2017年考研数学三真题及答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析
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2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题:1~8⼩题,每⼩题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续,则()(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛,则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=,则()(A)A 与C 相似,B 与C 相似(B)A 与C 相似,B 与C 不相似(C)A 与C 不相似,B 与C 相似(D)A 与C 不相似,B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独⽴,与C 相互独⽴,则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本,记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题:9~14⼩题,每⼩题4分,共24分。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(,因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而21=ab ,应选)(A 。
(2)二原函数)3(y x xy z--=的极值点为( ))(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-='',y x z xy 223--='',x z yy 2-='',当)0,0(),(=y x 时,092<-=-B AC ,则)0,0(不是极值点;当)1,1(),(=y x 时,032>=-B AC 且02<-=A ,则)1,1(为极大点,应选)(D 。
(3)设函数)(x f 可导,且0)()(>'⋅x f x f ,则( ))(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ,则0)(>'x f ,从而0)1()1(>->f f ;若0)(<x f ,则0)(<'x f ,从而0)1()1(<-<f f ,故|)1(||)1(|->f f ,应选)(C 。
2017考研数学三真题及答案解析
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ln 2
ln 2
2
.
5
19.(本题满分 10 分)
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
,
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
(1)证明 an xn 的收敛半径不小于1. n0
(2)证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ,并求出和函数的表达式.
0
2
10.差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
.
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ;
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
,代入方程,得 a
1 2
;
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11.设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ,其中产量为 Q ,则边际成本为
8.设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本,若
X
1 n
n i 1
Xi
,则下列结论中不
正确的是( )
n
(A) ( X i )2 服从 2 分布 i 1
(B) 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
(C) ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时, g(x) g(0) 0 ,进一步得到当 x (0,1) 时, f (x) 0 ,也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少.
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版

1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1,∴A
可相似对角化,且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ,∴B 不可相似对角化,显然 C 可相似对角化, ∴ A ~ C ,且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛,所以1 k 0 k 1 .选 C.
(5)设 是 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则( )
( A ) E T 不可逆 ( B ) E T 不可逆 ( C ) E 2 T 不可逆 ( D ) E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
(D) n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1),C 正确, i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
(A) f (1) f (1) (B) f (1) f (1) (C) f (1) f (1) (D) f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1:
f
(x)
f
'(x)
2017年考研数学三真题和解析
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2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于 1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于 2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ). 7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ). 8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域. 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<.设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(,因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而21=ab ,应选)(A 。
