第四章 第二节 平面波法
平面波2
(V / m)
试求：
(1) 工作频率f;
(2) 磁场强度矢量的复数表达式；
(3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值；
解：(1) 真空中传播的均匀平面电磁波的电场强度矢量的复
数表达式为
所以有
r E&
(erx
jery )104 e j20 z
(V / m)
k 20 , v 1 3108, k 2 , f v
Re
1 2
E&( z)
H&* ( z )
108
0
r ez
小结：Plane Wave
• 相互激发的电场和磁场在方向上相互垂直。 • 相互垂直的电场和磁场构成等相位面
– 即面上的任何一点的电场或磁场的相位是相等的 – 等相位面与传播方向相垂直
• 等相位面是平面的电磁波称为平面波。又称为 横电磁波, TEM: transverse electromagnetic
• 在均匀的各向同性的媒质(Isotropic Homogeneous Media)中,等相位面总是平面, 这时的平面波称 为均匀平面波, Homogeneous Plane Wave.
小结：理想介质中的均匀平面波
Ex
Hy
2E
2E t 2
0
2Ex z 2
2Ex t 2
Ex
T
z＝z0
0
t
电场与时间的关系
空间固定点（如z=0）电场随时间振荡
场强也随z变化。 图给出的是不同时刻t1和 t2(t2>t1)的电场对距离z的关系曲线。 由图可 见， 在任一固定时刻， 场强随距离z同样按 正弦规律变化， 且随着时间的推移， 函数的
《平面波函数》课件
平面波函数的特性
1
平面波函数具有周期性，即波的振动状态会重复 出现，这是由于波的传播具有周期性。
2
平面波函数的空间形式是平面波，即波的传播方 向与波矢 $mathbf{k}$ 垂直，而振幅在空间中是 均匀分布的。
3
平面波函数的时间形式是简谐振动，即波的振动 形式是正弦或余弦函数，这是由于波动现象通常 是由振源的振动所激发。
奇函数对称性
对于另一些平面波函数，如正切波和余切波，函数图像关于原点对称。这意味着对于任 何实数x，f(x) = -f(-x)成立。
平面波函数的周期性
周期性定义
如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内的所有x，f(x + T) = f(x)都成立，则称函数f(x)具有周期 性，T称为其周期。
常见周期函数
应用
在干涉实验中的应用
干涉实验是物理学中常用的实验方法，用于研究波的叠加和 相干性。平面波函数在干涉实验中扮演着重要的角色，因为 干涉现象是波函数相干叠加的结果。通过测量干涉条纹的分 布和变化，可以深入了解波的传播和叠加机制。
在干涉实验中，通常使用激光作为相干光源，其光场可以近 似为平面波函数。通过调整干涉臂的长度和角度，可以改变 干涉条纹的分布，进一步研究波函数的性质。
感谢观看
THANKS
这个表达式描述了波在三维空间中随时间和位置的变化规律，其中 $omega$ 和 $mathbf{k}$ 分别决定了波的频率和传播方向。
平面波函数的物理意义
平面波函数描述了波动现象中各点的 振动状态，它包含了波的振幅、相位 和传播方向等信息。
在物理中，波动是一种广泛存在的现 象，如声波、光波、电磁波等都可以 用平面波函数来描述。
在粒子加速器中的应用
固体物理学：第四章 第二节 平面波法
V(K4 K2)
V (K4 K3)
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波叠加 ，得到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出 100个能量本征值:
n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且 通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
其缺点是收敛较慢，特别是对于靠近原子核的芯电 子，为了展开这些震荡厉害的芯电子，需要非常多的 平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
上面波函数还可以写成上面波函数还可以写成写成狄拉克符号形式写成狄拉克符号形式其中其中kk平面波平面波所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一所以在周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加
