chap0计算固体力学基础绪论(刘应华)
计算固体01-1
微分算子 [
/ x 0
0
0
/ y
0
0
/
y
0 / x
/ z
0
0 / z
/ z 0
/ y
/ x
(2) 平衡方程
ij , j fi 0
, f ij i 应力张量分量和体力向量分量．
矩阵形式表示
T f 0
应力列阵, 体力列阵
{} [ x
y
z
] xy yz
其中
W ( ij ) ij ij / 2 Dijkl ij kl / 2
虚位移后的总势能可以写为
p V WdV V fi (ui ui )dV S pi (ui ui )dS V W dV V fiuidV S piuidS V W dV V fiuidV S piuidS V W ( ij )dV
W Cijkl ij kl / 2
虚位移原理和最小势能原理
凡是物体几何约束(例如, 支承条件) 所允许的位移就称为可能位移, 取其 任意微小的变化量就是虚位移, 也就 是几何上可能位移的变分．根据能 量守恒定律，外力在虚位移上所做 的功（虚功）必等于物体内部应力 在虚应变上所做的功，这就是虚功 原理或虚位移原理：
(二) 弹性假设
弹性体的变形与载荷在整个加卸载过程 中存在一一对应的单值函数关系，且当 载荷卸去后变形完全消失，弹性体恢复 其初始的形状和尺寸．这里的单值函数 关系可以是线性的或非线性的，取决于 材料性质与变形大小．
为了简化，进一步引进如下辅助假设：
(三) 均匀性假设
物体在不同点处的弹性性质处处相 同．实际上，金属材料都可看作均匀 的．对于混凝土、玻璃钢等非均质材料， 如果不细究其不同组份交界面处的局部 应力，可以采用在足够大的材料试件上 测得的弹性常数来简化成均匀材料．但 是有些新型材料例功能梯度材料是不能 采用这个假设的．
计算固体力学讲义(第一部分)
原名《变分及有限元素法原理》教案现在用名《计算固体力学》讲义参考书1．诸德超. 升阶谱有限元素法.国防工业出版社；2．胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用.科学出版社，1981。
3．冯康. 弹性结构的数学理论.科学出版社，1987。
4．胡海昌. 变分法；教授本课程的基本思想：回答如下问题“计算”主要体现在有限元离散数值方法上。
为了讲清楚和帮助学生理解如何才能高精度、高效和可靠地得到所需要的数值结果，需要如下知识：有限元方法的理论基础是什么？如何进行有限元离散？（精度和效率）如何构造的单元以及单元的性能（收敛性）是什么？（精度和效率）有限元的计算结果与精确解和试验结果的关系是什么？（精度）有限元静动力平衡方程是如何求解的（差分及各种各样的求解方法）？（精度和效率）如何保证有限元结果向正确解收敛？（精度和效率）为何有限元得到如此普遍的应用？（商用软件的开发和能够求解问题的广泛性）有限元适合求解什么样的问题？（适用性和可靠性）总的思路：基本原理（变分原理和各种工程理论）――单元及性能（低阶、高阶及非协调）――离散平衡方程的求解――结果的特征分析变分原理包括：最小势能原理，Rayleigh商和Hamilton变分原理；工程理论：杆、梁（Euler和Timoshenko）、板（Kirchhof和Midlin）理论和平面理论。
单元的阶次：基本单元，高阶单元，升阶谱单元单元的协调性：杆、梁和平面单元是协调的，但板单元基本是不协调的。
离散平衡方程的求解：各种差分方法和算法（保结构和不保结构，人工阻尼现象）结果的特性：协调单元的结果，非协调单元的结果第1讲强调变分原理的数学和物理含义；强调变分原理的运算法则；强调变分原理与弹性力学的等价性。
要求同学熟练掌握最小势能原理、Hamilton变分原理与Rayleigh商。
一、引言1．解决实际问题的基本步骤图1.1 实际问题的分析步骤2．力学体系为了建立力学模型，首先应该知道基本的力学体系。
计算固体力学
计算固体力学由于工程设计的巨大市场需要，有限元软件的发展是非常迅速。
利用有限元软件解决工程和科学计算问题成为有限元理论应用于工程设计和科学研究实践的主要形式。
从解决单一学科的结构分析软件发展到解决多学科的多功能综合分析软件。
其集成化、智能化、可视化和网络化的功能越来越强，成为工程技术人员和科研工作者的必备工具软件。
目前，我国引进的大型有限元软件常见的有SAP系列，ADINA,MSC/NASTRAN,MSC Marc, ANSYS,ASKA等。
这些有限元软件设计者提供了丰富的单元库和求解器，强大而可靠的分析功能，且很多已移植到WINDOWS环境，完全的CAD 式操作方式和强大的前后处理功能，使分析工作变得轻松和容易。
以上软件开发中所依据的理论与假定是什么，如果我们光会用软件，那不是一名合格的设计师。
