勾股定理和两点间的距离公式讲义
初二数学两点间距离计算公式推导过程详解
初二数学两点间距离计算公式推导过程详解初中数学中，计算两点间距离是基础而重要的内容，它在几何、代数、物理等学科中都有广泛应用。
本文将详细解释两点间距离的计算公式推导过程，帮助初二学生更好地理解数学知识。
1. 直角三角形与勾股定理在推导两点间距离的计算公式之前，我们首先回顾一下直角三角形和勾股定理的相关知识。
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，而勾股定理则是指直角三角形中直角边上的两条边的平方和等于斜边上的边的平方，即"a² + b² = c²"。
2. 两点距离的定义在坐标平面中，两个点的位置可以用坐标表示。
设P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)是坐标平面上的两个点，则点P和点Q之间的距离可以定义为直线PQ的长度。
我们的目标是推导出一种计算点P和点Q之间距离的公式。
3. 两点间距离的推导为了推导出两点间距离的计算公式，我们首先需要构建一个与点PQ垂直的直角三角形。
首先，我们可以使用直线y=x和y=-x将坐标平面分成四个象限。
我们可以将点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)分别归类到不同的象限中。
当点P和点Q位于同一个象限内时，我们可以构建一个与x轴、y 轴以及直线PQ形成的直角三角形。
设α为PQ与x轴的夹角（0 ≤ α ≤ 90度），此时直角三角形的两条直角边分别为PQ在x轴和y轴上的投影长度。
根据勾股定理，我们可以得到直角三角形的斜边的长度c，即点P 和点Q之间的距离：c² = a² + b²而直角三角形的两条直角边a和b可以通过点的坐标计算得到：a = x₂ - x₁b = y₂ - y₁代入上述公式，我们可以得到两点间距离的计算公式：c = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这就是初二数学中计算两点间距离的标准公式。
4. 小结通过推导过程，我们得出了初二数学中计算两点间距离的公式：c = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)该公式的推导过程基于直角三角形与勾股定理的基本原理。
两点之间距离公式初中
两点之间距离公式初中在初中学习中，我们会接触到两点之间的距离公式。
两点之间的距离可以用直线距离来衡量，通常使用的公式是勾股定理或者坐标系中的距离公式。
下面将详细介绍这些公式。
1.勾股定理：勾股定理适用于平面上两个点之间的距离计算。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，边AB和AC分别表示直角三角形的两个边。
根据勾股定理，边AB的平方加上边AC的平方等于边BC的平方。
即：AB²+AC²=BC²。
我们可以利用这个定理计算两个点之间的直线距离。
例如，假设在平面上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们可以计算这两个点之间的距离（即边AB的长度）。
距离AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]其中，(x₂-x₁)表示两个点在x轴上的坐标差，(y₂-y₁)表示两个点在y 轴上的坐标差。
将这些差值的平方相加，然后取平方根，即可得到两个点之间的距离。
2.坐标系中的距离公式：在坐标系中，我们可以计算两个点之间的距离。
假设有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们知道两个点之间的水平距离等于x坐标的差值，垂直距离等于y坐标的差值。
因此，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离：距离AB=，x₂-x₁，+，y₂-y₁在计算距离时，我们使用绝对值符号，，取两个坐标差的绝对值，确保结果为正数。
需要注意的是，在计算距离时，我们通常使用绝对值符号来确保结果为正数，因为距离应该是非负的。
总结起来，初中学习中的两点之间的距离公式主要是勾股定理和坐标系中的距离公式。
这些公式可以用来计算平面上两个点之间的直线距离。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的公式进行计算。
沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义
点 ， 之间所连线段的中点 坐标为（ ， ）
公式对于 和 两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在 中， 那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得 或 ，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在 轴上，那么可设B的坐标为（0， ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（ ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与 轴的距离等于1，则点B在与 轴平行且分布在 轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1， ）和（-1， ）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为 （ 为正整数），显然 最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解： 联结AC
在Rt 中，因为 ，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在 中，AC=15，AD=8，CD=17
而 ，即
所以 为直角三角形，且 （勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且
勾股定理及两点间的距离公式
模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -； （2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】 知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。
上教版八年级数学(上)暑假讲义 第12讲--勾股定理及两点间的距离公式