第四章 能带论
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定 平面波的数目，相当于给定一个电子的最大 动能。由此我们可以定义一个平面波的截断 能量(cut-off energy):
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而 为相对于平均势的起伏
用| k+K h’>齐次方程
课件06-1+平面波方法
15
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 用 作用于赝波函数，可得
• 进一步，有
• 将哈密顿算符写成
16
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 定义赝势为
• 形式上，就有 • （3.3.9）就是赝波函数满足的方程。 • 赝势是核的库仑吸引势V加上一个短程的、非厄米的排斥势[(3.3.8)中第 二项]，两项之和使得总的势减弱，变得比较平坦；对这样的赝系统， 平面波展开赝波函数可以很快收敛。 • 虽然波函数是赝波函数，但是所得的能级确是对应真实晶体波函数真实 价态的本征能量EV。 • 赝势一般是非局域的。
函数组成的布洛赫波正交。这种基函数就是正交化平面波。
• 假设内层波函数是孤立原子芯态波函数的布洛赫和：
• 显然它不是晶体哈密顿量算子的本征态，但可以先假定它是，满足
4
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 定义正交化平面波为
• 右边第一项表示平面波，第二项求和包含所有的内层态。 • 可以验证，如下的正交化条件是满足的： • 正交化平面波（3.1.7）在远离原子核是像一个平面波，在原子核附近具 有原子核波函数迅速变化的特点。详见下图： • 这样，就能用这种基较好地描述价态的特征。
• 对角化这个行列式，就可得能量本征值和波函数（3.1.1）中的展开系数。 • 原则上应该是无穷阶的，但通常使用一个切断能量：
3
3. 能带计算方法：平面波与赝势
• 平面波展开，收敛很慢。在原子核附近，原子核势具有很强的定域性， 电子具有很大的动能，波函数很快地震荡；远离原子核的地方，因为电 子屏蔽，势能较浅、变化平坦，电子动能很小。 • 需要很多的平面波！对于Al晶体，需要1016个平面波才能收敛到基态。 • 缩小基集的办法：正交化平面波！不仅要动量k+K小的平面波，还要原 子核附近具有大动量的孤立原子波函数的成分，并且与孤立原子芯态波
第二节平面简谐波的波动方程
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解：由题意 波长 周期
T
u
1
0.40 m
8 105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cos t 0.1103 cos(25 103 t )m
（2）波函数
x y A cos (t ) u
3
x 3 0.110 cos 25 10 (t ) m 3 5 10
(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已 分别右移 3 4 而到达 M 1 '和 M 2 '处。
y /cm
M1
0.5 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.5
M1'
M2
M2'
a
10 20
b
30 40 50 60 70
x /cm t=3T/4
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例3 ：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿ox轴正向传播。 求：(1) a、b两点振动方向; (2) O点振动方程; (3) 波动表式 解：⑴ 由于波沿x正向传播，因 此任意时刻任意点都将重复其前 的点（图中左侧点）的振动，由 此可知： a点将向下振动； b点将向上振动。
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t ) = Acos ω x t - + 0 u