(2)二原函数)3(y x xy z--=的极值点为( ))(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-='',y x z xy 223--='',x z yy 2-='',当)0,0(),(=y x 时,092<-=-B AC ,则)0,0(不是极值点;当)1,1(),(=y x 时,032>=-B AC 且02<-=A ,则)1,1(为极大点,应选)(D 。
(3)设函数)(x f 可导,且0)()(>'⋅x f x f ,则( ))(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ,则0)(>'x f ,从而0)1()1(>->f f ;若0)(<x f ,则0)(<'x f ,从而0)1()1(<-<f f ,故|)1(||)1(|->f f ,应选)(C 。
2017年考研数学三真题及答案解析
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2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =,处连续,则( )(A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =(2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( ) (A )(0,0)(B )(0,3)(C )(3,0)(D )(1,1)(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>,则( ) (A )(1)(1)f f >- (B )(1)(1)f f <-(C )(1)(1)f f >- (D )(1)(1)f f <-(4)设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1(B )2(C )1-(D )2-(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆(C )2T E αα+不可逆(D )2TE αα-不可逆(6)设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A )A 与C 相似,B 与C 相似(B )A 与C 相似,B 与C 不相似 (C )A 与C 不相似,B 与C 相似(D )A 与C 不相似,B 与C 不相似(7)设,,A B C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是(A )A 与B 相互独立(B )A 与B 互不相容(C )AB 与C 相互独立(D )AB 与C 互不相容(8)设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是 (A )21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B )212()n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布(D )2()n X μ-服从2χ分布二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)3(sin x dx ππ-=⎰_______。
2017数三考研真题

2017数三考研真题2017数学三考研真题(正文开始)一、选择题考点:数列与级数1. 设等差数列 {$a_n$} 初项为 3,公差为2. 若 $a_9=10$,则$S_{10}+$ 为()A. 35B. 37C. 40D. 45解析:根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可知,$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。
所以 $a_9=2 \cdot 9 + 1=19$。
由于 $S_n=n(a_1+a_n)/2$,代入公式可得 $S_{10}=10(3+19)/2=110$,所以 $S_{10}+$ 为 $110+10=120$,故选项为 D。
2. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$,则 $f(x-1)-f(x)$ 的值为()A. 1B. $x$C. $\dfrac{1}{x}$D. $\dfrac{1}{x(x-1)}$解析:将 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ 带入得 $f(x-1)-f(x)=\dfrac{1}{1-(x-1)}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{x}$,故选项为 C。
考点:微分3. 曲线 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 的切线方程为()A. $y=4x-8$B. $y=4x$C. $y=2x-2$D. $y=2x+4$解析:根据切线的定义,其斜率等于曲线在该点的导数值。
求导得$y'=3x^2$,将 $x=2$ 带入得 $y'=12$。
因此,曲线在点 $(2,8)$ 的切线斜率为 12。
由点斜式得出切线方程为 $y-8=12(x-2)$,即 $y=12x-16$,故选项 A。
考点:概率论与数理统计4. 设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=3$,方差 $Var(X)=4$,则 $E[(X-2)^2-(X+1)^2]$ 的值为()A. 10B. 11C. 12D. 13解析:根据数理统计的知识,$E(X-2)^2=E(X^2-4X+4)=E(X^2)-4E(X)+4=E(X^2)-12+4=E(X^2)-8$。
2017年考研数学三真题及答案解析
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2017年考研数学三真题及解析一、选择题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.分.1.若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续,则处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0011cos12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++®®®-===,0lim ()(0)x f x b f -®==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =Þ=.