高考导数专题复习

高考导数专题复习

高考数学专题复习——导数

目录

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

三、交点与根的分布

1、判断零点个数

2、已知零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

2、变形构造函数证明不等式

3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之分离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

(1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '， 且切线方程为

000()()()y f x x x f x '=-+。

(2)若可导函数()y f x =在

0x x = 处取得极值， 则0()0f x '=。反之， 不成立。

(3)对于可导函数()f x ， 不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不

恒为0）.

(5)函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值， 则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ， 则有

0∆>）。

(6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数， 进而得到()f x '0≥或

()f x '0≤在I 上恒成立

(7)若x I ∀∈， ()f x 0>恒成立， 则min ()f x 0>; 若x I ∀∈， ()f x 0<恒成立， 则

max ()f x 0<

(8)若0x I ∃

∈， 使得0()f x 0>， 则max ()f x 0>；若0x I

∃∈， 使得0()f x 0<， 则

min ()f x 0<.

(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ， 若x ∀

∈D ()()f x g x >恒成立， 则有

[]min ()()0f x g x ->.

(10)若对11x I ∀

∈、22x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立， 则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈， 22x I ∃∈， 使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀

∈， 22x I ∃∈， 使得12()()f x g x <， 则max max ()()f x g x <.

（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,， ()g x 在区间2I 上值域为B ，

若对11x I ∀

∈,22x I ∃∈， 使得1()f x =2()g x 成立， 则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点， 则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，

且极大值大于0， 极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③

1x e x ≥+ ④

1x e x -≥-

⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

⑦ sinx

e (x>0)

1 x

x +

一、有关切线的相关问题

例题、【2019高考新课标1， 理21】已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； 【答案】（Ⅰ）34

a =

跟踪练习：

1、(2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ， g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， 且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ， b ， c ， d 的值；

解：(1)由已知得f (0)＝2， g (0)＝2， f ′(0)＝4， g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ， g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2， d ＝2， a ＝4， d ＋c ＝4. 从而a ＝4， b ＝2， c ＝2， d ＝2.

2、【2019高考新课标1， 理21】已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （Ⅰ）求a 、b 的值；

解：（Ⅰ）22

1

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=

-+

由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)， 故(1)1,

1'(1),2

f f =⎧⎪

⎨=-⎪⎩即

1,1,22

b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩

解得1a =， 1b =。

3、 (2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+， 曲线()y f x =在点（1，

(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；

【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞， 112()ln x

x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+-+

由题意可得(1)2,(1)f f e '==， 故1,2a b == ……………6分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用 （一）单调性

1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2019高考江苏， 19】

已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++=.

（1）试讨论)(x f 的单调性；

【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛

⎫-∞-

⎪⎝⎭， ()0,+∞上单调递增， 在2,03a ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上单调递减；

当0a <时， ()f x 在(),0-∞， 2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在20,3a ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭上单调递减．