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。 沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
T
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第四章 阵列信号处理
通常信号的频带B比载波 ω 小很多，即s(t)变化 相对 ω 缓慢，则延时
1 c
r α <<
T
1 B
则可以认为 s (t − r α ) ≈ s (t ) 即信号包络 在各阵元上差异可忽略——窄带信号。
4.2 等距线阵与均匀圆阵
一、等距线阵 M个阵元等距排成一直线，阵元间距为d，到达波 的方向角定义为与阵列法线的夹角 θ ，称为波 达方向（DOA）。 在三维空间中还可以 θ θ 确定信源方位角 ψ
d
5
4
y
ψ
2
1
x
等距线阵（ULA）的方向向量
aULA (θ ) = [1, e = [1, e
−j 2π − j k d sin θ −j
,L, e
2π
− j k ( M −1) d sin θ T
]
λ
d sin θ
,L, e
λ
( M −1) d sin θ
]T
若有多个信源(p个),波达方向分别为 θ i (i − 1, L, p) 方向矩阵为
A = [a(θ1 ), a(θ 2 ),L, a(θ p )] = 1 ⎡ ⎢ e − j 2λπ d sin θ1 =⎢ ⎢ L ⎢ − j 2λπ ( M −1) d sin θ1 ⎣e ⎤ π − j 2λ d sin θ p ⎥ L e ⎥ ⎥ L L π − j 2λ ( M −1) d sin θ p ⎥ L e ⎦ L 1
θ
d sin θ
Vandermonde矩阵
阵列结构不允许其方向向量和空间角之间模糊， 等距线阵阵元间距不能大于 λ ，则可以保证 2 方向矩阵中各个列向量线性独立。 二、等距线阵的阵列响应与方向图 在单个信源情况下，阵列输出为各阵元信号的加 权和（不考虑噪声），
《平面电磁波》PPT课件
w E
1
B
2
2. 电磁场的能流密度 平面电磁波的能流密度
2 S EH E n E E n 1 S wn vwn wv
v为电磁波在介质中的相速。 由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能 把场强的复数表示直接代入。
计算和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得
E ( x, t ) E0 e
i kx t
其中x表示坐标原点到某等相位面的距离 ，kx即为
传播这一距离所对应的相位差。
对于任意方向传播的平面波
令 k 表示一个矢量，其大小
为 k ，方向沿平面波的传播
方向。则任意一点 P 与原点
之间的相位差应为kx’，即
kx kx cos k x
真空中
值如图所示．随着时间的推移，整个波形向x轴方 向的移动速度为
vc
r r
四、电磁波的能量和能流
1. 电磁场的能量密度
1 1 2 1 2 w E D H B E B 2 2
对于平面电磁波情形
E
2
1
2
B
2
所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等， 有
it
， g (t ) g 0e
it i
是f(t)和 g(t)的相位差. fg对一周期的平均值为
fg 2
2
0
dtf0 cos t g 0 cost
1 1 f 0 g 0 cos Re f * g 2 2 式中f *表示f的复共轭，Re表示实数部分。由此，
所以，一般情况下的平面表示式为
E(x, t ) E0ei k x t
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
第四章 电子衍射讲解
多晶电子衍射谱的形成
X射线花样形成示意图
电子衍射花样形成示意图
电子衍射基本公式
R Rd L
Ld
通常将K=λL=Rd称为 相机常数，而L被称 为相机长度。
3、现在的电镜极靴缝都非常小，放入样品台以后很 难再放得下一个光阑；
现在电镜的选区光阑可以做到非常小，如JEOL 2010 的选区光阑孔径分别为：5μm,20μm,60μm,120μm
衍射与选区的对应
A 磁转角
一束平行于主轴的入射电子束通过电磁 透镜将被聚焦在轴线上一点，即焦点F
类比光学玻璃凸透镜
Mi M p
mmM, 误i 差
Mp 3.3%
仪器误差——电子波长的不稳定性
内标像机常数