而究其本源，答案就在固体力学和它的发展上。
固体力学的发展历史固体力学理论的发展经历了四个阶段：基本概念形成的阶段；解决特殊问题的阶段；建立一般理论、原理、方法、数学方程的阶段；探讨复杂问题的阶段。
在这一时期，固体力学基本上是沿着研究弹性规律和研究塑性规律，这样两条平行的道路发展的，而弹性规律的研究开始较早。
弹性固体的力学理论是在实践的基础上于17世纪发展起来的。
英国的胡克于1678年提出：物体的变形与所受外载荷成正比，后称为胡克定律；瑞士的雅各布第一•伯努利在17世纪末提出关于弹性杆的挠度曲线的概念；而丹尼尔第一•伯努利于18世纪中期，首先导出棱柱杆侧向振动的微分方程；瑞士的欧拉于1744年建立了受压柱体失稳临界值的公式，又于1757年建立了柱体受压的微分方程，从而成为第一个研究稳定性问题的学者；法国的库仑在1773年提出了材料强度理论，他还在1784年研究了扭转问题并提出剪切的概念。
这些研究成果为深入研究弹性固体的力学理论奠定了基础。
法国的纳维于1820年研究了薄板弯曲问题，并于次年发表了弹性力学的基本方程；法国的柯西于1822年给出应力和应变的严格定义，并于次年导出矩形六面体微元的平衡微分方程。
计算固体计算力学-内容简介
第四章 几何非线性问题及其有限元求解
01
大变形条件下的应力和
应变的度量
02
几何非线性问题的表达
格式
03
大位移非线性弹性理论
的变分原理
04
几何非线性问题的有限
05
结构稳定性和屈曲问题
元分析
授课内容简介
第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件 接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题
授课内容简介
1
第二章 非线性方程(组) 的解法
2
直接迭代法
○ Newton-Raphson法(简 称N-R法)
○ 改进的NewtonRaphson法(简称M-N-R 法)
○ 增量法
授课内容简介
第三章 材料非线性问题及其有限元求解
01
材料弹塑性本 构关系
03
弹塑性增量有 限元分析
02
塑性力学中的 变分原理
目录
01
博士研究生课程
02
计算固体力学
03
课程编号：017090
04
王生楠，谢伟
05
西北工业大学 航空学院
计算固体力学课程体系
授课内容简介
第二章 非线性方程 (组)的常用解法
第四章 几何非线性 问题及其有限元求解
01
第一章 引言
02
03
第三章 材料非线性 问题及其有限元求解
04
05
第五章 接触和碰撞 问题及其有限元求解
参考书籍
01
有限元法中的变 分原理基础，王 生楠编，西工大 出版社
02
航天器计算结构 力学，竺润祥主 编，宇航出版社
计算固体力学第三章_1
一点的应力列阵：
一点的体积力列阵： 一点的表面力列阵：
边界外法线方向余弦矩阵：
其中：
平衡方程：（内力与体积力的关系方程）
写成矩阵形式：
其中
A - 微分算子矩阵
几何方程：(应变与位移的关系方程)
写成矩阵形式：
物理方程（应力与应变的关系方程)
写成矩阵形式：
D – 弹性矩阵
计算固体力学
Computeational solid mechanics
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第三章 有限元法(含协调模型分析)
补充 ：弹性力学有关方程的矩阵表示
* 本节以二维平面问题为例，同样适用于三维空间问题
* 假定：材料为均匀连续、各向同性的，变形是 微小的 ，受 力变形过程材料始终处于线弹性阶段。 弹性力学平面问题：
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有限元法无论对什么样的结构（杆系，平面，三维， 板壳）分析过程是一样的，一般为：
有限元法基本步骤:
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有限元法基本步骤
将物体划分为具体有相关节点的等价系统,选择最适当 的单元类型来最接近的模拟实际的物理性能. 所用的单元总 数和给顶物体内单元大小和类型的变化是需要工程判断的 主要问题. 单元必须小到可以给出有用的结果,又必须足够大以节省 计算费用.
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1. 有限元法简介
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用内力作为问题的未知量. 使用平衡方程,引进协调方程,最后 的到一组确定多余力或未知力的代数方程组.