!"#$%&'()*+,-.内容分析!"#$%&'()*+,-./0121342567849:;<=> @A-BC>?@A4DEF GHIJ@A4DEKGH(LMN O/(P8 4QRSTU VP/>?@A4DEIGH-W/'X012132678;< 4YHLZ-/.[\]ST-^_`4abcdHeYfgUh知识结构!"#$%&'()*+,-./知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________；（2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．t例题解析ABC DCD【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．ABMMNAPF【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：．222+=BE CFEFA BCDA B C DP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（ ）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若，则△ABC 是直角三角形【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足则△ABC 是________三角形． 【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【例16】 的三边分别为A 、B 、C ，且满足，判断△ABC的形状．2()()a b c b c =+-::5:4:3a b c =222()()0a b a b c -+-=ABC D 222506810a b c a b c +++=++!"0$%&'()1'()*+,-./例题解析知识精讲【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．【例20】 如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．D ABCD ABCDE FBPA BCDE【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1，求四边形ABCD 的周长．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =，BC =，AB =，CD = ． 求证：（1）；（2）以、、为三边可构成一个直角三角形．b ac h c h a b +>+a b +c h +h ABCDEFGHPAB CD3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A 、B 两点间的距离为：（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB =；（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB =．【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在轴上找一点C ，使AC =BC ．【例24】 （1）已知A （，3）、B （3，+1）之间的距离为5，则的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ．11()A x y ，22()B x y ，11()A x y ，22()B x y ，x x 12y y =12||x x -11()A x y ，22()B x y ，y y 12x x =12||y y -x x x x 例题解析!"2$345)6789/知识精讲【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在轴上是否存在点P ，使得的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，）、B （6，3），在轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【例30】已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（，2-），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．m x PA PB +32x x x【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =四边形ABCD 的面积．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积．cm 随堂检测ABCDAB D CABC DEF【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15，BQ =24，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点,点C 在轴上，使为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【习题10】 如图，在中，是内一点，且 ,求的度数．x 222()20x a b x c ab -+++=km km km ()()2814A B -，，y ABC D ABC D 90ACB AC BC M Ð==!，，ABC D 312AM BM CM ===，，BMC Ð ABCMABQP M【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，中，斜边，则的值是iiiiiiiii ． 【作业4】 已知点，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B的坐标是iiiiiiiiiiii ．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果的周长为12，而那么的形状是____________．【作业7】 已知等腰直角三角形斜边BC 的长为2，为等边三角形，那么A 、D两点的距离为______ij222a b c +=Rt ABC D 1AB =222AB BC AC ++()35A -，ABC D 22AB BC AC AB BC +=-=，，ABC D ABC DBC D 课后作业5072A【作业8】 已知：如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（、、）和都为5厘米，动点P 从A 出发（），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知、、为的三边，且满足，试判断的形状. 解：（A ），(B )(C )，是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：iiiiiiiiiiiijhh h h h hRt ABC D 9030B C Ð=Ð=!!，ABC D A 30!APQ D 1AB =AB BC CD BD A B D ®®D C B A ®®®APQ D a b c ABC D 222244a c b c a b -=-ABC D !222244a c b c a b -=-()()()2222222c a b a b a b \-=+-222c a b \=+\ABC D ABCDQPABQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知，在坐标轴上求一点P ，使得为直角三角形，求点P 的坐标.()()1054A B -，，，PAB D。
沪科版八年级下册数学 18.1勾股定理1——两点之间的距离公式 课件(共19张PPT)
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y