随物镜电流变化的校正曲线
电子衍射花样的标定与分析
电子衍射谱的标定就是确定电子衍射图谱中的诸 衍射斑点（或者衍射环）所对应的晶面的指数和 对应的晶带轴（多晶不需要）。
电子衍射谱主要有多晶电子衍射谱和单晶电子衍 射谱。电子衍射谱的标定主要有以下几种情况：
简立方：N=1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, …
体 心：N=2, 4, 6, 8, 10, 12,…
=1:2:3:4:5:6:7:8
面 心：N=3,4,,,,8,,,11,12,,,,16,,,19,20,,,,24,,,27,28,…
金刚石：N=3, ,,,,8,,,11, ,,,,16,,,19, ,,,,24,,,27, ,…
在 透 射 电 子 显 微 分 析 中 ， 即 有 Fresnel （ 菲 涅 尔 ） 衍 射 （近场衍射）现象，同时也有Fraunhofer（夫朗和费） 衍射（远场衍射）。 Fresnel（菲涅尔）衍射（近场衍 射）现象主要在图像模式下出现，而Fraunhofer（夫朗 和费）衍射（远场衍射）主要是在衍射情况下出现。
第四章-平面波
第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
第四章 海洋中的声传播理论
第四章 海洋中的声传播理论水声传播常用的方法：波动理论（简正波方法）——研究声信号的振幅和相位在声场中的变化；射线理论（射线声学）——研究声场中声强随射线束的变化，它是近似处理方法，且适用于高频，但它能有效、清晰地解决海洋中地声场问题。
4.1 波动方程和定解条件1、波动方程当介质声学特性是空间坐标的函数，则可得小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：p t u -∇=∂∂ρ 0=⋅∇+∂∂u tρρρd c dp 2= 状态方程可写为：tc t p ∂∂=∂∂ρ2由状态方程和连续性方程可得：012=⋅∇+∂∂u tp c ρ 利用运动方程从上式中消去u可得0112222=∇⋅∇-∂∂-∇ρρp tp c p当介质密度是空间坐标的函数时，波动方程的形式和密度均匀介质中波动方程的形式不同。
引入新的从变量：ρϕp=，则可得0432********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇+∂∂-∇ρρρρϕϕt c 对于简谐波，222ω-=∂∂t ，则上式可写为：()0,,22=+∇ϕϕz y x K式中，2224321⎪⎪⎭⎫⎝⎛∇-∇+=ρρρρk K 。
ϕ不是声场势函数，K 也不是波数。
在海水中，与声速相比密度变化很小，可将其视为常数，则()z y x c k K ,,ω==，于是()0,,22=+∇ϕϕz y x k ()0,,22=+∇p z y x k p如果介质中有外力作用F，例如有声源情况，则有()ρϕϕFz y x K ⋅∇=+∇,,22在密度等于常数时，有()ρϕϕFz y x k ⋅∇=+∇,,22()F p z y x k p⋅∇=+∇,,22上述赫姆霍茨方程是变系数的偏微分方程——泛定方程。
2、定解条件满足物理问题的具体条件——定解条件。
物理量在介质边界上必须满足的条件。
（1）绝对软边界绝对软边界条件：声压为零界面方程表示为()t y x z ,,η=，()()0,,,,,==t y x z t y x p ηη——不平整海面 也称为第一类齐次边界条件如果已知边界面上的压力分布，则()()s t y x z p t y x p ==,,,,,ηη，称为第一类非齐次边界条件。
电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
Rs
2
k
波长、波 k k 2
v f
速、频率
v
2
间的关系 T 1 2
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
证明：
B
k
E
B
i
E
i
E0eikx
i
eikx
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点
说 明
b)
EB
E, B, k
E构 B成 右E手 k螺 E旋关0系
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
v
v S
v E
v H
1
v E
v B
1
v E
导波光学
