西安交通大学组合数学期末重点
西安交大线性代数期末考题线性代数与几何试题集合
线性代数与几何试题集合一、填空题(每小题4分,共16分)(1). 若矩阵021032500⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)*AA =.(2). 已知(1,2,2)T =-α,则迹tr()T αα=.(3). 若向量组123(0,1,),(,1,0),(0,,1)TTTλλλ===ααα线性相关,则λ=.(4). 设矩阵1000131aa ⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭A =为正定矩阵，则a 的取值范围 是.二、单项选择题(每小题4分,共16分) (1). 设B C =A ，则必有(A) ()()()r A B r A r B +≥+. (B) ()()()r A r B r C +=.(C) ()()r C r A ≤. (D) ()()r B r C ≤. 【】 (2). 直线1112:011x y z L -+-==和直线21:3x y L z +=⎧⎨=⎩(A) 重合. (B) 相交. (C) 平行. (D) 异面. 【】(3). 0Ax =只有零解的充分必要条件是(A) A 的列向量线性相关; (B)A 的行向量线性相关;(C)A 是行满秩的; (D)A 是列满秩的; 【】(4).设矩阵*111023002A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -＝(A) *12A . (B)12A . (C) 14A . (D) *14A . 【】三、(12分) 写出以(0,0,0)为顶点，222211x y z x y z ⎧++=⎨+=+⎩为准线的锥面方程。
并指出其在平面2z =上的投影曲线的名称。
四、(12分),a b 取何值时,线性方程组123412201101110011121x a x x a b x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 设二次型()f =T x x Bx ，其中202220022B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1) 写出二次型()f =T x x Ax 的矩阵A ;(2) 求一个正交矩阵P ，使AP P 1-成对角矩阵;(3) 求一个合同矩阵C ，写出f 在线性变换=x Cy 下的规范形.六、 (12分) 向量组1(3,4,2,3)β=，2(4,2,6,3)β=,能否由向量组1(2,2,2,1)α=，2(1,0,2,1)α=，3(1,2,0,1)α=线性表示。
西安交大超有用的高数总结
（2a， 0） 的连线段为一条直径的圆的上半圆周， 且由 A 至 B。 （a>0） [本题意在使用 Green 公式，使用时要注意：积分路径闭合吗（是否 要补线）？积分路径是正向（逆时针）的吗？偏导数在积分路径所 围的区域内，处处存在吗（有无奇点）？] 8. 一质点在平面力场 F =(2 xy 3 -y 2 cos x)i +(1-2ysinx+3x 2 y 2 ) j 的作用 下，沿曲线 L： 2 x= y 2 由（0,0）点运动至 ( ,1) 点。在此过程 2 中，力场做了多少功？ [力场做功问题，大家都偏爱保守力场，往往能够验证线积分与路 径无关；此时，采用特殊路径法与原函数法都很好]
1-33 dx 3-53 。 20. 求齐次线性微分方程组 Ax 的通解，其中 A： dt 6-64
[考试时难免遇到一些“个性”的系数矩阵，对于时间尚充裕的同学， 对行列式做初等变换，尚不如直接展开，因式分解] 21. 求二阶线性微分方程的通解： y 2y ' y 2xe- x 。 [解二阶线性微分方程，难点在于求得非齐次特解，特别是当非齐次 项的指数为特征方程的重根时] 22. 求二阶线性微分方程的通解： y 2y ' 2y cos x+sin 2 x 。 [虽然这样的题目考得少，但特征方程有共轭复根的情形，是本章的 难点]
cosβ ，cosγ ，计算 (x cos +y cos +z cos )dS 。
( )
[注意第一型、第二型面积分的互化关系，再使用 Gauss 公式] 16. 计算场 A ( x2 , y2 , z 2 ) 的散度与旋度。 [切记散度是数量，旋度是向量] 17．求场 A ( x2 yz, y2 zx 2 yz3 , z 2 xy 3y 2 z 2 ) 的势函数 u。 [求势函数一般需要作两次 “偏积分” ， 但 “凑微分” 的方法是最快的， 核心是观察各分量中的“独立项”与“齐次项”] 18. Σ 为 R³中的二维单连域（G）内的一个闭曲面。已知空间场 A 在 （G）内有连续的二阶偏导数，求证： rot A d S =0 。
组合数学知识点
组合数学知识点组合数学是数学中的一个分支，研究的是离散的结构和计算方法。
它在数学中具有广泛的应用，包括计算、统计、密码学、信息科学等领域。
本文将介绍一些组合数学的基本概念和知识点。
一、排列与组合排列与组合是组合数学中最基本的概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式，它考虑元素的顺序。
而组合则是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，它不考虑元素的顺序。
1.1 排列在排列中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列，且要求选取的元素都不相同，则称为从 n 个元素中选取 r 个不同元素的排列，表示为 P(n, r)。
排列的计算公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
1.2 组合在组合中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素组成一个集合，且不考虑选取元素的顺序，则称为从 n 个元素中选取 r 个元素的组合，表示为 C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)二、二项式系数二项式系数也是组合数学中的重要概念。
对于任意非负整数 n 和非负整数 r，二项式系数 C(n, r) 表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。
二项式系数具有以下性质：1. 对称性：C(n, r) = C(n, n-r)2. 递推关系：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)二项式系数是组合数学中的基本构建块，它在代数、概率、统计等领域中有重要的应用。
三、图论中的组合数学组合数学在图论中有广泛的应用。
以下是几个常见的图论中的组合数学知识点：3.1 树和森林在图论中，树是一个没有回路的连通图。
一个有 n 个顶点的树含有 n-1 条边。
而森林是由若干个不相交的树组成的图。
3.2 图的匹配图的匹配是指一个图中的边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
西安交通大学02-08数学建模期末试题
高等数学（下册）期末考试汇编(2008-7-8)一、解答下列各题 1. 设)cos(y x e z xy +=，求yzx z ∂∂∂∂,. 2. 求曲线3222,,x t y t z t ===在1=t 处的切线与法平面方程。
3. 求曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的法线方程。
4. 求微分方程x e y y y 236--=-'-''的通解. 5. 设),(y x f 连续，交换积分次序⎰⎰⎰⎰-+xx y y x f xy y x f x202110d ),(d d ),(d 2.6. 设有一物体，它是由曲面22y x z +=和228y x z --=所围成，已知它在任意的点),,(z y x 处的密度z =ρ，求此物体的质量.7. 设L 是从点)0,1(A 到点)2,1(-B 的直线段，求第一型曲线积分⎰+Ls y x d )(.8. 计算第一型曲面积分⎰⎰∑++2)124(d y x s，其中∑是平面1648=++z y x 在第一卦限的部分.9. 设222z y x u ++=在椭球面1222222=++c z b y a x 点),,(0000z y x M 处沿外法线方向的方向导数.10. （注意：学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2））（1） 设函数⎰-=22d )(x x xyy ye x F ，求)(x F '. （2） 函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-ϕ所确定，其中)(u ϕ有连续导数，b a ,为不全为零的常数，计算yz b x z a∂∂+∂∂. 二、求函数),(2x y x f x z =的偏导数22,xzx z ∂∂∂∂，其中f 具有二阶连续偏导数.三、计算第二型曲面积分⎰⎰∑∧++∧+∧+=y x z xx z x z y z x I d d )(d d d d )2(2，其中∑是曲面222y x z +-=在xoy 面上方部分，方向取上侧.四、若曲线积分⎰-+=Ly x x x y I d )3(d 33，其中L 为圆周)0(222>=+R R y x ，方向取正向，求R为何值时，I 有最大值.五、（注意：学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2））（1）求微分方程组x t x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222d d 的通解. (2)已知x xx x x x x e e xe y e xe y e xe y --++=+=+=23221,,是x x xe e y a y a y 221-=+'+''的特解，求21,a a 以及该方程的通解. 六、设)(x f 具有二阶连续的导数，试求)(x f 使得曲线积分⎰⋂'++-+=ABkx y x f x y x kf x f k e I d )(d )]()()1(['与积分路径无关.七、设D 为4,1,4,====xy xy x y x y 所围成的区域，F 是一元函数，且)()()()()(v f u f vu f v F u F +='+'，其中)(x f 为正的连续函数，计算⎰∂+⎪⎭⎫⎝⎛-D y y xy F x x y xF d )(d ，其中D ∂为D 的边界曲线，方向为正向.（2007-7-8）一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1．设cos(),y u u z xy x x y∂∂=∂∂求和. 2．求曲线2,,31x t y t z t ==-=-在对应于1t =处的切线和法平面方程。
西交大2020年春《高等数学》期末考前资料
•
A 高阶无穷小
•
B 低阶无穷小
•
C 等价无穷小
•
D 同阶但不等价无穷
正确答案:D （65）
若 f(x)在处可导,则∣f(x)∣在 x=x0 处( )
•
A 可导
•
B 不可导
•
C 连续但未必可导
•
D 不连续
正确答案:C
（66）
设函数 y=f(x)在点 x0 处可导,且 f′(x)>0, 曲线 y=f(x)则在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜
•
B 函数 y=f(x)导数不存在的点,一定不是函数 y=f(x)的极值点.
•