谢谢！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁渡 寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面子；担 得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡泊且致 远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意，反而深 陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？在路上， 在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分钟，对自 己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到；学会赞 美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事，则可重 任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都随缘。 心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云飞，心 随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够畅即可； 困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭的环境， 也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。人生的 幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥和升平， 最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头脑清醒， 不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可长，志不 可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向觉悟。让 心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距，实际上是 人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是很重要的 一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一件事。因 为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、一感恩， 就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要光临。成 长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。在危险 面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做一个有 价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需要外来 的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝交。人 有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口，错误 面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都作一 个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止学习。 不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你爱的最 无私的人。
勾股定理(讲义)
勾股定理(讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1勾股定理一、知识归纳1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则c=b=，a=∆中，90C②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC∠=︒∆中，90C⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABCBC=cm，CD AB⊥于D，CD＝AB=cm，3∠=︒，5∆中，90ACB⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为21DCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
两点之间距离公式
两点之间距离公式两点之间的距离是空间中的两个点之间的直线距离。
它是计算几何学的一个重要概念，可应用于许多领域，包括物理学、工程学和地理学等。
在一个平面坐标系中，我们可以通过使用勾股定理计算两点之间的距离。
勾股定理是一个关于直角三角形的定理，表示直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
用数学表达式表示，可以表示为：c²=a²+b²，其中c是斜边的长度，a和b是直角边的长度。
假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。
首先，我们需要计算两个点之间在x轴和y轴上的差值，即Δx=x2-x1和Δy=y2-y1、然后，我们可以计算斜边的长度c=√(Δx²+Δy²)。
下面是通过勾股定理计算两点之间距离的具体步骤：1.确定两点的坐标：假设我们有点A(x1,y1)和点B(x2,y2)。
2.计算两点在x轴和y轴上的差值：Δx=x2-x1，Δy=y2-y13.计算两点之间的直线距离c：c=√(Δx²+Δy²)。
4.若需要，可以使用适当的单位进行转换。
例如，若需要将距离从像素转换为英寸，则需要知道每英寸的像素数。
以下是一个计算两点之间距离的示例，假设点A为(2,3)和点B为(5,7)：1.Δx=5-2=3Δy=7-3=42.c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位（可以是任何单位，根据给定的坐标系和应用的领域而定）。
需要注意的是，这种方法只适用于求解平面上两点之间的距离。
如果涉及到三维或更多维的空间，则需要使用其他方法，如欧氏距离或曼哈顿距离。
-欧氏距离是指平面上两点之间的最短路径距离。
在三维空间中，可以使用以下公式来计算两点之间的欧氏距离：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
两个点的距离公式
两个点的距离公式两个点的距离公式是指两个任意空间中的两个点之间的距离，也就是说，它可以用来衡量两个点之间的距离。
在数学中，两个点的距离公式通常使用勾股定理来求出。
勾股定理是一种几何定理，它认为两个直角三角形中的斜边长度等于两个对边长度的平方和的开方，即a2 + b2 = c2。
因此，根据勾股定理，两个点的距离公式可以表示为：d=√(x1-x2)²+(y1-y2)² 。
在这里，x1和y1分别表示第一个点的横坐标和纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横坐标和纵坐标，d表示两点之间的距离，而√表示开方。
例如，要计算点（5，6）和点（7，8）之间的距离，可以将两者的横坐标和纵坐标代入上述公式，得出：d=√(7-5)²+(8-6)² =√4+4 =√8 =2.83因此，点（5，6）和点（7，8）之间的距离是2.83。
两个点的距离公式也可以用于三维空间中的两点之间的距离计算。
在三维空间中，两点的距离可以表示为：d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)² 。