所以应该选(A ) 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是(的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶,232z x x xy y¶=--¶,2222222,2,32z z z z y x x xyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y x z x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x ¢>,则,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ¢¢=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ¥=éù--êúëûå收敛,则k =( )(A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø 显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设a 为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则阶单位矩阵,则(A )TE aa -不可逆不可逆 (B )TE aa +不可逆不可逆(C )2TE aa +不可逆不可逆 (D )2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T T E E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ;2,1,1,,1 ;1,1,1,1,1,1,,,1- ;3,1,1,,1 .显然只有TE aa -存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø,210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø,100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø,则,则(A ),A C 相似,,B C 相似相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似不相似(C ),A C 不相似,,B C 相似相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===.是否可对解化,只需要关心2l =的情况.的情况.对于矩阵A ,0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是(条件是( )(A ),A B 相互独立相互独立 (B ),A B 互不相容互不相容 (C ),AB C 相互独立相互独立 (D ),AB C 互不相容互不相容【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本,若11ni i X X n==å,则下列结论中不正确的是(正确的是( )(A )21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 (B )()2212n X X -服从2c 分布分布(C )21()nii XX =-å服从2c 分布分布(D )2()n X m -服从2c 分布分布 解:(1)显然22()~(0,1(0,1))()~1(1),),1,2,i i X N X i n m m c -Þ-= 且相互独立,所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布,也就是(A )结论是正确的;)结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n SXXn S n c s=--=-=-å,所以(C )结论也是正确的;)结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-,所以(D )结论也是正确的;)结论也是正确的;(4)对于选项(B ):221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nn n X XX X N N X X c --ÞÞ-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)把答案填在题中横线上) 9.322(sin)x x dx pp p -+-=ò .解:由对称性知332222(sin)22x x dx x dx ppp pp p -+-=-=òò. 10.差分方程122tt tyy+-=的通解为的通解为. 【详解】齐次差分方程120t tyy+-=的通解为2xy C =;设122t t tyy+-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =;启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研所以差分方程122t t ty y+-=的通解为12 2.2tty C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为,则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -¢=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø,123,,a a a 为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A a a a 的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø,知矩阵A 的秩为2,由于123,,a a a 为线性无关,所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题三、解答题15.(本题满分10分)分) 求极限03lim xt x x te dt x+®-ò启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,xxtx ux te dt uedu --=òò33300002lim lim limlim 332xxxtxuu x x x x x x te dt eue du ue du xe xx x x ++++---®®®®-====òòò 16.(本题满分10分)分) 计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++òò,其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域.轴为边界的无界区域.【详解】【详解】332422422424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDx y y dxdy dxdyxy x y d x y dx x y dxx x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17.(本题满分10分)分)求21lim ln 1nnk k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò 18.(本题满分10分)分) 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+,则,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x xf x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-=启航考研启航考研 只为一次考上研只为一次考上研2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+,所以()g x ¢在(0,1)上单调减少,上单调减少,由于(0)0g ¢=,所以当(0,1)x Î时,()0)0g x g ¢¢<=,也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少,当(0,1)x Î时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x Î时,()0f x ¢<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.