C 若函数 y=f(x)在 x0 处取得极值,且 f′(x)存在,则必有 f′(x)=0.
•
D 若函数 y=f(x)在 x0 处连续,则 y=f′(x0)一定存在.
正确答案:C
（69）
下列各微分式正确的是( ).
•
Axdx=d(x^2)
•
AA
•
BB
•
CC
•
DD
正确答案:D （13）
•
AA
•
BB
•
CC
•
DD
正确答案:B （14）
•
AA
•
BB
•
CC
•
DD
正确答案:C （15）
•
AA
•
BB
•
CC
•
DD
正确答案:B （16）
•
AA
•
BB
•
CC
•
DD
正确答案:C （17）
•
AA
•
BB
•
2021年陕西省西安市交大附中分校高二数学理下学期期末试题含解析
2021年陕西省西安市交大附中分校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中为偶函数的是（）A．y=x+B．y=x3 C．y=D．y=e x+e﹣x参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【分析】利用奇偶函数的定义，即可得出结论．【解答】解：对于A，B，满足f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数；对于C，函数的定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于D，满足f（﹣x）=f（x），函数是偶函数．故选D．2. 数列中，，，则( )A． B． C．D．参考答案：B3. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF 所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BC1，A1C1，A1B，根据正方体的几何特征，我们能得到∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角，判断三角形A1C1B的形状，即可得到异面直线AC和EF所成的角．【解答】解：连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B为等边三角形故∠A1C1B=60°故选C4. 设函数，则（）．A．B．3 C．D．参考答案：C．选．5. 已知函数则满足不等式的的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略6. 若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】利用直线与平面垂直的关系，再利用充要条件的判定方法，即可求解．【详解】由是两条不同的直线，垂直于平面，则“”可能“”或“”，反之，“”则“”，所以是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，准确利用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7. 若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（）A．B．C．D．参考答案：C8. 抛物线的焦点到准线的距离是（）A． B. C． D.参考答案：由，知p＝4w，又交点到准线的距离就是，故选C．9. 复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，∴，则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．故选：D．10. 下面命题正确的个数是（）①若，则与、共面；②若，则、、、共面；③若，则、、、共面；④若，则、、、共面；A． B． C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是________．参考答案：(－∞，2]12. 若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是．参考答案：综合法【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】根据证题思路，是由因导果，是综合法的思路，故可得结论．【解答】解：∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，∴证明方法是由因导果，是综合法的思路故答案为：综合法13. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切，则p的值为 .参考答案：214. △ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=60°，B=45°，c=20cm，则△ABC 的AB边上的高h c= ．参考答案：【考点】解三角形．【专题】计算题；方程思想；解三角形．【分析】由A与C的度数求出B的度数，再作出AB边上的高，利用两个特殊直角三角形求高．【解答】解：由已知得到∠C=75°，作出AB边上的高CD，设高为x，则BD=x，AD=x，则x+x=20解得x=；故答案为：．【点评】此题考查了特殊角的三角函数以及利用方程思想解三角形．15. 若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为______．参考答案：【分析】关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，进而转化为函数的图象恒在图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，关于的不等式在上恒成立等价于在恒成立，设，，因为在上恒成立，所以当时，函数的图象恒在图象的上方，由图象可知，当时，函数的图象在图象的上方,不符合题意，舍去；当时，函数的图象恒在图象的上方，则，即，解得，综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16. 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和参考答案：24，23略17. 已知a>0，b>0，，，则m与n的大小关系为__参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合、排列和组合等离散的数学结构。
在现代科学和工程中，组合数学经常被应用于计算机科学、密码学和操作研究等领域。
本文将对组合数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论基础在组合数学中，集合是一个基本概念。
集合由元素组成，元素可以是具体的对象或者抽象的个体。
在集合论中，常用的符号有∈表示“属于”，∉表示“不属于”，∪表示“并集”，∩表示“交集”，∖表示“差集”，等等。
二、排列与组合1. 排列排列是从集合中选择一部分元素按照一定的顺序排列，其重要性质有：- 有序性：排列的元素是有顺序的。
- 可重复性：元素可以重复使用。
2. 组合组合是从集合中选择一部分元素不考虑顺序的组成一个组合，其重要性质有：- 无序性：组合的元素无顺序要求。
- 不可重复性：元素不可重复使用。
三、二项式定理与多项式定理1. 二项式定理二项式定理是组合数学中一个基本且重要的定理，它用于展开二次幂或高次幂的多项式。
二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n * b^0 + C(n, 1)a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n)a^0 *b^n其中，C(n, k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
2. 多项式定理多项式定理是二项式定理的推广，用于展开更高次幂的多项式。
多项式定理的公式为：(a1 + a2 + ... + ak)^n = Σ C(n, k1, k2, ..., km)a1^k1 * a2^k2 * ... *ak^km其中，Σ表示对所有组合进行求和，C(n, k1, k2, ..., km)为多重组合数，表示从n个元素中选择k1个元素作为第一项，k2个元素作为第二项，以此类推。
四、图论基础图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图及其性质。
图是由节点和边组成的一种数学结构，用于描述事物之间的关系。
图论中的一些基本概念和算法包括：- 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
西安交通大学《高等数学(上)》期末考试拓展学习(一)3
西交《高等数学（上）》（一）第一章函数极限与连续性一、函数定义的两个要素是什么？“如果自变量 x 在允许范围 X 内任取一个数值时，变量 y 是按一定的规则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，常记为. ”我们称之为函数的“依赖关系”定义。
这个定义的关键特征为：—— x 的允许范围，即函数的定义域；——对应规则，即函数的依赖关系 .可以说函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则。
只有当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，才能认为它们是同一函数。
读者仔细分析教材就可以发现，“对应规则”是本章的一条知识线，它串起了许多概念。
由于函数的定义中并没有限制“对应规则”与 y的取值特点，因此可能出现：（1）当自变量 x 的值变动时，变量 y 的取值并不一定随 x 的变化而变化， y 可能总取一值。
如 y = 3 表示不论 x 取什么值，所对应的 y 的值总是 3 ，因此它符合函数的定义，可以说 y = 3 是函数。
通常称 y = c 为常量函数。
（2）函数对应规则的形式没有限制。
① 如果函数对应规则是解析表达式，可称函数为显式形式。
② 如果函数对应规则是方程，可称 y为 x的隐函数。
③ 如果函数对应规则在自变量的不同范围是由几个不同的解析表达式而表示的，例如则称为分段函数。
注意这里不可以说是三个函数，应该说是定义域为的一个函数，在不同的范围它是由三个不同解析表达式来表达而已。
④ 如果对应规则是由表格或图形表示出来，那么常称这种表示为函数的表格法或图形表示法。
⑤ 如果 x 与 y 通过第三个变量 t 而联系起来，如则称这种函数关系为参数方程表示的函数 .二、研究函数的单调性、有界性能否离开自变量的范围？不能。
如当时为单调减少函数；当时为单调增加函数；在（-1，1）内为非单调函数。
同样，在（0，1）内有界函数，在内为无界函数。
如果说函数为单调函数或有界函数，而没有指明其范围，通常要理解为是在其定义域内而言。
组合数学知识点归纳总结
组合数学知识点归纳总结一、集合和排列集合和排列是组合数学中最基本的概念。
集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。
在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。
1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。
2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。
3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。