假定节点位移作为问题的未知量. 用平衡方程及力与位移的 关系,借助位移表达协调控制方程. 这两种方法在分析中得出的未知量(力或位移)，并得出与其公式 相关的不同矩阵（柔度矩阵或刚度矩阵）。由于位移法的公式对 于大多数结构分析问题比较简单，因此对于计算机求解，位移法 （或刚度法）更符合要求。此外，绝大多数的通用有限元程序编 入了求解结构问题的位移公式。
固体力学7-5_831802556
固体力学
1.课程概述
22.张量分析基础
3.运动与变形
4.应力与平衡
55.固体材料的本构关系
6.弹性力学的基本理论
7.弹塑性力学问题88.固体力学专题
7.弹塑性力学问题
7.1 引言
7.2 经典弹塑性本构关系
72
7.3 Mises流动理论（J2流动理论）
7.4 Mises形变理论（J2形变理论）
7.5 Tresca流动理论（混合硬化）
75T
7.6 塑性力学基本假设
7.7 弹塑性力学问题的求解方法简介
7.8 弹塑性力学问题的简单实例
78
2
2
例题
例二
薄壁圆筒（两端封闭）受内压p作用，已知圆筒内径为r 、壁厚为t。
试求圆筒在进入塑性状态后筒壁的弹塑性应变值。
σθ
σ
z
l
2伸时的应力应变关系为：
⎧0=s
s E σσσεσσσ≤≤⎪⎪⎨
−σ12
σσs
σσ⎪+>⎪(,
)
s
σs
2伸时的应力应变关系为
伸时的应力应变关系为：σ
⎧'
0=s
s
s
E σσεσσσσσ≤≤⎪⎪⎨
−⎪+>σ12
σσE E
⎪⎩(,
)
s
σs。
1.计算固体力学绪论
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
1 虚拟科学与工程
1997年 钱学森院士已经预见到了虚拟工 1997 年 9 月 , 钱学森院士 已经预见到了虚拟工 程与科学在未来世纪的重要性, 程与科学在未来世纪的重要性,他在为清华大学工 程力学系建系40周年的贺信中写道: 40周年的贺信中写道 程力学系建系40周年的贺信中写道:"随着力学计 算能力的提高, 算能力的提高,用力学理论解决设计问题成为主要 途径,而试验手段成为次要的了.由此展望21世纪, 21世纪 途径,而试验手段成为次要的了.由此展望21世纪, 力学加电子计算机将成为工程设计的主要手段, 力学加电子计算机将成为工程设计的主要手段,就 连工程型号研制也只用电子计算机加形象显示. 连工程型号研制也只用电子计算机加形象显示.都 是虚的, 不是实的, 所以称为" 虚拟型号研制" 是虚的 , 不是实的 , 所以称为 " 虚拟型号研制 " ( Virtual Prototyping ) . 最 后 就 是 实 物 生 产 了."
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科学与工程计算=》 科学与工程计算= 科学与工程仿真= 科学与工程仿真=》Fra bibliotek 虚拟科学与工程
1 虚拟科学与工程
力学的分支计算力学,发展了有限元, 力学的分支计算力学,发展了有限元,有限 的分支计算力学 差分等理论和方法, 差分等理论和方法,为虚拟科学与工程仿真提供 了工具.有限元分析是虚拟设计的基本组成部分. 了工具.有限元分析是虚拟设计的基本组成部分. 它提供了更快捷和低成本的方式评估设计的概念 和细节,因此, 和细节,因此,人们越来越多地应用仿真的方法 代替样品原型的试验( Prototyping) 代替样品原型的试验(Virtual Prototyping).
