多边形、内角和外角和
多边形的内角和与外角和计算
多边形的内角和与外角和计算多边形是初中数学中的重要内容，对于学生来说，了解多边形的内角和与外角和的计算方法是必不可少的。
本文将通过举例、分析和说明的方式，详细介绍多边形的内角和与外角和的计算方法，以及其在实际问题中的应用。
一、多边形的内角和计算方法多边形是由若干条线段组成的封闭图形，其中每个线段都与相邻的线段相交，形成了内角。
我们先来看一下三角形的内角和计算方法。
三角形是最简单的多边形，由三条边组成。
根据三角形内角和的性质，三角形的内角和等于180度。
例如，假设一个三角形的三个内角分别为60度、70度和50度，那么它们的和为180度。
对于四边形而言，我们可以将其分割为两个三角形。
根据三角形内角和的性质，四边形的内角和等于两个三角形的内角和之和，即180度×2=360度。
例如，一个四边形的四个内角分别为80度、100度、90度和90度，那么它们的和为360度。
同样地，对于任意多边形，我们都可以将其分割为若干个三角形。
根据三角形内角和的性质，多边形的内角和等于所有三角形的内角和之和。
因此，多边形的内角和计算方法可以总结为：内角和 = (n-2) × 180度，其中n表示多边形的边数。
例如，一个五边形的五个内角分别为120度、110度、100度、90度和80度，那么它们的和为(5-2) × 180度 = 540度。
二、多边形的外角和计算方法多边形的外角是指从多边形的一个顶点出发，与相邻边的延长线所夹的角。
与内角和不同的是，多边形的外角和与多边形的边数有关。
我们来看一下多边形的外角和计算方法。
对于任意多边形而言，其外角和等于360度。
这是因为，从多边形的一个顶点出发，每个外角都与相邻边的延长线夹角相等。
而多边形的边数就是外角的个数，因此外角和等于360度。
例如，一个五边形的五个外角分别为60度、70度、80度、90度和100度，它们的和为360度。
三、多边形内角和与外角和的应用了解多边形内角和与外角和的计算方法对于解决实际问题非常有帮助。
多边形内角和外角和的公式
多边形内角和外角和的公式
多边形的内角和公式是：n边形的内角和等于（n-2）×180°。
其中，n是多边形的边数。
而多边形的外角和总是等于360°，它与边数的多少无关。
对于内角和，随着多边形边数的增加，内角和也会增加；反之，边数减少，内角和也会减少。
每增加一条边，内角的和就增加180°，且多边形的内角和必须是180°的整数倍。
另外，一个多边形最多有三个内角为锐角，最少可以没有锐角（如矩形）；而多边形的外角中最多有三个钝角，最少可以没有钝角。
以上内容仅供参考，如需更全面准确的信息，可查阅数学相关书籍或请教数学专业人士。
七年级数学多边形内角和与外角和
解：由n边形的内角和公式可得：
(n －2) ·180 = 144n 180n – 360 = 144n 180n －144n=360 36n = 360 n = 10
［例4］一个多边形的内角和等于它的外角 和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n －2)· 180°,外角和等于360°， 所以：(n－2)· 180=3×360 解得：n=8 答:这个多边形是八边形.
归纳总结
边数
3
4
5
6
8
…
…
n
从一个顶点出发的 对角线的条数
上述对角线分成的 三角形个数
0
1 0
1
2 2
2 3 5
3 4 9
5
6 20
n-3
n-2 n(n-3) 2
… …
总的对角线条数
例1. 过某个多边形一个顶点的所有对角线, 将这个多边形分成5个三角形.这个多边形 是几边形?它的内角和是多少?