导波光学清华大学电子工程系范崇澄等编著内容简介本书系1988年出版的同名教材的修改版。
全书由九章增至十二章，系统讨论了用于光通信、光传感和光信息处理的光波导的基本原理和特性。
内容包括光波理论的一般问题、平面与条形光波导、耦合波理论、阶跃和渐变折射率光导纤维中的场解、光波导中的损耗、信号沿光波导传输时的弥散、单模光纤中的双折射和偏振态的演化、光纤光栅、有源掺杂光纤以及光纤中的非线性等内容。
在叙述中强调基本物理概念和处理方法的思路，并介绍了本学科近期发展的某些重要成果。
本书适合于有关光通信、信息光电子学、电子物理、以及微波技术等专业的大学高年级学生及研究生阅读，并可作为有关领域的教学、科学研究和工程技术人员参考。
教学大纲总学时：60。
授课方式：讲课+自学。
主要内容（根据需要有所取舍）：第一章光导波理论的一般问题§1-1 导波光学的基本问题及研究方法§1-2 几何光学方法§1-3 波动光学方法及波动方程§1-4 电磁波在介质界面上的反射及古斯-汉欣位移§1-5 光波导中模式的基本性质§1-6 弱导近似§1-7 传播常数（本征值）的积分表达式及变分定理§1-8 相速、群速及色散特性§1-9 本地平面波方法§1-10 光束的衍射·几何光学及本地平面波方法的应用范围§1-11 介质波导与金属波导的若干比较第二章平面及条型光波导§2-1 用本地平面波方法平面光波导的本征值方程§2-2 用电磁场方法求解平面光波导§2-3 条形光波导的近似解析解§2-4 条形光波导的数值解法概述第三章耦合模理论§3-1 模式正交性的及模式展开§3-2 导波模式的激励§3-3 耦合模方程及耦合系数§3-4 耦合模理论的局限及其改进第四章导波光束的调制§4-1 光波调制的一般概念§4-2 晶体的电-光特性§4-3 光波导的电-光调制§4-4 定向耦合型调制器/开关第五章阶跃折射率光纤中的场解§5-1 数学模型及波动方程的解§5-2 模式分类准则及模式场图(本征函数)§5-3 导波模的色散特性及U值的上、下限§5-4 色散特性的进一步简化§5-5 弱导光纤中场的标量近似解—线偏振模§5-6 平均功率与功率密度§5-7 模式场的本地平面波描述第六章渐变折射率弱导光纤中的场解§6-1 无界抛物线折射率弱导光纤中场的解析解§6-2 WKB法求解导波模的本征函数及本征值§6-3 模式容积及主模式号·泄漏模§6-4 单模光纤的近似解法（一）——高斯近似§6-5 单模光纤的近似解法(二) -- 等效阶跃光纤近似（ESF）§6-6 单模光纤的近似解法(三) - 矩等效阶跃折射率近似及其改进§6-7 单模光纤的模场半径§6-8 单模光纤的截止波长第七章光波导中的传输损耗§7-1 损耗起因和损耗谱§7-2 本征吸收及瑞利散射损耗§7-3 杂质吸收§7-4 弯曲损耗§7-5 弯曲过渡损耗§7-6 连接损耗第八章信号沿线性光波导传输时的畸变§8-1 脉冲沿线性光波导传输时畸变的起因及描述方法§8-2 材料色散§8-3 g型多模光纤的模间弥散§8-4 单模光纤的色散§8-5 单模光纤的色散对系统色散的影响§8-6 新型石英系光纤第九章单模光波导中的双折射及偏振态的演化§9-1 双折射现象及其意义§9-2 双折射光纤的参数及其分类§9-3 光纤中的线双折射§9-4 光纤中的圆双折射§9-5 偏振态沿光纤的演化（一）—琼斯矩阵法§9-6 单模光纤中偏振态的演化(二)—邦加球法§9-7 偏振模色散在邦加球上的描述第十章光纤光栅§10-1 概述§10-2光纤布拉格光栅(FBG)的基本原理、结构和分析方法§10-3 常见的FBG§10-4 采样布拉格光栅(SBG)§10-5 长周期光纤光栅第十一章掺铒光纤放大器§11-1 引言§11-2 掺铒光纤放大器的基本工作原理与特性§11-3 EDFA内部物理过程的进一步讨论和Giles参数§11-4 EDFA的稳态工作特性§11-5 EDFA中的增益瞬态过程§11-6 EDFA的设计原则第十二章光纤中的非线性效应§12-1 引言§12-2 光纤中的非线性薛定鄂方程§12-3 光纤中的受激散射§12-4 光纤中的四波混频效应§12-5 自相位调制（SPM）§12-6 非线性色散光纤中信道内的噪声演化与调制不稳定性§12-7 信道间的串扰噪声：互相位调制(XPM)和受激拉曼散射(SRS) 结语。
Chap4 第四章 导波光学中的倏逝场1
( 4 .6 )
