多边形、内角和外角和

的线段。
D
对角线
连接多边形不相邻的两个 顶点的线段叫做多边形的对角 线.
练习:画出五边形ABCDE的所有对角线. A E
B
C
D
你能写出每个图形中对角线的总条数吗？
如果不行,请画出所有对角线。 太难画了,能不全画出对
角线而计算出来吗？
0
2
20
5
你能告诉我二十边
9
形的对角线条数吗？ 五十边形呢？一百边
G
F
B
E
D C
做一做
1.求下列图形中x的值:
140 0
x0
x0
(1)
80 0
120 0
75 0
x0
(3)
150 0 2X 0
120 0
x0
(2)
D
E
x0
150 0
60 0
C
135 0
A (4) B
AB∥CD
练一练
（1）十二边形的内角和是多少？ 解:（12-2）×180° =10 ×180° =1800 ° 答：十二边形的内角和为1800 °
(2)一个多边形的内角和为2700°,求它的边数。
解 :设这是一个n边形,根据题意得：
（n-2）·180 °=2700 °
解得：
n=17
答：它的边数为17.
从多边形的一个顶点A点出发,沿多边形的各边走过各点之后回到
点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是多
少？
多边形的外角和
例1 如图,在五边形的每个顶点处各取一
问题5:观察正三角形、正方形的特征,
猜想满足什么条件的多边形是 正多边形？
定义: 如果多边形的各边都相等,各内角
也都相等，那么就称它为正多边形.
正多边形
各个角都相等,各条边都相等的多边 形叫做正多边形.
正多边形的各个角都相等，各条边 都相等。
例如:
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
试一试
你会利用三角形的内角和计算四边形 ABCD的内角和吗？请你与同学们交流你 的证明思路.
归纳总结
边数
3
从一个顶点出发的
对角线的条数
0
上述对角线分成的
三角形个数
1
4 5 6 8…
n
1 2 3 5 … n-3
2 3 4 6 … n-2
总的对角线条数 0 2 5 9 20 …
已知一个多边形有35条对角线,你能求出它的边数吗？
n(n-3) 2
总结2
n边形从一个顶点出发的对角线条
数为: (n－3)条(n≥3)
一个顶点 多边形 边数 出发的对
角线条数
图形
分成三角形 的个数
计算规律
三角形 3
0
四边形 4
1
五边形 5
2
六边形 6
3
七边形 7
4
1
1 ×180°
2
2 ×180°
3
3 ×180°
4
4 ×180°
5
5 ×180°
…
… … … … …
n
n边形
n-3
n-2 (n－2) ·180°
探究四边形内角和还有哪些方法？ A
复习回顾
求下列图中各标出角的度数。
32°
92 o
1
1
60 o 1
55°
2 60°
∠1=32° ∠1=115° ∠2=65°
2
45°
35°
∠1=80°
∠2=112°
11.3.1 多边形
图中有你认识的多边形吗？
从这些图形你能抽象出什么平面图形？
多边形的定义
三角形 八边形
长方形
四边形 六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的定 义ห้องสมุดไป่ตู้？
个三角形，所以四边形的内角和为_3_6_0_°_ 。
D C
E
B A
A F
E
B
C D
同理:从五边形从一个顶点出发,可以做____2_对 角线，它们将四边形分成_____ 3个三角形，所 以四边形的内角和为_____ 。
同理:从六边形从一个顶点出发,可以做____3_对 角线，它们将四边形分成_____ 4个三角形，所 以四边形的内角和为_____ 。
形呢？n边形呢？
1.
从四边形的一个顶点出发,可以引 一 条对
角线,它将四边形分成 两 个三角形
从五边形的一个顶点出发,可以引 两 条对
2.
角线,它将五边形分成 三 个三角形.
从六边形的一个顶点出发,可以引 三 条
3.
对角线,它将六边形分成 四 个三角形.
…
从n边形的一个顶点出发,可以引n-3 条对 角线,它将n边形分成 n-2 个三角形.
B C
D
B C
A
o
A
B C
A
B C A
●
B C
●
O
O
D
D
D
4×180°-360° 3×180°-180° 4×180°-360°
=360°
=360°
=360°
●
D
O
3×180°-180° =360°
共同点:找一个点,将四边形转化为三角形。
n边形内角和公式的应用
n边形内角和=(n－2) ·180°
A
n(n 3) n边形共有对角线 2 条(n≥3)
探究3
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
多边形的分类
如图,画出四边形ABCD的任何一条边 所在直线，整个四边形都在这条直线的 同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
A
B
C
D
A
C B
四边形ABCD是 凹四边形,因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边 形不都在这条直线 D 的同一侧。
个外角，这些外角的和叫做五边形的外角 和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和他相邻
1A
的内角有什么关系？ B
2.五个外角加上他们分别
6
5
相邻的五个内角和是多 2
E
少？
3.这五个平角和与五边形 的内角和、外角和有什
C
3
4 D
么关系？
例2 如图,在五边形的每个顶点处各取一
个外角，这些外角的和叫做五边形的外角 和．五边形的外角和等于多少？
=360 °
2
结论:
B C
A
连接对角线把四边形 转化为三角形。
D
思考:
已知:四边形ABCD,试说明：∠A+
∠B+ ∠C+ ∠D=360 °
D
分析:
C
B
四边形ABCD的内角和
＝△ABC的内角和﹢△ACD的内角和
=180°+180°=360°
观察上图:可以看出四边形从一个顶点出发, 可以做___1 __对角线，它们将四边形分成___2__
5边形外角和 =5个平角 -5边形内角和 1 A
B
=5×180°-(5-2) × 180°
6
5
=360 °
2
E
C 3
结论:五边形的外角和等于360°
4 D
探究在n边形的每个顶点处各取一个外角, 这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和= n个平角-n边形内角和 1 =n×180 °-(n-2) × 180° B
在平面内,由一些不在同一条直线 上的线段首尾顺次相接组成的图 形叫做多边形。
你能类比三角形的组成要素,说一说 下面图形各部分的名称是什么？
顶点
边
外角 对角线
内角
了解一下
A
顶点 外角
E
B
可表示为:五边形ABCDE 或 五边形DCBAE
边
D
C
内角
对角线
B
读出图中所有的对 角线
A
E
对角线:
C
连接多边形不相邻的两个顶点