二、组合组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。
在组合中，有一些重要的性质和定理。
1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =n!/(k!(n-k)!)。
2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。
Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。
例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。
三、图论图论是研究图和网络结构的数学理论。
在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。
1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。
图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。
2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。
西安交通大学附属中学数学高三上期末知识点复习(培优练)
一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞3．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．44．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <5．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－317．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形8．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20589．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．8510．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞11．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+12．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6B ．7C ．8D ．913．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =14．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34D ．3215．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题16．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 17．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ． 18．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则yx的最小值为__________．19．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______ 20．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 21．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．22．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．23．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 24．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.25．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．三、解答题26．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．29．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长；(2) 求BC 的长.30．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 7．C 8．A 9．A 10．A 11．B 12．D 13．A 14．C 15．A二、填空题16．4【解析】【分析】设f（x）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x轴平行的直线y＝a和y＝b如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有17．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列18．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线19．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首20．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式21．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为822．【解析】【分析】由当n＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验23．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题24．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A时z取得最大值联立直线得A（25．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考三、解答题26．27．28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.4．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D5．A解析：A 【解析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到2222AC BC AB AC BC +-=⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到AB=再由等面积法得到11222CD CD ⨯=⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q ，因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．9．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．10．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立，∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．13．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 14．C 解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．15．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++ 22226(2)46(22)4202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题16．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有 解析：4 【解析】 【分析】 设f （x ）34=x 2﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】解：画出函数f （x ）＝34x 2﹣3x +4＝34（x －2）2＋1的图象，如图，可得f （x ）min ＝f （2）＝1，由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2233443344a ab b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4. 当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．17．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯.考点：等差数列.18．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线 解析：2【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =， (),2b x y =-，其中0x >，且a 与b 共线 ∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴yx的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.19．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】 【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-， 将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.20．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式21．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.22．【解析】【分析】由当n ＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验 解析：*2)1(n n N +∈【解析】 【分析】由2*2n S n n n N =+∈，，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得出．【详解】当2n ≥，且*n N ∈时，()()()2212121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦()2222122n n n n n =+--++-21n =+，又211123S a ==+=，满足此通项公式，则数列{}n a 的通项公式()*21n a n n N =+∈．故答案为：()*21n n N +∈【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．23．