chap0计算固体力学基础绪论(刘应华)
程序实践（50机时）：软件平台 程序实践（50机时）：软件平台 机时）： 1.以掌握基本理论和方法的练习－ 1.以掌握基本理论和方法的练习－教学程序 以掌握基本理论和方法的练习 FEATP完善 FEATP完善 2.综合的Project－典型通用程序（ 综合的Project 2.综合的Project－典型通用程序（如ANSYS)
a. 有限元方法是一种关于微分方程的数值解的方法； b. 当今的工程分析中获得最为广泛应用； c. 有限元方法伴随着计算机科学和技术得 到快速发展。
0.1.1 有限元方法的要点
1. 连续求解域离散为有限个子域（单元） 这些有限个子域通过它们边界上的结点 相互联接成为组合体。
三维实体
板
壳
直梁
曲梁
三维实体
0.3 本课程的内容与要求
二. 学习的形式
1）课堂讲授（64学时） ）课堂讲授（64学时） 2）作业习题（概念和算法的练习） 3）自选论文（程序） 程序实践，要求写出程序报告。
0.3 本课程的内容与要求
关于程序训练 通常安排在第8 通常安排在第8周以后开始上机训练， 读懂程序（Fortan） 读懂程序（Fortan）,利用程序计算简单的 算例 (输入数据文件，约束条件，精度分 析等等) 析等等)，加入功能，完成上机报告。
1 对复杂几何结构的适应性
铸造机上的銯杠
“沙河口”号载驳船在弯扭联合作用 下的结构应力－变形有限元分析
新型号飞机研究的主要地面实验设备 －风洞－ 强度与振动
0.1.2 有限元法的特点
2 对各种复杂材料细观结构的分析
Voronoi单元的特点 Voronoi单元的特点
充分考虑夹杂的微 观结构特点
夹杂随机分布 夹杂大小正态分布 夹杂形状任意
计算固体力学
计算应变能、外力功 能量法 利用变分法直接近似计算
能量原理
利兹法、伽辽金法、 有限元法
（近似）
© 2005 SJTU Engineering Mechanics Department Solid Mechanics Division. All Rights Reserved.
计算固体力学
CHAPTER
计算固体力学
COMPUTATIONAL SOLID MECHANICS
Copy Right 2005 Engineering Mechanics
协调模型分析 刘正兴 孙 雁 王国庆 编著 上海市教育委员会组编
© 2005 SJTU Engineering Mechanics Department Solid Mechanics Division. All Rights Reserved.
计算固体力学
COMPUTATIONAL SOLID
MECHANICS
用有限元法进行结构分析，其原理与利兹法相同，其不同点： 利兹法所设位移函数在全域内连续（如例题中得 v(x) = αx(L − x)） 有限元法所设位移函数是在单元域内连续，在全域内并非完全连 续（一阶或二阶连续）。 求解原理：
Copy Right 2005 Engineering Mechanics
后合——然后将单元再合成结构，进行整体分析，以 代替原来的连续体。如通过一个适当的过程，将各个 单元的关系式合成一组方程，求解未知参数。
© 2005 SJTU Engineering Mechanics Department Solid Mechanics Division. All Rights Reserved.
COMPUTATIONAL SOLID
计算固体计算力学-第二章非线性方程组的解法解答
计算固体计算力学
Newton法得到的序列{an}具有二阶收敛速度。 粗略的说，用Newton法迭代一次大约有效数位 增加一倍，例如， a0准确到一位，则迭代3次就 可以得到准确8位的近似解。这意味着Newton 法收敛很快，这是它的主要优点。
Newton法自校正的。也就是说，an+1仅依赖于 Ψ(an)及an，前面迭代产生的舍入误差不会一步步 传下去。
am+1=am+Δam 在以上各式中，下标m表示增量步的步数， 而λm=1的解对应于Ψ(a)=P(a)-R=0的解。
34
计算固体计算力学
在一个自变量的情况下，求解非线性方程 组的过程如下图所示。如果Δλm足够小，则认 为所得解即为方程组的合理的近似解。
但是，在计算的每一步，都会引起某些偏 差，结果使解答漂移，而且随着求解步数的 增多，这种偏差不断积累，以致 最后的解将偏离真解较远。
31
计算固体计算力学
2.4 增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
Kn
1
an
,
K
n1
an1 an
a n 1
an
,
K n1 K n K n
n 0,1, 2,
其中，ΔKn是Kn的一个低秩修正矩阵，常 用的是秩1或秩2的矩阵，以减小计算量。
ΔKn的选取查阅相关的资料。
固体力学7-6_801102601
固体力学1.课程概述22.张量分析基础3.运动与变形4.应力与平衡55.固体材料的本构关系6.弹性力学的基本理论7.弹塑性力学问题88.固体力学专题7.弹塑性力学问题7.1 引言7.2 经典弹塑性本构关系727.3 Mises流动理论（J2流动理论）7.4 Mises形变理论（J2形变理论）7.5 Tresca流动理论（混合硬化）75Tresca7.6 塑性力学基本假设7.7 弹塑性力学问题的求解方法简介7.8 弹塑性力学问题的简单实例782Mises形变理论(deformation theory of plasticity) Mises流动理论属于增量型理论，它所建立的是应力增Mi流动理论属于增量型理论它所建立的是应力增量（应力率）与变形增量（变形率）之间的关系。