在这里，x1、y1、z1分别表示第一个点的横坐标、纵坐标和高度，x2、y2和z2分别表示第二个点的横坐标、纵坐标和高度，d表示两点之间的距离，而√表示开方。
两个点的距离公式可以用来计算各种几何结构的大小，包括空间中的线段、多边形、多面体、曲线等。
例如，在三维空间中，可以使用两个点的距离公式来计算多面体的表面积或体积。
另外，两个点的距离公式还可以用来计算物体在某一时刻移动的距离，这种情况通常出现在物理学中。
物理学中有一个关于动能的定义，即动能E=½mV2，其中m是物体的质量，V是物体的速度。
因此，可以使用两个点的距离公式来计算物体在一段时间内移动的距离，即d=Vt，其中t 表示时间。
总之，两个点的距离公式可以用来计算两个空间中的任意两点之间的距离，它是勾股定理的重要应用，可以用于计算各种几何结构的大小，也可以用于物理学中的应用。
距离问题的知识点总结
距离问题的知识点总结一、距离的定义在空间中，两点之间的距离是指两点之间的空间间隔。
通常情况下，我们可以利用勾股定理进行计算，即两点之间的距离可以用勾股定理来表示。
设A点坐标为(x1, y1)，B点坐标为(x2, y2)，则AB的距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在三维空间中，两点之间的距离可以用三维空间中的坐标表示，假设两点坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则两点之间的距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)在向量的理论中，两点之间的距离也可以用向量的模表示，即两点之间的距离等于它们的位置矢量的差的模。
二、距离的计算1. 直线距离的计算在平面直角坐标系中，两点之间的直线距离可以用勾股定理进行计算。
如果两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在空间直角坐标系中，三维空间中两点之间的直线距离可以用三维坐标表示，即两点坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则直线距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)2. 曲线距离的计算如果两点之间的距离不是直线距离，而是曲线距离，那么就需要对曲线进行积分来求解。
曲线在数学中可以用参数方程或者函数方程表示，在给定曲线方程的情况下，可以通过积分来计算两点之间的曲线距离。
3. 三角形边长的计算在计算三角形的边长时，可以利用两点之间的距离来进行计算。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的三边长度为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²)AC = √((x3 - x1)² + (y3 - y1)²)三、距离的应用1. 地图测距地图测距是距离问题的一个常见应用，通过测量地图上两点之间的直线距离来计算实际距离。
19-勾股定理及两点的距离公式 - 学生版
教师姓名 学生姓名 年级上课时间学科 数学 课题名称勾股定理及两点的距离公式待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．知识点二：两点的距离公式（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = 222121()()x x y y -+-．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．Ⅱ知识精析一.勾股定理（一）典例分析.学一学例1-1利用222c b a =+求未知边在一直角三角形中有两边长分别是3.4，则其第三边长为例1-2勾股数的考察（345、51213、81517、72425） 下面四组数中是勾股数的有（ ）．（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例1-3直角三角形的判定问题已知：在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a.b.c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c . 试判断△ABC 的形状.例1-4面积问题已知：如图，已知∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求：四边形ABCD 的面积.AB CD例1-5折叠问题如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠， 点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.例1-6最短路程问题一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm.宽为1cm.高为4cm .例1-7实际问题如图，一个梯子AB =5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为1m ，则梯子顶端A 下落了多少m ?例1-8思维发散在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.（二）限时巩固，练一练1．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是________________．2．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为D ˊ ABCD A ˊB ˊC ˊ_______________．3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 4.若△ABC的三边a.b.c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状.5.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.7.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行__________________厘米（用根号表示）8.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米?9.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2 S1=1 2（2）2+1=3 S2=2 2（3）2+4=5 S3=3 2（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．二.两点的距离公式（一）典例分析.学一学例2-1（1）求A(-1,3).B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．例2-2已知三角形ABC的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C-，试判断ABC∆的形状．例2-3已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．例2-4已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离； ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离； ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0 ()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是 ． 