上海高考文科数学试题详解
2021年高考上海卷文科数学试题精析详解
14 4 普通高等学校招生全国统一考试数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4 分⨯12=48 分）1、函数 f (x ) = log (x +1) 的反函数 f -1(x ) = .【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】 y = log (x +1) ，4y= x +1，得 x = 4y-1（ x > -1）.所求反函数为：f -1 (x ) = 4x -1 （ x ∈ R ）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程 4x+ 2x- 2 = 0 的解是 .【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令t = 2x(t > 0) ，原方程化为： t 2+ t - 2 = 0 ，得t = 1或t = -2 （舍）. 由此可得 x = 0 .解法 2： 4 x+ 2 x- 2 = 0 ⇒ (2 x- 1)(2 x+ 2) = 0 ⇒ 2 x= 1 ⇒ x = 0【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错.⎧x + y ≤ 3 3、若 x , y 满足条件 ⎨ ⎩ y ≤ 2x，则 z = 3x + 4 y 的最大值是.【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求 z = 3x + 4 y 的最大值，即求 y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为 11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面 xoy 中，若定点 A (1,2) 与动点 P (x , y ) 满足OP • OA = 4，则点 P 的 轨迹方程是.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设 P (x , y ) ，由数量积公式及OP • OA = 4知21 - ( 1)274 3 x + 2 y = 4 ⇒ x + 2 y - 4 = 0 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地 A (x 1, y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) 则 AB = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 ) ，OA • OB = (x 1, y 1 ) (x 2 , y 2 ) = x 1x 2 + y 1 y 2 .5、函数 y = cos 2x + sin x cos x 的最小正周期 T=.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角） 在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】y = cos 2x + sin x cos x = cos 2x + 1sin 2x =5sin(2x + ϕ) ，得最小正 22周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若cos α= 1，α∈ ⎛ 0,π⎫，则cos⎛α+ π⎫ =.⎪ 7⎝ 2 ⎭⎪⎝3 ⎭【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】 α∈ ⎛ 0,π⎫，∴ sin α== ，⎪ ⎝ 2 ⎭7cos ⎛α+ π⎫= cos αcos π- sin αsin π = - 11.3 ⎪ 3 3 14 ⎝ ⎭【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是(2 15,0)，则椭圆的标准方程是.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.a 2 2 2 2 2【正确解答】由题意可知， bx2= 2 ，c = 2y 2，又 a = b + c ，解得 a = 80,b = 20 ，所求椭圆的标准方程为+= 1.1580 20342 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如 a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得.C 1 C 13【正确解答】 P = 15 35=50 7解法 2：15 ⨯ 35 50 49 + 35 ⨯ 15 = 3 50 49 7【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、直线 y = 1x 关于直线 x = 1对称的直线方程是.2【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可.1【正确解答】直线 y =1x 上的点（0，0）关于 x = 1对称的点是（2，0），且所求方程 21的斜率为－ 2 ，因此，直线 y =x 关于直线 x = 1对称的直线方程是：2y = - 1(x - 2) ，整理后得 x + 2 y - 2 = 0 .2解 法 2 设 所 求 直 线 上 任 意 点 P '(x ', y ') 关 于 直 线 x=1 对 称 点 为 P (x , y ) 则⎧x + x ' = 2 ⇒ ⎧x ' = 2 - x ∵ y ' = 1x '∴ y = 1(2 - x ) 即 x+2y-2=0⎨y = y ' ⎨ y ' = y2 2⎩⎩【解后反思】解法 2 是通法，要会求某一点关于一已知点成中心对称的坐标，和已知直线成轴对称的坐标.如点 P (x , y ) 关于点 M (a ,b ) 对称的坐标为 P '(2a - x , 2b - y ) ；，由 点的可推广到曲线关于某一点的对称.如曲线 f (x , y ) = 0 关于点 M (a ,b ) 对称的曲线为f (2a - x , 2b - y ) = 0 ， 类似 地， 点 P (x , y ) 关于直 线 x = m 对称的 点的坐标为 P '(2a - x , y ) ，曲线 f (x , y ) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线为 f (2m - x , y ) = 0 .更一C5⎩ 般地，利用定义可解决有关对称问题.10、在 ∆ABC 中，若 A = 120︒ ，AB=5，BC=7，则 AC=.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出 AC.【正确解答】由余弦定理 AB 2 = BC 2 + AC 2- 2BC ⨯ AC ⨯ cos120︒解得 AC = -8（舍）或 AC=3，因此 ∆ABC 的面积S =1⨯ AB ⨯ AC ⨯ sin120︒ = 2 4【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于 AC 的方程，求出 AC 的目的， 在于求 ∆ABC 的面积，若利用正弦定理求 AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.11、函数 f (x ) = sin x + 2 | sin x |, x ∈ [0,2π]的图象与直线 y = k 有且仅有两个不同的 交点，则 k 的取值范围是.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[0, 2π]正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出 k 的取值范围.⎧3sin xx ∈[0,π] 【正确解答】 f (x ) = sin x + 2 | sin x |= ⎨- sin xx ∈ (π, 2π]，从图象可以看出于直线 y = k 有且仅有两个不同的交点时, 1 < k < 3【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数 y = f (x ) 的图象作出y = f (x ) , y = f ( x ) 的图象.12、有两个相同的直三棱柱，高为 2，底面三角形的三边长分别为3a ,4a ,5a (a > 0) .a用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为6a 2，每个侧面的面积分别为 6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为 32 或 36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为 28解法 2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：15 36⎨ ⎬ 四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为 24 a 2+28三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为 24 a 2+32边长为3a 的边重合在一起，表面积为 24 a 2+36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为 12 a 2+48最小的是一个四棱柱，这说明24a 2+ 28 < 12a 2+ 48 ⇒ 12a 2< 20⇒ 0 < a <153【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题. 二、选择题（4 分⨯4=16 分）13、若函数 f (x ) =12 x+ 1，则该函数在(- ∞,+∞)上是（ ） A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】y = 2x+1为增函数，y = 1在(1, +∞) 上是减函数，因此 f (x ) =x1是2 x+ 1减函数，没有最大值和最小值，选 A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发 展能力.14、已知集合 M= {x || x - 1 |≤ 2, x ∈ R }，P = ⎧x | ⎩5x + 1≥ 1, x ∈ Z ⎫ ，则 M P 等于 ⎭（ ）A ． {x | 0 < x ≤ 3, x ∈ Z } C ． {x | -1 ≤ x ≤ 0, x ∈ Z }B ． {x | 0 ≤ x ≤ 3, x ∈ Z } D ． {x | -1 ≤ x < 0, x ∈ Z }7a a a a a a ⎩in 【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】 M = {x | -1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R }， P = {x | 0 ≤ x ≤ 4, x ∈ Z }M P = {x | 0 ≤ x ≤ 3, x ∈ Z }，选 B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意 x +1 > 0 的隐含条件.在计算 P 时，注意 x +1 > 0 的提示作用.，如果去分母时忽视了 x +1 > 0 ，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、条件甲：“ a > 1”是条件乙：“ a > ”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒ 乙和乙⇒ 甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法 1：甲⇒ 乙： a > 1 ⇒ > 1 ⇒ a > ，乙⇒ 甲： a > ⇒ a ( - 1) > 0 ⇒ > 1或 < 0 ⇒ a > 1因此是充要条件，选 B⎧a > 0 解法 2：∵ a > ⇔ ⎨a 2 > a ⇔ a > 1，∴选 B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用 A ⇒ B 与 ⌝B ⇒ ⌝ A ， B ⇒ A 与 ⌝ A ⇒ ⌝B 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若 A ⊆ B 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 必要条件；若 A = B 则 A 是 B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数 a 1 , a 2 , , a n 可得到 n !个不同的排列，每个排列为一行写成一个n ! 行的数阵. 对第 i 行 a i 1 , a i 2 , , a in ， 记 b i = -a i 1 + 2a i 2 - 3a i 3 + +(-1)n na ，1 2 3 13 2 i = 1,2,3, , n !.