解: 依题意, 这个多边形是七边形, 它的内角和是(7－2) ×180°=900°
540º
360º
180º
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强者の话,也只能是压制修为,当年才能进入玄域.而现在不同了,玄域上空の这种压制不存在了,是个生灵都可以进入玄域,并不会有什么压制力量了.当年玄域中也没有什么圣地或者是圣地家族,都是壹些低阶修行者在这里面过渡修行の,现在玄域中出现了十一些圣地.壹共有十三个圣地,现在被大家和各域所承认の, 也就只有这十三个圣地了.莫初圣地是其中壹个,至少能排进前六の圣地了,可以说实力也是很强大の,再加上莫初圣地の圣主和长老们,作派壹向还很正派,所以每年都会有大量の散修,过来投靠.根汉扫了几人の元灵,得到了不少消息,也包括他们所知道の壹些
多边形的内角和与外角和计算
多边形的内角和与外角和计算多边形是几何学中的重要概念，它由一系列连续的线段组成，每条线段称为边，相邻的两条边之间的交点称为顶点。
多边形可以根据边的数量进行分类，其中最常见的是三角形、四边形和五边形，不同类型的多边形具有不同的特性和性质。
在本文中，我们将探讨多边形的内角和与外角和的计算方法。
首先，我们来了解一下多边形的内角和是指多边形所有内角的总和，而外角和则是指多边形所有外角的总和。
多边形的内角和计算方法如下：假设多边形有n个边，那么内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度例如，对于三角形来说，它有3个内角，那么内角和 = (3 - 2) × 180度 = 180度。
同样地，四边形有4个内角，内角和 = (4 - 2) × 180度 = 360度。
接下来，我们来探讨多边形的外角和的计算方法。
外角是指多边形的边与其相邻的两条边所夹的角，我们可以通过以下公式计算多边形的外角和：外角和 = 360度这是因为任何一个多边形的外角和总是等于360度。
不论多边形的边数是多少，它的外角和始终保持不变。
这也是多边形的一个重要性质。
以五边形为例，它有5个外角，每个外角都等于360度/5 = 72度。
同样地，六边形的每个外角为360度/6 = 60度。
在实际应用中，计算多边形的内角和和外角和可以帮助我们解决许多几何问题。
例如，当我们知道一个多边形的内角和时，我们可以计算出其中每个内角的大小，进而推导出多边形的性质和特点。
而通过计算多边形的外角和，我们可以验证多边形是否闭合以及各个角之间的关系。
总结起来，多边形的内角和与外角和是多边形几何性质中的重要概念。
通过简单的公式计算，我们可以得到多边形的内角和和外角和的数值。
在解决几何问题时，这些计算结果可以帮助我们推导出多边形的各种性质，进而深入理解和应用几何学知识。
通过本文对多边形的内角和与外角和的计算方法进行了深入探讨，相信读者对于多边形的性质有了更清晰的认识。
多边形的内角和与外角和
例：一个正多边形的一个内角为150°，它是几 边形?
解法一：依题意可得 （n-2）·180°=n·150
解得n=12 答：它是十二边形。
解法二：依题意可得 它的每一个外角 180°-150°=30°
n=360°÷30°=12
课后作业
1.(1)如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进
5m后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出
0
5．【分类讨论思想】(2018·聊城)如果一个正 方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么
这个多边形的内角和是 180°或360°．或540°
6．（自贡·中考）一个多边形截取一个角后， 形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原 来多边形的边数是（ D ）. A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
边形的边数是___2__4___
2.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的
度数为__3_6_____度，每个内角的度数为__1_4__4___度.
3.若一个多边形的内角和等于它的外角和，
则它的边数是_____4__．
4.多边形的边数增加1，则内角和增加
_1_8__0_度．外角和增加_____度
第六章 平行四边形
6.4 多边形的内角和与外角和
1．能说出多边形的有关概念及多边形内角和定理. 2．能说出正多边形的定义. 3．能熟练运用多边形的内角和定理解决问题. 4．能说出并会熟练运用多边形的外角和定理解决问题.