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2 【解析】 【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．24．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122zy x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题25．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解析：8 【解析】 【分析】 根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可.【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩.则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313nn n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.三、解答题 26．（1）,2；（2）4【解析】 【分析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】 （1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.27．（1）34-（2【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224aca cb B ac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B =∴sin22sin cos B B B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 28．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-， 又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．29．(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ． 【详解】（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-=⎪⎝⎭，解得7AC =，11272cos 27AC DAC AD ∴∠===； （2）设DAC DCA α∠==∠， 由（1）可得：cos sin αα==()sin sin 120BAC α︒∴∠=-12714=+⨯=，()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-272143sin 22777α==⨯⨯= 在BAC 中，由正弦定理可得：sin sin BC AC BAC B=∠， 873217143437BC ⨯∴==. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 30．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1=[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以． ∴． ∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++； （2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和： 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+； （3）已知数列的通项公式为1n a n n =++n 项和:. 11n a n n n n ==+++。
陕西省西安市交大附中2020年高三数学理上学期期末试题含解析
陕西省西安市交大附中2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是( )A.0B. 1C.D. 9参考答案：B作出不等式组表示的可行域（如下图），令，可知当直线经过点时，取得最小值0，故此时取得最小值1.2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．参考答案：A3. 设，称为整数的为“希望数”，则在内所有“希望数”的个数为．参考答案：9略4. 已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数则A．B．C．D．参考答案：B5. 已知函数，，的图象如图所示，则（）A. B.C. D.参考答案：C试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.考点：基本初等函数的图象.6. 设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．2B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】基本不等式；等比数列的性质．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为5+，利用基本不等式就可得出其最小值．【解答】解：因为4a?2b=2，所以2a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选C．【点评】此题是基础题．本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力和计算能力．7. 复数的值是（A）（B）（C）（D）参考答案：.答案：D8. 已知函数f (x)的图象如图所示，是函数f (x)的导函数，且是奇函数，给出以下结论:①；②；③；④.其中一定正确的是 ( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④参考答案：B9. 设实数的最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4参考答案：A10. 函数(A)是奇函数，但不是偶函数 (B)既是奇函数，又是偶函数 (C)是偶函数，但不是奇函数 (D)既不是奇函数，又不是偶函数 参考答案： A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若不等式的解集是空集，则正整数的取值集合为____________。
(完整版),西安交通大学2010年线性代数期末考试试题(含答案),推荐文档
(3).已知是四元方程组AX b =的三个解，其中且123,,ηηη()3r A =，则方程组AX b =的通解为1223(1,2,3,4),(4,4,4,4)T T ηηηη+=+=三、(12分) 证明两直线,异面；求两直线间的距1:4l x y z ==-2:l x y z -==离；并求与都垂直且相交的直线方程。
12,l l 四、(12分)线性方程组123113112112x x x λλλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论取何值时，该方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,λ求出该方程组的结构式通解.五、(12分). 已知二次曲面方程可经过正交2222224x ay z bxy xz yz +++++=变换化为柱面方程，求的值及正交矩阵P.'''x x y P y z z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22'4'4y z +=,a b 六、(12分) 设,矩阵满足，其中为三阶单位矩101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 2AX I A X +=+I 阵，求矩阵X .七、(12分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)矩阵，线性空间1123130101111432A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥---⎣⎦求的基与维数.{}4|V b b F Ax =∈，方程组=b 有解V (2) 设,在的基下的矩()3T L R ∈T 3R 123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα=-=-=阵为 ，求在基下的101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T βββ===矩阵.八、(10分)设是维列向量组，矩阵12,,,n ααα n 111212122212T T T n T T T n T T Tn n n n A αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明线性无关的充要条件是对任意维列向量，方程组12,,,n ααα n b 均有解。
复变函数 复习课件 西安交大第四版
n0
lim
n
cn
z0n
0
因而存在正数M,
使对所有的n, 有 cnz0n M ,
如果 z z0 ,
那末 z q 1, 而 z0
由正项级数的比较判别法知:
cn z n
cn z0 n
zn z0 n
Mqn .
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
故级数 cnzn 是绝对收敛的.
12
例2 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ), 问常数 a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解析?
解 u 2x ay, u ax 2by,
x
y
v 2cx dy, v dx 2 y,
x
y
欲使 u v , u v , x y y x
f
(z)
1 2π
i
K
f
( ) d
z
,
其中 K 取正方向.
因为积分变量 取在圆周K 上, 点 z 在 K 的内部,
所以 z z0 1.
z0
则
1 z
1 z0 1
1 z z0
z0
26
1 z0
1
(z
z0 ) ( z
z0
z0 )2 z0
( z
z0 )n z0
n0 (
1 z0)n1 (z
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为C 内任一点, 那末
f
( z0
)
1 2π
i
C
f (z) z z0
dz.
C z0
D
3
*计算方法： 公式不但提供了计算某些复变函 数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数 的一个积分表达式.
西安交通大学《高等数学(下)》期末考试拓展学习(一)8
西交《高等数学(下)》(一)第八章多元函数微分学及其应用一．学习多元函数微分学应该注意什么？答多元函数微分学是一元函数微分学的推广。
多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系，两者有很多类似之处，但特别应注意是，两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异。
从二元到二元以上的函数理论上以及研究方法上是类似的。
因此，我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究。