例如：用 1，2，3 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都21 3 23 1 是 12，所以， b 1 + b 2 + + b 6 = -12 + 2 ⨯12 - 3 ⨯12 = -24，那么，在用 1，2，3 123，4，5 形a a成的数阵中，b1 +b2 + +b120 等于（） 3 2 189n !1 n !2 n !3 n !n n -1 1 2 120 4 ⎪ ( A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子(-1)n的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的b 1 + b 2 + + b n != (-a + 2a - 3a + + (-1) n na ) + (-a + 2a - 3a + + (-1) n na )1112131 n2122232 n+ + (-a + 2a - 3a + + (-1) n na )= -(a + a + + a ) + 2(a + a + + a ) + + (-1) n n (a + a + + a ) 11 21 n !112 22 n !2 1n 2 n n !n= (-1+ 2 - 3 + + (-1) nn )( a + a + + a )11 21 ⎧n ⨯ A n -1 ⨯ n (n +1) (n 为偶数） n !1= ⎪ 2n -12 ⎨n -1 ⎩⎪ 2 - n ) ⨯ A n -1 ⨯ n (n +1) 2(n 为奇数) n = 5时， b + b + + b = -3⨯ A 4 ⨯5⨯ 62= -1080 . 解法 2：在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，每一列各数之和都是 360，b 1 + b 2 + + b 120 = -360 + 2 ⨯ 360 - 3 ⨯ 360 + 4 ⨯ 360 - 5 ⨯ 360 = -1080【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向， 它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味. 三、解答题（本大题满分 86 分）17、（本题满分 12 分）已知长方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，M 、N 分别是 BB 1 和 BC 的中点，AB=4，AD=2， B 1 D 与平面 ABCD 所成角的大小为60︒，求异面直线 B 1 D 与 MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】本题考查直四棱柱的性质和异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和运算能力，可根据定义找出异面直线所成角，转化到平面图形解决，而本题的图形结构，具有空间向量处理的特点，故还可利用空间向量的数量积来解决. 【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1 和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线 B 1D 与 MN 所成的角.105 15 33联结 BD,在 Rt △ABD 中,可得 BD=2 ,又 BB 1⊥平面 ABCD, ∠B 1DB 是 B 1D 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在 Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=2 ,又 DC ⊥平面 BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C, DC在 Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=B 1C 1= 1 ,2 ∴∠DB 1C=arctan .21即异面直线 B 1D 与 MN 所成角的大小为 arctan .2【解后反思】求异面直线所成角的一般步骤是：①利用定义构造问题，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某一特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，②证明所作出的 π角（或补角）即为所的求角，③利用解三角形求角.异面范围是(0, ].若能建立空间直角坐2标系，利用向量求异面直线所成的角的大小是十分快捷方便的.18、（本题满分 12 分）在复数范围内解方程| z |2+(z + z )i = 3 - i2 + i（ i 为虚数单位）.【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理.【正确解答】原方程化简为 z 2+ (z + z )i = 1 - i , 设 z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,2 21 ∴x +y =1 且 2x=-1,解得 x=- 2且 y=±, 21∴原方程的解是 z=- ±i. 22【解后反思】近几年看，高考中常见与复数相关问题难度有下降的趋势，仅以中档 题为主，侧重于复数的代数运算，而复数问题实数化的最佳形式是它的代数形式表示.19、（ 本题满分 14 分）已知函数f (x ) = kx + b 的图象与 x , y 轴分别相交于点 A 、B ，11bAB = 2i + 2 j （ i , j 分别是与 x , y 轴正半轴同方向的单位向量），函数 g (x ) = x 2 - x - 6.（1）求 k , b 的值；（2）当 x 满足 f (x ) > g (x ) 时，求函数 g (x ) + 1 f (x )的最小值.【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力. 【正确解答】 (1)由已知得 A( - ,0),B(0,b),则 AB ={ b k k ,b},于是 b k=2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由 f(x)> g(x),得 x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,g (x ) + 1 = f (x ) x 2 - x - 5 x + 2 =x+2+ 1 -5x + 2由于 x+2>0,则 g (x ) + 1 f (x )≥-3,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=-1 时成立g (x ) + 1 ∴ f (x )的最小值是-3.【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内， 常见模型函数求最值的常规方法. 如1y = x + (x ≠ 0) 型.x 20、（本题满分 14 分）假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于4780 万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？【正确解答】[解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,n (n - 1) 其中 a 1=250,d=50,则 S n =250n+ ⨯ 50=25n 2+225n,2 令 25n 2+225n≥4750,即 n 2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10.到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.12(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中 b 1=400,q=1.08,则 b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知 a n >0.85 b n ,有 250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6.到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数 学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精 华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分 16 分）已知抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ，OB 的中点为 M.（1）求抛物线方程；（2）过 M 作 MN ⊥ FA ，垂足为 N ，求点 N 的坐标；（3）以 M 为圆心，MB 为半径作圆 M ，当 K (m ,0) 是 x 轴上一动点时，讨论直线 AK与圆 M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点 M 到直线 AK 的距离 d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线 y 2=2px 的准线为 x=- p ,于是 4+ p=5, ∴p=2. 22∴抛物线方程为 y 2=4x.(2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2),4 又∵F(1,0), ∴k FA = 3 4 3 ;MN ⊥FA, ∴k MN =- ,4 3 8 4 则 FA 的方程为 y= 3 (x-1),MN 的方程为 y-2=- 4 x,解方程组得 x= 5,y= ,5 ∴N 的坐标( 8 , 4 ). 5 5(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点(0,2), 半径为 2,当 m=4 时, 直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离.13 ⎩ 当 m≠4 时, 直线 AK 的方程为 y= 44 - m (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0,圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 令 d>2,解得 m>1∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离;当 m=1 时, AK 与圆 M 相切;当 m<1 时, AK 与圆 M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分 18 分）对定义域是 D f 、 D g 的函数 y =f (x ) 、 y =g (x ) ，规定：函⎧ f (x )g (x ), ⎪ 当x ∈D f 且x ∈ D g数 h (x ) = ⎨ f (x ), 当x ∈ D f 且x ∉ D g .⎪g (x ), 当x ∉ D f 且x ∈ D g（1）若函数 f (x ) = 1x - 1， g (x ) = x 2 ，写出函数 h (x ) 的解析式；（2）求问题（1）中函数 h (x ) 的值域；（3）若 g (x ) = f (x +α) ，其中α是常数，且α∈ [0,π]，请设计一个定义域为 R 的函数y = f (x )，及一个α的值，使得 h (x ) = cos 4x ，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.⎧ x 2 ⎪ x ∈ (-∞,1) ⋃ (1,+∞)【正确解答】（1） h (x ) = ⎨ x - 1⎪⎩1 x = 1（2）当 x ≠ 1时, h (x ) = x 2 x - 1 = x - 1 + 1x - 1 + 2.若 x > 1,则h (x ) ≥ 4,其中等号当 x =2 时成立，若 x < 1,则h (x ) ≤ 4, 其中等号当 x =0 时成立，∴函数 h (x )的值域(-∞,0] ⋃ {1} ⋃ [4,+∞)14 （3）[解法一]令 f (x ) = sin 2x + cos 2x ,α= π,4 则 g (x ) = f (x +α) = sin 2(x + π ) + cos 2(x + 4 π) = cos 2x - sin 2x ,4 于是 h (x ) = f (x ) ⋅ f (x +α) = (sin 2x + cos 2x )(cos 2x - sin 2x ) = cos 4x .π [解法二]令 f (x ) = 1 + 2 sin 2x ,α= ， 2则 g (x ) = f (x +α) = 1 + 2 sin 2(x + π ) = 1 - 2 2 sin 2x ,于是 h (x ) = f (x ) ⋅ f (x +α) = (1 + 2 sin 2x )(1 - 2 sin 2x ) = 1 - 2 sin 2 2x = cos 4x .【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解 决.。
2021年高考文数真题试卷(上海卷)32带答案解析