知识回顾 问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？ （三角形内角和 180°）
4
计算规律 1 ×180° 2 ×180° 3 ×180° 4 ×180°
…
… … … … …
多边形的内角和与外角和的关系
多边形的内角和与外角和的关系在我们的日常生活中，很少有形状是一个简单的正方形或长方形的东西。
相反，我们更经常遇到的是有许多条边和角的形状，这些形状被称为多边形。
了解多边形的内角和与外角和的关系非常重要，因为这可以帮助我们更好地理解和处理这些形状。
内角和和外角和的概念首先，我们需要了解一些术语。
一个多边形是一个由三条或更多边组成的形状。
顶点是相邻的两条边的端点。
内角是多边形中的一个角，内角和是多边形内所有角的度数和。
外角是多边形内与内角相邻的角之一和外侧相邻直线的夹角，即外角等于与之相对的内角。
内角和公式多边形的内角和可以通过几种方式计算。
对于一个n边形，内角和的公式为：sum = (n-2) * 180°这个公式的意思是，将n边形划分成n-2个三角形，每个三角形的内角和为180度，所以n边形的内角和就等于(n-2)乘以180度。
对于一个三角形，它只有三个内角，所以它的内角和是固定的，为180度。
外角和公式现在我们来看看如何计算多边形的外角和。
对于一个n边形，外角和的公式为：sum = 360°也就是说，多边形的外角和总是恒定的，为360度。
这是因为每一个内角都有一个相对的外角，而所有外角相加的结果等于一个完整的圆的角度，即360度。
例如，一个四边形的内角和是360度，而外角和也是360度。
任何非直线多边形的外角和也都是360度。
内角和和外角和的关系既然我们已经知道了如何计算多边形的内角和和外角和，那么它们之间的关系是什么呢？事实上，多边形的内角和和外角和之间存在一个重要的关系。
对于任何一个n边形，它的内角和和外角和之间满足以下公式：内角和 + 外角和 = (n * 180°)换句话说，多边形的内角和和外角和的和总是等于n乘以180度。
例如，一个四边形的内角和为360度，其外角和也为360度。
因此，它们的总和为720度，也就是4乘以180度。
理解多边形的内角和与外角和的关系可以帮助我们更好地理解和计算多边形的角度，特别是当涉及到更复杂的多边形时。
多边形的内角和外角和
多边形的内角和外角和多边形是初中数学中的重要内容之一，它涉及到许多有趣的性质和规律。
其中，多边形的内角和外角和是一个常见的问题，本文将通过举例、分析和说明，为中学生及其父母解答这一问题。
在开始讨论多边形的内角和外角和之前，我们先来了解一下什么是多边形。
多边形是由若干条线段首尾相连而形成的封闭图形，它的边数可以是3个或者更多。
常见的多边形有三角形、四边形、五边形等。
首先，我们来看三角形。
三角形是最简单的多边形，它只有三条边和三个内角。
我们知道，三角形的内角和是180度。
这是因为三角形的内角和等于一直线的补角，而一直线的补角是180度。
所以，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，它们的内角和都是180度。
接下来，我们来看四边形。
四边形是由四条线段首尾相连而形成的封闭图形，它有四个内角和四个外角。
四边形的内角和是360度。
这是因为四边形可以划分为两个三角形，而两个三角形的内角和都是180度，所以四边形的内角和是360度。
那么，对于五边形、六边形以及更多边形呢？我们可以通过推理和归纳来得出结论。
我们可以将五边形划分为三个三角形，六边形划分为四个三角形，以此类推。
由于三角形的内角和是180度，所以五边形的内角和是3乘以180度，即540度；六边形的内角和是4乘以180度，即720度。
通过以上的分析，我们可以总结出一个规律：多边形的内角和等于(边数-2)乘以180度。
这个规律对于任意多边形都成立。
当我们知道多边形的边数时，就可以利用这个规律来计算它的内角和。
除了内角和，多边形还有外角和。
多边形的外角是指多边形内角的补角。
例如，三角形的外角等于180度减去内角，四边形的外角等于360度减去内角。
我们可以推断出，多边形的外角和等于360度。
这是因为多边形的外角和等于一直线的补角，而一直线的补角是360度。
通过以上的分析，我们可以得出结论：多边形的内角和等于外角和。
这是一个有趣的性质，也是初中数学中的一个重要结论。
多边形内角和与多边形外角和
多边形内角和与多边形外角和是初中数学重要内容，在解题中如能将这两者巧妙结合起来，可以化难为易，事半功倍的效果，现举例说明.例1.一个多边形每一个内角都是144°，求此多边形的边数。
析解：本题有两种思路：思路一：设边数为n，由内角和公式列方程: (n-2)·180°=n·144°，解得n=10.思路二：先求出外角的度数，再由外角和公式求边数：多边形每一个外角为180°-144°=36°，所以边数为360°÷36°=10.评注：比较这两种思路，不难发现思路二较好，通过内外角的关系求出外角，再根据多边形外角和直接求出边数.例2.多边形的外角中最多有几个钝角？内角中最多有几个锐角？析解：若一个多边形有4个外角为钝角，则多边形外角和大于360°，这与多边形外角和等于360°相矛盾，可见多边形外角中最多有3个钝角.第二个问题实际上与第一个问题是同一个问题，因为内角为锐角，外角必为钝角，根据第二个问题可知多边形外角中最多有3个钝角，其相应内角为锐角，可见多边形最多有3个内角为锐角.例3.已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？