在学习本章时，一定要注意与一元函数相对照、类比，比较它们之间的异同，这样有助于学好多元函数微分学。
二．怎样领会和运用多元函数的依赖关系式？答二元函数的依赖关系式“ ”中的“ ”表示函数与自变量的对应关系。
熟练且灵活运用函数依赖关系式是学习多元函数的基本要求。
多元函数依赖关系式的运用与一元函数相仿，但要比一元函数依赖关系式的运用复杂些。
例如，设求的表达式。
由已知，所以，从而得。
三、何谓偏导数？怎样求偏导数？答多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化（其它自变量看成是常数）时，函数的变化率。
因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数。
一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元函数的偏导数完全适用。
偏导数的求法：1°当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点（）处的偏导数时，要根据偏导数的定义来求。
即2°求多元初等函数偏导数时，可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数。
值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同。
偏导数记号、是一个整体，不能分开。
不能看成与之商，记号与本身没有意义。
而一元函数的导数记号，可看成两个微分与之商。
四．与两者是怎样的关系？答表示在点处对x 的偏导数 . 表示对x 的偏导数在点处的值，两者关系是：求在点处的偏导数时，如果为的分段点，则应按问题 3 中1°所讲用偏导数定义来做，如果是求初等函数的，一般可先求出, 然后再求在点处的函数值。
2025届陕西省西安市西安交大附中数学八上期末统考模拟试题含解析
2025届陕西省西安市西安交大附中数学八上期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，△ABC 中，点D 在BC 延长线上，则下列结论一定成立的是（ ）A ．∠1＝∠A+∠B B ．∠1＝∠2+∠AC ．∠1＝∠2+∠BD ．∠2＝∠A+∠B2．如图，在△ABC 中，边AC 的垂直平分线交边AB 于点D ，连结CD ．若∠A＝50°，则∠BDC 的大小为（ ）A ．90°B ．100°C ．120°D ．130°3． “高高兴兴上学，平平安安回家”，交通安全与我们每一位同学都息息相关，下列四个交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知a b c 、、为一个三角形的三条边长，则代数式2222a b c ab +--的值（ ） A ．一定为负数B ．一定是正数C ．可能是正数，可能为负数D ．可能为零5．如图，点A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB 平移至A 1B 1，则+a b 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．当分式21x x +-的值为0时，字母x 的取值应为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．27．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为A ．108010801215x x =-- B ．10801080+1215x x =- C ．1080108012+15x x =- D ．10801080+12+15x x = 9．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =α，在AB 、BC 上分别找一点E 、F ，使△DEF 的周长最小．此时，∠EDF =( )A ．αB ．1902α︒-C ．2α D ．180°-2α10．如果水位下降6m 记作6m -，那么水位上升6m 记作（ ） A ．6m +B ．12m +C ．6m -D ．0m11．已知直角三角形的两边长分别为2,3,则第三边长可以为（ ）A ．7B ．3C ．11D ．1312．下列选项中，可以用来证明命题“若2a >，则2a >”是假命题的反例的是（ ） A ．3a =B ．0a =C ．2a =-D ．3a =-二、填空题（每题4分，共24分） 13．因式分解：（a+b ）2﹣64＝_____． 14．已知关于x ，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则k 的值是_________．15．分解因式：223a 3b -=________． 16．一组数据2、3、-1、0、1的方差是_____.17．若x 2＋bx ＋c ＝(x ＋5)(x －3)，其中b ，c 为常数，则点P (b ，c )关于y 轴对称的点的坐标是________．18．若点P （2-a ，2a -1）到x 轴的距离是3，则点P 的坐标是______． 三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，1），B （b ，1），其中a ，b 满足|a+2|+（b ﹣4）2=1．（1）填空：a=_____，b=_____；（2）如果在第三象限内有一点M （﹣3，m ），请用含m 的式子表示△ABM 的面积； （3）在（2）条件下，当m=﹣3时，在y 轴上有一点P ，使得△ABP 的面积与△ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标．20．（8分）如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点O ． 求证：AB ＝CD ；21．（8分）解不等式组()11322323x x x ⎧+≤⎪⎪⎨++⎪≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和．22．（10分）如图1，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA =6cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．（1）求证：△CDE 是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；（2）如图2，当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．（10分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y （个）与甲加工时间x h （）之间的函数图象为折线OA AB BC ﹣﹣，如图所示． （1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件；（2）当36x ≤≤时，求y 与x 之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？24．（10分）如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：1()2EF AC AB =-； （2）如图2，ABC ∆中9AB =，5AC =，求线段EF 的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知ABC ∆三个定点坐标分别为()4,1A -，()3,3B -，()1,2C - .（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，点,,A B C 的对称点分别是点111A B C 、、，则111A B C 、、的坐标： 1A （_________，_________），1B （_________，_________），1C （_________，_________）；（2）画出点C 关于y 轴的对称点2C ，连接12C C ，2CC ，1C C ，则12CC C ∆的面积是___________.26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是△ABC 内一点，AD=BD ，且AD ⊥BD ，连接CD ．过点C 作CE ⊥BC 交AD 的延长线于点 E ，连接BE ．过点D 作DF ⊥CD 交BC 于点F ．（1）若，求BC的长；（2）若BD=DE，求证：BF=CF．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据三角形外角性质逐一判断即可得答案．【详解】∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1＝∠A+∠B，故A选项说法一定成立，∠1与∠2+∠A的关系不确定，故B选项说法不一定成立，∠1与∠2+∠B的关系不确定，故C选项说法不一定成立，∠2与∠A+∠B的关系不确定，故D选项说法不一定成立，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角得性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻得两个内角得和；熟练掌握三角形外角性质是解题关键．2、B【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50︒，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100︒，故答案选：B.【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质.3、D【分析】将一个图形一部分沿一条直线对折，能与另一部分完全重合，则这个图形叫轴对称图形，据此判断即可求解．【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有D选项图形是轴对称图形．故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形定义是解题关键．4、A【分析】把代数式分解因式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断．【详解】2222+--a b c ab=（a−b）2−c2，＝（a−b＋c）（a−b−c），∵a＋c−b＞1，a−b−c＜1，∴（a−b＋c）（a−b−c）＜1，即2222+--＜1．a b c ab故选：A．【点睛】本题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．5、B【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，∴a=0+2=2，b=0+1=1，∴a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．6、C【分析】解分式方程，且分式的分母不能为0.【详解】解：由题意，得 x +2=0且x ﹣1≠0， 解得x =﹣2， 故选：C ． 【点睛】掌握分式方程的解法为本题的关键. 