2021年高考文数真题试卷（上海卷）一、填空题1.设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为________．【答案】（2，4）【考点】绝对值不等式【解析】【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．；本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2.设Z=3+2ii，期中i为虚数单位，则Imz=________.【答案】-3【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z=3+2ii=2−3i,Imz=-3.【分析】利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知平行直线l1:2x+y−1=0,l2:2x+y+1=0，则l1,l2的距离________.【答案】2√55【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】利用两平行线间距离公式得d=12√a2+b2=√22+12=2√55【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．4.某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是________（米）．【答案】1.76【考点】众数、中位数、平均数【解析】【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是： 1.75+1.772=1.76（米）．故答案为：1.76．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．5.若函数f(x)=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=________．【答案】±3【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值【解析】【解答】f(x)=√16+a2sin(x+ϕ)，其中tanϕ=a4，故函数f(x)的最大值为√16+a2，由已知，√16+a2=5，解得a=±3．【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．6.已知点(3,9)在函数f(x)=1+a x的图像上，则f(x)的反函数f−1(x)=________．【答案】log2(x−1)【考点】反函数【解析】【解答】将点（3，9）带入函数f(x)=1+a x的解析式得a=2，所以f(x)=1+2x，用y表示x得x=log2(y−1)，所以f−1(x)=log2(x−1)．【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.若x,y满足{x≥0, y≥0,y≥x+1,则x−2y的最大值为________．【答案】﹣2【考点】简单线性规划【解析】【解答】由不等式组画出可行域，如图，令 z =x −2y ，当直线 y =12x −12z 经过点 P(0,1) 时，z 取得最大值，且为 −2 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 8.方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为________．【答案】 π6或 5π6【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】【解答】解：方程3sinx=1+cos2x ，可得3sinx=2﹣2sin 2x ，即2sin 2x+3sinx ﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx= 12 ，x ∈[0，2π]解得x= π6 或 5π6．故答案为： π6 或5π6．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．；本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．9.在 (√x 3−2x )n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．【答案】 112【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为 2n ，由题意得 2n =256 ，所以 n =8 ，二项式的通项为 T r+1=C 8r (√x 3)8−r (−2x )r=(−2)r C 8r x83−43r ，求常数项则令 83−43r =0 ，所以 r =2 ，所以 T 3=112 ．【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．根据展开式中所有二项式系数的和等于2n =256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．10.已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________． 【答案】 7√33【考点】解三角形的实际应用【解析】【解答】解：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣ ，可得sinC== √1−14= √32，可得该三角形的外接圆半径为 c2sinC =72×√32=7√33．故答案为： 7√33．【分析】可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC ，由同角的平方关系可得sinC ，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为 c2sinC ，代入计算即可得到所求值．；本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．11.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________．【答案】 16【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】甲同学从四种水果中选两种，选法种数为 ，乙同学的选法种数为， 则两同学的选法种数为种．两同学相同的选法种数为．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 ．故答案为： ．【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．12.如图，已知点O （0,0）,A （1．0）,B （0,−1）,P 是曲线 y =√1−x 2 上一个动点，则 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是________．【答案】 [−1,√2]【考点】平面向量数量积的运算，向量在几何中的应用 【解析】【解答】设 =（x ，y ），则 =（x ，）， 由A （1，0），B （0，﹣1），得：=（1，1），∴ •=x+，令x=sinθ，•=sinθ+cosθ=sin （θ+），故•的范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]．【分析】设出 =（x ，y ），得到 •=x+，令x=sin θ，根据三角函数的性质得到•=sin θ+cos θ=sin （θ+），从而求出 •的范围即可．本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题．13.设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组 {ax +y =1,x +by =1 无解，则 a +b 的取值范围是________．【答案】 （2，+∞）【考点】参数方程化成普通方程【解析】【解答】方程组无解等价于直线 ax +y =1 与直线 x +by =1 平行，所以 ab =1 且 a ≠b ≠1 ．又 a ， b 为正数，所以 a +b >2√ab =2 （ a ≠b ≠1 ），即 a +b 取值范围是 (2,+∞) ．【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a ，b 的关系，再使用基本不等式得出答案．本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．14.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和．若对任意的 n ∈N ∗ ， S n ∈{2，3} 则k 的最大值为________．【答案】 4【考点】数列与函数的综合【解析】【解答】解：对任意n ∈N * ， S n ∈{2，3}，可得当n=1时，a 1=S 1=2或3；若n=2，由S 2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S 3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S 3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； …即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【分析】对任意n∈N*，S n∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．二、选择题15.）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】a>1⇒a2>1,a2>1⇒a>1或a<−1，所以是充分非必要条件，选A．【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C1【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对17.设a∈R，b∈[0,2π]．若对任意实数x都有sin(3x−π3（a,b）的对数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【考点】终边相同的角【解析】【解答】sin(3x−π3)=sin(3x−π3+2π)=sin(3x+5π3)，(a,b)=(3,5π3)，又sin(3x−π3)=sin[π−(3x−π3)]=sin(−3x+4π3)，(a,b)=(−3,4π3)，注意到b∈[0,2π)，只有这两组．故选B．【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．18.）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】 D【考点】复合命题的真假【解析】【解答】因为f(x)=[f(x)+g(x)]+[f(x)+ℎ(x)]−[g(x)+ℎ(x)]2必为周期为π的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定．选D．函数性质【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h （x+T）+g（x+T），由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．三、解答题19.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，弧AC 长为5π6，弧A1B1 长为π3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．【答案】（1）解：）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π（2）设过点Β1的母线与下底面交于点Β，则Ο1Β1//ΟΒ，所以∠CΟΒ或其补角为Ο1Β1与ΟC所成的角．由弧A1B1 长为π3，可知∠ΑΟΒ=∠Α1Ο1Β1=π3，由弧AC 长为5π6，可知∠ΑΟC=5π6，∠CΟΒ=∠ΑΟC−∠ΑΟΒ=π2，所以异面直线Ο1Β1与ΟC所成的角的大小为π2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角【解析】【分析】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．（1）由题意可知，圆柱的高ℎ=1，底面半径r=1．计算体积与侧面积即得．（2）由Ο1Β1//ΟΒ得∠CΟΒ或其补角为Ο1Β1与ΟC所成的角，计算∠CΟΒ即得．20.有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。
上海高考文科数学试题详解
2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科)详解满分1５0分;考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有14题，满分５6分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分．1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .考点:三角恒等变形、三角函数的周期解答:因为212cos (2)cos4y x x =-=-，所以2T π=.难度:容易题2．若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭． 考点：复数的四则运算,共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭难度：容易题3．设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-.若(2)1f =,则(1)f = .考点:解方程、求函数值解答:由()(2)1413f a f =⇒=⇒= 难度:容易题4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为()2,0,则其准线方程为:2x =- 难度:容易题5.某校高一、高二、高三分别有学生１6００名、1200名、8０0名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．考点：分层抽样解答:高一、高二共有学生2800名，按40：１的比例，需抽取学生数为70人。