4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．※三.延伸拓展：对称性问题（选讲）（一）典例分析，学一学 例3-1已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．例3-2一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1．点(-1,2)关于直线x +y -3=0的对称点的坐标为( )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x -y -2=0关于x 轴对称的直线方程为 ．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，求2222(2)2(8)4x x -++-+的最小值．Ⅲ课堂测评一.填空题.1.如果直角三角形的边长分别是6.8.x ，则x 的取值范围是 .2.如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ .第2题图13125DCBA第3题图DCB A第5题图DCB A3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ .4.等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ .5.如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 .6.已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ .7.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC.BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E.F 分别为CO.AB 的中点，则EF ＝ .第7题图 FEODC BA第8题图 EQPDCBA第9题图 DC BA8.如图，点D.E 是等边△ABC 的BC.AC 上的点，且CD ＝AE ，AD.BE 相交于P 点，BQ ⊥AD .已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ .9.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A.B.C.D 的面积的和是 .二.选择题1.如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确2.如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3.在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ） A.大于900 B.小于900 C.等于900 D.不能确定第1题图S R Q PCBA第4题图OCBA4.如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠O AB 的度数为（ ） A.100 B.150 C.200 D.250 三.解答题1.阅读下面的解题过程：已知a .b .c 为△ABC 的三边，且满足42222a c b c a =-4b -，试判断△ABC 的形状.解：∵42222a c b c a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b ac -+=-……② ∴222c b a =+……③ ∴△ABC 是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 . 2.已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长.3.如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G . （1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE .第3题图G E D CB A4.已知△ABC 的两边AB.AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积.Ⅳ 回顾总结1.勾股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？2.两点的距离公式及中点坐标公式思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为222121()()x x y y -+-，线段12PP 中点坐标为1212(,)22x x y y ++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.Ⅴ 课后巩固1．已知△ABC 中，∠A =12∠B =13∠C ，则它的三条边之比为（ ）． A ．1：1：2 B ．1：3：2 C ．1：2：3 D ．1：4：1111222(,),(,)P x y P x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++ 22122121()()PP x x y y =-+-2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．52B．3 C．322+D．332+3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2B．23cm2C．33cm2D．4cm26．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22D．107．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．5B．3C．1 D．1 28．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．1859．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•求CN的长10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．.。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
八暑17-勾股定理及两点间距离公式-教师版-朱俊