rC if x ≥ 0 exp(− rx ) 2 n 0 −j q (− C sin qx + D cos qx ) Ez = if 0 ≥ x ≥ −2a ωε 0 n0 2 p if − 2a ≥ x n 2 (C cos 2aq − D sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] 0 对应的本征值方程为
其中，n1n2 为芯径和皮层的折射率，Jv 为 v 阶一类 Bessel 函数；Kv 为一类 v 阶修正 Bessel 函数。 同样可以得到 Hz （r） 的类似表达式。 其它分量可以用 Maxwell 方程推导出来。 芯层外的皮层里面对应着该模式的倏逝波成分。 Fig.4.11,Fig.4.12 ， Fig.4.13 给出了 TM01、TM02、TM21 模式的 Ez 和 Hz。V 为归一化的频率
( 4 .2 )
0 ≥ x ≥ −2 a if − 2a ≥ x
其中 p、q 和 r 是传输常数
q 2 = n1 k 2 − β 2
2
p 2 = β 2 − n22k 2 r 2 = β 2 − n 23k 2
其中 k = ω (µ 0ε 0 )
1/ 2
(4.4)
。由连续性条件得到本征值方程为
tan (2aq ) =
if x≥0 A exp(− rx ) E y = A cos qx + B sin qx if 0 ≥ x ≥ −2a ( A cos 2aq − B sin 2aq )exp[ p(x + 2a )] if − 2a ≥ x − A exp(− rx ) −j Hz = − q (− A sin qx + B cos qx ) ωµ 0 p ( A cos 2aq − B sin 2aq )exp[ p( x + 2a )] if if x≥0 (4.3)
4.1平面电磁波
2 0 0 E 0 0 2 E t t t
2 1 E 2 E 2 0 2 c t
c
1
1 B B 2 2 0 c t
2 2
0 0
能否直接用到介质中？
b) 介质情形
电磁波动在介质中一般频率成分不是单一 的，可能含有各种成分。 对均匀介质 ， ( )的 现象称为介质的色散。
为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式．设 f(t)和g(t)有复数表示
f t f 0e
fg 2
2
it
, g t g0e
it i
是f(t)和 g(t)的相位差. fg对一周期的平均值为
0
dt f 0 cos t g 0 cos t
S E H E x, t E0e
能流密度的 平均值为
i k x t
H nE
1 S Re E * H 2 1 i k x t i k x t Re E0 e n E0e 2
1 2 E0 n 2
任意方向传播的平面波.ppt
由此可见，只有当时 1 ， 2反射系数 无反射。
。R因此0 ，垂直极化波不可能发生
任意极化的平面波总可以分解为一个平行极化波与一个垂直极化波之 和。
当一个无固定极化方向的光波，若以布鲁斯特角向边界斜投射时， 由于平行极化波不会被反射，因此，反射波中只剩下垂直极化波。可见 ，采用这种方法即可获得具有一定极化特性的偏振光。
r xex yey zez
令该矢量 r 与传播方向es的夹角为 ，则距离 d 可以表示为
d r cos es r
z 波面
考虑到上述关系，点的电场强度可
表示为
P0
E E0e j k esr
d r
若令
kes k
则上式可写为
E E0e jkr
E0
x
es P(x, y, z)
y
上式为沿任意方向传播的平面波表达式。这里 k 称为传播矢量，其大小
由于光导纤维的介质外层表面存在表面波，因此，必须加装金属 外壳给予电磁屏蔽，这就形成光缆。
应注意，上述全部结论均在 1 2 的前提下成立。
当 1 2，1 2时，只有垂直极化波才会发生无反射现象。 当 1 2 ，1 2 时，两种极化波均会发生无反射现象。
例 设 z 区 0域中理想介质参数为
7. 任意方向传播的平面波
设平面波的传播方向为es，则与 es 垂直的平面为该平面波的波面，
如下图示。
令坐标原点至波面的距离为d，坐
z 波面
P0
E0
d r
x
es P(x, y, z)
y
标 原 点 的 电 场 强 度 为 E0 ， 则 波 面 上 P0 点的场强应为
E(P0 ) E0ejkd 若令P 点为波面上任一点，其坐标 为(x, y, z)，则该点的位置矢量 r 为
平面波函数
设 = 0 ，以便在二维里分析模的传播。
y
假设介质或其他类型的波导位于x＝0以下，x＝0以上一 直到正无穷大是自由空间。
场满足标量场方程：