本节的Mises形变理论则属于全量理论，它所建立的是直Mi形变理论则属于全量理论它所建立的是直接应力与变形本身之间的关系。
限于各向同性硬化情况讨论讨论。
关于比例加载的考虑…Hencky(1924)，不考虑弹性变形与强化；Nadai(1938)不考虑弹性变形但考虑强化Nadai(1938),不考虑弹性变形但考虑强化；Ilyushin(1943),考虑弹性变形与强化。
222 Mises形变理论屈服条件与加载准则条件与加载准则以单向拉伸的为例：2 Mises 形变理论形变论Mises 形变理论若材料处于卸载状态，它一定是若材料处于卸载状态，它定是由Mises 等效应力σeq 为历史上最大值的应力状态卸载而得到的。
所以相应的弹性本构关系为：(σ*，ε*) —Mises 等效应力σeq 为历史上最大值时所对应的():−=−ε*εT σ*σq 应力张量与应变张量（出发点）。
)—(σ，ε) 则当前的应力张量与应变张量。
2 Mises 形变理论Mi Mises 形变理论若材料处于加载状态：e pε=ε+εe ?p ε=ε=T :σ问题的关键是如何得到εPMises 若材料处于加载状态则形变理论假定：（1）若材料处于加载状态，则应力σ与应变ε之间存在函数关系；（2）塑性应变εP ′平行即′的方向与应力偏量σ′平行，即εP ⁄⁄σ′。
《计算固体力学》课程教学大纲
计算尽可能大的结构，如时间有宽裕，则让学生增加结构分析程序的计算 分析功能，让程序的适用面更广。 在程序编制过程中，教会学生掌握编制大型结构分析程序的思想方法和手 段，引导学生开阔思路，运用已掌握的专业知识，大胆尝试，编写出高质量的结 构分析软件。 通过上机实践，使学生不仅对计算机的使用更加熟悉，最主要的是让学生通 过编制结构分析软件，以及对结构的计算分析，更加体会到专业知识在工程实践 中的应用。使学生的编程能力及对结构的计算分析能力得到的提高。
二、课程性质和任务
计算固体力学是工程力学系的主要专业课，包括有限单元法的理论及结构分 析程序设计基础两大部分。课程教学以课堂理论教学为主，上机实习原则上安排 在课外。学生学完本课程后，能够达到以下基本要求： 1．掌握有限单元的基本理论与方法，能够独立推导或建立各类基本单元。 2．掌握用有限单元进行结构分析的基本原理与方法。 3．了解有限元结构分析程序的流程及框图，能独立编制简单的桁架结构分析程
五、对学生能力培养的要求
（一）掌握有限元法理论和方法，要求学生具备独立推导或建立各类基本单元的 能力。
（二）具备对工程结构的计算分析能力。 （三）能独立编制具有一定规模的结构分析程序，并应用于工程实际。
六、其它说明
本课程在教学活动中，大量地使用计算机及常用软件，并通过结构分析程序
的设计及编写，锻炼了学生的结构分析能力及计算机的操作能力，为后续课程（大
序。 4．对加权残余法及边界元法等数值分析方法有一初步了解。
三、教学内容和基本要求
（一） 变分法基础及能量原理 变分及其特性、多个待定函数、多个自变量及带高阶导数的泛函的变分。虚
02固体力学的基本概念
N 2P +
N3
D
PD D PD
N4
5P
+ P x
– 3P
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
5kN 5kN +
8kN
3kN
8kN
–
3kN
§2-2-２. 剪切的概念及实例
一、连接件的受力特点和变形特点：
fX f y fz
z
Z
Q
为体力矢量在坐标轴上的投影 N/m3 kN/m3
单位：
k i
O j
X
V Y
y
(1) f 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) f 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等) (3) f X f y f z 的正负号由坐标方向确定。
体力还可以用单位质量上的体力来表示
P m 9.55 (kN m) n m 7.024 P (kN m) n
P m 7.121 (kN m) n
1PS=735.5N· , 1HP=745.7N· , 1kW=1.36PS m/s m/s
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T‖。
2 截面法求扭矩
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
三、弯曲内力：
a P B l 解：①求外力 P XA A YA B RB
[举例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。
固体力学计算方法的发展
固体力学计算方法的发展孙秀山 岑章志 刘应华（北京大学工程力学系, 北京100084）摘要本文简要回顾了固体力学计算方法的发展过程。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法经历了一个从精确解法到近似解法、从解析方法到数值方法的发展过程，这一过程可以依据其历史阶段分为三种类型：传统解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法。
文中分析了不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，探讨了这些方法对固体力学发展的作用以及影响，最后总结了这些方法之间的关系。
