高考导数专题复习
高中高考数学专题复习《函数与导数》
50．设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为.
51．函数 在定义域 内可导，其图
象如图，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为_____________
52．由直线 ， ，曲线 及 轴所围成的图形的面积是．
53．曲线y＝ex在 处的切线方程是.
54．对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 ，请你根据上面探究结果，计算
9．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（）
A BLeabharlann C 和 D 和10．曲线 在点 处的切线方程是
A． B．
C． D．
11．若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）
A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒
12．函数 图象上关于原点对称点共有（ ）
高中高考数学专题复习<函数与导数>
1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（）
A． B. C. D.
2．函数 的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
3．下列四组函数中，表示同一函数的是()
A．y＝x－1与y＝ B．y＝ 与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2D．y＝lgx－2与y＝lg
A．“函数与方程”的上位B．“函数与方程”的下位
C．“函数模型及其应用”的上位D．“函数模型及其应用”的下位
29．已知 （）
A、 B、 C、 D、
导数专题复习1切线问题课件高三数学二轮专题复习
1.已知函数 f x 是偶函数，定义域为，0 0， ，且x 0 时，
11
f
x
x ex
1
，则曲
线 y f x 在点1，f 1 处的切线方程为
y x ee
．
思考 : 思考1.切点知道了吗,怎么求切点？
思考2.怎么求在切点处切线的斜率？
2.设 P 是函数 y x x 1 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为
（这个定值k 就是切线PT 的斜率
k
lim
Pn P
k
PPn
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
f '(x0)
知识点归纳:
1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中 出现，若为解答题，主要考点为： (1)导数的几何意义; (2)直线与函数图象相切的条件。
解：f (x) ln x 1
设切点为T (x0, x0 ln x0 ) 则切线方程为 y x0 ln x0 (ln x0 1)(x x0 )
点(e2, 0) 落在切线上
e2x0 ln x0 1 0
h(x) 是单调递增
令h(x) e2x ln x 1 则h(x) e2 1 (x 0)
6.已知 S x a2 ln x a2 aR ，则S 的最小值为（ B ）
A． 2 2
B． 1 2
C． 2
D． 2
思考 : 思考1.你能观察出本题的几何意义吗？
思考2.怎样借用导数的方法解决此题？
7.若曲线C1:y
x2 与曲线 C2
:
y
ex a
（a
0 ）存在公共切线，则a
高考数学复习专题训练—利用导数研究函数的零点(含解析)
高考数学复习专题训练—利用导数研究函数的零点1.(2021·福建厦门月考)已知函数f (x )=x 3-43x 2e x 的定义域为[-1,+∞). (1)求f (x )的单调区间;(2)讨论函数g (x )=f (x )-a 在区间[-1,2]上的零点个数.2.(2021·江苏苏州月考)已知函数f (x )=x 2a -2ln x (a ∈R ,a ≠0). (1)求函数f (x )的极值;(2)若函数f (x )有两个零点x 1,x 2(x 1<x 2),且a=4,证明:x 1+x 2>4. 3.(2021·山东烟台期中)已知函数f (x )=ax+2ex +1(a ∈R ). (1)若函数f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,求实数a 的取值范围; (2)当a ≠0时,讨论函数g (x )=f (x )-a-3的零点个数,并给予证明.4.(2021·山西太原三模)已知函数f (x )=a ln x-14x 2+b-ln 2的图象在点(2,f (2))处的切线方程为y=-12x+1. (1)求f (x )的单调区间;(2)设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数g (x )=f (x )-m 的两个零点,求证:x 2-x 1<32-4m.5.(2021·广东佛山期末)已知函数f (x )=ln x-mx 有两个零点. (1)求m 的取值范围;(2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:f'(x 1+x 2)<0.6.(2021·山东实验中学模拟)已知函数f (x )=2e x sin x (e 是自然对数的底数). (1)求f (x )的单调区间;(2)记g (x )=f (x )-ax ,0<a<6,试讨论g (x )在区间(0,π)上的零点个数(参考数据:e π2≈4.8).答案及解析1.解 (1)f'(x )=x 3+53x 2-83x e x =x3(3x+8)(x-1)e x ,因为x ∈[-1,+∞),所以函数f'(x )的零点为0和1. 所以当0<x<1时,f'(x )<0; 当x>1或-1≤x<0时,f'(x )>0.所以f (x )的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为[-1,0),(1,+∞).(2)由(1)知,f (x )在区间[-1,2]上的极大值为f (0)=0,极小值为f (1)=-e3.因为f (-1)=-73e ,f (-1)f (1)=7e 2<72.72<1,所以f (1)<f (-1)<0.f (2)=8e 23,由g (x )=0,得f (x )=a.故当a<-e3或a>8e 23时,g (x )的零点个数为0; 当a=-e 3或0<a ≤8e 23时,g (x )的零点个数为1;当-e3<a<-73e 或a=0时,g (x )的零点个数为2; 当-73e ≤a<0时,g (x )的零点个数为3. 2.(1)解 函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2xa −2x =2x 2-2aax. 当a<0时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,所以f (x )在区间(0,+∞)上无极值;当a>0时,若x ∈(0,√a ),f'(x )<0,f (x )在区间(0,√a )上单调递减.