2 ( x 2
2 z 2
+
k2 )u(x,
z)
=
0
这个标量场方程的解为：
u( x, z) = e-jpx- jkz z
我们知道， pr 0 表示波向x轴的正方向传播， r 0 表示波向z轴的正方向传播； pr 0 表示波向－x方向传播， r 0 表示波向－z方向传播。
这两个参数正负值的不同组合，代表了波向不同方向传 播。
另外两个参数 和 t 是波的衰减因子（我们以前所接
触到的一般是 α > 0 ，t 0 ），当 ＝0，t ＝0时，波无
A u2 sin ua = -B v2e-va/2
εd
2 ε0
Au cos ua = -Bve-va/2 2
把上面的两个方程左右两边分别相除得到：
ua tan ua = εd va 2 2 ε0 2
（ 5.1.16 ）
这个公式和前面的色散关系式（5.1.15）是决定TM模
的截止频率和 k z 的特征方程。
（5.3.2）
把方程（5.3.2），带入方程（5.3.1）中，得到 ：
p2 + kz2 = k2
（5.3.3）
在通常情况下，p和 kz是复数，可以设为以下形式：
p = pr - jt kz = r - j
（5.3.4）
把上式带入方程（5.3.3），得到以下的关系：
pr2 -t2 r2 - 2 = k2 prt r = 0 把方程（5.3.2）重新整理可以得到 ：
平面波展开法
G3
λ eiG3 ir i G3 G2
k + G2
lul k +G2 ei(k
) +G2 ir
⎞ ⎟ ⎠
∑∑( ) ( ) ∂
∂xi
⎛ ⎜
λ
⎝
∂ul ∂xl
⎞ ⎟ ⎠
=
−
G3
G2
k + G2 l
λ G3 + k + G2 xi
( ) l
i G3 +k +G2 ir
u e G3 k +G2
∑ ( ) ∂ul
∑ ∑ ⎪
⎪ ⎪⎩ G′
G′′
ρ −1 G −G′′
⎛ ⎜⎝
k
+
G′
⎞ ⎟⎠l
⎛ ⎜⎝
k
+
G′′
⎞ ⎟⎠l
μ ui G′′ −G′ k +G′
⎪ ⎪ ⎪⎭
∑ ∑ ∑ ω2uk+G
=
G′
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ G′′ ⎪⎩
ρ −1 G −G′′
⎡⎛ ⎢⎢⎜⎝ ⎢⎛ ⎢⎣⎜⎝
k k
+ +
G′ G′
⎞ ⎟⎠l
⎪ ⎪ ⎪⎭
∑ ∑ ∑∑ ω2
u k
+G=Fra bibliotekGG
⎧
⎪
⎪
⎪⎪ ⎨
G′
⎪
G′′
ρ −1 G −G′′
⎡⎛ ⎢⎢⎜⎝ ⎢⎢⎣⎛⎜⎝
k k
+ +
G′ G′
⎞ ⎟⎠l
⎛ ⎜⎝
k
+
G′′
⎞ ⎟⎠ xi
⎞ ⎟⎠xi
光波面与光波法线面
个方的光线）末端（点a、b、c、d、e、f）分别
作切线与椭圆相切，然后在自椭圆中心作这些切线
的垂线（垂足分别为a、b'、c'、d'、e'、
f ），Oa、Ob'、Oc'···Of即是与上述光线
相当的波法线。a、b'、c'、d'、e'、f
各点一定都位于光波法线面上。
如果自椭圆中心向四面八方引许多光
线，分别求其波法线，然后将波法线的 末端用曲线联结起来，即得到一个两头
如图4.3是一轴晶光率体的主切面，
Q
Ne
R
P
α
N
Tα
O
N
o
ON是某一法线方向，当光沿此方向
R'
进行时，非常光在主切面内振动，常 图4.3 自折射率球
光则在垂直主切面的平面内振动。
光线速度
常光折射率等于No，而非常光折射率（Ne'）则等
于OR，或OR’。对于常光而言，它在各个方向速度相
等，所以常光的光波面是一球面，球的半径是1/No。 对于非常光而言，其法线速度等于1/OR，然而其光线
o
R点作OP的垂线RT，ORT ， RT OR，gcos
R'
OR方向的折射率等于线段RT，因此光线速度等于 1 R。T
同样，对于任意方向的光线均可求得相应的光线速度。
由图可见，只有当光沿着主切面的二主轴方向进行时，
光线与波法线是一致的。当光线平行光轴方向进行 时，常光与非常光速度相等，光线速度是1/No，当 光线垂直光轴方向进行时，常光速度与非常速度差 别最大，常光速度（O）是1/No,非常光速度（E）是 1/Ne。
速度却不等于此值，与波法线ON相当的光线是OP。
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平面波，在对角化时候速度非常慢，甚至变得不现实。
通常我们是通过设定一个最大的Kmax来确定平面 波的数目，相当于给定一个电子的最大动能。由 此我们可以定义一个平面波的截断能量(cut-off energy):