难度：容易题６．若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．考点：基本不等式解答：222222112=222x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22222x y +≥难度:容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示）．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：21=,=,3,arcsin 3rl r l r ππα=∴=侧面积底面积可得 难度:容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .考点：三视图解答:由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个 长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24. 难度:容易题9.设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 考点:函数的单调性及最值ﻩ解答:()()()()min min 0,0;0,12;2x f x f a x f x f a ≤==>==∴≤时时即可 难度：中等题10.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q = .考点：无穷等比数列各项的和解答:()22111515101,1a q a q q q orq q q -+--=∴+-=∴==>-舍 难度：中等题 11．若2132()f x x x-=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．考点：幂函数的单调性 解答：212332()=,f x x x x x-=--∴其定义域为()0,,+∞ 又23y x =是增函数，12y x -=是减函数，2132()f x x x -∴=-是增函数,αl r又()10f =，()0f x ∴<,即为()()1f x f <，0 1.x ∴<< 难度：中等题1２．方程sin 1x x +=在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 .考点:三角方程解答：()sin 1,2sin 1,1336k x x x x k ππππ⎛⎫+=∴+=∴+=+- ⎪⎝⎭()1,[0,2],1,263kx k x k ππππ∴=+--∈∴=1212117,,263x x x x πππ∴==∴+= 难度:中等题1３.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示)．考点:组合、概率解答:未来的连续10天中随机选择3天的所有情况有310C 种；未来的连续10天中选择的3天恰好为连续3天的所有情况有8种;则所求概率为3108115C = 难度:中等题1４．已知曲线24:y x C --=，直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP ，则m 的取值范围为 ．考点:圆的方程、能成立问题解答：∵曲线24:y x C --=，即:C ()2240x y x +=≤，∵=+，∴点(,0)A m 即为P Q 、中点；设()6Q y ，,∵(,0)A m ,则()26,P m y --，∵点P 在曲线C 上，∴()()()()2222264264260260m y m y m m ⎧⎧-+-=-=--⎪⎪⇒⎨⎨-≤-≤⎪⎪⎩⎩ ()[]202642,3260m m m ⎧≤-≤⎪⇒⇒∈⎨-≤⎪⎩ 难度:较难题二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分，否则一律得零分． 15．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）(A) 充分非必要条件ﻩ(Ｂ) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 ﻩﻩ(D ） 既非充分又非必要条件考点:充分条件、必要条件 解答:必要非充分条件，选Ｂ 难度:容易题16.已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =，则a b +=( )(A ） 2ﻩ (B) 1 (Ｃ) 0ﻩ (D) 1- 考点:集合的相等、复数范围内1的立方根解答:⑴若22,,a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩则0,1,0,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩0,1,1,0,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）;⑵若22,,a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则4a a =, 那么0a =（舍)或1a =（舍）或13,2213,22i a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或13,2213,22ia ib ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 综合上述，1a b +=-.选D难度:中等题17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点，则)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为( )（A ） 7 (Ｂ) 5 (C) 3 (D) 1考点:向量的数量积、向量的投影解答:结合图形,观察i AP 在AB 上的投影即可：136AP AP AP 、、在AB 上的投影相同;47AP AP 、在AB 上的投影相同；25AP AP 、在AB 上的投影相同；故)7,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为3，选Ｃ难度：中等题18.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ )(Ａ) 无论12,,k P P 如何,总是无解ﻩﻩ (B) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解 （C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解 ﻩ (D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把11(,)P a b 代入直线1y kx =+得111b ka =+，即111ka b -+=.同理可得221ka b -+=．则,1x k y =-=是方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解．若,1x k y =-=不是方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的唯一解,则方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 有无数解则1212,a a b b ==，与已知矛盾综上,方程组11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解,选B ．难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. １9.(本题满分1２分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .考点:棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意:123PP P ∆是边长为４的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体P ABC -(如图）.设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ,连接BO ,则O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC .323BO AB == 284,3PO BO =-=12233P ABC ABC V S PO -∆=⋅⋅= 难度:容易题OBAP20.（本题满分１４分)本题共有2个小题，第１小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．（1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由． 考点：反函数、函数的奇偶性解答:(1)因为2424x x y +=-,所以()4121x y y +=-,得1y <-或1y >，且212log 1y x y +=+-．因此，所求反函数为121()2log ,1x fx x -+=+-()(),11,x ∈-∞-+∞．(2）①当0a =时,()1f x =,定义域为R ,故函数()y f x =是偶函数；②当1a =时,21()21x x f x +=-,定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数;③当0a >且1a ≠时,定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称,故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.难度:容易题21．（本题满分14分）本题共有２个小题，第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长８0米.设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. (1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.０1米）？(２)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.1218.45αβ==,，求CD 的长（结果精确到0.0１米)．考点:解斜三角形解答：(1)设CD h =,则tan ,tan 3580h hαβ==.因2αβ≥，所以22tan tan tan 21tan βαββ≥=-,即2280351()80h h h ⋅≥-，20228.282h ≤=≈(米） （2）在ABD ∆中，由已知,56.57αβ+=,115AB =， 由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ,解得85.064BD ≈(米)． 在BCD ∆中,由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅， 解得26.93CD ≈(米）.所以，CD 的长约为26.93米．难度：中等题２2.（本题满分1６分）本题共有3个小题,第１小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分７分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<,则称点12,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．(１)求证；点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔;（２）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；（３）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线. 考点:定义法求曲线方程、数形结合思想 解答：(1）证明：因为40η=-<,所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.（2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=没有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx⎧-=⎨=⎩无解,即12k ≥.当12k ≥时,对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<,即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔．故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.(3）证明:设M 的坐标为(,)x y ,则曲线E 1x =.对任意的0y ，()00,y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<,即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔．所以y 轴为曲线E 的分隔线． 难度：中等题23.（本题满分１８分)本题共有３个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分，第３小题满分9分．已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈,11a =.(1)若2342,,9a a x a ===,求x 的取值范围; （2）设{}n a 是等比数列,且11000m a =,求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(３)若10021,,,a a a 成等差数列，求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围. 考点：等差数列、等比数列与不等式综合 解答:(1）由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤,解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈.（2）设{}n a 的公比为q ．由133n n a a ≤,且110n n a a q -=≠,得0n a >.因为1133n n n a a a +≤≤,所以133q ≤≤．从而111111()10003m m m a q q ---==≥,131000m -≥,解得8m ≥.8m =时,1[,3]3q =．所以，m 的最小值为8,8m =时,{}n a （3)设数列10021,,,a a a 的公差为d ．由133n n n a a d a ≤+≤，得223n n a d a -≤≤，99,,2,1 =n ．①当0d >时,129899a a a a >>>> ，所以102d a <≤，即02d <≤． ②当0d =时,9998211a a a a =====,符合条件.③ 当0d <时，129899a a a a <<<< ,所以9999223a d a -≤≤，2(198)2(198)3d d d -+≤≤+,又0d <,所以20199d -≤<． 综上，10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-. 难度：较难题。
2024年上海高考真题数学(含解析)
2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =U ，则m = . 【解析】∵{}1,2,3,4A B =U ，∴{}21,3,m ∈，于是2m =.故答案为：2. 【点评】本题考查集合的概念和运算，属基础概念题．2.不等式204xx ->+的解集是 . 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解.3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 . 【解析】cossin 166coscossinsincos()cos 66666632sincos66πππππππππππ=-=+==，答案为：12. 【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= .【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．5.将一个总数分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体.【解析】设A 、B 、C 三层的个体数为5k ，3k ，2k （0k >），则分层抽样方法知：从C 中应抽取100220532k k k k⨯=++个个体，故答案为：20.【点评】本题改编自09年湖南的一道高考题，主要考查分层抽样的基本知识.6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =， 则该四棱椎的体积是 . 【解析】四棱椎的体积2168963V =⨯⨯=，故答案为：96. 【点评】本题考查棱椎的概念、性质和体积计算公式，属基础题.7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = . 【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22|31424|334d ⨯+⨯+==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 .【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题. 9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 ______.【解析】因函数3()log (3)f x x =+图象与x 轴的交点是(2,0)-，所以其反函数的图像与y 轴的交点坐标是(0,2)-，故答案为：)2,0(-.【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线y x =对称.10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 ____________（结果用最简分数表示）.【解析】由等可能事件的概率计算公式,得213252117C P C ==,故答案为：117.【点评】本题考查等可能事件的概率及其计算，解本类问题的关键是弄清基本事件的总数. 11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 .【解析】依题意，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，可知程序的执行框内应填：a S S +←.【点评】本题主要考查算法的程序框图．由题意确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键．12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= _____.【解析】当9n =时，由矩阵的结构可知：111a =，223a =，335a =，447a =，559a =，662a =，774a =，886a =，998a =，∴1122339912945a a a a +++⋅⋅⋅+=+++=L ，故答案为：45.【点评】矩阵是上海高考常考的知识点，也是一大亮点.本题考查矩阵元素的构成规律和等差数列的前n 项和公式.13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，1(2,1)e =r、2(2,1)e =-r 分别是两条渐近线的方向向量。
--上海高考数学试题(文科)+答案
201３----20１5年上海高考数学(文)试题与参考答案２01３年上海高考数学试题（文科）附答案一、填空题(本大题共有1４题，满分５６分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得４分,否则一律得零分．1.不等式021xx <-的解为 ．2.在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=,则23a a += .３.设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m = .4．若2011x =，111x y=，则ｙ = . 5.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ，c .若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 ．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的4０%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .7.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为－10,则a = ．8.方程91331x x+=-的实数解为 ． 9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= .10.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ,O 是上地面圆心，A 、B 是下底面圆心上两个不同的点,BC 是母线,如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则1r= . 11．盒子中装有编号为1,２,3,４，5，6,７的七个球，从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示)． 12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为 .13.设常数0a >,若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为 ． 14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ;以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠,则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5分，否则一律得零分. 15.函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -,则()12f -的值是( ）(A(B）(C）1(D)1１6.设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（ ）（A)(),2-∞ ﻩ（Ｂ）(],2-∞ﻩ （Ｃ）()2,+∞ﻩ（D ）[)2,+∞17．钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( ) (A ）充分条件ﻩ ﻩﻩﻩ（B)必要条件 (C ）充分必要条件 ﻩ ﻩ(Ｄ）既非充分又非必要条件18．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）（A ）0 (B ）14(C) ２ (D ）三．解答题（本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.(本题满分１２分）ﻩ如图,正三棱锥O ABC -底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.第19题图2０．（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分５分，第2小题满分9分.甲厂以x 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤)，每小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．(１）求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x +-; (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润.21．（本题满分１4分)本题共有２个小题.第1小题满分6分，第２小题满分8分. ﻩ已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. （1)令1ω=，判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值.２2．(本题满分1６分）本题共有3个小题．第1小题满分3分,第2小题满分5分，第3小题满分8分． ﻩ已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈. （1)若10a =，求2a ，3a ,4a ;（２)若10a >，且1a ，2a ,3a 成等比数列，求1a 的值；(３)是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…，n a …成等差数列？若存在,求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由．23.(本题满分１8分）本题共有3个小题．第1小题满分３分,第2小题满分6分，第3小题满分9分．ﻩ如图,已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+．P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);（2）设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点;(3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”.2013年上海高考数学试题(文科)参考答案一． 填空题 1. ０< Ｘ＜122.15 2. -２3. 14.23π 5. 7８ 6. －2 7. 3log 4 8. -799. 10. 5711.312. )1,5⎡+∞⎢⎣ 13. -５ 二． 选择题三． 解答题19.解：由已知条件可知，正三棱锥O-ＡBC 的底面△A ＢC 是边长为2的正三角形。
2023上海文数全解全析