初中数学备课组 教师 班级学生日期 月 日上课时间教学内容—勾股定理及两点间距离公式知识点1 勾股定理1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和， 等于斜边的平方 .2.勾股定理的逆定理：如果三角形的 一条边的平方等于另两条边的平方和 ，那么这个三角形是直角三角形.例1：如图，已知在ABC V 中，AD BC ⊥，3AB =，2BD =，1DC =. 求AC 的长度.解：6AC =例2：已知，如图，在ABC V 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =. 求证：AB AC =.证明：222AB BD AD =+Q ，所以△ABD 为直角三角形，所以AC=13=AB练习：1.如果Rt ABC V 中，两条直角边分别为5、12，那么斜边上的高为 6013. 2.如右图，工人师傅准备在一个长、宽分别是10cm 、9cm 的长方形铁板上打两个小孔，小孔的圆心距两边的距离都 是3cm ，那么两孔圆心间的距离是 5cm .3.如果ABC V 的周长为12，而2AB BC AC +=,2AB BC -=,那么ABC V 的形状是 直角三角形.4.如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移动多少米？ 解： 2.4, 2.40.4,AC cm A C cm ''==- 1.5, 1.50.70.8B C cm BB cm ''==-=5.在直角坐标平面内，(2,3)A -、(1,2)B ，那么AB =__10_ _____.6.已知点(1,2)A 、(1,3)B -，在x 轴上取点C __5,04⎛⎫- ⎪⎝⎭_，使得AC BC =.二．选择题 ：1.三个正方形的面积如右图所示，正方形A 的面积为（ D ）. A. 6 B. 36 C. 64 D. 42.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ B ）A. 50cmB. 100cmC. 140cmD. 80cm6. 3.如图,山坡AB 的高BC=5m,水平距离AC=12m,若在山坡上每隔0.65m 栽一棵树,则从上到下共( C ).A.19棵B.20棵C.21棵D.22棵4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ B ）.A ．43 B.3 C.23 D.3 5.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ D ）.A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形 6.若ABC V 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ C ）. A.14 B.4 C.14或4 D.以上都不对 三.解答题：1.如图，在ABC V 中，AB AC =，20BC cm =，CD AB ⊥ 于点D ，12BD cm =. 求：ABC V 的面积.40032. 如图，在ABC V 中，90C ∠=o，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，8AB cm =. 求：DEB V 的周长. 8A106ABC3. 已知：如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=o，D 是AC 的中点，ED AB ⊥于E . 求证：（1）22234AB BC BD +=；（2）222BE AE BC -=.证明：（1）222222444AB BC AC CD BD BC -===- 所以22234AB BC BD +=（2）222222,BE BD DE AE AD DE =-=-,2222222BE AE BD AD BD CD BC ∴-=-=-=4.图，折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG .若4AB =，2BC =，求AG 的长.解：折叠后，A 落在BD 边上A '处，则222BG GA BA ''=+ 令AG=x ，解得AG=51-5在直角坐标平面内，已知(1,0)A -，(5,4)B ，在y 上求一点P ，使得PAB V 为直角三角形. 求点P 的坐标.解：要分三种情况，分别解得()()2330,,0,,0,5,0,122P P P P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.知直角坐标平面内的点(1,4)A -,(3,4)B --,(2,1)C .（1）求证：ABC V 是直角三角形. （2）点D 是边BC 的中点，求AD 的长. 解：（1）利用勾股定理即可； （2）AD=43 家庭作业： 一．填空题：1.在Rt ABC V 中，斜边6AB =，8BC AC +=，则ABC V 的面积为 7 .2.把边长为5cm 的等边三角形ABC 绕着点C 逆时针旋转90o后，点A 落在点'A 处，那么线段'AA 的长等于 52 cm .3.如图，在长方形ABCD 中，5BC =，3AB =，将A ∠沿DE 翻折，使顶点A 落在BC 边上的点F 处，则BF = 1 .ACBDE4.一块四边形土地如图所示，其中120ABC∠=o,AB AD⊥,BC CD⊥,测得40AB m=，503CD m=，则这块土地的面积是295032m.（题3图）（题4图）5.已知点(3,5)M-和点(5,3)N，则MN= 4 .6.已知点(2,1)M-,(3,0)N-,(1,0)R-,则MNRV是等腰三角形.二．选择题：1.一个三角形的三边分别是22121m m m+-，，,则此三角形是（ B）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.关于x的一元二次方程2()04a ca c x bx+--+=有两个相等的实数根，那么以a、b、c为三边长的三角形是（A）.A.以a为斜边的直角三角形B.以c为斜边的直角三角形C.以b为底边的等腰三角形D.以c为底边的等腰三角形3.如图，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30o夹角，这棵大树在折断前的高度为（ B ）.A.10米B.15米C.25米D.30米4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm=，8BC cm=，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（B ）.A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5.如图一个圆桶儿，底面直径为24cm,告为32cm,则桶内能容下的最长的木棒为（C）A. 20cmB. 50cmC. 40cmD. 45cm三．解答题：1.ABCV中，AB AC=，D为BC边上任一点.求证：22AB AD BD DC-=⋅证明：过点A作AE⊥BC，则()()22222222AB AD AE BE AE DE BE DE-=+-+=-BD DC=⋅B CAD24c32c2.如图，在ABC V 中，90C ∠=o，13AB =，12BC =，12BD BC =. 求：（1）AD 的长. （2）ABD V 的面积. 解：（1）61AD =；（2）15ABD S ∆=3.如图，在四边形ABCD 中，8AB =，1BC =，30DAB ∠=o，60ABC ∠=o，四边形ABCD 的面积为53.求AD 的长.解：延长AD ，BC 交点为E ，30,60,90A B E ∠=∠=∴∠=oooQ1832ABC S BE AE ∆∴=⋅⋅=,33CDE S ∆=又1,3,23,23BC CE DE AD =∴==∴=Q4. 已知四边形的四个顶点的坐标分别为：(2,2)A --，(1,3)B -，(3,3)C ，(0,4)D ，试判断这个四边形的形状.解：四边形ABCD 为平行四边形5.已知ABC V 的顶点坐标为(2,4)A 、(3,7)B 、(4,5)C . （1）判断ABC V 的形状； （2）求ABC C V 及ABC S V .解：（1）直角三角形；（2）51025,2ABC ABC C S ∆∆=+=BCAD。
勾股定理及两点间的距离公式
勾股定理及两点间的距离公式勾股定理是几何学中的一条定理，描述了直角三角形中的边与斜边之间的关系。