7、D【详解】试题分析：∵ D 为BC 中点，∴CD=BD ，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD 和△ACD 中，AB ACAD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ；∵EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，AE=CE ，在△AOE 和△COE 中，0A 0C OE 0E AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COE ；在△BOD 和△COD 中，BD CD BDO CDO OD 0D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOD ≌△COD ；在△AOC 和△AOB 中，AC ABOA 0A OC 0B =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△AOB ；所以共有4对全等三角形，故选D ．考点：全等三角形的判定. 8、A【分析】关键描述语：单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B 型包装箱的数量=所用A 型包装箱的数量-12，由此可得到所求的方程．【详解】解：根据题意，得：108010801215x x =-- 故选：A ． 【点睛】此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数是等量关系解答． 9、D【分析】作点D 关于BA 的对称点P ，点D 关于BC 的对称点Q ，连接PQ ，交AB 于E ，交BC 于F ，则点E ，F 即为所求．根据四边形内角和等于360°,可得∠ADC 的度数,进而可得∠P+∠Q 的度数，由对称性可得∠EDP+∠FDQ 的度数，进而即可求解． 【详解】作点D 关于BA 的对称点P ，点D 关于BC 的对称点Q ，连接PQ ，交AB 于E ，交BC 于F ，则点E ，F 即为所求．∵四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =α， ∴∠ADC =180°-α，∴∠P+∠Q=180°-∠ADC=α， 由对称性可知：EP=ED ，FQ=FD ， ∴∠P=∠EDP ，∠Q=∠FDQ ， ∴∠EDP+∠FDQ=∠P+∠Q=α，∴()1802EDF ADC EDP FDQ α∠=∠-∠+∠=︒- 故选D ．【点睛】本题主要考查轴对称的性质和应用，四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理，掌握掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 10、A【解析】根据正负数的意义:表示具有相反意义的量,即可判断． 【详解】解: 如果水位下降6m 记作6m -，那么水位上升6m 记作6m + 故选A ． 【点睛】此题考查的是正负数意义的应用,掌握正负数的意义:表示具有相反意义的量是解决此题的关键． 11、D【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】解：若3是直角边，则第三边=22+=13，23若3是斜边，则第三边=22-=5，32故选D.【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，难点在于要分情况讨论．12、D【分析】根据题意，将选项中a的值代入命题中使得命题不成立即可判断原命题是假命题.【详解】选项中A，B，C都满足原命题，D选项与原命题的条件相符但与结论相悖，a=-是原命题作为假命题的反例，则3故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的相关知识，熟练掌握真假命题的判断是解决本题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、（a+b﹣8）（a+b+8）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：（a+b）2﹣64＝（a+b﹣8）（a+b+8）．故答案为（a+b﹣8）（a+b+8）．【点睛】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用公式是解题关键．14、－1【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，∴x=-y③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k，即k=-1.故答案为-115、3（a+b）（a-b）【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可．【详解】解：3a 2-3b 2=3（a 2-b 2）=3（a+b ）（a-b ）．故答案为：3（a+b ）（a-b ）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 16、2【解析】先利用公式求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式即可得出答案 【详解】平均数()12310115x =+-++= 则方差()()()()()2222221213111011125s ⎡⎤=-+-+--+-+-=⎣⎦. 故答案为:2.【点睛】本题考查方差的定义以及平均数求法,熟记公式是解题关键,方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.17、 (－2，－15)【解析】分析：先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出b 、c 的值，然后根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．详解：∵(x +5)(x −3)=x 2+2x −15，∴b =2，c =−15，∴点P 的坐标为(2,−15)，∴点P (2,−15)关于y 轴对称点的坐标是(−2,−15).故答案为(−2,−15).点睛：：考查关于y 轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数.18、（0，3）或（3，-3）【解析】根据点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案．【详解】解：由题意，得2a-1=3或2a-1=-3，解得a=2，或a=-1．点P 的坐标是（0，3）或（3，-3），故答案为：（0，3）或（3，-3）．【点睛】本题考查了点的坐标，利用点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键．三、解答题（共78分）19、（1）.﹣2，4；（2）.﹣3m；（3）.（1，﹣3）或（1，3）.【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可求得a+2=1，b﹣4=1，即可求出a、b的值；（2）作MC⊥x轴交x轴于点C，，分别求出AB、MC的长度，由三角形面积公式表示出△ABM的面积即可；（3）求出当m=﹣3时，△ABM的面积，设P（1，a），将△ABP 的面积表示出来，列方程求解即可.【详解】（1）由题意得：a+2=1，b﹣4=4，∴a=﹣2，b=4；（2）作MC⊥x轴交x轴于点C，∵A（﹣2，1），B（4，1），∴AB=6，∵MC=﹣m，∴S△ABM=12AB·MC=12×6×（﹣m）=﹣3m；（3）m=﹣3时，S△ABM=﹣3×（﹣3）=9，设P（1，a），OP= |a|，∴S△ABP=12AB·OP=12×6×|a|=3 |a|，∴3 |a|=9，解得a=±3，∴P（1，3）或（1，﹣3）.【点睛】本题主要考查非负数的性质、点的坐标以及三角形的面积公式，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题.20、详见解析.【分析】根据BE=CF推出BF=CE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．【详解】证明：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，在△ABF 和△DCE 中A DBC BF CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABF ≌△DCE （AAS ），∴AB=DC （全等三角形对应边相等）21、05x ≤≤，15【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．【详解】解：解①得：5x ≤解②得：0x ≥∴原不等式组的解集为05x ≤≤，∴原不等式组的整数解为：0，1，2，3，4，5∴原不等式组的整数解之和为0+1+2+3+4+5=15.【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22、 (1)见解析；(2) 存在，当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE ，∠DCA=∠ECB ，由等边三角形的判定可得结论；（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE =60°，DC =EC ，∴△CDE 是等边三角形；（2）解：存在，①当0≤t ＜6s 时，由旋转可知，60ABE ∠=︒，60DBE ∠<︒，若90BED ∠=︒，由(1)可知，△CDE 是等边三角形，∴60DEC ∠=︒，∴60DEC ∠=︒，∴30CEB ∠=︒，∵CEB CDA ∠=∠，∴30CDA ∠=︒，∵60CAB ∠=︒，∴30DCA CDA ∠=∠=︒，∴4DA CA ==，∴OD =OA ﹣DA =6﹣4=2，∴t =2÷1=2s ； ②当6＜t ＜10s 时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；③ t = 10s 时，点D 与点B 重合，∴此时不存在；④ 当t ＞10s 时，由旋转的性质可知， ∠CBE =60°又由（1）知∠CDE =60°，∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ， 而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4cm ，∴OD =14cm ，∴t =14÷1=14s ； 综上所述：当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．23、（1）270,20,40；（2）6090=-y x ()36x ≤≤；（3）甲加工1.5h 或4.5h 时，甲与乙加工的零件个数相等.【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB 段可得甲机器的速度，观察BC 段结合甲的速度可求得乙的速度；(2)设当36x ≤≤时，y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+，利用待定系数法求解即可；(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.