关键词固体力学，计算方法，发展过程，继承关系1 引言固体力学是在经典牛顿力学框架下最先发展起来的学科之一，主要研究可变形体在各种外界因素作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律，是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支[1]。
固体力学的发展首先是建立在弹性理论基础之上的，随后在工业发展的推动下，固体力学中有关塑性理论、强度理论以及稳定理论等得到了进一步的发展[2, 3]。
在传统的固体力学理论中，一般把研究对象看作是由无限个假象的元素组合在一起的连续体，因此研究对象（连续体）中的力学量（如位移、应变、应力等）就可以假设为空间或时间的连续函数。
这样，对于一个确定的固体力学问题，借助于数学方法最终可以将其转化相应的偏微分方程（或方程组）在给定条件下的边值问题或初值问题，如经典弹性理论中L-N方程或B-M方程的狄利赫莱（Dirichlet）边值问题和诺依曼（Neumann）边值问题。
对于这类方程（或方程组）的求解一直贯穿着固体力学的整个发展阶段，成为固体力学的重要研究内容之一。
从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法依据其历史发展过程大致经历了如下三个阶段：传统的解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法，其中每个阶段里都出现了多种分析方法和计算方法。
在这些方法的发展中，尤以计算机技术的出现和应用为转折点，标志着固体力学计算方法的一个飞跃，促使了固体力学无论在理论研究方面还是在实际工程应用中都有了显著的进步[4, 5]。
固体力学 01 第一章 绪论
弹性力学问题： 已知外力、物体的形状和大小（包括边 界）、材料特性（E、μ）、约束条件等，求解 应力、形变、位移共15个未知量。
§1.3
弹性力学基本假设
•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。 如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂， 数学推导的困难，将使得问题无法求解。 •根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因 素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在 一个可行的范围。 •基本假设是学科的研究基础。 •超出基本假设的研究领域是固体力学其它学 科的研究。
•1862年，艾瑞（G.B.Airy） 发表了关于弹性力学的平面 理论； •1881年，赫兹建立了接触 应力理论； 赫兹（H.Hertz）
§1.4 发展与研究方法5
1898年，基尔霍夫建立 了平板理论;
1824年生於德国，1887年 逝世。曾在海登堡大学和 柏林大学任物理学教授， 他发现了电学中的“基尔 霍夫定理”，同时也对弹 性力学，特别是薄板理论 的研究作出重要贡献。
§1.4
弹性力学的发展 和研究方法
弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke） 发现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验方法 探索物体的受力与变形之间的关系。
§1.4 发展与研究方法2
•近代弹性力学的研究是 从19世纪开始的。
•柯西1828年提出应力、 应变概念，建立了平衡微 分方程，几何方程和广义 胡克定律。 •柯西的工作是近代弹性 力学的一个起点，使得弹 性力学成为一门独立的固 体力学分支学科。
§1.3 基本假设3
1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成 物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何 空隙。 •——变形后仍然保持连续性。 •根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、 应变和应力等均为物体空间的连续函数。
计算固体力学1-1
d w ∫0 v ( EJ dx 4 − q )dx = 0
l
4
等效积分的弱形式为：
l d 3w d 2w d 2v ∫0 dx 2 EJ dx 2 dx − ∫0 vqdx + vEJ dx 3 l 2 d w dv l EJ 0 − dx 2 dx l 0
=0
（注意各自的微分要求和相应的物理含义）
计算固体力学
郑小平
2004年2月23日
关于“计算固体力学”课程 课程地位 课程概况 课程内容 考核方式 如何学习
课程地位
科学研究的目的与方法 目的：探索、认识自然界的奥秘 自然科学的一种普遍研究方法： 数学模型→问题求解→规律认识
课程地位
计算力学的地位
认识规律
加权余量法
（2）权函数的选取方法（要求具有广泛的代表性） 配点法; 矩法; 最小二乘法； Galerkin法
§1.1 微分方程的等效积分形式
加权余量法
配点法： ω j (x) = δ (x − x j )
n A(∑ N i (x)ai ) + f (x)δ (x − x j )dΩ = 0 ∫Ω i =1
课程内容
关于适应学科发展的问题开要慎重考虑 关于适应学科发展的问题开
这些内容不宜放在“计算固体力学”中，因为该 课程本身内容就很多。可以考虑另外单独开设 选修课，但是目前条件还不成熟，需要至少一 年的准备，才能…….