析解：本题与例2相类似，根据例2中的结论：n边形外角中最多有3个钝角，而本题中的 n边形恰有四个内角是钝角，即 n边形恰有四个外角是锐角，所以可分三种情况进行讨论：（1）若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；（2）若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；（3）若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；所以其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形.[回答2] 7条边. 凸边形不管几条边，外角和是360度，内角度数越大，边数越多，即该四边形4个钝角，其他角都是直角. 由此设边数为N，即内角个数也为N，4个钝角对应的外角度数分别为ABCD，联立方程：. （N-4）*90度+A+B+C+D=360 . N 属于正整数. 0>A,B,C,D>90. 要想N最大，A,B,C,D的和需要无限趋近于0，按照都为0近似得到N=8. 所以最多7条边例1. 如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。
多边形的内角和与外角和
B 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
F
E
HM
D
A
G
B
C
C 讨论：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
五分之一？为什么？
谢谢观赏
探究 求五边形的外角和
探究 求五边形的外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
∠1+∠6=？ ∠2+∠7=？ ∠3+∠8=？ ∠4+∠9=？ ∠5+∠10=？
°
=180
1A
6
B
7 2
5
10 E
∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？ 五边形外角和 = 五个平角-五边形内角和
8ห้องสมุดไป่ตู้
C3
= 5×180°-(5-2) × 180°
注意： 1.多边形的内角和随着边数的增加而增加； 2.多边形的外角和为一个定值，与边数无关； 3.特殊情况：
如果多边形（边数为n）的每个外角都相等
n × 每个外角的度数 =360°.
例题4 一个多边形的每个外角都是72 º，这个 多边形是几边形？
分析： n × 每个外角的度数 =360°.
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 n·72º= 360º． 解得n=5．
A r=2
D r=2
r=2 B
r=2 C
A
A r=2 r=2 B
r=2 C
F r=2 E r=2
r=2 D
B
课堂小结
2.多边形外角和的定义 本节1.3多课.任对边你意多形有边多外哪形边角的些形的每收的一定获个外义或内角角思和，考等从？于与它
初中数学多边形的内角和与外角和
第3节多边形的内角和与外角和一，多边形（1）定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形（2）分类：多边形可以分为凸多边形和凹多边形，我们研究的是凸多边形（3）其中内角相等，边也相等的多边形叫正多边形（4）多边形的内角和与外角和性质1：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.推导：2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n边形：正n边形的内角的度数为（n－2）·180°n，外角的度数为n360.【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，探究点二：多边形的外角和定理【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A ．五边形B ．四边形C ．三角形D ．不能确定4.多边形对角线的条数N 边形对角线的条数公式 21N(N-3) 例1：一个凸多边形的每个内角都是140°，求这个多边形对角线的条数例2：一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求它对角线的条数。
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是几何学中的重要概念，它是由若干条直线段所围成的平面图形。
多边形的内角和和外角和是研究多边形性质的重要内容之一。
本文将以人类的视角，以生动的语言描述多边形的内角和和外角和的公式，使读者感到仿佛是真人在叙述。
让我们先来了解一下多边形的内角和。
多边形的内角是指多边形内部相邻两条边所围成的角。
对于任意n边形而言，我们可以将其分成n个三角形。
而每个三角形的内角和为180度，因此多边形的内角和等于180度乘以n减去2，即内角和=(n-2)×180度。
接下来，我们来探讨一下多边形的外角和。
多边形的外角是指从多边形的一个内角向外延伸的角。
对于任意n边形而言，我们可以将其分成n个三角形。
而每个三角形的外角和为360度，因此多边形的外角和等于360度。
现在，让我们通过一个具体的例子来理解多边形的内角和和外角和的公式。
假设有一个五边形，我们可以将其分成五个三角形。
每个三角形的内角和为180度，因此五边形的内角和=5×180度=900度。
而每个三角形的外角和为360度，因此五边形的外角和=5×360度=1800度。
通过这个例子，我们可以看到多边形的内角和和外角和的公式的应用。
无论是几边形，只要我们知道边的数量，就可以通过内角和和外角和的公式来计算出相应的角度。