2023年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意:1．答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试卷,满分150分,考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将解析直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．不等式11x -＜地解集是 ．【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤,{}|B x x a =≥满足{2}A B = ,则实数a = ．【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位),则z = ．【解析】1i+【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-.4．若函数()f x 地反函数为12()log f x x -=,则()f x = ．【解析】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ,b 满足12a b == ，且a 与b 地夹角为3π,则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b+=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点,则实数a = ．【解析】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =地焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=地一个虚根,且2z =,则p = ．【解析】4【解析】设z a bi =+,则方程地另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=,由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=8．在平面直角坐标系中,从五个点:(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个,这三点能构成三角形地概率是 （结果用分数表示）．【解析】45【解析】由已知得A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形地概率为3335245C C -=9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数,且它地值域为(]4-∞，,则该函数地解析式()f x = ． 【解析】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数,则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，,224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5．若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别 ． 【解析】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知,只需10.5a b ==时,总体方差最小.11．在平面直角坐标系中,点A B C ，，地坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成地区域（含边界）上地点,那么当xy ω=取到最大值时,点P 地坐标是 ． 【解析】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时,点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 地四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出地代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）,一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上地点．若12F F ，是椭圆地两个焦点,则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】D【解析】 由椭圆地第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中地直线l 及平面α．条件"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"是"直线l 与平面α垂直"地（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件【解析】C【解析】"直线l 与平面α内两条相交直线都垂直"⇔"直线l 与平面α垂直".14．若数列{}n a 是首项为1,公比为32a =地无穷等比数列,且{}n a 各项地和为a ,则a 地值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【解析】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或.15．如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴地正半轴、y 轴地正半轴分别相切于点C 、D 地定圆所围成地区域（含边界）,A 、B 、C 、D 是该圆地四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥,则称P 优于P '．如果Ω中地点Q 满足:不存在Ω中地其它点优于Q ,那么所有这样地点Q 组成地集合是劣弧（ D ）Ａ． AB B ． BCC ． CD D ． DA 【解析】D【解析】由题意知,若P 优于P ',则P 在P '地左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上地点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 地点,∴Q 组成地集合是劣弧 DA.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤．16．(本题满分12分)如图,在棱长为2地正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 1地中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角地大小（结果用反三角函数值表示）．16. 【解】过E 作EF ⊥BC ,交BC 于F ,连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ,∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成地角. ……………4分由题意,得EF =111.2CC =∵11,2CF CB DF ==∴=分∵ EF ⊥DF , ∴tan EF EDF DF ∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角地大小是….12分17．（本题满分13分）如图,某住宅小区地平面图呈扇形AOC ．小区地两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里有两条笔直地小路AD DC ，,且拐弯处地转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行地速度为每分钟50米,求该扇形地半径OA 地长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形地半径为r 米. 由题意,得CD =500（米）,DA =300（米）,∠CDO=060在CDO ∆中,22022cos 60,CD OD CD OD OC+-⋅⋅⋅=……………6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ,作OH ⊥AC ,交A C 于H …………………..2分由题意,得CD =500（米）,AD =300（米）,0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题,第1个题满分5分,第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ,g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭,直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，地图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时,求｜MN ｜地值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时地最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN . ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =,求x 地值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立,求实数m 地取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知,2122,22210,2x x x x-=-⋅-=即解得 21x=±…………6分∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈-- 故m 地取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 地渐近线方程；（2）已知点M 地坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上地点,Q 是点P 关于原点地对称点．记MP MQ λ=．求λ地取值范围；（3）已知点D E M ，，地坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，,P 为双曲线C 上在第一象限内地点．记l 为经过原点与点P 地直线,s 为DEM △截直线l 所得线段地长．试将s表示为直线l 地斜率k 地函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y x -=+= ……………...3分（2）设P 地坐标为()00,x y ,则Q 地坐标为()00,x y --, …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ (7)分0x ≥ λ∴地取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内地点,则直线l地斜率.k ⎛∈ ⎝……………11分由计算可得,当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝时……………15分∴ s 表示为直线l 地斜率k 地函数是()1(0,21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分４分,第2小题满分６分,第3小题满分8分．已知数列{}n a :11a =,22a =,3a r =,32n n a a +=+（n 是正整数）,与数列{}n b :11b =,20b =,31b =-,40b =,4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ,求r 地值；（2）求证:当n 是正整数时,124n T n =-；（3）已知0r >,且存在正整数m ,使得在121m T +,122m T +, ,1212m T +中有4项为100．求r 地值,并指出哪4项为100．21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++ 484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明:当12,4.n n Z T n +∈=-时①当n=1时,1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分②假设n=k 时等式成立,即124,k T k =-那么当1n k =+时,()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定:当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数,41,4,44m r m r m -+-----均为负数,∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时,293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学试题及答案
数据,就业局势必定是()
计算机行业好于化工行业.(B)建筑行业好于物流行业.
(C)机械行业最紧张.
(D)营销行业比贸易行业紧张.
三.解答题(本大题满分86分)
17.(此题满分12分)
已知复数z1知足(1+i)z1=－1+5i,
若C的方程y2
=2px(p≠0)点.