【详解】(1)观察图象可知一共加工零件270个，甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个，乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个，故答案为：270，20，40；()2设当36x ≤≤时，y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+把()3,90B ，()6,270C ，代入解析式，得3906270k b k b +=⎧⎨+=⎩解得6090k b =⎧⎨=-⎩6090y x ∴=- ()36x ≤≤()3设甲加工x 小时时，甲与乙加工的零件个数相等，乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个，2030x =，1.5x =；乙机器修好后，根据题意则有()2030403x x =+-，4.5x =，答：甲加工1.5h 或4.5h 时，甲与乙加工的零件个数相等.【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键.24、（1）见解析；（2）2【分析】（1）先证明AB=AD ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．（2）先证明AB=AP ，根据等腰三角形的三线合一，推出BE=ED ，根据三角形的中位线定理即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵AB BD ⊥，90AED AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒，BAE DAE ∠=∠∵，ABE ADE ∠=∠∴，AB AD ∴=，∵AE BD ⊥，BE DE ∴=，BF FC =∴， 111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴． （2）如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．∵AE BP ⊥，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒；BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，∵AE BD ⊥，BE PE =∴，∵BF FC =，1111()()(95)22222EF PC AP AC AB AC ==-=-=-=∴．【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25、（1）画图见解析；-4，-1；-3，-3；-1，-2；（2）画图见解析，4.【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于x 轴的对称点，再顺次连接可得；（2）作出点C 关于y 轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得．【详解】（1）如图所示，111A B C ∆即为所求，()()()1114,1,3,3,1,2A B C ------；（2）如图所示，12CC C ∆的面积是12442⨯⨯= 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．26、（1）2；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用勾股定理求出BE 的长，进而再次利用勾股定理求出BC 的长；（2）连接AF ，首先利用ASA 证明出△BDF ≌△EDC ，得到DF CD =，进而得到∠ADF =∠BDC ，再次利用SAS 证出△ADF ≌△BDC ，结合题干条件得到AF ⊥BC ，利用等腰三角形的性质得到结论．试题解析：(1)∵BD ⊥AD ，点E 在AD 的延长线上，∴90BDE ∠=，∵5BD DE ==，∴2210BE BD DE ，=+=∵BC ⊥CE ，∴90BCE ，∠= ∴2210222BC BE CE =-=-=；(2)连接AF ，∵CD ⊥BD ，DF ⊥CD ，∴90BDE CDF ，∠=∠= ∴∠BDF =∠CDE ，∵CE ⊥BC ，∴90BCE ，∠= ∴∠DBC =∠CED ，在△BDF 和△EDC 中，∵DBF DEC BD DEBDF CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BDF ≌△EDC (ASA)，∴DF =CD ，∴45CFD DCF ∠=∠=，∵∠ADB =∠CDF ，∴∠ADB +∠BDF =∠CDF +∠BDF ， ∴∠ADF =∠BDC ，在△ADF 和△BDC 中，∵AD BD ADF BDC DF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BDC (SAS)，∴∠AFD =∠BCD ，∴45AFD ∠=，∴90AFC AFD CFD ，∠=∠+∠= ∴AF ⊥BC ， ∴AB =AC ， ∴BF =CF .。
西安交通大学《线性代数》期末考试拓展学习(六)8
西交《线性代数》（六）特征值和特征向量物理意义一．特征值就是那个矩阵所对应的一元多次方程组的根特征值表示一个矩阵的向量被拉伸或压缩的程度,例如特征值为1111111111,则表示经过变换以后,向量没有被拉伸,在物理上表示做刚体运动,相当与整体框架做了变动,但内部结构没有变化.量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表力学量的某个可能的观测值。
一个向量（或函数）被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。
如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。
这是特征值的数学涵义；至于特征值的物理涵义，根据具体情况有不同的解释。
比如动力学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚至应力分析中的主应力。
矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！二．特征向量-定义上，线性变换的特征（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。
该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
图1给出了一幅图像的例子。
一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。
特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
这些概念在纯数学和的很多发挥着巨大的作用—在，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。
空间上的变换—如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。
向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。
西安交通大学02-03年高等数学下册期末考试试题及答案
一、解答下列各题(每小题5分，共25分)1．设z y eu xcos sin =，求全微分du .2．求曲线t x 2sin =，t t y cos sin =，t z 2cos =在对应于4π=t 的点处的切线和法平面方程.3．计算曲线积分⎰+-Lx xdy dx e y 2)3(，式中L 是曲线x e y =上从)1,0(到),1(e 的一段.4．求函数206922+-++-=y x y xy x z 的极值. 5．求微分方程xxe y y 33=+''的一个特解. 二、解答下列各题(每小题6分，共24分)1． 在x 轴上求一点，使它到点)2,1,0(-M 的距离等于它到平面9236=-+z y x 的距离. 2． 函数),(y x z z =由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定，求yzx z ∂∂∂∂,. 3．改变二次积分⎰⎰⎰⎰-+x xdy y x f dx dy y x f dx 2 0211 0),(),(的积分次序，其中),(y x f 连续.4． 计算曲面积分⎰⎰∑+++-++-+dxdy z y x dzdx z y x dydz x z y )()()(,其中∑是由1||,1||,1||≤≤≤z y x 所确定的立体的表面外侧.三、（9分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω=dV z I 2，其中Ω由z z y x 2222≤++所确定. 四、（9分）求半径为R 的质量分布均匀的半球面的重心坐标.五、（9分）求微分方程034=+'-''y y y 的积分曲线方程，使其在点)2,0(与直线0922=+-y x 相切.六、（9分）设曲面方程为0),(=--by z ax z F （b a ,为正常数）.),(v u F 具有一阶连续的偏导数，且022≠+v u F F ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量. 七、（9分）求微分方程)ln 1(ln x y y y x -+''=''满足e y y ='=)1( ,2)1(的特解.八、（6分）设L 是光滑的正向简单闭曲线，所围的区域记为D ，n是L 的单位外法线向量，),(y x u 是具有二阶连续偏导数的二元函数，试证：⎰⎰⎰∂∂+∂∂=∂∂D L dxdy y uxu ds n u )(2222一、解答下列各题(每小题6分，共60分)1． 设点)2,6,3(-p 为从原点到一平面的垂足，求该平面的方程.2． 求过点)3,2,1(-M 的平面，使它与平面03:=--+z y x π垂直，且与直线z y x L ==:平行.3． 设2y xz =，求dz .4． 在曲面2223y x z +=上求一切平面，使该切平面垂直于直线123-==z yx . 5． 求曲线)ln(sin ,,t z ty tx ===ππ上，对应2π=t 点处的切线方程.6． 改变二次积分⎰⎰⎰⎰-+x x dy y x f dx dy y x f dx 4042020),(),(的积分次序，其中),(y x f 连续.7． 计算⎰⎰⎰Ω=zdV I ，其中积分域Ω是：z z y x2222≤++.8． 计算曲线积分⎰+-L yx ydx xdy 22，其中L 是椭圆周212222-=+x y x 正向. 9． 计算曲面积分⎰⎰∑dS y ||，其中∑为锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的部分曲面.10. 求微分方程211x y y x +=+'的通解. 二、（7分）求函数206922+-++-=y x y xy x z 极值. 三、（7分）函数),(y x z z =由方程0),(=--z y z x F 所确定，其中),(v u F 具有连续的一阶偏导数，且0≠'+'v u F F ，求yz x z ∂∂+∂∂. 四、（7分）设∑为上半球面221y x z --=的外侧，计算曲面积分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
组合数学期末重点第一章：7 11 14 25 267. n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？[解].(1)若第1个位置是男，有n ⋅n ⋅(n -1)⋅(n -1)⋅⋯⋅3⋅3⋅2⋅2⋅1⋅1=(n!)2种排法；若第1个位置是女，也有(n!)2种排法；故n 个男n 个女排成一男女相间的队伍，有2(n!)2种不同的排法。