多边形的内角和和外角和在几何学中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们计算多边形的角度，进而研究多边形的性质和特点。
通过对多边形的内角和和外角和的研究，我们可以更深入地理解几何学中的各种定理和公式。
总结起来，多边形的内角和和外角和是几何学中的重要概念。
通过内角和和外角和的公式，我们可以计算出多边形的角度，并进一步研究多边形的性质。
多边形的内角和=(n-2)×180度，外角和=360度。
这些公式的应用帮助我们更好地理解几何学中的各种概念和定理。
通过深入研究多边形的内角和和外角和，我们可以在几何学领域取得更深入的理解和应用。
专题一 多边形的内角和与外角和
专题一多边形的内角和与外角和一、多边形及其相关的概念1. 多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
理解时应注意两点：（1）在平面内；（2）线段首尾顺次相连。
如：图1是六边形ABCDEF。
图12. 正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形应具备两个条件：（1）各个内角大小相等；（2）每条边长度相等。
3. 多边形的内角：多边形相邻两条边组成的角叫做多边形的内角。
如图1所示，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F是六边形的6个内角，多边形内角的个数与边数相等。
4. 多边形的内角和：多边形所有内角的和叫做多边形的内角和。
如图1所示，六边形ABCDEF的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。
5. 多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
如图2所示，延长CD，则∠2是六边形ABCDEF的一个外角。
在多边形的一个顶点处可画出两个外角。
图26. 多边形的外角和：在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
如图2所示，六边形ABCDEF的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6。
7. 多边形的对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
连接n边形的一个顶点和其他不相邻的各顶点，可得（）条对角线，如图3所示，线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的三条对角线。
图3二、多边形的内角和与外角和公式的推导1. 多边形内角和公式的推导：n边形的内角和等于。
推导过程：如图所示，从n边形的一个顶点A出发，可以引(n－3)条对角1线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，所以n边形的内角和就等于(n－2)·180°。
2. 多边形外角和公式的推导：多边形的外角和都等于360°。
推导过程：设n边形的内角分别为∠1，∠2，∠3，…，∠n，则与它们相邻的外角分别为，所以外角和为。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和【知识纵横】1．多边形的内角和)2(-n180°.2．多边形的外角和360°。
3．多边形的对角线条数：一个多边形，从一个顶点出发有3-n条对角线。
多边形的对角线条数2)3(nn-一．填空1．一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是。
2．已知一个正多边形每个外角都等于60°，那么它的边数为。
3．n边形的外角与内角和的度数之比是2：7，则边数为。
4．一个多边形的每个外角都等于45°，则它的边数为。
5．正多边形的一个外角都是36°，则正多边形的边数为。
二．选择1．若一个多边形的是边数增加一条，则内角和增加（）A．360° B.90° C.180° D.270°2．从n边形的一个顶点出发把n边形分成三角形的个数是（）A．n个 B．)1(-n个 C．)2(-n个 D．)3(-n个3．一个多边形的内角和不会是（）A．180° B．1080° C． 8100° D． 8010°4．已知，一个正多边形每个外角都等于60°，那么它的边数是（） A．5 B．6 C． 4 D．75．已知，一个多边形的内角和是外角和的2.5倍，则此多边形的边数为（）A．11 B．12 C． 13 D．146．一个凸多边形的最小角为95°，其他的内角依次，增加10°，则n的值为（） A．6 B．12 C． 7 D．87．任何一个凸多边形的内角中最多有几个锐角（）A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个三．解答题1．一个凸多边形，除一个内角外，其余各角的和为2750°，求这个多边形的边数。
2．多边形的一个内角的外角与其余各内角的和等于600°，求这个多边形的边数。
3．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最大的是140°，最小的是100°，求这个多边形的边数。
多边形的内角和与外角和
呢？
四边形是由四条不在同一直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD
五边形
多边形的内角和与外角和
五边形，它是由五条不在同一直线上的 线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五 边形ABCDE .