P1
2
2
2
(0,0),于定的自然数n,明：
成等差数列；
(x1+p),(x2+p),
⋯,(xn+p)
(3)
若C的方程x
2
y2
1(a>b>0).点P1(a,0),于定的自然数
n,当公差d化
a
2
b2
,求Sn的最小.
符号意义
本试卷所用符号
等同于《实验教材》符号
向量坐标
a={x,y}
(2)当P抛物上位于段AB下方
(含A.B)的点,求OPQ面的最大.
21.(安分16分)第1小分4分,第2小分6分,第3小分6分
如,P-ABC是底面1的正三棱分棱上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱P-ABC的棱和相等.(棱和是指多面体中全部棱的度之和)
明：P-ABC正四周体；
1
(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的
∞)
(2)
由(x－a－1)(2a－x)>0,
得(x－a－1)(x－2a)<0.
a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤－1,即a≥1或a≤－2,而a<1,
2022年文数高考试题答案及解析-上海
2022上海高考数学试题〔文科〕答案与解析一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕【点评】此题主要考查行列式的根本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．假设是直线的一个方向向量，那么的倾斜角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，那么21arctan ,21tan ==αα. 【点评】此题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的外表积为. 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的外表积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】此题主要考查空间几何体的外表积公式.审清题意，所求的为圆柱的外表积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的外表积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是.【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，那么原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x.所以原方程的解为3log 2.【点评】此题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.此题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.此题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，那么12lim(...)n n V V V →∞+++=.【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积那么组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】此题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=-. 【点评】此题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.()y f x =是奇函数，假设()()2g x f x =+且(1)1g =，那么(1)g -=. 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】此题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，此题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是. 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，〔包括边界〕目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z . 【点评】此题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，此题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛，假设每人只选择一个工程，那么有且仅有两位同学选择的工程相同的概率是〔结果用最简分数表示〕. 【答案】32 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的工程的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】此题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清根本领件数和根本领件总数.此题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，那么AM AN ⋅的取值范围是【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下列图，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2xAN x AM →→-==所以123+=•→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤•≤41AN AM .【点评】此题主要考查平面向量的根本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.此题属于中档题，难度适中.13.函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =〔01x ≤≤〕的图像与x 轴围成的图形的面积为. 【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41.【点评】此题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，此题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，此题属于中高档试题，难度较大. 14.1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，假设20102012a a =，那么2011a a +的值是. 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到n n a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a 〔负值舍去〕.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】此题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，此题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕15.假设1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，那么〔 〕A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-=【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1-也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】此题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四那么运算.属于中档题，注重对根本知识和根本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >〞是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】此题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，假设222sin sin sin A B C +<，那么△ABC 的形状是〔 〕 A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<， 由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.应选择A.【点评】此题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.此题属于中档题. 18.假设2sin sin...sin 777n n S πππ=+++〔n N *∈〕，那么在12100,,...,S S S 中，正数的个数是〔 〕A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕19.〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，∠BAC ＝2π，2AB =，3AC =2PA =，求： 〔1〕三棱锥P ABC -的体积； 〔2〕异面直线BC 与AD 所成的角的大小〔结果用反三角函数值表示〕. 【答案与解析】【点评】此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.此题源于 必修2 立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分()lg(1)f x x =+.〔1〕假设0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；〔2〕假设()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =〔[]1,2x ∈〕的反函数. 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质等根底知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系〔以1海里为单位长度〕，那么救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .〔1〕当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，假设此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；〔2〕问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 【答案与解析】【点评】此题主要考查函数的概念、性质及导数等根底知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:21C x y -=.〔1〕设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，假设22MF =M 的坐标； 〔2〕过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； 〔3〕设斜率为k 〔2k <l 交C 于P 、Q 两点，假设l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .【答案与解析】【点评】此题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，此题属于中档题 ．23.〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =〔1,2,...,k m =〕，即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.〔1〕假设各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a ； 〔2〕设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=〔C 为常数，1,2,...,k m =〕，求证：k k b a =〔1,2,...,k m =〕；〔3〕设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-. 【答案与解析】【点评】此题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的根本性质等根底知识，此题属于信息给予题，通过定义“控制〞数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的根本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
高考上海卷文数试题解析(正式版)(解析版).docx
考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地写姓名、转考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(24)，【解析】试题分析：421311|3|<<⇔<-<-⇔<-x x x ，故不等式1|3|<-x 的解集为)4,2(. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2．设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________. 【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23i, 3.iz z +==--的虚部等于 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3．已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则12l l 与的距离是_______________.25【解析】试题分析：利用两平行线间的距离公式得12222225d 5a b 21===++. 考点：两平行线间距离公式.x OP 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69,1.72,1.76,1.78,1.80，这五个数的中位数是1.76. 考点：中位数的概念.5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a =ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知得，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.6．已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (1)x -考点：反函数的概念以及指、对数式的转化.7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时，z 取得最大值2-.y考点：线性规划及其图解法.8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2]π上的解为___________. 【答案】566ππ， 【解析】试题分析：化简3sinx 1cos 2x =+得：23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），又[0,2]x ∈π，所以566x ππ=或. 考点：二倍角公式及三角函数求值.9．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112 【解析】试题分析：由二项式定理得：所有项的二项式系数之和为n2，即n 2256=，所以n 8=，又二项展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，所以r 2=，所以3T 112=，即常数项为112. 考点：二项式定理.10．已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【解析】试题分析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，所以此角的正弦值为2，由正弦定理得2R =,所以R =.考点：正弦、余弦定理.11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16. 考点：古典概型12．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA ×uu u r uu r的取值范围是 .