上单调减少.0011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)分) 设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ,()S x 为幂级数0n n n a x ¥=å的和函数的和函数(1)证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1. (2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-,并求出和函数的表达式.,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n aa a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+ 1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!n k n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nn nn n nna e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ,所以收敛半径1R ³ (2)所以对于幂级数nn n a x ¥=å, 由和函数的性质,可得11()n n n S x na x ¥-=¢=å,所以,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n n nn n n n nnn n n nn nn n n n n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+==¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-.解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=,得()1xCe S x x-=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1x e S x x-=-.20.(本题满分11分)分)设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值,且3122.a a a =+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,b a a a =+,求方程组Ax b =的通解.的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ³.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ³,又因为31220a a a -+=,也就是123,,a a a 线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220a a a -+=,所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø; 又由123,b a a a =+,得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø;方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø,其中k 为任意常数.为任意常数.21.(本题满分11分)分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Q y =下的标准形为221122y y l l +,求a 的值及一个正交矩阵Q . 【详解】二次型矩阵21411141A a -æöç÷=-ç÷ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+---令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==.通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø,属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷ç÷èø,30l =的特征向量311261x æöç÷=ç÷ç÷èø, 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵.为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他.(1)求概率P Y EY £();(2)求Z X Y =+的概率密度.的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +¥-¥===òò所以{}23024239P Y EY P Y ydy ìü£=£==íýîþò(2)Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23.(本题满分11分)分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量m 是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ,利用12,,,n Z Z Z 估计参数s . (1)求i Z 的概率密度;的概率密度;(2)利用一阶矩求s 的矩估计量;的矩估计量; (3)求参数s 最大似然估计量.最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ 当0z <时,显然()0ZF z =; 当0z ³时,{}{}()21iZ i i X zz F z P Z z P X z P mm sssì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ;所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î.(2)数学期望222022()z i EZ z f z dz zedz s s -+¥+¥===òò,22p p12(2)ne ps å=21ln(222n s--å令3ln ()1d L n d s s s s =-+å211n i i z n ==å.。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试真题解析及考点分布