若x ∈(√a ,+∞),f'(x )>0,f (x )在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,+∞)上的极小值为f (√a )=1-2ln √a =1-ln a ,无极大值. (2)证明 当a=4时,f (x )=x 24-2ln x.由(1)知,f (x )在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,x=2是函数f (x )的极值点.又x 1,x 2为函数f (x )的零点,所以0<x 1<2<x 2,要证x 1+x 2>4,只需证x 2>4-x 1.∵f (4-x 1)=(4-x 1)24-2ln(4-x 1)=x 124-2x 1+4-2ln(4-x 1),又f (x 1)=x 124-2ln x 1=0,∴f (4-x 1)=2ln x 1-2x 1+4-2ln(4-x 1). 令h (x )=2ln x-2x+4-2ln(4-x )(0<x<2),则h'(x )=2x -2+24-x=2(x -2)2x (4-x )>0,∴h (x )在区间(0,2)上单调递增,∴h(x)<h(2)=0,∴f(4-x1)<0=f(x2),又4-x1>2,x2>2,∴4-x1<x2,即x1+x2>4得证.3.解(1)f'(x)=a-2e x.由题意得f'(x)≥0,即a≥2e x在区间(1,+∞)上恒成立.当x∈(1,+∞)时,2e x∈0,2e,所以a≥2e.故实数a的取值范围为2e,+∞.(2)当a<0时,函数g(x)有且只有一个零点; 当a>0时,函数g(x)有两个零点.证明如下:由已知得g(x)=ax+2e x-a-2,则g'(x)=a-2e x=ae x-2e x.当a<0时,g'(x)<0,所以函数g(x)单调递减.又g(0)=-a>0,g(1)=2e-2<0,故函数g(x)有且只有一个零点.当a>0时,令g'(x)<0,得x<ln 2a,令g'(x)>0,得x>ln2a,所以函数g(x)在区间-∞,ln2a上单调递减,在区间ln 2a,+∞上单调递增,而g(ln2a)=a ln2a−2a<0,g(a+2a)=2ea+2a>0.由于x>ln x,所以a+2a>2a>ln2a,所以g(x)在区间ln2a,a+2a上存在一个零点.又g ln2a2+a+2=a a-ln a2+a+22,且ln2a2+a+2<ln2a,设h(a)=a-ln a2+a+22,则h'(a)=1-2a+1 a2+a+2=a2-a+1a2+a+2>0在区间(0,+∞)上恒成立,故h(a)在区间(0,+∞)上单调递增.而h(0)=0,所以h(a)>0在区间(0,+∞)上恒成立,所以g ln2a2+a+2>0,所以g(x)在区间ln2a2+a+2,ln2a上存在一个零点.综上所述,当a<0时,函数g(x)有且只有一个零点; 当a>0时,函数g(x)有两个零点.4.(1)解由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax −12x,又函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=-12x+1,所以{f(2)=0,f'(2)=-12,即{aln2-1+b-ln2=0,a2-1=-12,解得{a=1,b=1,所以f(x)=ln x-14x2+1-ln 2,f'(x)=1x−12x=2-x22x,当x∈(0,√2)时,f'(x)>0;当x∈(√2,+∞)时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,√2),单调递减区间为(√2,+∞).(2)证明由(1)得f(x)=ln x-14x2+1-ln 2(x>0),且f(x)在区间(0,√2)上单调递增,在区间[√2,+∞)上单调递减,由题意得f(x1)=f(x2)=m,且0<x1<√2<x2,∴x2-x1-32+4m=x2-x1-32+2(f(x2)+f(x1))=2ln x2+x2-12x22+2ln x1-x1-12x12+52-4ln 2.令t1(x)=2ln x+x-12x2,x>√2,则t1'(x)=(x+1)(x-2)-x,令t1'(x)>0,得√2<x<2;令t1'(x)<0,得x>2,∴t1(x)在区间(√2,2]上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,∴t1(x)≤t1(2)=2ln 2.令t2(x)=2ln x-x-12x2,0<x<√2,则t2'(x)=(x+2)(x-1)-x,令t2'(x)>0,得0<x<1;令t2'(x)<0,得1<x<√2,∴t2(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间[1,√2)上单调递减,∴t2(x)≤t2(1)=-32,∴x2-x1-32+4m≤t1(2)+t2(1)+52-4ln 2=1-2ln 2<0.∴x2-x1<32-4m.5.(1)解f'(x)=1x -m=1-mxx(x>0),当m≤0时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,至多有一个零点;当m>0时,若0<x<1m,则f'(x)>0,f(x)在区间0,1m上单调递增;若x>1m,则f'(x)<0,f(x)在区间1m,+∞上单调递减,∴f(x)在x=1m 处取得最大值,由题意得f(1m)=-ln m-1>0得0<m<1e,此时,有1m2>1 m >e>1,而f(1)=-m<0,f(1m2)=-2ln m-1m<0,∴由零点存在定理可知,f (x )在区间1,1m 和1m ,1m 2上各有一个零点.综上所述,m 的取值范围是0,1e .(2)证明 ∵x 1,x 2是f (x )的两个零点,不妨设x 1>x 2>0,∴ln x 1-mx 1=0①,ln x 2-mx 2=0②,①-②得ln x 1-ln x 2=mx 1-mx 2,即有m=ln x 1-ln x2x 1-x 2,由f'(x )=1x -m ,有f'(x 1+x 2)=1x 1+x 2-m=1x 1+x 2−ln x 1-ln x 2x 1-x 2, ∴要证f'(x 1+x 2)<0,即证ln x 1-ln x 2x 1-x 2>1x 1+x 2, 即证ln x 1-ln x 2>x 1-x2x 1+x 2,即证ln x1x 2−x 1x 2-1x 1x 2+1>0,即证ln x 1x 2+2x 1x 2+1-1>0,令x1x 2=t>1,设φ(t )=ln t+2t+1-1(t>1),则φ'(t )=t 2+1t (t+1)2>0,∴φ(t )在区间(1,+∞)上单调递增,则φ(t )>φ(1)=0, ∴f'(x 1+x 2)<0得证.6.解 (1)函数f (x )=2e x sin x 的定义域为R .f'(x )=2e x (sin x+cos x )=2√2e x sin x+π4.由f'(x )>0,得sin x+π4>0,可得2k π<x+π4<2k π+π(k ∈Z ),解得2k π-π4<x<2k π+3π4(k ∈Z ),由f'(x )<0,得sin x+π4<0,可得2k π+π<x+π4<2k π+2π(k ∈Z ),解得2k π+3π4<x<7π4+2k π(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间为-π4+2k π,3π4+2k π(k ∈Z ),单调递减区间为3π4+2k π,7π4+2k π(k ∈Z ).