h \ h'
1
2
3
1 2
3
2 2 (k K1 ) E (k ) V ( K1 K 2 ) V ( K1 K3 ) 2m 2 2 (k K 2 ) E (k ) V ( K 2 K 3 ) V ( K 2 K1 ) 2m 2 2 (k K 3 ) E (k ) V ( K3 K 2 ) V ( K3 K1 ) 2m
a 是 （k+Kh ）的函数。
上面波函数还可以写成
写成狄拉克符号形式
其中|k+Kh>是 平面波
所以在周期场中，单电子波函数是一系列相差一 个倒格矢的平面波的叠加。 很显然，如果知道了波函数的展开系数a，就知道 了整个波函数。为了求解待定系数a，将波函数代入波 动方程得到：
上式中哈密顿量 =
周期势也可以在倒空间展开：
我们以Ca的3s电子的波函数为例：
在原子核0.1埃范围内，波函数的变化非常剧烈，要用平面波来 展开这个波函数，必须要用周期小一个量级的波，即波长为 0.01埃。所以Kmax=2π/0.01埃=6.3x1012 m-1, 假设晶格常数为3埃， 那么第一布里渊区为9.2x1030m-3，在以Kmax为半径的球内，大概 有108个倒格矢，也就是要108个平面波！
固体物理学
2013-2014学年第二学期
周 健 2014.05.22
Nanjing University
第四章 能带论
基组
波函数可以用任何一组正交、完备的基函数展开。
确定了基组，求解薛定谔方程就是要求解波函数在这 基组上的展开系数C。
把上面的波函数代入薛定谔方程，同时左乘 得到关于C的线性方程组：
其中展开系数为
为平均势，通常取作0，而
为相对于平均势的起伏
用<k+K h’|作用到 方程： 同时注意到：
得到待定系数a的线性齐次方程
其中的V矩阵元为：
所以上面的线性方程为
上面的方程有非零解的条件是系数行列式为零：
上面的方程中大K h是一个倒格矢，原则上是一个无穷 阶 的行列式，记作： 其对角元和非对角元写成：
因此，实际计算中很少完全直接采用平面波 来计算能带。一般是通过正交或者缀加平面 波，或者通过赝势结合平面波的方法。
不同的基组有不同的特点，常见的基组有以下几类：
原子轨道基 高斯型 Slater型 赝原子轨道 数值型 缀加形式 FLAPW，LMTO 平面波 数值基
在晶体中，用的比较多是平面波和赝原子轨道基组：
平面波基，其优点是形式简单，推导方便，基组与原 子位置无关，而且通过增加截断能可以方便地增加平 面波个数，从而达到收敛。 缺点是平面波原则上需要有无穷多个才会正交归一， 用来实际计算时只能取有限多个，但通常个数较多， 计算量很大。而且平面波是延展波，哈密顿矩阵通常 是非稀疏的，计算量和平面波个数的三次方成正比。
4
V ( K 4 K1 )
V (K4 K2 )
V ( K 4 K3 )
实际计算只能取有限阶的行列式。比如取100个平面波，得 到100x100的行列式，得到100个线性方程组，可以求出100 个能量本征值: n为能带序号。
平面波方法优点是简单，有较好的解析形式。而且
通过不断增加平面波数，总能得到收敛解。
哈密顿矩阵一般是稀疏的，可以实现O(N)的计算。
缺点是：一般计算精度相对较低；基组个数增加困 难，收敛性较差；基组位置与原子坐标有关，原子 如果位移，则基组会变。
§4.2 平面波法
根据布洛赫定理，周期势场中的单电子波函数是一个 调幅平面波：
对调幅因子按倒格矢做傅里叶展开：
其中
波函数写成：
展开系数写成u的逆傅里叶变换
通过求解系数行列式等于0，可以得到能量本征值和 本征波函数。（要先求出哈密顿在基组下的矩阵元 以及基组本身的交叠矩阵）。 哈密顿矩阵的大小等于基组的大小。理论上，基组 的选取没有特别的限制，只是来构造一个希尔伯特 空间，给哈密顿量有一个矩阵表达式。
虽然基组选择有很大自由度， 但基组选取一般有如下原则： 1. 2. 3. 完备的集合，通过线性组合获得实际的波函数 基组与原子波函数相近，从而减少展开基组的数目 最好形式简单，多中心积分容易计算
为了克服平面波的缺点，平面波基组通常与赝势结合， 或者通过正交平面波或者缀加平面波，来减少基组的 个数，从而使得计算实际材料变得可能。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
另一组通常采用的基组是局域基组，比如Wannier函 数或者赝原子轨道基组。 所谓局域基组是指基函数在实空间比较“集中”， 只有在一定空间范围内才有值，局域基组的优点是： 局域基数目一般比较少，计算量很小。