多级泵平衡盘径向间隙流动的理论分析

µ r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂Vz ∂r
⎞ ⎟⎠
−
∂p ∂z
=
0
（1）
由分析知Vz 仅为 r 的函数，p 仅为 z 的函数。故
上式可写为
µ r
d dr
⎛ ⎜⎝
r
dVz dr
⎞ ⎟⎠
−
dp dz
=
0 ，即
1 µ
dp dz
=
1 r
d dr
⎛ ⎜⎝
r
dVz dr
⎞ ⎟⎠
（2）
平衡盘径向间隙长是 L，进口处压力为 p3，出
已知边界条件：r=rh，vz=0；r=rh+b1，Vz=0。
将边界条件代入式（4）得：
rh 2 4µ
p4 − p3 L
+
c 1
ln
rh
+
c 2
=0
(rh
+
b 1
)
2
4µ
p 4
− L
p 3
+
c 1
(ln
rh
+
b 1
)
+
c 2
=
0
联立求得：
( ) c1
=
(
p 3
−
p 4
)
2rhb1
+
b2 1
4µ
L
ln
⎛ ⎜1 ⎝
发生在 rmax=0.016 m 且 Vzmax＝16.5 m/s。 利用 fluent 软件对径向间隙内流场的速度分布
进行模拟，在模拟中，参数选取与计算值一致，模 拟结果如图 4。将模拟结果（图 4）与公式曲线图（图 3）比较后发现，两者十分接近，表明了理论结果的 可靠性。
18 16
Vz
14
12
10
rmax＝
2rhb1
+
b2 1
2
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
（6）
由于
rh+b1－
2rhb1
+
b2 1
>0
2
⎡⎣ln
(
rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
rh－
2rhb1
+
b2 1
<0
2
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
则 rmax 在 rh 与 rh+b1 之间，由式（5），得到 rmax
b 1
)
+ b12 − ln rh
⎤⎦
ln
r
·18·
设计与研究
机械 2008 年第 5 期 总第 35 卷
+
(
p3
−
p4
) ⎡⎣rh2 4µL
ln (rh + b1 ) − (rh
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
+ b1 rh ⎤⎦
)2
ln
rh
⎤ ⎦
（5）
令
dVz dr
＝0，得出最大值发生的半径
rmax
8
6
4
2
0
0.015 0.0155
r 0.016 0.0165 0.017 0.0175
图 3 径向间隙 vz 速度曲线
图 4 径向间隙速度分布
3 结论
本文对平衡盘径向间隙内速度分布、间隙流量 和径向间隙平均速度进行理论推导，假设间隙内流 动为层流，在圆柱坐标系下由 N-S 方程和连续方程 推导 Vz、qv 和平均速度 Vm 关于半径 r 的新的数学表 达式，并通过建立模型，利用数值模拟软件模拟流 动情况验证了公式的正确性。
对应的最大值Vz max 。
( ) ( ) Vzmax
=
(
p 4
−
p 3
)
8µL ⎡⎣ln (rh
2rhb1
+
b2 1
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
+
(
p 3
−
p 4
)
4µL ⎡⎣ln (rh
2rhb1
+
b2 1
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
⋅ ln
2 ⎡⎣ln
2rhb1 + b12
(
rh
+
b 1
)
−
ln
rh
⎤⎦
+
υ
⎛ ⎜⎝
∆Vr
−
2 r2
∂Vθ ∂θ
−
Vr r2
⎞ ⎟⎠
∂Vθ ∂t
+V ⋅∇Vθ
+
VrVθ r
= Fθ
−
1 ρr
∂p ∂θ
+
υ
⎛ ⎜⎝
∆Vθ
−
2 r2
∂Vr ∂θ
−
Vθ r2
⎞ ⎟⎠
∂Vz ∂t
+V
⋅ ∇Vz
=
Fz
−
1 ρ
∂p ∂z
+ υ∆Vz
∂Vr ∂r
+
1 r
∂Vθ ∂θ
+
∂Vz ∂z
+
Vr r
在分段式多级泵中，平衡盘多用于平衡转子上 的轴向力。平衡盘装置中有两个间隙，一个是由轴 套外圆形成的径向间隙 b1，另一个是平衡盘内端面 形成的轴向间隙 b2，如图 1 所示。在前一个间隙中， 由于 p3 与 p4 的压力差，引起了水流的轴向运动，同 时，由于轴套均匀旋转，引起了水流的圆周运动， 因此，前一个间隙中的流动可以视为无压差时仅由 轴套旋转引起的圆周运动和部件静止时由压力差引 起的轴向运动的叠加。前一流动的分析与模拟结果 见文献[6]。
机械 2008 年第 5 期 总第 35 卷
设计与研究
·17·
（3）不计重力； （4）流动为轴对称，即 ∂ = 0 ；
∂θ （5）水流无圆周方向运动，Vθ＝0。
Z
Y θ X
图 2 径向间隙柱坐标系
柱坐标系下 N-S 方程和连续方程如下：
∂Vr ∂t
+V ⋅∇Vr
−
V
2 θ
r
= Fr
−1 ρ
∂p ∂r
2
⎤ ⎦
⋅
⎡
⎢( rh
⎢⎣
+
b 1
)2
+
rh 2
−
( rh
+
b 1
)2
ln
( rh
+
b 1
)
− −
rh 2 ln rh
⎤ ⎥ ⎥⎦
（8）
径向间隙断面面积为 π
⎡⎣( rh
+
b 1
)2
−
rh 2
⎤ ⎦
，因此平
均速度表达式为
Vm=
(
p3 − p4 8µ L
)
⎡
⎢( rh
⎢⎣
+
b 1
)2
+
rh 2
−
(rh + b1 )2 ln (rh + b1 )
+
(
p 3
−
p 4
)
⎡⎣rh
2
4µ L
ln
( rh
+
b 1
)
−
( rh
⎡⎣ln
( rh
+
b 1
)
−
ln
+
b 1
)2
r7）
∫ 径向间隙流量为 qv
=
rh +b1
2π rVzdr
，积分后得到径
rh
向间隙流量的表达式为
qv
=
π
(
p3 − p4 8µ L
)
⎡⎣( rh
+
b 1
)2
−
rh
本文将在平衡盘静止状态下，对径向间隙建立 柱坐标系，根据 N-S 方程和连续方程推导出径向间 隙内速度分布、流量和间隙平均速度，同时以流场 计算软件模拟这一流动，验证了上述分析结果的正 确性。
1 间隙流动理论分析
由于平衡盘的径向间隙仅为 0.2～0.3 mm，间隙
很小，湿周很大，水有一定的粘度，流动属小 Re
=0
其中：
V ⋅∇ = Vr
∂ ∂r
+
Vθ r
∂ ∂θ
+ Vz
∂ ∂z
∆
=
1 r
∂ ∂r
⎛ ⎜⎝
r
∂ ∂r
⎞ ⎟⎠
+
1 r2
∂2 ∂θ 2
+
∂2 ∂z 2
先 考 查 连 续 方 程 ： 因 为 Vr=V θ =0 ， 所 以
∂Vθ ∂θ
=
∂Vr ∂r
=
Vr r
=
0
；连续方程简化为：
∂Vz ∂z
= 0 。又
+
b 1
rh
⎞ ⎟ ⎠
c2
=
(
p 3
−
p 4
)
⎡⎣rh2
ln
( rh
+
b 1
)
−
( rh
4µ
L
ln
⎛ ⎜1+ ⎝
b 1