(2)由已知g (x )=2e x sin x-ax ,所以g'(x )=2e x (sin x+cos x )-a ,令h (x )=g'(x ),则h'(x )=4e x cos x.因为x ∈(0,π),所以当x ∈0,π2时,h'(x )>0;当x∈π2,π时,h'(x)<0,所以h(x)在区间0,π2上单调递增,在区间π2,π上单调递减,即g'(x)在区间0,π2上单调递增,在区间π2,π上单调递减.g'(0)=2-a,g'(π2)=2eπ2-a>0,g'(π)=-2eπ-a<0.①当2-a≥0,即0<a≤2时,g'(0)≥0,所以∃x0∈π2,π,使得g'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减.因为g(0)=0,所以g(x0)>0.因为g(π)=-aπ<0,所以由零点存在定理可得,此时g(x)在区间(0,π)上仅有一个零点.②当2-a<0,即2<a<6时,g'(0)<0,所以∃x1∈0,π2,x2∈π2,π,使得g'(x1)=0,g'(x2)=0,且当x∈(0,x1),x∈(x2,π)时,g'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,g'(x)>0.所以g(x)在区间(0,x1)和(x2,π)上单调递减,在区间(x1,x2)上单调递增.因为g(0)=0,所以g(x1)<0,因为g(π2)=2eπ2−π2a>2eπ2-3π>0,所以g(x2)>0,因为g(π)=-aπ<0,由零点存在定理可得,g(x)在区间(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,即此时g(x)在区间(0,π)上有两个零点.综上所述,当0<a≤2时,g(x)在区间(0,π)上仅有一个零点;当2<a<6时,g(x)在区间(0,π)上有两个零点.。
专题2 导数中的综合问题
常见曲线，动直线，参数与动直线问题等
处理含参问题的三种常见思路：全分离，半分离，不分离
全分离——分离参数（一刀两断型）优点：快到斩乱麻，实战中易操作，无参状态下顾虑较少缺点：遇到洛必达类型题会束缚住手脚，更有甚者想一刀两断，却剪不断，理还乱 半分离——数形结合（藕断丝莲型）优点：是非曲直，尽在图中，数形结合，一览无余，省略步骤，节约时间缺点：步骤有时欠规范，容易被莫名扣分，有时结构太复杂很难做曲直分参的效果出来不分离——分类讨论（不离不弃型）优点：步骤规范，简直是标配通法缺点：因为含参讨论所以会长篇大论，尤其是取点难题苦不堪言
例题2 已知函数 ,且曲线 在点 处的切线方程为 .
（1）求实数 , 的值及函数 的单调区间；
【解】由 ,得 ,因为曲线 在点 处的切线方程为 ,所以有 , ,即 解得 所以 ,由 ,得 ，所以函数 的单调递增区间是 ;由 ,得 ,所以函数 的单调递减区间为 .
课堂小结
全分离——分离参数（一刀两断型）优点：快到斩乱麻，实战中易操作，无参状态下顾虑较少缺点：遇到洛必达类型题会束缚住手脚，更有甚者想一刀两断，却剪不断，理还乱 半分离——数形结合（藕断丝莲型）优点：是非曲直，尽在图中，数形结合，一览无余，省略步骤，节约时间缺点：步骤有时欠规范，容易被莫名扣分，有时结构太复杂很难做曲直分参的效果出来不分离——分类讨论（不离不弃型）优点：步骤规范，简直是标配通法缺点：因为含参讨论所以会长篇大论，尤其是取点难题苦不堪言
演练中，不离不弃强化基础；实战中，大题一刀两断开路，小题藕断丝莲冲锋，灵活应对，三法结合，必能突破重围
归纳总结：
对点训练
(2023·黑龙江哈尔滨模拟)若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的范围是________.
高考数学二轮导数专题复习——第二十二节 双变量问题之换元法与主元法-原卷版
第二十二节 双变量问题之换元法与主元法知识与方法1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于12x x 的整体结构，通过将12x x 换元成t 把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有1x 和2x 两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x ，构造函数研究问题.典型例题【例1】已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设0b a >>，证明：()()()()ln 2f a a b f a b f b ++>+-. 【例2】已知函数()2ln f x x x ax =-()a ∈R . （1）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）若1x ，2x 是()f x 的两个不同的极值点，证明：123ln ln 1x x +>-. 【例3】已知函数()()ln ln ax f x e x x=-（1）当a e =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当a e >时，证明：()()1f x a e <-.强化训练1．设a 和bln ln 2a b a ba b -+<<-. 2．已知函数()x f x e =，()ln g x x =（1）若直线1y kx =+与()g x 的图象相切，求实数k 的值； （2）设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.3．已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-，其中a ∈R . （1）当2a e =-时，求()f x 的极值；（2）当0a >，120x x >>时，证明：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．设函数()()()2ln 12f x x a x x =+--，其中0a ≠.（1）当12a =时，证明：()f x 有且仅有一个零点； （2）在函数()y f x =的图象上是否存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得线段AB 中点的横坐标0x 与直线AB 的斜率k 之间满足()0k f x '=?若存在，求出0x ；若不存在，说明理由.。
高考数学专题复习《导数的综合应用》PPT课件
(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;
(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略
(+1)ln
H(x)=
,则
-1
1
=
--2ln
(-1)
2
,
2 -2+1
K'(x)= 2 >0,于是
K(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以 K(x)>K(1)=0,于是 H'(x)>0,从而 H(x)在(1,+∞)上单调递增.由洛必达法
(x+1)x
则,可得 lim+
x-1
→1
取值范围是(-∞,2].