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1) 若函数1cos ,0(),0x x f x ax b x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则( ) (A) 12ab = (B) 12ab =- (C) 0ab = (D) 2ab = (2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A)(0,0) (B) (0,3) (C) (3,0) (D) (1,1)(3) 设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>,则( )(A)(1)(1)f f >- (B) (1)(1)f f <- (C) (1)(1)f f >- (D) (1)(1)f f <-(4)若续数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2(5) 设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( )(A) E ααT -不可逆 (B) E ααT+不可逆(C) 2E ααT +不可逆 (D) 2E ααT -不可逆 (6)已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则( )(A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似(C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似(7)设A ,B ,C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是 ( )(A)A 与B 相互独立 (B )A 与B 互不相容(C )AB 与C 相互独立 (D )AB 与C 互不相容(8)设1,2,...(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i x x n ==∑则下列结论正确的是 ( )(A) 21()n ii x μ=-∑服从2x 分布 (B) 212()n x x -服从2x 分布 (C) 21()ni i x X =-∑服从2x 分布 (D) 2()n X μ-服从2x 分布 二、填空题:9 14小题,每小题4分,共24分. (9)322(sin )x x dx πππ-+-=⎰________.(10)差分方程122t t t y y +-=通解为t y =(11) 设生产某产品的平均成本()1q C q e -=+,其中产量为q ,则边际成本为(12)设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =(13)设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1α、2α、3α为线性无关的3维列向量组。
2017考研数学三真题及答案
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2017考研数学三真题及答案、选择题1 —8小题.每小题4分,共32分.1 cos . x 01 .若函数f(x) ax ,x 0在x 0处连续,则b, x 0…11 . 一 . 一(A) ab — (B) ab — (Q ab 0 (D) ab 22 2_ 11 cos 、x ox 1【详斛】lim f (x) lim ------- lim — — , lim f (x) b f(0),要使函数在x 0 x 0 ax x 0 ax 2a x 0八……r 11 〜,…,x 0处连续,必须满足——b ab -.所以应该选(A2a 222z z2x, 3 2x x y y xz 2 八 一 3y 2xy y 0 x2解方程组 x ,得四个驻点.对每个驻点验证AC B 2,发现只有在z 2一 3x x 2xy 0 y应该选(D(A) f (1) f( 1) (B) f (1) f( 1)(C) f (1) |f( 1) (D) |f(1)| |f( 1)-11 一,一.22f(x)f (x) 0,也就是f(x)是单调增加函数.也3.设函数f(x)是可导函数,且满足f(x)f (x) 0,则【详解】设g(x) (f (x))2,则g (x)、.一 一2就得到f(1) f ( 1) f(1) |f( 1),所以应该选(C)2.二元函数z xy(3 x y)的极值点是((A) (0,0)(B) (0,3)(C) (3,0)(D) (1,1)【详解】—y(3 x y) xy x2 Z c 23y 2xy y ,——3x x y2z 2y, 2 点(1,1)处满足ACB 22 0,所以(1,1)为函数的极大值点,所以4.右级数sin - kln(1 —)收敛,则k n 2 n n26 .已知矩阵A 0情况.7 .设A,B, C 是三个随机事件,且 A,C 相互独立,B,C 相互独立,则AUB 与C 相互独 立的充分必要条件是【详解】(A)iv n(B) 2 (C)(D) 21sin 一 nk ln(1 1~2n(11 k)-n 显然当且仅当 (1 k) 0, 也就是k 1时,级数的一般项是关于 1 ,,人一—的二阶无穷小,n收敛,从而选择(C).5.设为n 单位列向量, E 为n 阶单位矩阵,则(A) ET 不可逆(B) E T 不可逆(C) E 2 T 不可逆(D) ET 不可逆【详解】矩阵T 的特征值为1和n 1个0,从而ET,ET,E 2 T ,E的特征值分别为 0,1,1,L 1; 2,1,1,L ,1 ;1,1,1L ,1 ; 3,1,1,L ,1 .显然只有E T 存在零特征值,所以不可逆, 应该选(A).(A) A,C 相似,B,C 相似(B) A,C 相似,B,C 不相似 (C) A,C 不相似,B,C 相似(D) A,C 不相似,B,C 不相似【详解】矩阵 A, B 的特征值都是22,31 .是否可对解化,只需要关心对于矢I 阵A, 2E A 0,也就是矩阵A 属于特征值2存在两个线性无关的特征向量, 也就是可以对角化,也就是A~C.,也就是矩阵A 属于特征值2只有个线性无关的特征向量, 也就是不可以对角化,当然B,C 不相似故选择(B).(A) A, B 相互独立 (B) A,B 互不相容(C) AB,C 相互独立(D) AB,C 互不相容【详解】P((AUB)C) P(AC AB) P(AC) P(BC) P(ABC) P(A)P(C) P(B)P(C) P(ABC)P(AUB)P(C) (P(A) P(B) P(AB))P(C) P(A)P(C) P(B)P(C) P(AB)P(C)是正确的;【详解】齐次差分方程 y t 1 2 y t 0的通解为y C2x ;显然,AU B 与C 相互独立的充分必要条件是P(ABC) P(AB)P(C),所以选择(C ).8.设X I ,X 2,L ,X n (n 2)为来自正态总体N( ,1)的简单随机样本,卜列结论中不正确的是n(A) (X ii 1 )2服从2分布(B)2 X n X 1 2服从2分布n(X ii 1(3)n(C) (X ii 1显然(X iX)2服从 2分布)~N(0,1) (X i)2服从2(n)分布,也就是(A)(X i X)2 (n i 11)S 27(D)n(X 22)~结论是正确的;2)2服从1,2,L 2(n 1),所以(C),n(X ) ~ N(0,1) n(X )2 ~2分布n 且相互独立,所以结论也是正确的;2 ,(1),所以(D)结论也(4)对于选项(B): (X nX I )~ N(0,2)X n -X 1 ~ N(0,1)所以(B)结论是错误的,应该选择(B) 二、填空题(本题共 6小题,每小题4分, 满分24分.把答案填在题中横线上)9. (sin 3x2 2x )dx 解:由对称性知(sin 3x 2x 2)dx 10.差分方程y t 12 y t 2t 的通解为t _ t1 设y t 1 2y t 2的特解为y at2 ,代入方程,得a —;2t+ 1 +所以差分万程y t i 2y t 2t的通解为y C2t5 t2.Q11 .