【答案】[1,2]-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=u u u r ，又(1,1)BA =u u u r, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-u u u r u u u r .考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.13．设a >0,b >0. 若关于x ,y 的方程组11ax y x by ，ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是 . 【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，b 为正数，所以22a b ab +>=（1a b ≠≠），即a b +的取值范围是(2,)+∞.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.14．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意*n ÎN ，{23}n S Î，，则k 的最大值为 . 【答案】4考点：数列的项与和.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．设a ∈R ，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以“1>a ”是“12>a ”的充分非必要条件，选A.考点：充要条件16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中的直线与EF 都是异面直线，故选D ． 考点：异面直线17．设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．考点：三角函数18．设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数．对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. (A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题 (C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 试题分析：考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为56π ，¼11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1）V =π，2S =π；（2）π2． 【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由此计算即得.（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，再结合题设条件计算即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积2211V r l =π=π⨯⨯=π， 圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点B 1的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ， 所以COB ∠或其补角为11O B 与OC 所成的角．由¼11A B 长为3π，可知1113AOB AO B π∠=∠=， 由»AC 长为56π，可知5π6AOC ∠=，2COB AOC AOB π∠=∠-∠=，所以异面直线11O B 与OC 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间角.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.【答案】（1）24y x =（02y <<）；（2）矩形面积为52，五边形面积为114，五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 【解析】所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114． 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-=，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为11814312-=，所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”． 考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积计算.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.（1）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b =l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),A A A x y ，根据题设条件可以得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．由|AB |=4构建关于k 的方程进行求解． 试题解析：（1）设(),A A A x y ．由题意，()2,0F c，c =，()22241y b c b A =-=，因为1F AB △是等边三角形，所以2c A =， 即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()22,0F ．设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l ()2y k x =-．由()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()2212223613k x x k +-=-， 故()21226143k AB x k +==-==-，解得235k=，故l 的斜率为．考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.弦长公式.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =n a ，*n ∈N }，B ={x |x =n b ，*n ∈N }，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B =∅I 且*A B =N U ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列.（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }的通项公式.【答案】（1）{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列，理由见解析；（2）180；（3）24n a n =+，,525,5n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩．【解析】试题分析：（1）直接应用定义“无穷互补数列”的条件验证即得；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式进行求解；（3）先求等差数列{n a }的通项公式，再求{n b }的通项公式. 试题解析：（1）因为4A ∉，4B ∉，所以4A B ∉U ， 从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．考点：等差数列、等比数列、新定义问题23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x +.（1）当1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值； （3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(0,1)x ∈；（2）0或14-；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】试题分析：（1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，从而得解． （2）转化得到2221log ()log ()0a x x ++=，讨论当0a =、0a ≠时的情况即可．（3）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性，再确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差，由此得到()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．试题解析： （1）由21log 11x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得112x +>，解得(0,1)x ∈． （2）()2221log log 0a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一解，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。
上海高考文科数学试题含答案(Word版)
三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数0≥a ，函数aa x f x x -+=22)( （1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。
在平面直角坐标系xOy 中，对于直线I ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η<0，则称点P 1，P 2被直线I 分隔，若曲线C 与直线I 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1，P 2被直线I 分割，则称直线I 为曲线C 的一条分隔线。
（1）求证：点A （1，2），B （-1,0）被直线x+y-1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线。
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数学试题（文科）详解
满分150分;考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的最小正周期是．
考点：三角恒等变形、三角函数的周期
解答：因为 ，所以 .
难度：容易题
设常数 ，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
考点：反函数、函数的奇偶性
解答：（1）因为 ，所以 ，得 或 ，且 ．
因此，所求反函数为 ．
（2）①当 时， ，定义域为 ，故函数 是偶函数；
②当 时， ，定义域为 ，
，故函数 为奇函数；
③当 且 时，定义域为 关于原点不对称，
(A) (B) (C) (D)
考点：向量的数量积、向量的投影
解答：结合图形，观察 在 上的投影即可： 在 上的投影相同； 在 上的投影相同； 在 上的投影相同；故 的不同值的个数为3，选C
难度：中等题
18．已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，则关于 和 的方程组 的解的情况是（）
(A) 无论 如何，总是无解(B) 无论 如何，总有唯一解
(C) 存在 ，使之恰有两解(D) 存在 ，使之有无穷多解
考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法
解答：把 代入直线 得 ，即 .
同理可得 .则 是方程组 的解.
若 不是方程组 的唯一解，
则方程组 有无数解则 ，与已知矛盾
综上，方程组 总有唯一解，选B.
难度：较难题
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
6．若实数 满足 ，则 的最小值为．
考点：基本不等式
解答： ，即
难度：容易题
7．若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．
考点：圆锥的侧面展开图
解答：如图：
难度：容易题
8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．
考点：组合、概率
解答：未来的连续 天中随机选择 天的所有情况有 种；未来的连续 天中选择的 天恰好为连续 天的所有情况有 种；则所求概率为
难度：中等题
14．已知曲线 ，直线 ．若对于点 ，存在 上的点 和 上的 使得 ，则 的取值范围为．
考点：圆的方程、能成立问题
解答：∵曲线 ，即 ，∵ ，∴点 即为 中点；设 ，∵ ，则 ，
2．若复数 ，其中 是虚数单位，则 ．
考点：复数的四则运算，共轭运算
解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即
难度：容易题
3．设常数 ，函数 ．若 ，则 ．
考点：解方程、求函数值
解答：由
难度：容易题
4．若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．
考点：圆锥曲线的标准方程
解答：知抛物线的焦点坐标为 ，则其准线方程为：
难度：容易题
5．某校高、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．
考点：分层抽样
解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。
难度：容易题
故函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
难度：容易题
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长35米， 长80米．设点 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 ．
（1）设计中 是铅垂方向，若要求 ，问 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
19．（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥 ，其表面展开图是三角形 ，如图，求 的各边长及此三棱锥的体积 ．
考点：棱锥的体积、空间想象能力
解答：依题意： 是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体 （如图）.
设顶点 在底面 内的投影为 ，连接 ，则
为 的重心， 底面 .
难度：容易题
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
考点：三视图
解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个
长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.
难度：容易题
9．设 若 是 的最小值，则 的取值范围为．
考点：函数的单调性及最值
解答：
难度：中等题
10．设无穷等比数列 的公比为 ，若 ，则 ．
考点：无穷等比数列各项的和
解答：
难度：中等题
11．若 ，则满足 的 的取值范围是．
考点：幂函数的单调性
解答： ∴其定义域为
又 是增函数， 是减函数， 是增函数，
又 ， ，即为 ，
难度：中等题
12．方程 在区间 上的所有的解的和等于．
考点：三角方程
解答：
难度：中等题
13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 天中随机选择 天进行紧急疏散演练，则选择的 天恰好为连续 天的概率是（结果用最简分数表示）．
∵点 在曲线C上，∴
难度：较难题
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设 ，则“ ”是“ 且 ”的（）
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件
考点：充分条件、必要条件
解答：必要非充分条件，选B
难度：容易题
16．已知互异的复数 满足 ，集合 ，则 （）
(A) (B) (C) (D)
考点：集合的相等、复数范围内1的立方根
解答：⑴若 则 （舍）；⑵若 则 ，
那么 （舍）或 （舍）或 或
综合上述， .选D
难度：中等题
17．如图，四个边长为 的小正方体排成一个大正方形， 是大正方形的一条边， 是小正方形的其余顶点，则 的不同值的个数为（）
（2）施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ，求 的长（结果精确到0.01米）．
考点：解斜三角形
解答：（1）设 ，则 .因 ，所以 ，即 ， （米）
（2）在 中，由已知， ， ，
由正弦定理得 ，解得 （米）．
在 中，由余弦定理得 ， 解得 （米）．所以， 的长约为26.93米．
难度：中等题
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．