第三章
高考大题专项(一) 导数的综合应用
内
容
索
引
01
突破1
利用导数研究与不等式有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
02
突破2
利用导数研究与函数零点有关的问题
必备知识预案自诊
关键能力学案突破
【考情分析】
从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小
两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及
(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的
最大值.
(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的
超实用高考数学专题复习：第四章导数及其应用 导函数的“隐零点”问题
(2)证明 g′(x)＝（x－2）ex＋ x3 a（x＋2）＝x＋x32(f(x)＋a). 由(1)知，f(x)＋a单调递增，对任意a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0. 因此，存在唯一xa∈( 0，2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0. 当0<x<xa时，f(x)＋a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.
因为 y＝x＋ex 2单调递增，对任意 λ∈12，e42，存在唯一的 xa∈(0，2]，a＝－f(xa)∈[0，1)， 使得 h(a)＝λ.所以 h(a)的值域是12，e42. 综上，当 a∈[0，1)时，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是12，e42.
题型二 不等式证明中的“隐零点” 【例 2】 (2019·天津卷)设函数 f(x)＝ln x－a(x－1)ex，其中 a∈R.
导函数的“隐零点”问题
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要 认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟 着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善 于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查 ，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。 在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面 对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难” ，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好 再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天 冲刺复习方法。
导数专题复习题
导数专题复习一、求下列函数的导数1．（08浙江）()()f x x x a =-2．（07天津）2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． 3．（08陕西）21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ） 4．（06山东） ()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥- 5．（08安徽）1()(01)ln f x x x x x=>≠且6．（09全国）()()21f x x aIn x =++ 7．（07海南）2()ln(23)f x x x =++． 8．（07海南理） 2()ln()f x x a x =++ ．*9．（09辽宁）f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a > 10．（07四川） 已知函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，11．（08山东）1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----其中n ∈N*,a 为常数. 12．（09陕西）1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > 13．08辽宁设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． 14．（11全国）h (x )＝2ln x ＋k －1x 2－1x (x >0)，15．（07安徽）a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.16．（05全国）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，17.（11北京）kx e k x x f 2)()(-=18．（08重庆）2333()()422x g x x x e -=+- ,19．（09重庆）2()(0)xe g x k x k =>+20．（06全国）()11axx f x e x-+=- 21.（13年一模）2()=(1)x a f x x ，2()()e xf x x ax a -=++，2()xax x a f x e++=，()ln 1a f x x x =+-，x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R二、导数的几何意义1．（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 2．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】.A ．B ．C ．D ．3．如图，已知函数()y f x =的图象，画出()f x '的图象 ~ab ab axyy y ）b4．如图，已知函数()y f x '=的图象，画出()y f x =的图象5．（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6．（11山东理科）函数2sin 2xy x =-的图象大致是|A ．B ．C ．D ．7.(2011石景山一模文8)．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ ）A ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞8. （2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；；9. （2013届房山区一模理科数学）已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ ,.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；10. （2013届门头沟区一模理科）已知函数2()xax x af x e ++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； 11. （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=xyOO yx(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程；12. （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; 13. （【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；}三、利用导数研究函数的性质（一）单调性与导数的符号1．已知函数2()2ln 1f x x a x =--(0)a ≠，求函数()f x 的单调区间 2.求函数()ln f x a x x =+的单调区间3.求函数2()ln f x a x x =+，a ∈R ，的单调区间 4.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >，讨论函数()f x 的单调性。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000。
2、导数的公式： 0'=C （C 为常数) 1')(-=n n nx x （R n ∈) xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+( 0a > ,0b >) 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导 数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()k f x '= （2）导数的物理意义:()v s t '=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]f x f x '≥⇔在[a,上递增 ()0()b]f x f x '≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性; ()f x c ≠ （3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。
专题四+4.1导数的概念及运算课件——2023届高三数学一轮复习
1 3
,
0
,C
0,
1 4
,则S△BOC=
1 2
×
1 3
×
1 4
=
1 24
.
综上,△BOC的面积为 4 或 1 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线 y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2 答案 C
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程 为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 答案 D
D.a=e-1,b=-1
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
解析 由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点 (π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 C
例2 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=
,即f
'(x0)=
lim
x0
y x
=
. lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
x
注意:f '(x)与f '(x0)的区别与联系:f '(x)是一个函数,f '(x0)是函数f '(x)在x0处
2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
专题11 导数中的极值偏移问题(全题型压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
f
x1
f
x2
f
x3 x1
x2
x3 ，求证：
x3
2
x1
e 1．
②差值代换法
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 g(x) ex ax2 ax ， h(x) ex 2x ln x ．其中 e 为自然对数的底 数． （1）若 f (x) h(x) g(x) ，讨论 f (x) 的单调性；
①对称化构造法
1．（多选）（2023 春·山东德州·高二统考期末）定义在 R 上的函数 f x 满足 f x ex f x ，且 f 0 1，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 在 x 2 处取得极小值 B． f x 有两个零点 C．若 x 0 ， f x k 恒成立，则 k 1 D．若 x1 ， x2 R ， x1 x2 ， f x1 f x2 ，则 x1 x2 4 2．（2023 春·河北张家口·高二统考期末）已知函数 f x x ln x . (1)求函数 f x 的单调区间和极值； (2)若方程 f x 2x 1 的两个解为 x1 、 x2 ，求证： x1 x2 2e .
f
x
a x
有两个零点 x1 ， x2 ，求实数
a
的取值范围并证明 x1x2
e2 .