设生广某广品的平均成本 C(Q) 1 e ,其中产量为Q,则边际成本为.【详解】答案为1 (1 Q)e Q.平均成本C(Q) 1 e Q ,则总成本为C(Q) QC(Q) Q Qe Q,从而边际成本为C (Q) 1 (1 Q)e Q .df(x,y) ye y dx x(1 y)e y dy ,f(0,0) 0,则 f(x,y)f(0,0) 0,得 C 0,所以 f(x, y) xye y.114.设随机变量 X 的概率分布为 PX 2- , P X 1 a,PX 3 b,若 2 EX 0 ,则 DX .…1 1^ , , _ __ ____ _1【详解】显然由概率分布的性质,知 a b - 121 …1 1EX 2 — 1 a 3 b a 3b 1 0,解得 a — ,b 一2 4412.设函数 f (x, y)具有一阶连续的偏导数,且已知【详解】df (x, y)ye y dx x(1 y)e y dy d(xye y ),所以 f (x, y) xye y C ,由1 0 113.设矩阵A1 12 01 1的秩为.【详解】对矩阵进行初等变1, 2, 3为线性无关的三维列向量, 则向量组A 1, A 2, A 31 0 11 0 1 A 1 1 20 1 1 0 1 10 1 11 0 10 11,知矩阵A 的 0 0 0秩为2,由于1, 2, 3为线性无关,所以向量组A 1,A 2, A 3的秩为 2.求极限lim x 0 ° x te t dt【详解】令 ,dt du,、.ue x u duli m x 0 x te t dt 16.(本题满分 计算积分 (1x 3limx 0,ue u dux 3 li mx 0ue u dux 3limx 0、,xe x2时3 2 10分)3y~24T2x y)•dxdy,其中D 是第一象限中以曲线 yJx 与x 轴为边界的无界区域. 【详解】 3y D (1 x 2 y亍dxdyxdx 03ydy (1 x 2 y 4)2V17.(本题满分 10分)求limn kn'n 1 n 1k n由定积分的定义 li m n Fn k 1 n 18.(本题满分10分) 1 已知方程一1— ln(1 x) 1 一 k 在区间 x 【详解】设f (x)1 ln(1 x) f(x) (1 x) ln 2(1 x)人 2令 g(x) (1 x)ln (1 x)li m n(0,1)1 一,x xdx24、xd(1 x y )(1)21 2x 2dxn k 1 n1 01n(1 x)dxln(1x)dx内有实根,确定常数 k 的取值范围. (0,1),则(1 x)ln 2(1 x) x 2x 2(1 x)ln 2(1 x) g(0) 0,g(1) 2ln 22g (x) ln2(1 x) 2ln(1 x) 2x, g (0) 0g (x) 2(1n(1 x) x) 0,x (0,1),所以g(x)在(0,1)上单调减少,1 x由于g (0) 0 ,所以当x (0,1)时,g(x) g0) 0, 也就是g(x) g (x)在(0,1)上单调减少,当x (0,1)时,g(x) g(0) 0,进一步得到当(0,1)时,f(x)0,也就是f (x) 在(0,1)上单调减少.1 lim f (x) lim 一x 0 - x 0 ln(1x)x ln(1 x) limx 0xln(1 x),也就是得到1 1-1k-ln219.(本题满分10分)设a0 1,a1 0,a n 1 (na n a n 1)(n 1,2,3L ),,S(x)为哥级数a n x n的和函数(1)证明a n x n的收敛半径不小于1 .n 0(2)证明(1 x)S(x) xS( x) 0(x (1,1)),并求出和函数的表达式.(1)由条件a n1 ,21 n1(n a na n 1) (n 1)a n 1 na n a n 1也就得到(n 1)(a n 1 a n ) (a n a n 1),也就得到a n 1 a n也就得到a n a n 1 (a n 1limvn 'a n 1 a n a n 1 a n a n a n 1a1 a0 a n a n 1 a n 1 a n 21 a na n )(a na na n a n 1a2 a1a1 a0——,n 1,2,Ln 11K11)!,n 1,2,La n 1) L (a2 a1) a1 1)k工k!lim n1 1n■ 2! 3!1n!lim Ven 1,所以收敛半径(2)所以对于哥级数a n x nn 0 由和函数的性质,可得S (x) na n x n 1,所以(1 x)S (x) (1 x) na n x n 1na n x n 1na n x nn 1n 1n 1n n(n 1)a n 1xna n xn 0n 1a 1((n 1)a n 1 na n )x nn 1nn 1na n 〔xa n xx a 「xxS(x)n 1n 0n 0也就是有(1 x}S(x) xS(x) 0(x ( 1,1)).Ce x解微分万程(1 x)S(x) xS(x) 0,得S(x)由于S(0)% 1,得1 xxe 所以S(x) ——. 1 x20 .(本题满分11分)设三阶矩阵A 1, 2, 3有三个不同的特征值,且(1)证明:r(A) 2;⑵若 12, 3,求方程组Ax 的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以 A 是非零矩阵,也就是 假若r(A) 1时,则r 0是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有 r(A)3 12 2 0,也就是1, 2, 3线性相关,r(A) 3,也就只有r(A) 2(2)因为r(A) 2 ,所以 Ax 0的基础解系中只有一个线性无关的解向量. 331220,所以基础解系为x 2 ;11又由 12, 3,得非齐次方程组 Ax 的特解可取为 11113122.r(A) 1 . 2,又因为21 .(本题满分11分)222设一次型 f(X i ,X 2,X 3) 2x i X 2 ax 3 2x 1X 2 8x 1X 3 2x 2X 3在正交变换 x Qy 下的标22 -傕形为112 y 2 ,求a 的值及一个正交矩阵Q .21 4 【详解】二次型矩阵A 11 1 41 a1y 22y2.也就说明矩阵A 有零特征值,所以 A 0,故a 2.1 41 1 (3)(6)12令 E A0得矩阵的特征值为13, 2 6, 3 0.,, 3通过分别解方程组(i E A )x 0得矩阵的属于特征值〔方程组Ax 的通解为x k 2 1 ,其中k 为任意常数.因为二次型的标准形为 3的特征向量1属于特征值特征值26的特征向量30的特征向量31 .6 21所以Q 1, 2, 31 20 121 -6 276为所求正交矩阵.22.(本题满分11分)设随机变量X,Y 相互独立,且X 的概率分布为P X 0〜、,… 1 、,P{ X 2} - , Y 的概率密度为 f(y)2y,0 y 1 0,其他(1)求概率P(Y EY);(2)求Z X Y的概率密度.「,、, J 2 . 2 【详解】(1)EYyf Y(y)dy 02ydy -.3(2) Z X Y 的分布函数为F Z (z)PZz P X Y z PXYz,X0PXYz,X2P X0,Y zP X 2,Y z 21 , 、 1 —P{Y z} -P Y z 22 2 1-F Y (Z ) F Y (Z 2) 2故Z X Y 的概率密度为1f Z (z) F Z (Z ) - f(z) f(z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其他用该天平对一物体的质量做了 n 次测量,该物体的质量2.