它由古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现，并且是几何学基础知识之一、在数学教学中，教师可以通过讲解勾股定理及两点间的距离公式，帮助学生理解直角三角形的性质和应用。
首先，我们来介绍勾股定理。
勾股定理的表述如下：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则根据勾股定理，有a^2+b^2=c^2教师可以通过几何图形的展示，引导学生理解勾股定理的定义和性质。
例如，可以画一个直角三角形，用尺子测量各边的长短，并将结果记录下来。
然后，教师可以让学生计算三边的平方和，发现它们符合勾股定理的关系。
通过实际的操作和计算，学生可以更深入地理解和记忆勾股定理。
接下来，我们来介绍两点间的距离公式。
在平面几何中，计算两点之间的距离是一个基本的概念。
设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则两点间的距离公式为√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
教师可以通过示意图或者具体的平面坐标来引导学生理解两点间的距离公式。
例如，可以提供一个平面坐标系的图形，将两点的坐标标记在图中，并让学生测量两点的实际距离。
然后，教师可以引导学生根据坐标计算距离公式，并比较实际测量的结果。
通过对比和分析，学生可以更加深刻地理解和掌握两点间的距离公式。
在教学过程中，教师可以采用许多不同的教学策略来帮助学生理解和应用勾股定理及两点间的距离公式。
例如，可以组织学生参与实际测量和计算的活动，提供具体的例子和练习来巩固学生的理解，以及引导学生思考和讨论两个公式的应用场景。
通过这些教学策略，学生可以更好地掌握勾股定理及两点间的距离公式。
在教学的最后阶段，教师可以组织学生进行相关的问题解决活动和综合应用练习，以加深学生对勾股定理及两点间的距离公式的理解和应用能力。
此外，教师还可以引导学生探索更多的相关知识和定理，例如勾股定理的逆定理和勾股定理的扩展应用等，以进一步提高学生的几何学知识水平和应用能力。
两点间距离公式及中点坐标公式
两点间距离公式及中点坐标公式
两点间的距离是指两点之间直线的长度。
在平面直角坐标系中，两点间的距离可以通过勾股定理来计算。
勾股定理可以表示为：c²=a²+b²
其中，c表示斜边的长度（即两点间的距离），a和b分别表示直角三角形的两个直角边的长度（即两点坐标在x轴和y轴上的投影距离）。
设点A的坐标为（x₁,y₁）,点B的坐标为（x₂,y₂），则两点间的距离为：
d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
这个公式可以计算出任意两点间的距离。
中点坐标公式：
中点坐标是两点连线的中点的坐标位置。
在平面直角坐标系中，通过两点的坐标特性可以得到中点的坐标。
设点A的坐标为（x₁,y₁），点B的坐标为（x₂,y₂）。
x=(x₁+x₂)/2
y=(y₁+y₂)/2
也就是说，中点的x坐标是两点x坐标之和的一半，中点的y坐标是两点y坐标之和的一半。
这个公式可以计算出任意两点连线的中点坐标。
总结：
两点间的距离可以通过勾股定理来计算，其中两点的坐标可以通过平面直角坐标系表示。
中点坐标可以通过两点的坐标特性得到，即两点的x 坐标之和除以2，和y坐标之和除以2、这些公式在几何学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
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泽仕学堂学科教师辅导讲义
学员姓名：丁鹏程 辅导科目：数学 年级：初二 学科教师：张先安 授课日期及时段
课 题
勾股定理和两点间的距离公式
重点、难点、考点
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
教学内容
1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理． 2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点． (3)判断三角形的形状
4.两点间的距离公式
平面直角坐标系中，两点间的距离公式为2
21221)()(y y x x d -+-=。
知识点和例题讲解 一、勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母表示：2
2
2
a b c +=
例1、如图所示，已知在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=3，BD=2，DC=1.求AC 的长度。
D
C
B A
练习：（1）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，如果∠BCD=30°，BD=3，求AD 、AC 、CD 的长。
（2）已知，在△ABC 中，AB=5,BC=6,AC=7,求：BC 边上的高AD 和ABC S
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
例2、已知：如图所示，在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线AD=12，求证：AB=AC
练习：（1）如图：已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别为6，8，24，26，∠ABC=90°，求四边形ABCD 的面积。
（2）已知在△ABC 中，AC=8，BC=6，AB=10，BD 平分∠B 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ，求DE 的长。
D C B
A D C
B A
D C B
A C
B A
三、两点的距离公式
如果直角坐标平面内有两点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，那么A 、B 两点的距离AB=2
2
1212()()x x y y -+-. 例3、在直角坐标平面内，点A 坐标为（-3,4），点B 坐标为（8,6），点O 为坐标原点。
（1）判断△AOB 的形状，并说明理由； （2）求OB 边上中线的长。
练习：（1）在x 轴上求一点P ，使它到点A （1,2）的距离与它到点B （-1,1）的距离相等。
（2）在直角坐标平面内，有Rt △ABC ，已知A （2,4），B （0,-2），点C 在x 轴上，求点C 的坐标。
四、实际问题
例4、如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
练习：（1）如图，一根长度为50cm 的木棒的两端系着一根长度为70cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
B 1A 1C
B A
基础练习一、填空题：
二、选择题：
三、解答题：
1、有一正方形纸片边长为2，怎样通过折纸，可得线段长为5？画出示意图，并说明理由。
2、在△ABC中，∠B=45°，AB=42，BC=7，求AC的长。
3、在直角坐标平面内，已知A （-1,0），B （5,4），在y 轴上求一点P ，使得△PAB 为直角三角形，求点P 的坐标。
4、如图：已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 的中点，求证：2
2
2
34AB BC BD +=
能力提高
D
C
B
A
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
主任签字：
泽仕学堂教务处。