2．（2023 春·福建莆田·高二校考期中）已知函数 f x lnx ax2 . (1)讨论函数 f x 的单调性： (2)若 x1, x2 是方程 f x 0 的两不等实根，求证： x12 x22 2e ；
a
ln
x,
x
1为其极小值
点．
(1)求实数 a 的值；
(2)若存在 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 ，求证： x1 x2 2 ．
2024高考数学二轮专题复习——二次求导、虚设零点
同构、二次求导、虚设零点在导数中的应用1.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．3.（2022·新高考Ⅱ卷T22）已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<05．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数2()e x f x ax x =+-．(1)当a =1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3+1，求a 的取值范围．6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．(1)求b ．(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <，当0x >时，()0f x >；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(I )讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(II )证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x -->（）有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．10．(2013高考数学新课标2理科)已知函数()ln()x f x e x m =-+．(1)设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；(2)当2m ≤时，证明()0f x >．类型一、虚设零点基础知识：在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f (x )在区间I 上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f (x )在区间I 上存在唯一的零点(例如，函数f (x )在区间I 上是单调函数且在区间I 的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x 0.因为x 0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x 0叫做隐零点；若x 0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．基本题型：1．（虚设零点研究函数最值）已知函数op =ln −x +B(∈p .（1）若函数op 在[1,+∞)上单调递减，求实数的取值范围；（2）若=1，求op 的最大值.2.（虚设零点研究双变量问题）设函数()ln xf x x ae =+，1()(0)xg x axe a e=<<.（1）设函数()()()h x f x g x =-，判断()y h x =的零点的个数；（2）设1x 是()h x 的极值点，2x 是()h x 的一个零点，且12x x <，求证：1232x x ->.3.（虚设零点研究不等式恒成立）已知函数()ln 11x f x x x=++.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()e xa f x ≥，求实数a 的取值范围.类型二、二次构造二次求导基础题型：1、（二次构造二次求导研究函数单调性）讨论函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1的单调性．2.（二次构造二次求导研究不等式恒成立）设函数1()e ,()ln x f x m g x x n -==+,m n 、为实数,若()()g x F x x=有最大值为21e （1）求n 的值；（2）若2()()e f x xg x >,求实数m 的最小整数值.3．（二次构造二次求导求最值）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.4.（二次构造二次求导证明不等式）若关于x 的方程x ln x ＝m 有两个不相等的实数解x 1，x 2，求证：x 1·x 2<1e 2(e是自然对数的底数)．5.（二次构造二次求导解决不等式恒成立）已知函数12()ln x f x e x ax a -=++-，且1,x a R >∈.（1）若0a =，证明：()f x 单调递增；（2）若1()f x x<，求a 的取值范围.类型三、同构基础知识：1、同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．2、同构式的应用(1)在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a ，b 可视为方程f(x)＝0的两个根．(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式3、常见的同构变形有：(1)ax e ax ≥x ln x ⇒ax e ax ≥ln x ·e ln x ，可构造函数f (x )＝x e x 来进行研究．(2)x 2ln x ＝a ln a －a ln x ⇒x 2ln x ＝a ln a x ⇒x ln x ＝a x ln ax，可构造函数f (x )＝x ln x 来进行研究．(3)e x a ＋1>ln(ax －a )(a >0)⇒e x a ＋1>ln a ＋ln(x －1)⇒e x a －ln a ＋x >ln(x －1)＋x －1⇒e x a ＋ln e xa>ln(x －1)＋(x －1)，可构造函数f (x )＝x ＋ln x 来进行研究．(4)x ＋1e x ≥x α－ln x α(x >0)⇒1e x －ln 1ex ≥x α－ln x α(x >0)，可构造函数f (x )＝x －ln x 来进行研究．(5)x α＋1e x ≥－αln x ⇒x e x ≥－αln x x α⇒x e x≥－αln x ·e －αln x ，可构造函数f (x )＝x e x 来进行研究．基本题型：1．已知函数()21ln 2f x a x x =+，在其图象上任取两个不同的点()11,P x y 、()()2212,Q x y x x >，总能使得()()12122f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()1,2D ．[]1,22．（多选）若1201x x <<<，则下列不等式成立的是（）A ．1221xx x e x e >B ．1221xx x e x e <C ．2121ln ln x x ee x x ->-D ．1221ln ln xx e ex x -<-3、已知函数()()1ln f x kx x =-，其中k 为非零实数.（1）求()f x 的极值；（2）当4k =时，在函数()()22g x f x x x =++的图象上任取两个不同的点()11,M x y 、()22,N x y .若当120x x t <<<时，总有不等式()()()12124g x g x x x -≥-成立，求正实数t 的取值范围：4．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)1－x 2≥2，求a 的取值范围．基本方法：1、同构法构造函数的策略(1)指对各一边，参数是关键；(2)常用“母函数”：f(x)＝xe x ，f(x)＝e x ±x ；寻找“亲戚函数”是关键；(3)信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；(4)复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围2、（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.新预测1．（多选题）已知函数()xf x xe =，若120x x <<，则下列选项中正确的是（）A ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦B ．()()1221x f x x f x >C ．()()121f x f x e-<D ．()()1221f x f x x x -<-2．若对任意a ，b 满足0<a <b <t ，都有b ln a <a ln b ，则t 的最大值为________．3．已知曲线f (x )＝b e x ＋x 在x ＝0处的切线方程为ax －y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值；(2)当x 2>x 1>0时，f (x 1)－f (x 2)<(x 1－x 2)(mx 2＋1)恒成立，求实数m 的取值范围．4．设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．当k 1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .5、设函数()ln ,k R kf x x x=+∈．（1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任何()()1212120,x x f x f x x x >>-<-恒成立，求k的取值范围．6．已知函数()()222ln f x x mx x m m R =+++∈.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，求()211f x x x +的取值范围.7.已知22()5ln f x ax bx x =++-.（1）若()f x 在定义域内单调递增，求a b +的最小值.（2）当0a =时，若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：122x x e +>.8.已知函数()211ln )f x x x x a a=+-,()0a ≠．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）令()()2Fx af x x =-,若()12F x ax <-在()1,∈+∞x 恒成立,求整数a 的最大值．(参考数据：4ln33<,5ln44>9.已知函数()xf x xe =，()ln (0)g x ax a x a =+>.（1）求函数()f x 的极值.（2）若关于x 的不等式()()f x g x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.10．设函数()cos ,()x f x e x ax a R =+∈.（1）当0a =时，求函数()f x 在区间[0,]π上的最小值；（2）若5[0,4x π，()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.11．已知函数()()221ln 2a f x x a x x-+=+⋅-，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若1a =-，证明：函数()f x 在(0,1)上有唯一的极值点0x ，且()02f x <-.12．已知函数()tan 2f x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3g x ax x =-.（1）求函数()y f x =的极值；（2）当13a ≤时，证明：()()g x f x <在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立.13．已知函数()()()211ln 02f x ax a x x a =+--≠.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a <-时，判断函数()()()1ln 1g x x x x f x =--+-的零点个数.14.