是已知的,设n 次测量结果 X 1,X 2,L , X n 相互独立且均服从正态分布 N(,).该工程师(1)求Zi 的概率密度; (2)利用一阶矩求的矩估计量;(3)求参数 最大似然估计量. 【详解】(1)先求Z i 的分布函数为当z 0时,显然F Z (z) 0 ;当 z 0时,F Z (z) P Z i z P X iF z (z) P Z i z P X iX i所以Z i 的概率密度为f z (z) F z (z)所以P YEY P Y -3 2032 ydy23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,记录的是n 次测量的绝对误差乙X i ,(i 1,2,L ,n),利用 乙,Z 2,L ,Z n 估计参数X i zz z P ———-2 -z2(2)数学期望EZ i zf (z)dz _2_ ze 2^dz ,i 0 0 ..2 21 n.修......... ..令EZ Z - Z i,解得的矩估计量n i 129 2 29(3)设乙,Z2,L ,Z n的观测值为Z I,Z2,L ,Z n .当Z i 0,i 1,2,L n 时似然函数为L()2nf(Z i,) n e(.2 )1n z2 升i j取对数得: lnL() n In2 nln(2 ) nln2 2Z i i 1令dlnL(d Z20 ,得参数最大似然估计量为:2. n i 1n。
2017年考研数学三真题及解析
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则() ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒= (2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答案】D【解析】(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C) ()()11f f >- (D)()()11f f <-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。
(4)若级数2111n sin kln nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 【解析】(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A) T E αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆 【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解,故0αα-=T E .即αα-TE 不可逆.选项B,由()1ααα=Tr 得ααT的特征值为n-1个0,1.故αα+TE 的特征值为n-1个1,2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似 【答案】B【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1.因为3(2)1r E A --=,∴A 可相似对角化,且100~020002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.因为3(2)2r E B --=,∴B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化, ∴~A C ,且B 不相似于C.(7)设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是 (A) A 与B 相互独立 (B)A 与B 互不相容 (C)AB 与C 相互独立 (D)AB 与C 互不相容 【答案】C 【解析】(8)设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是: (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布 (C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ-服从2χ分布 【答案】B【解析】2212221222211(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2i ni i ni i n n XN X N X n A n S X X n X N X N n X D nX X X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒-∑∑正确,正确,正确,故错误.由于找不正确的结论,故B 符合题意.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分。
2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
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2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若函数f(x)=在x=0处连续,则( )A.ab=1/2B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案:A解析:=1/2a,∵f(x)在x=0处连续,1/2a=bab=1/2,选A.2.二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A.(0,0)B.(0,3)C.(3,0)D.(1,1)正确答案:D解析:=-1,从而AC-B2>0,从而(1,1)为极值点.3.设函数f(x)可导,且f(x)f’(x)>0,则( )A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.|f(1)|>f(-1)|D.|f(1)|<|f(-1)|正确答案:C解析:举特例,设f(x)=ex,可排除BD;设f(x)=-ex,可排除A,故选C.4.若函数收敛,则k=( )A.1B.2C.-1D.-2正确答案:C解析:因为原级数收敛,所以1+k=0k=-1.选C.5.设α为n维单位向量,E为n阶单位矩阵,则( )A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆正确答案:A解析:选项A,由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解,故|E-ααT|=0.即E-ααT不可逆,选项B,由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0,1故E-ααT的特征值为n-1个1,2,故可逆.6.已知矩阵A=,则( )A.A与C相似,B与C相似B.A与C相似,B与C不相似C.A与C不相似,B与C相似D.A与C不相似,B与C不相似正确答案:B解析:由(λE-A)=0可知A的特征值为2,2,1因为2E-A=得r(2E-A)=1,∴A可相似对角化。
