rhb1
+
b2 1
4µ
L
ln
⎛ ⎜1 ⎝
·16·
设计与研究
机械 2008 年第 5 期 总第 35 卷
多级泵平衡盘径向间隙流动的理论分析
潘光玉，严敬，阚能琪，王桃
（西华大学 能源与环境学院，四川 成都 610039）
摘要：利用平衡盘径向间隙流动为层流的假设，通过对柱坐标系下的 N-S 方程和连续方程的求解，推导出平衡盘静止状
态下径向间隙内速度与半径关系的分布规律，以此为基础导出径向间隙流量和平均速度。同时建立一对应的空间几何模
（School of Power and Environment，Xihua University，Chengdu 610039，China） Abstract：Based on assumption of laminar flow in radial clearance of balancing disk，N-S equation of cylindrical coordinate system and continuity equation are employed to derive the velocity distribution，volumeteic flow rate and average velocity under
p2 末级叶轮
平衡板 b2 L
qv
通泵入口
p5
rh b r2 r1
p3
p4
平衡盘
图 1 平衡盘结构示意图
假设： （1）流动为定常； （2）流动是层流， Vr=Vθ=0；
——————————————— 收稿日期：2007－12－18 作者简介：潘光玉（1979－），男，西华大学能源与环境学院，硕士研究生，主要研究方向流体机械流动理论；严敬（1947－），男，西华大学 能源与环境学院，教授，硕士生导师，主要研究方向流体机械流动理论。
rmax＝
2rhb1
+
b2 1
2
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
（6）
由于
rh+b1－
2rhb1
+
b2 1
>0
2
⎡⎣ln
(
rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
rh－
2rhb1
+
b2 1
<0
2
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
则 rmax 在 rh 与 rh+b1 之间，由式（5），得到 rmax
the stationary condition. And the functional relationship is also discovered between the three physical quantity and radius r. A
model is founded to verify the theoretical results by using numerical simulation software Fluent. Key words：multi-stage-section pump；balanceable disc；radial gap；laminar flow
参考文献：
[1]关醒凡. 现代泵技术手册[M]. 北京：宇航出版社，1995. [2]赵万勇. 多级泵平衡盘间隙流动的理论分析[J].水泵技术，2001， （1）：21-23. [3]赵万勇. 多级泵三间隙平衡盘间隙流动的理论分析[J]. 兰州理工 大学学报，2006，（12）：62-64 [4]吴望一. 流体力学：下册[M]. 北京：北京大学出版社，1983. [5]王福军. 计算流体动力学分析－CFD 软件原理与应用[M]. 北京： 清华大学出版社，2004. [6]何敏，严敬，王桃，张海库. 旋转圆柱对粘性流场的影响[J]. 西华 大学学报，2007，26（增刊）：85－86. [7]严敬. 工程流体力学[M]. 重庆：重庆大学出版社，2007.
+
(
p 3
−
p 4
)
⎡⎣rh
2
4µ L
ln
( rh
+
b 1
)
−
( rh
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
+
b 1
)2
rh ⎤⎦
ln
rh
⎤ ⎦
（7）
∫ 径向间隙流量为 qv
=
rh +b1
2π rVzdr
，积分后得到径
rh
向间隙流量的表达式为
qv
=
π
(
p3 − p4 8µ L
)
⎡⎣( rh
+
b 1
)2
−
rh
口处压力为 p4，且 p3>p4，故
dp dz
=
p 4
− L
p 3
，代入式
（2）得 1 µ
p 4
−
p 3
L
=
1 r
d dr
⎛ ⎜⎝
r
dVz dr
⎞ ⎟⎠
。
一次积分后为：
r dVz dr
=
r2 2µ
p 4
−
L
p 3
+
c 1
（3）
再次积分后为：
Vz
=
r2 4µ
p 4
−
L
p 3
+
c 1
ln
r
+
c 2
（4）
N-S 方程第二式自动满足。
考查
N-S
方程第三式：流动为定常， ∂Vz ∂t
=0；
不 考 虑 重 力 ， Fz = 0 ； 第 三 式 简 化 为 ：
V
⋅ ∇Vz
= υ∆Vz
−
1 ρ
∂p ∂z
。展开后为
υ
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂Vz ∂r
⎞ ⎟⎠
−
1 ρ
∂p ∂z
=
0
把υ = µ 代入式百度文库1）得 ρ
由假设知流动为轴对称，故 ∂Vz = 0 ，因此 Vz 仅为 r ∂θ
的函数。
考查 N-S 方程第一式：流动为定常，则 ∂Vr ∂t
= 0；
不考虑重力 Fr＝0；又因为 Vr=Vθ=0，则V ⋅∇Vr =
∆Vr
= ∂Vθ ∂θ
=
Vr r2
=
0
；第一式简化为：
∂p ∂r
= 0 。又由
∂p = 0 ，推知 p 只是 z 的函数。 ∂θ
− −
rh 2 ln rh
⎤ ⎥ ⎥⎦
2 流动的模拟及公式的验证
建立一模型对上述公式验证。假设 rh=15 mm， b1=2 mm，L=60 mm，径向进口压力 p3＝2100 Pa， 出口压力 p4＝100 Pa，水的动力粘性系数取μ＝ 0.001003 Pa.s（水温 20℃）。由式（5），得到间隙中 Vz 随 r 的变化规律：Vz＝－8.3084×106r2+4.796× 103lnr+21962（r：m， Vz：m/s）， 绘制 Vz 随 r 的 变化曲线如图 3。由式（6）和式（7）得 Vz 最大值
b 1
)
+ b12 − ln rh
⎤⎦
ln
r
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设计与研究
机械 2008 年第 5 期 总第 35 卷
+
(
p3
−
p4
) ⎡⎣rh2 4µL
ln (rh + b1 ) − (rh
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
+ b1 rh ⎤⎦
)2
ln
rh
⎤ ⎦
（5）
令
dVz dr
＝0，得出最大值发生的半径
rmax