已知函数()22ln f x mx x x =-+，其中m 为正实数.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）当1[,1]2x ∈时，()2f x mx ≥-，求m 的取值范围.15.形如()()k x y h x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()k x y h x k x h x ==，两边对x 求导数，得()()ln ()()()y h x k x h x k x y h x '''=+，于是()()()[()ln ()()]()k x h x y h x k x h x k x h x '''=+.已知()x f x x =（(0,)x ∈+∞），21()()22a g x x a R =+∈.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若(0,)x ∀∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.16.已知函数()(ln )(ln )(0)x f x e a a x x a =-⋅>，其中 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数（1）当a e =时，求函数()f x 的导函数()f x '的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同极值点12,x x 且12x x <；①求实数a 的取值范围；②证明：21x x -≤.17．已知函数()ln ()xx mf x m R e +=∈.（1）若()f x 在[]1,e 上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若2m =，证明：()f x <18．已知函数f (x )＝ax e x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋x ＋1.若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．。
高考数学专题复习 (12)
1．函数的极值与导数
(1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法 一般地，当 f′(x0)＝0 时， ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0)是极 大值；
②如果在 x0 附近的左侧____________，右侧____________，那
3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间
(6)产量
4．＜ ＞ ＝ ＝
(5)时间
设函数 f(x)＝2x＋lnx，则( )
A．x＝12为 f(x)的极大值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点
B．x＝12为 f(x)的极小值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
解：f(x)＝2x＋lnx(x>0)，f′(x)＝－x22＋1x＝x－x2 2，令 f′(x) ＝0，得 x＝2.当 x>2 时，f′(x)>0，这时 f(x)为增函数；当 0<x<2 时，f′(x)<0，这时 f(x)为减函数，据此知 x＝2 为 f(x)
令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝23. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞， 0
0)
0，23
2 3
23，＋∞
f′(x) － 0
＋
0
－
极
极
f(x) ↘ 小
↗
大
↘
值
值
故函数 f(x)的极大值点为23；当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0) ＝0.
点 拨：
的极小值点．故选 D.
设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示， 则 y＝f(x)的图象最有可能是 ( )
高三专题复习：导数解答题提升训练去答案
导数解答题提升训练1、导数与函数的单调性的综合题【背一背重点知识】1.利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2.利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化.如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3.利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如()()0xf x f x '+>可转化为(())0xf x '>，()()0xf x f x '->可转化为()()0f x x'> 例 1 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.[来（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.2、导数与函数的极值、最值的综合题【背一背重点知识】1.运用导数求可导函数()y f x =的极值的步骤：（1）先求函数的定义域，再求函数()y f x =的导数()f x '；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查()f x '在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值.2.求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）首先确定函数()f x 在区间[,]a b 内连续，在(,)a b 内可导；（2）求函数()f x 在(,)a b 内的极值；（3）求函数()f x 在区间端点的值(),()f a f b ；（4）将函数()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3. 已知函数最值求参数，需正确等价转化.如函数()f x 最大值为2，则等价转化为：()2f x ≤恒成立且()2f x =有解.例2 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三月考】已知函数2()ln ,a f x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．3、利用导数解决不等式等综合问题【背一背重点知识】1. 利用导数证明不等式的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）对新函数求导；（4）根据新函数的导函数判断新函数的单调性或最值；（5）结论.2. ()()f x g x >对x D ∈恒成立等价于min (()())0f x g x ->3. 12()()f x g x >对12,x D x D '∈∈恒成立等价于min max ()()f x g x >例3 【江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题】 已知xx x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=,其中e 是自然常数,.a R ∈ (Ⅰ)当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:1()()2f x g x >+; (Ⅲ)是否存在实数a ,使()f x 的最小值是3,若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.例4【江苏省淮阴中学2013.()1如果0>a,,求实数a的取值范围;()2当1x≥时,,求实数k的取值范围.。
核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
最大值和最小值
函数的极值是最大值和最小值的 统称，可以通过导数和二阶导数 计算。
拐点和凸凹性
函数的拐点是凸凹性转换的点， 可以通过导数和二阶导数计算。
最优化问题
最优化问题是实际应用中常见的 问题类型，可以通过导数方法求 解。
总结
导数是数学和物理中的基础概念，具有广泛的应用和深刻的理论意义。希望通过本课程的学习，大家能够深入 理解导数的概念和计算方法，掌握导数分析的基本技能，从而在数学和科学领域更加自信和成功。
核按钮高考数学专题复习 课件导数的概念与运算
导数是高中数学和微积分的基本概念之一。导数用于描述函数在给定点处的 变化率，是许多数学和物理问题的核心概念。在本课程中，我们将深入了解 导数的概念、性质和计算方法。
导数的定义和几何意义
切线
导数是曲线在给定点处的切线的 斜率。
斜率
导数是函数在给定点处的斜率， 表示函数值的变化率。
隐函数
隐函数是复杂曲面的显式函数表示，导数需数
向量代数和微积分
向量函数是高维空间中的映 射，导数描述了向量场的局 部性质。
偏导数和全导数
高维函数的导数需要使用偏 导数和全导数等更复杂的计 算方法。
导数的应用
导数广泛应用于科学工程与 实际问题，如最值问题和最 优化问题等。
函数的导数和反函数的导数
1
一阶导数
函数的导数可以表示为函数的初等函数或数学公式的形式。
2
高阶导数
函数的导数也可以求二阶导、三阶导等高阶导数，揭示函数的更多性质。
3
反函数的导数
反函数的导数可以通过求导链式法则和反函数公式获得。
参数方程的导数和隐函数的导数
参数方程
参数方程描述曲线的参数关系，导数需要通过参数 求导法则计算。
高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习第1讲 变化率与导数、导数的计算知 识 梳 理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一 导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考导数专题复习高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '， 且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。
(2)若可导函数()y f x =在0x x = 处取得极值， 则0()0f x '=。
反之， 不成立。
(3)对于可导函数()f x ， 不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。
(4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）.(5)函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值， 则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。
（若()f x '为二次函数且I=R ， 则有0∆>）。
(6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数， 进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立(7)若x I ∀∈， ()f x 0>恒成立， 则min ()f x 0>; 若x I ∀∈， ()f x 0<恒成立， 则max ()f x 0<(8)若0x I ∃∈， 使得0()f x 0>， 则max ()f x 0>；若0x I∃∈， 使得0()f x 0<， 则min ()f x 0<.(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ， 若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立， 则有[]min ()()0f x g x ->.(10)若对11x I ∀∈、22x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立， 则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈， 22x I ∃∈， 使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈， 22x I ∃∈， 使得12()()f x g x <， 则max max ()()f x g x <.（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,， ()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈， 使得1()f x =2()g x 成立， 则A B ⊆。