多边形
那么多边形的定义呢？
多边形的内角和与外角和
一般地，由n条不在同一直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形， 又称为多边形．
有没有什么 规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线.
多边形的内角和与外角和
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 1
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 2 请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
3
……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ N-3
小结
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4 45 56源自67 7n n6
8
10
12
14
2n
正多边形
多边形的内角和与外角和
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等， 那么这样的三角形就叫做正三角形.
正三角形 正方形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么 这样的多边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边 形（正方形）、正五边形等等.
多边形的内角和与外角和
下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在 研究的范围内.
凸多边形
有什么不同？
凹多边形
注 意：我们现在研究的是如右图所示的多 边形，也就是所谓的凸多边形.
多边形的内角和与外角和
既然三角形有三个内角、 三条边，六个外角，那么四 边形有几个内角？几条边？ 几个外角呢？
多边形的内角和外角性质
多边形的内角和外角性质多边形是由若干条线段依次连接而成的图形，它具有许多有趣的性质。
其中，关于多边形的内角和外角性质是我们探讨的重点。
在本文中，我们将会详细介绍多边形内角和外角的定义、计算方法以及它们之间的关系。
一、多边形的内角性质多边形的内角是指多边形内部两条相邻边所形成的角。
对于n边形(n≥3)，它的内角和公式为：(n-2) × 180°。
举例来说，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，以此类推。
在多边形的内角性质中，有一个重要的定理是内角和定理。
该定理表明，任意n边形的内角和等于(n-2) × 180°。
通过这个定理，我们可以推导出各种多边形的内角和。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指多边形内部的一条边与其相邻边的延长线所形成的角。
与内角不同，多边形的外角是通过延长边而得到的。
多边形的外角性质有一个重要的定理是外角和定理。
该定理表明，任意n边形的外角和等于360°，即多边形外角的总和始终等于一个圆周角。
三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在着紧密的联系。
我们可以通过比较发现，对于任意一个n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = n × 180°这个关系式可以通过多边形的特殊情况来验证。
例如，对于三角形而言，内角和为180°，外角和也是180°，符合上述的关系式。
四、常见多边形的内角和与外角和计算在实际应用中，常见的多边形包括三角形、四边形、五边形和六边形。
对于这些多边形，它们的内角和和外角和计算如下：1. 三角形：内角和为180°，外角和也为180°。
2. 四边形：内角和为360°，外角和为360°。
3. 五边形：内角和为540°，外角和为360°。
《多边形的内角和与外角和》典型例题
《多边形的内角和与外角和》典型例题【题1】正五边形的一个内角的度数是 .【解析】一个多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，因此可通过两种方法求内角度数.方法1：设正五边形的一个内角的度数为a ，则a=5180)25(︒⨯-=108° 方法2：因为5360︒=720°，所以一个内角的度数=180°-72°=108° 【知识规律串讲】一、多边形的内角和与外角和公式n 边形的内角和为：（n-2）·180°（正n 边形的每个内角的度数是n ︒⨯1802)-(n ） n 边形的外角和为360°（正n 边形的每个外角的度数都是n︒360） 二、多边形的内角和与外角和的运用1.求多边形的边数例1：1.若一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是 .2.如果一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形是 边形. 解析: 第1题计算的根据是多边形的外角和都等于360°，n 边形有n 个外角，360÷40=9,即为多边形的边数，注意多边形的外角和与边数无关.第2题的解答主要依据多边形的内角和（n-2）·180°.此公式的逆向的运用，即可用内角和公式求边数.答案：1. 九边形 2. 五边形点评：在利用多边形的内角和公式时一定要注意到n-2，在由公式求边数时,一般先求出n-2，再求n.例如：已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______. 答案： 十五边形2. 外角和的性质n 边形的外角和为360°，它不随边数的变化而变化.例2：随着边数的增加, n边形的外角和()A. 不变B. 增加C. 减少D. 不一定答案：A3.判断角的可能性例3：在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是：解析:设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°.α+β+γ+δ＞360°.同理最多能有三个小于90°.4.内角的镶嵌例4：下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？解析:这种正多边形是正六边形，理由是：设这个正多边形的一个内角为x°，则由题图得：3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：n×120°=(n－2)×180°.解得n=6答案：六边形。