因为若不记座位的差别，只记人与人之间的相对位置的变化，则每一种坐法可产生2n个男女相间的排列，从而坐法为22])!1[()!1(!2)!(2-=-=n n n n nn 种，若不记顺、逆时针则有坐法22])!1[(21)!1(!2122)!(2-=-=⋅n n n n n n 种。
(2)若第1个座位坐男，有n 个可能，则第2个坐女为n 个可能，……，根据乘法原理，故有n ⋅n ⋅(n -1)⋅(n -1)⋅⋯⋅3⋅3⋅2⋅2⋅1⋅1=(n!)2种方案。
同理，第1个座位坐女，也有(n!)2种方案。
故有2(n!)2种方案。
11.凸10边形的任意三条对角线不共点。
试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？[解].(参见柯召《组合数学》上册。
P 34 例1.6.1)(2)从上。
一个点引出的7条线中第一条线上有7个点，故将该线段分成8段；第二条线上有12个点，故将该线段分成13段，故从一个点出发的7条线上的段数为第11题图1第11题图28+13+16+17+16+13+8=91故有10个点。
故总的段数可为91⨯10=910。
但有重复，重复数为2（因为每条线有两个端点）。
故总的段数为4552910=。
14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字,若其中有2或3个母音.问分别可构成多少个字(不允许重复)?[解].英语中有6个元音字母a,e.i,(y),o,u,其余20个是辅音。
(1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成1234561256123417181920!626420⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52 326 000 (2)若有三个元音,可构成123456123456123181920!636320⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16 416 000； 另一种解法认为有5个元音，其余21个是辅音(1)若取出6个字母组成一字,其中有2个元音,可构成1234561245123418192021!625421⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43 092 000 (2)若有三个元音,可构成1234561245123192021!635321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9 576 000。
25.5台教学机器m 个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种使用方案？ [解].先从m 个学生中选取k 个使用第1台机器，再从剩下的m -k 个学生中选取k 个使用第2台机器，其余m -2k 个学生可以任意使用剩下的3台机器，按乘法原理，其组合数为C (m,k)C (m -k ,k )⋅3(m -2k )。
这里k=0,1,2,⋯,q (⎥⎦⎥⎢⎣⎢=2m q )，于是，按加法原理，共有)2(qk 3),(),(k m k k m C k m C -=⋅-∑种使用方案。
26.在由n 个0及n 个1构成的字符串中，任意前k 个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？[解].转化为格路问题（弱领先条件—参见P36例4该例是强领先条件）。
即从(0,0)到(n,n)，只能从对角线上方走，但可以碰到对角线。
它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。
更进一步的，它可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题(n+1,n+1)(0,1)(1,0)(n,n+1)(n,n) (0,0) 第26题图1(因为此种格路第一步必到(0,1)格点)。
故这样的字符串有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-n n n 1)1(0-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-10)1(1n n n =C (2n,n)-C (2n,n -1)个。
第二章：2.42 2.43 2.44 4 5 62.42. 设{a n }满足a n - a n -1- a n -2 = 0，{b n }满足b n - 2b n -1- b n -2 = 0，c n = a n + b n ，n =0, 1, 2, 3, ⋯，试证序列{c n }满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。
[解]方法一：(特征系数法)由于序列{a n }满足递推关系：a n - a n -1- a n -2 = 0 故显然也满足递推关系：(a n - a n -1- a n -2) + A 1(a n -1 - a n -2- a n -3) + A 2(a n -2 - a n -3- a n -4) = 0 这里A 1，A 2为任意常数整理为：a n + (A 1 - 1)a n -1+ (A 2 - A 1 - 1)a n -2 - (A 1 + A 2)a n -3 - A 2a n -4 = 0 由于序列{b n }满足递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0 故显然也满足递推关系：(b n - 2b n -1- b n -2) + B 1(b n -1 - 2b n -2- b n -3) + B 2(b n -2 - 2b n -3- b n -4) = 0 这里B 1，B 1为任意常数整理为：b n + (B 1 - 2)b n -1+ (B 2 - 2B 1 - 1)b n -2 - (B 1 + 2B 2)b n -3 - B 2b n -4 = 0 ● 令：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+--=---=-222121121211212121B A B B A A B B A A B A解之得：⎩⎨⎧-=-=1221A A ，⎩⎨⎧-=-=1121B B将此解代入 和●，有：a n - 3a n -1 + 3a n -3 + a n -4 = 0 ❍b n - 3b n -1 + 3b n -3 + b n -4 = 0 ⏹将❍+⏹，并注意到c n = a n + b n ，我们有：c n - 3c n -1 + 3c n -3 + c n -4 = 0 ☐ 这就是序列{c n }所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。
方法二：(特征根法)序列{a n }的递推关系：a n - a n -1- a n -2 = 0特征方程：γ2 - γ - 1 = 0 特征根：γ1 =251+，γ2 =251- 故其通解为：b n = A ⋅(251+)n+ B ⋅(251-)n 序列{b n }的递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0特征方程：γ2 - 2γ - 1 = 0特征根：γ1 =21+，γ2 =21-故其通解为：b n = C ⋅(21+)n + D ⋅(21-)n于是有：c n = a n + b n = A ⋅(251+)n+ B ⋅(251-)n + C ⋅(21+)n + D ⋅(21-)n 因此序列{c n }所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为： (γ -251+)(γ -251-)[γ -(21+)][γ -(21-)] = 0 整理为：(γ2 - γ - 1)(γ2 - 2γ - 1) = 0再整理为：γ 4 - 3γ3 + 3γ + 1 = 0因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为：c n - 3c n -1 + 3c n -3 + c n -4 = 0 。
2.43.在习题2.42中，若c n = a n b n ，试讨论之。
[解](特征根法)序列{a n }的递推关系：a n - a n -1- a n -2 = 0特征方程：γ2 - γ - 1 = 0 特征根：γ1 =251+，γ2 =251- 故其通解为：b n = A ⋅(251+)n+ B ⋅(251-)n 序列{b n }的递推关系：b n - 2b n -1- b n -2 = 0特征方程：γ2 - 2γ - 1 = 0 特征根：γ1 =21+，γ2 =21-故其通解为：b n = C ⋅(21+)n + D ⋅(21-)n于是有：c n = a n b n = [A ⋅(251+)n+ B ⋅(251-)n ][C ⋅(21+)n + D ⋅(21-)n ] = AC ⋅(251+)n (21+)n + AD ⋅(251+)n (21-)n + BC ⋅(251-)n (21+)n + BD ⋅(251-)n(21-)n 因此序列{c n }所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为： [γ -251+(21+)][γ -251+(21-)][γ -251-(21+)][γ -251-(21-)] = 0 整理为：[γ2 - (51+)γ - (251+)2][γ 2- (51-)γ - (251-)2] = 0 再整理为：γ 4 - 2γ 3 - 7γ2 - 2γ + 1 = 0因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为：c n - 2c n -1- 7c n -2 - 2c n -3 + c n -4 = 0 。
2.44. 设{a n }和{b n }均满足递推关系x n + b 1x n -1+ b 2x n -2 = 0，试证： (a) {a n b n }满足一个三阶齐次线性常系数递推关系； (b) a 0, a 2, a 4, ⋯ 满足一个二阶线性常系数齐次递推关系。
[证](a)(特征根法)二阶齐次线性常系数递推关系x n + b 1x n -1+ b 2x n -2 = 0的特征方程为： x 2 + b 1x + b 2 = 0 设其特征根为γ1，γ2(1)如果 γ1 ≠ γ2 ，则有：a n = A ⋅n 1γ+ B ⋅n 2γ ，b n = C ⋅n 1γ+ D ⋅n 2γ 于是：c n = a n b n = (A ⋅n 1γ+ B ⋅n 2γ)(C ⋅n 1γ+ D ⋅n 2γ) = AC ⋅(21γ)n + (AD + BC )⋅(γ1γ2)n + BD ⋅(22γ)n 这说明{c n }满足一个三阶齐次线性常系数递推关系。
其特征方程为：(x -21γ)(x -γ1γ2)(x -22γ) = 0整理为：x 3 - (21γ+ γ1γ2 +22γ)x 2 + (231γγ+2221γγ +321γγ)x - (γ1γ2)3 = 0由于γ1 + γ2 = - b 1，γ1γ2 = b 2，故21γ+ γ1γ2 +22γ=21b - b 2 因此有：x 3 - (21b - b 2)x 2 + b 2(21b - b 2)x -32b = 0 故此{c n }满足如下的三阶齐次线性常系数递推关系：c n - (21b - b 2)c n -1 + b 2(21b - b 2)c n -2 -32b c n -3 = 0 。