(12)若三次函数f(x)有三个零点， 则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0， 极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③1x e x ≥+ ④1x e x -≥-⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->⑦ sinx<x (0<x<π) ⑧lnx<x<xe (x>0)1 xx +一、有关切线的相关问题例题、【2019高考新课标1， 理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； 【答案】（Ⅰ）34a =跟踪练习：1、(2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ， g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)， 且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ， b ， c ， d 的值；解：(1)由已知得f (0)＝2， g (0)＝2， f ′(0)＝4， g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ， g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )， 故b ＝2， d ＝2， a ＝4， d ＋c ＝4. 从而a ＝4， b ＝2， c ＝2， d ＝2.2、【2019高考新课标1， 理21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；解：（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =， 1b =。
3、 (2019课标全国Ⅰ， 理21)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+， 曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞， 112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+由题意可得(1)2,(1)f f e '==， 故1,2a b == ……………6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用 （一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2019高考江苏， 19】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭， ()0,+∞上单调递增， 在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时， ()f x 在(),0-∞， 2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．当0a <时， ()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭U 时， ()0f x '>， 20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()0f x '<， 所以函数()f x 在(),0-∞， 2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．练习：1、已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R . ⑴当12a ≤时， 讨论()f x 的单调性； 答案：⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->， 222l 11()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->①当0a =时， ()1(0)h x x x =-+>， 当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>， 函数()f x 单调递增.②当0a ≠时， 由()0f x '=， 即210ax x a -+-=， 解得1211,1x x a==-. 当12a =时12x x =， ()0h x ≥恒成立， 此时()0f x '≤， 函数()f x 单调递减； 当102a <<时， 1110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><， 函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时， ()0,()0h x f x '<>， 函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时， ()0,()0h x f x '><， 函数()f x 单调递减.当0a <时110a-<， 当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>， 函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时， 函数()f x 在(0,1)单调递减， (1,)+∞单调递增；当12a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤， 函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1(1,)a-+∞递减.2、已知a 为实数， 函数()(1)e x f x ax =+， 函数1()1g x ax=-， 令函数()()()F x f x g x =⋅． 当0a <时， 求函数()F x 的单调区间．解：函数1()e 1x ax F x ax +=-， 定义域为1x x a ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭．当0a <时， 222222221()21()e e (1)(1)xx a a x a x a a F x ax ax +---++'==--． 令()0F x '=， 得2221a x a +=． ……………………………………9分 ①当210a +<， 即12a <-时， ()0F x '<．∴当12a <-时， 函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞， 1(,)a +∞．………………11分②当102a -<<时， 解2221a x a+=得122121a a x x ++==． ∵121a a +<∴令()0F x '<， 得1(,)x a ∈-∞， 11(,)x x a∈， 2(,)x x ∈+∞；令()0F x '>， 得12(,)x x x ∈． ……………………………13分 ∴当102a -<<时， 函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞， 121()a a +，21()a ++∞；函数()F x 单调增区间为2121(a a ++． …………15分 ③当210a +=， 即12a =-时， 由（2）知， 函数()F x 的单调减区间为(,2)-∞-及(2,)-+∞2、根据判别式进行讨论例题：【2019高考四川， 理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+， 其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数， 评论()g x 的单调性； 【答案】（1）当104a <<时， ()g x 在区间114114),()a a --+-+∞上单调递增， 在区间114114(a a --+-上单调递减；当14a ≥时， ()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.【解析】（1）由已知， 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)ag x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x-+-'=-+=. 当104a <<时， ()g x 在区间114114),()a a --+-+∞上单调递增， 在区间114114(a a--+-上单调递减； 当14a ≥时， ()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 练习： 已知函数()ln af x x x x=--， a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=， 得20x x a -++=， 记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时， ()0f x '≤， 所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时， 由()0f x '=得12114114a a x x ++-+==①若104a -<<， 则120x x >>，由()0f x '<， 得20x x <<， 1x x >；由()0f x '>， 得21x x x <<．所以， ()f x 的单调减区间为114(0,)a -+， 114(,)a+++∞， 单调增区间为114114(,)a a-+++； …………………………………………………………7分②若0a =， 由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)， 单调减区间为(1,)+∞；③若0a >， 则120x x >>，由()0f x '<， 得1x x >；由()0f x '>， 得10x x <<．()f x 的单调减区间为114(,)a +++∞， 单调增区间为114(0,)a ++． ……9分综上所述：当14a -≤时， ()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为114(0,)a-+， 114(,)a +++∞， 单调增区间为114114(,)a a -+++；当0a ≥时， ()f x 单调减区间为114(,)a+++∞， 单调增区间为114(0,)a++． ………………………………………………………10分2. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．求函数()f x 的单调区间；解：函数的定义域为()0,+∞， 222122()(1)ax x af x a x x x-+'=+-=． ……………1分 （1）当0a ≤时， 2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立， 此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． ……………4分 （2）当0a >时， 244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>， 即()0h x >， 得211a x a -<或211a x a->； ………………5分由()0f x '<， 即()0h x <， 221111a a x --+-<<．