且A~由|λE-B|=0可知B特征值为2,2,1因为2E-B=得r(2E-B)=2,∴B不可能相似对角化,显然C可相似对角化,∴A~C,且B不相似于C.7.设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.AB与C相互独立D.AB与C互不相容正确答案:C解析:由题设知,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),由A∪B与C相互独立知,P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C),即AB与C相互独立.8.设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记Xi,则下列结论不正确的是( )A.(X1-μ)2服从χ2分布B.2(Xn-x1)2服从χ2分布C.)2服从χ2分布D.n(-μ)2服从χ2分布正确答案:B二、填空题9.∫-ππ(sin3x+)dx=_______.正确答案:π3/2解析:∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π/2πcost.πcostdt=2π2∫0π/2πcos2tdt=2π22.=π3/2.10.差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______.正确答案:φt=C.2t+t.2t解析:由yt+1-2y1=2tλ=2,∴=C2t设y1*=C1t21,则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R).11.设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q,其中产量为Q,则边际成本为_______.正确答案:1+(1-Q)e-Q解析:C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q.12.设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则f(x,y)=_______.正确答案:xyey解析:f’k=yey,f’y=x(1+y)ey,f(x,y)=∫yeydx=xyey+c(y),故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey,故c’(y)=0,由f(0,0)=0,即f(x,y)=xyey.13.设矩阵A=,α1、α2、α3为线性无关的三维向量组,则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______.正确答案:2解析:由a1,a2,a3,线性无关,可知矩阵a1,a2,a3,可逆,故r(Aa1,Aa2,Aa3)=r(A(a1,a2,a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1,Aa2,Aa3)=2.14.设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1/2,P={X=1}=a,P{X=3}=b,若EX=0,则DX=_______.正确答案:9/2解析:由归一性得+a+b=1,再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1/4,故EX2=(-2)2×=9/2,DX=EX2-(EX)2=9/2.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年数学三真题答案解析

所以Z的概率密度为
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(23)解
0'
其他.
CI) Z1 的分布函数为
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所以Z1 的概率密度为 f(z)�{f•';';,'
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解 因为X, �NCµ ,1),
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(17)解
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2017年考研数学真题(数三)试题+解析
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2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k=-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )T E αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2T E αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似 【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】 显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)XN X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 . 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122tt t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t ty C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e -=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X=-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,0xtx u dt du -=⎰⎰16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域. 【详解】17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义 18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+1lim1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x-=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+(1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解. 【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P XP X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率PY EY ≤();(2)求ZX Y =+的概率密度.【详解】(1)1202()2.3Y EYyf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)ZX Y =+的分布函数为故Z X Y =+的概率密度为23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为 当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z iEZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。