考核方式
平时习题： 10% ... 自选论文（程序实践） 30% ... 期末考试 60% …
§1.1 微分方程的等效积分形式
微分方程等效积分的弱形式
微分方程等效积分弱形式的意义： （1）降低了对u的连续性要求，由u ∋ C2m-1降为 u ∋ Cm-1 （2）便于改造有限元插值函数，降低了插值函 数的连续性要求 （3）对于自伴随问题可以得到对称的刚度矩阵 （4）由于降低了连续性要求，在物理上更符合 实际情况
计算固体力学第四章
Ο (h
P +1
)
建立形函数的第一方法是直接写出坐标的多项式形式。 建立形函数的第一方法是直接写出坐标的多项式形式。 另一种方法就是利用各种对坐标的插值公式， 另一种方法就是利用各种对坐标的插值公式，直接写出形 函数的形式， 插值法， 插值法等。 函数的形式，例如 Lagrange 插值法，Herimiter 插值法等。
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
把与基本单元有某种联系的，以为点、 把与基本单元有某种联系的，以为点、曲线或者曲面为边 界的不规则形状的单元称为“实际单元” 界的不规则形状的单元称为“实际单元”。将固定笛卡儿 坐标系为基本坐标系， 坐标系为基本坐标系，实际单元就是在基准坐标系内定义 的。 基本单元和实际单元之间建立起相互映射 通过 形函数 在基本单元和实际单元之间建立起相互映射 的关系。 的关系。 书Page 134 基本单元和局部坐标系, 基本单元和局部坐标系, 实际单元和基准坐标系. 实际单元和基准坐标系.
N i = 1,
Nj =0
( j ≠ i)
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（2）能保证用它定义的位移在相邻单元之间的连续性； 能保证用它定义的位移在相邻单元之间的连续性； 从数学上来说，就是单值和连续。 从数学上来说，就是单值和连续。 （3）形函数应包含有足够的坐标的一次项。 形函数应包含有足够的坐标的一次项。 （4）某个单元的形函数，应满足于等式 某个单元的形函数，
i = 5 ,6;
2 5 二次单元
i = 7 ,8 ;
二次 Serendipity 单元： 单元： 4 7 1 η ξ 8 o 2 5 二次单元 6 3
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0.2 有限元法的发展、现状和未来
1 有限元法的早期工作
1943 Courant从应用数学角度的考虑 Courant从应用数学角度的考虑 1956 Turner、Clough等将刚架位移法 Turner、Clough等将刚架位移法 推广到弹性力学平面问题 1960 Clough第一次提出了“有限单元法” Clough第一次提出了“有限单元法” （ The finite element method ）
0.3 本课程的内容与要求
Ⅰ 基础部分（6周） 基础部分（ ①理论基础 ②有限元基本概念和基本步骤 ③单元和插值函数构造 ④等参元和数值积分 ⑤有限元模型建立和计算结果处理 ⑥线性代数方程组求解
0.3 本课程的内容与要求
Ⅱ 结构力学（梁、板、壳）问题（2周） 结构力学（ 问题（ 经典梁单元和Timoshenko梁单元 经典梁单元和Timoshenko梁单元 协调、非协调板单元及Mind1in板单元 协调、非协调板单元及Mind1in板单元 平板壳元、轴对称壳元、超参壳元 Ⅲ 动力学问题（2周） 动力学问题（ 空间域离散的有限元格式 质量矩阵和阻尼矩阵 直接积分法 振型叠加法 模态综合技术
针对不同物理问题的控制方程 未知场函数 选用合适的单元、形函数 相应的求解方法
0.1.2 有限元法的特点
3 建立于严格理论基础的可靠性 控制方程（微分方程）
变分原理、 加权余量法 求解算法稳定 有限元求解方程 单元满足收敛准则 近似解 收敛于 精确解
等效的积分形式
0.1.2 有限元法的特点
4 适合计算机实现的高效性
0.2 有限元法的发展、现状和未来
2 有限元的发展和现状
（1）单元的类型与形式 （2）有限元法的理论基础与离散格式 （3）有限元方程的解法
0.2 有限元法的发展、现状和未来
3 有限元法的未来
1. 为真实模拟新材料、新结构的行为， 发展单元类型、新材料本构。 2. 为分析、模拟各类形式的结构在复杂工况和 环境作用下的全 寿命过程的响应。 3. 有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同 集成完整的虚拟产品发展系统