………………………6分所以函数()f x 的单调递增区间为211(0,a a -和211()a a-+∞，单调递减区间为221111a a --+-． ……………………………………7分 （ⅱ）若1a ≥， ()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立， 则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， 此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． …………………………………………………………… 3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1， 求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()0f x >恒成立， 求a 的取值范围 解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>， 所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分（2）由于()ln f x x x a x =--， (0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时， 则2()ln f x x ax x =--， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =， 得20804a a x +=>（负根舍去），且当0(0,)x x ∈时， '()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时， '()0f x >，所以()f x 在28(0,4a a +上单调减， 在28()4a a ++∞上单调增.……4分（ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =， 得2184a a x +=（284a a x a +=<舍），若284a a a +≤， 即1a ≥, 则'()0f x ≥， 所以()f x 在(,)a +∞上单调增；28a a a ++>，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时， '()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时， '()0f x >， 所以()f x 在区间28a a ++上是单调减， 在28()a a +++∞上单调增. ……………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =， 得2210x ax -+-=， 记28a ∆=-，若280a ∆=-≤， 即022a <≤则'()0f x ≤， 故()f x 在(0,)a 上单调减；若280a ∆=->， 即22a >则由'()0f x =得2384a a x -=， 2484a a x -=且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时， '()0f x <；当34(,)x x x ∈时， '()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >， 所以()f x 在区间28(0,4a a -上是单调减， 在2288a a a a --+-上单调增；在28()a a +-+∞上单调减. …………………………………………8分综上所述， 当1a <时,()f x 单调递减区间是28a a ++ ， ()f x 单调递增区间是28()a a +++∞；当122a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ， ()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当22a >, ()f x 单调递减区间是(0, 28a a --)和28()a a a +-，()f x 单调的递增区间是2288(44a a a a -+-和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >， 得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时， 0x a -≥， ln 0xx<， 不等式*恒成立， 所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时， 10a -≥，ln 0xx=， 所以1a ≠； ………………12分 （ⅲ）当1x >时， 不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立． 令ln ()xh x x x =-， 则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >， 所以()0h x '>， 从而()1h x >． 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <， 所以1a ≤． 令ln ()xg x x x=+， 则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-， 则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立， ()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述， 满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分 2．设a 为实数， 函数2()||f x x x a =-（2）求函数()f x 的单调区间4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2019高考天津， 理20已知函数()n ,nf x x x x R =-∈， 其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；【答案】(I) 当n 为奇数时， ()f x 在(,1)-∞-， (1,)+∞上单调递减， 在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时， ()f x 在(,1)-∞-上单调递增， ()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.(2)当n 为偶数时，当()0f x '>， 即1x <时， 函数()f x 单调递增； 当()0f x '<， 即1x >时， 函数()f x 单调递减.所以， ()f x 在(,1)-∞-上单调递增， ()f x 在(1,)+∞上单调递减. 5、已知单调区间求参数范围例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1， 2）是增函数， 求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++， 2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1， 则()0f x '≥， 且()0f x '=当且仅当a=1， x =-1， 故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0， 故当a<1时， ()0f x '=有两个根：121111,a ax x a a-+----==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞， x 2）或x ∈（x 1， +∞）时， ()0f x '>， 故f （x ）在（－∞， x 2）， （x 1， +∞）上是增函数；当x ∈（x 2， x 1）时， ()0f x '<， 故f （x ）在（x 2， x 1）上是减函数； （2）当a>0， x >0时, ()0f x '>， 所以当a>0时， f （x ）在区间（1， 2）是增函数.若a<0时， f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥， 解得504a -≤<. 综上， a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞U . 二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2019高考山东， 理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-， 其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数， 并说明理由；（2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时， 0∆≤ ， ()0g x ≥ 所以， ()0f x '≥， 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时， 0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212x x +=- 所以， 1211,44x x <->- 由()110g -=>可得：111,4x -<<-所以， 当()11,x x ∈-时， ()()0,0g x f x '>> ， 函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时， ()()0,0g x f x '<< ， 函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时， ()()0,0g x f x '>> ， 函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点． （3）当0a < 时， 0∆> 由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时， ()()0,0g x f x '>> ， 函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时， ()()0,0g x f x '<< ， 函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点． 综上：当0a < 时， 函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时， 函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时， 函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； 例题：【2019高考安徽， 理21】设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值， 有极值时求出极值；【解析】（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+， 22x ππ-<<.[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-， 22x ππ-<<.因为22x ππ-<<， 所以cos 0,22sin 2x x >-<<.①当2,a b R ≤-∈时， 函数(sin )f x 单调递增， 无极值. ②当2,a b R ≥∈时， 函数(sin )f x 单调递减， 无极值. ③当22a -<<， 在(,)22ππ-内存在唯一的0x ， 使得02sin x a =. 02x x π-<≤时， 函数(sin )f x 单调递减；02x x π<<时， 函数(sin )f x 单调递增.因此， 22a -<<， b R ∈时， 函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-.（二）已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷（理）】 设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时， 求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点， 求k 的取值范围。