多边形的内角和及外角和
DB OC A ② C O A BD ③ 多边形的内角和及外角和知识体系：1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和：n 边形的内角和=(n －2)180°．3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．5．过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有(3)2n n 条对角线． 6．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．题型体系：例1.正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=______解：8 点拨：主要考查n 边形的内角和公式．例2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？（1）为了更直观的发现问题，我们不 妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题：已知：在平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAE ·S △OCD .（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。
已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图②）求证：_________________。
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B C
D
B C
A
o
A
B C
A
B C A
●
B C
●
O
O
D
D
D
4×180°-360° 3×180°-180° 4×180°-360°
=360°
=360°
=360°
●
D
O
3×180°-180° =360°
共同点:找一个点,将四边形转化为三角形。
n边形内角和公式的应用
n边形内角和=(n－2) ·180°
A
在平面内,由一些不在同一条直线 上的线段首尾顺次相接组成的图 形叫做多边形。
你能类比三角形的组成要素,说一说 下面图形各部分的名称是什么？
顶点
边
外角 对角线
内角
了解一下
A
顶点 外角
E
B
可表示为:五边形ABCDE 或 五边形DCBAE
边
D
C
内角
对角线
B
读出图中所有的对 角线
A
E
对角线:
C
连接多边形不相邻的两个顶点
个外角，这些外角的和叫做五边形的外角 和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和他相邻
1A
的内角有什么关系？ B
2.五个外角加上他们分别
6
5
相邻的五个内角和是多 2
E
少？
3.这五个平角和与五边形 的内角和、外角和有什
C
3
4 D
么关系？
例2 如图,在五边形的每个顶点处各取一
个外角，这些外角的和叫做五边形的外角 和．五边形的外角和等于多少？
(2)一个多边形的内角和为2700°,求它的边数。
解 :设这是一个n边形,根据题意得：
（n-2）·180 °=2700 °
解得：
n=17
答：它的边数为17.
从多边形的一个顶点A点出发,沿多边形的各边走过各点之后回到
点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是多
少？
多边形的外角和
例1 如图,在五边形的每个顶点处各取一
n(n 3) n边形共有对角线 2 条(n≥3)
探究3
你能说出这两幅图形的异同点吗？
D
E
A
C
G
B （1）
F
（2）
H
多边形的分类
如图,画出四边形ABCD的任何一条边 所在直线，整个四边形都在这条直线的 同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。
A
B
C
D
A
C B
四边形ABCD是 凹四边形,因为画 出边CD（或BC）所 在直线，整个四边 形不都在这条直线 D 的同一侧。
B C
A
连接对角线把四边形 转化为三角形。
D
思考:
已知:四边形ABCD,试说明：∠A+
∠B+ ∠C+ ∠D=360 °
D
分析:
C
B
四边形ABCD的内角和
＝△ABC的内角和﹢△ACD的内角和
=180°+180°=360°
观察上图:可以看出四边形从一个顶点出发, 可以做___1 __对角线，它们将四边形分成___2__
G
F
B
E
D C
做一做
1.求下列图形中x的值:
140 0
x0
x0
(1)
80 0
120 0
75 0
x0
(3)
150 0 2X 0
120 0
x0
(2)
D
E
x0
150 0
60 0
C
135 0
A (4) B
AB∥CD
练一练
（1）十二边形的内角和是多少？ 解:（12-2）×180° =10 ×180° =1800 ° 答：十二边形的内角和为1800 °
形呢？n边形呢？
1.