程序实践（50机时）：软件平台 程序实践（50机时）：软件平台 机时）： 1.以掌握基本理论和方法的练习－ 1.以掌握基本理论和方法的练习－教学程序 以掌握基本理论和方法的练习 FEATP完善 FEATP完善 2.综合的Project－典型通用程序（ 综合的Project 2.综合的Project－典型通用程序（如ANSYS)
a. 有限元方法是一种关于微分方程的数值解的方法； b. 当今的工程分析中获得最为广泛应用； c. 有限元方法伴随着计算机科学和技术得 到快速发展。
0.1.1 有限元方法的要点
1. 连续求解域离散为有限个子域（单元） 这些有限个子域通过它们边界上的结点 相互联接成为组合体。
三维实体
板
壳
直梁
曲梁三维Biblioteka 体0.3 本课程的内容与要求
三.考核方法 平时习题 程序实践(大作业) 程序实践(大作业) 期末考试 10% 30% 60%
参考教材： 参考教材： 1.王勖成编著 有限单元法， 王勖成编著， 1.王勖成编著，有限单元法，2003 2.朱伯芳编著 有限单元法原理与应用， 朱伯芳编著， 2.朱伯芳编著，有限单元法原理与应用，1998 3.曾攀编著 有限元分析及应用， 曾攀编著， 3.曾攀编著，有限元分析及应用，2004
0.3 本课程的内容与要求
Ⅳ 材料非线性问题（3周） 材料非线性问题（ 非线性方程组的形成和解法 弹塑性小变形本构方程 弹塑性增量有限元分析 弹塑性增量分析数值方法中的若干问题
0.3 本课程的内容与要求
Ⅴ 有限元程序结构和通用程序介绍（2周） 有限元程序结构和通用程序介绍（ 几种主要有限元软件介绍 几种有限元软件的发展和比较 我国有限元软件的发展与现状 虚拟工程与科学 Ⅵ 有限元发展的进一步问题和工程应用 实例（ 实例（1周）
2012-3-31
课程设置目标及主要内容
课程设置的目标
使学生掌握扎实的理论基础， 掌握有限单元法的原理、方法和计算机执行；
1个基础 2类单元 3类解法（线性 和 非线性）
另一方面培养学生很强的实践动手能力， 包括建模、求解、使用和开发程序的能力。
Chap. 0 绪论
1. 有限元方法（Finite Element Method）： 有限元方法（Finite Method）：
夹杂随机分布 夹杂大小正态分布 夹杂形状任意
能计算宏观结构变 形 便于分析微观结构 变化对宏观性能的 影响
单元脱层过程的模拟
脱层断裂准则 网格重划分技术
复杂复合材料的损伤模拟
0.1.2 有限元法的特点
3 对于各种物理问题的可应用性 有限元法求解的是物理问题的控制方程， 对线弹性，弹塑性问题，粘弹塑性问题， 动力问题，屈曲问题，热传导问题， ……， ……， 均可以进行有效的分析
1 对复杂几何结构的适应性
铸造机上的銯杠
“沙河口”号载驳船在弯扭联合作用 下的结构应力－变形有限元分析
新型号飞机研究的主要地面实验设备 －风洞－ 强度与振动
0.1.2 有限元法的特点
2 对各种复杂材料细观结构的分析
Voronoi单元的特点 Voronoi单元的特点
充分考虑夹杂的微 观结构特点
板
壳
直梁
曲梁
二维连续体不同单元的离散
工程问题的离散
0.1.1 有限元方法的要点
2 求解离散域的未知场函数 未知场函数由结点参数和插值函数表示。
0.1.1 有限元方法的要点
3 对原问题的数学模型（微分方程、边界条件） 求解
实质求解与微分方程相等效的积分形式
变分原理或加权余量法
0.1.2 有限元法的特点
有限元原理及应用
（硕士，64学时，学位课） 学时， 硕士，64学时 学位课）
计算力学的定义
以现代力学、应用数学为基础， 以现代力学、应用数学为基础，以计算机及 其技术为工具， 其技术为工具，以求解现代工程和科技中的 力学问题为目标。 力学问题为目标。研究离散化理论和求解方 程的一门应用基础性学科。它伴随计算机的 程的一门应用基础性学科。 出现而兴起，现仍在快速发展的学科。 出现而兴起，现仍在快速发展的学科。
0.3 本课程的内容与要求
二. 学习的形式
1）课堂讲授（64学时） ）课堂讲授（64学时） 2）作业习题（概念和算法的练习） 3）自选论文（程序） 程序实践，要求写出程序报告。
0.3 本课程的内容与要求
关于程序训练 通常安排在第8 通常安排在第8周以后开始上机训练， 读懂程序（Fortan） 读懂程序（Fortan）,利用程序计算简单的 算例 (输入数据文件，约束条件，精度分 析等等) 析等等)，加入功能，完成上机报告。