从四边形的一个顶点出发,可以引 一 条对
角线,它将四边形分成 两 个三角形
从五边形的一个顶点出发,可以引 两 条对
2.
角线,它将五边形分成 三 个三角形.
从六边形的一个顶点出发,可以引 三 条
3.
对角线,它将六边形分成 四 个三角形.
…
从n边形的一个顶点出发,可以引n-3 条对 角线,它将n边形分成 n-2 个三角形.
一个顶点 多边形 边数 出发的对
角线条数
图形
分成三角形 的个数
计算规律
三角形 3
0
四边形 4
1
五边形 5
2
六边形 6
3
七边形 7
4
1
1 ×180°
2
2 ×180°
3
3 ×180°
4
4 ×180°
5
5 ×180°
…
… … … … …
n
n边形
n-3
n-2 (n－2) ·180°
探究四边形内角和还有哪些方法？ A
的线段。
D
对角线
连接多边形不相邻的两个 顶点的线段叫做多边形的对角 线.
练习:画出五边形ABCDE的所有对角线. A E
B
C
D
你能写出每个图形中对角线的总条数吗？
如果不行,请画出所有对角线。 太难画了,能不全画出对
角线而计算出来吗？
0
2
20
5
你能告诉我二十边
9
形的对角线条数吗？ 五十边形呢？一百边
5边形外角和 =5个平角 -5边形内角和 1 A
B
=5×180°-(5-2) × 180°
6
5
=360 °
2
E
C 3
结论:五边形的外角和等于360°
4 D
探究在n边形的每个顶点处各取一个外角, 这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和= n个平角-n边形内角和 1 =n×180 °-的特征,
猜想满足什么条件的多边形是 正多边形？
定义: 如果多边形的各边都相等,各内角
也都相等，那么就称它为正多边形.
正多边形
各个角都相等,各条边都相等的多边 形叫做正多边形.
正多边形的各个角都相等，各条边 都相等。
例如:
正三角形 正方形
正五边形 正六边形
试一试
你会利用三角形的内角和计算四边形 ABCD的内角和吗？请你与同学们交流你 的证明思路.
=360 °
2
结论:
个三角形，所以四边形的内角和为_3_6_0_°_ 。
D C
E
B A
A F
E
B
C D
同理:从五边形从一个顶点出发,可以做____2_对 角线，它们将四边形分成_____ 3个三角形，所 以四边形的内角和为_____ 。
同理:从六边形从一个顶点出发,可以做____3_对 角线，它们将四边形分成_____ 4个三角形，所 以四边形的内角和为_____ 。
复习回顾
求下列图中各标出角的度数。
32°
92 o
1
1
60 o 1
55°
2 60°
∠1=32° ∠1=115° ∠2=65°
2
45°
35°
∠1=80°
∠2=112°
11.3.1 多边形
图中有你认识的多边形吗？
从这些图形你能抽象出什么平面图形？
多边形的定义
三角形 八边形
长方形
四边形 六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的定 义吗？
归纳总结
边数
3
从一个顶点出发的
对角线的条数
0
上述对角线分成的
三角形个数
1
4 5 6 8…
n
1 2 3 5 … n-3
2 3 4 6 … n-2
总的对角线条数 0 2 5 9 20 …
已知一个多边形有35条对角线,你能求出它的边数吗？
n(n-3) 2
总结2
n边形从一个顶点出发的对角线条
数为: (n－3)条(n≥3)