一维Ising模型 - 360文档中心

量子多体系统的理论模型

量子多体系统的理论模型引言量子力学是描述微观物质行为的基本理论。

在量子力学中，描述一个系统的基本单位是量子态，而量子多体系统则是由多个量子态组成的系统。

由于量子多体系统的复杂性，需要借助一些理论模型来描述和研究。

本文将介绍一些常见的量子多体系统的理论模型，包括自旋链模型、玻色-爱因斯坦凝聚模型和费米气体模型等。

通过对这些模型的研究，我们可以深入了解量子多体系统的行为和性质。

自旋链模型自旋链模型是描述自旋之间相互作用的量子多体系统的模型。

在自旋链模型中，每个粒子可以处于自旋向上或向下的两种状态。

粒子之间通过自旋-自旋相互作用产生相互作用。

常见的自旋链模型包括Ising模型和Heisenberg模型。

Ising模型Ising模型是最简单的自旋链模型之一。

在一维Ising模型中，每个自旋可以取向上（+1）或向下（-1）。

自旋之间通过简单的相邻自旋相互作用来影响彼此的取向。

可以使用以下哈密顿量来描述一维Ising模型：$$H = -J\\sum_{i=1}^{N}s_is_{i+1}$$其中，J为相邻自旋之间的交换耦合常数，s i为第i个自旋的取向。

Heisenberg模型Heisenberg模型是描述自旋间相互作用的模型，与Ising模型不同的是，Heisenberg模型中的自旋可以沿任意方向取向。

常见的一维Heisenberg模型可以使用以下哈密顿量来描述：$$H = \\sum_{i=1}^{N} J\\mathbf{S}_i \\cdot \\mathbf{S}_{i+1}$$其中，$\\mathbf{S}_i$为第i个自旋的自旋算符，J为自旋间的交换耦合常数。

玻色-爱因斯坦凝聚模型玻色-爱因斯坦凝聚是一种量子多体系统的现象，它描述了玻色子统计的粒子在低温下向基态排列的行为。

玻色-爱因斯坦凝聚模型可以使用用薛定谔方程来描述：$$i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\Psi(\\mathbf{r},t) = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\ abla^2\\Psi(\\mathbf{r},t) +V(\\mathbf{r})\\Psi(\\mathbf{r},t) +g|\\Psi(\\mathbf{r},t)|^2\\Psi(\\mathbf{r},t)$$其中，$\\Psi(\\mathbf{r},t)$是波函数，m是粒子的质量，$V(\\mathbf{r})$是外势场，g是粒子之间的相互作用常数。

Ising模型（伊辛模型）

Ising模型（伊⾟模型）Ising模型（伊⾟模型）是⼀个最简单且能够提供⾮常丰富的物理内容的模型。

可⽤于描写叙述⾮常多物理现象，如：合⾦中的有序-⽆序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林⽕灾、城市交通等。

Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到⼀定临界温度以上会出现磁性消失的现象，⽽降温到临界温度下⾯⼜会表现出磁性。

这样的有磁性、⽆磁性两相之间的转变。

是⼀种连续相变（也叫⼆级相变）。

Ising模型如果铁磁物质是由⼀堆规则排列的⼩磁针构成，每⼀个磁针仅仅有上下两个⽅向（⾃旋）。

相邻的⼩磁针之间通过能量约束发⽣相互作⽤。

同⼀时候⼜会因为环境热噪声的⼲扰⽽发⽣磁性的随机转变（上变为下或反之）。

涨落的⼤⼩由关键的温度參数决定。

温度越⾼，随机涨落⼲扰越强。

⼩磁针越easy发⽣⽆序⽽剧烈地状态转变。

从⽽让上下两个⽅向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。

如果温度⾮常低，则⼩磁针相对宁静，系统处于能量约束⾼的状态,⼤量的⼩磁针⽅向⼀致,铁磁系统展现出磁性。

科学家对该模型的⼴泛兴趣还源于它是描写叙述相互作⽤的粒⼦（或者⾃旋）最简单的模型。

Ising模型是⼀个很easy的模型，在⼀维、⼆维、三维的每⼀个格点上占领⼀个⾃旋。

⾃旋是电⼦的⼀个内部性质。

每⼀个⾃旋在空间有两个量化⽅向。

即其指向能够向上或者向下。

虽然该模型是⼀个最简单的物理模型。

眼下仅有⼀维和⼆维的精确解。

考虑⼀维Ising模型。

M个⾃旋排成⼀排，每⼀个⾃旋与其左右两个近期邻的⾃旋之间有相互作⽤。

简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻⾃旋的⽅向⼀致的相互作⽤。

⼆维正⽅Ising模型就是由N个同样的⾃旋排。

每⼀个⾃旋不但与其左右两个近期邻的⾃旋相互作⽤，并且与前后相邻的⾃旋排中两个近期邻的⾃旋相互作⽤，project了⼀个⼆维的⾃旋阵列。

三维⽴⽅Ising模型就是有L个同样的⼆维⾃旋阵列，每⼀个⾃旋与其左右、前后、上下六个近期邻的⾃旋相互作⽤。

伊辛模型资料

伊辛模型简介伊辛模型（Ising model）是一种理想磁体的模型，被提出来描述固体中磁性原子的行为。

这个模型虽然简单，但却能够阐明许多磁性材料中的重要现象。

在该模型中，每个原子只有两种可能的自旋状态，即向上或向下。

原子之间通过相邻原子之间的相互作用而相互影响。

历史1936年，物理学家恩斯特·伊辛（Ernst Ising）建立起这个模型，以研究铁磁体的基本性质。

在原始形式的伊辛模型中，只考虑相邻自旋之间的相互作用，这样使得问题更容易求解。

基本假设在伊辛模型中，我们给予每个自旋一个参数，可以是+1（代表向上）或-1（代表向下）。

自旋之间的相互作用用参数J描述，表征相邻自旋之间的相互作用强度。

另外，温度参数T也是一个重要的因素，用于描述外界环境对磁体的影响。

模型描述伊辛模型可以表示为以下的哈密顿量：H = -J * Σs_i * s_j其中，J定义了相邻自旋之间的耦合强度，s_i和s_j分别是第i和第j个自旋的取值。

在伊辛模型中，我们通常采用蒙特卡罗模拟的方法来对系统进行计算，模拟系统在不同温度和参数下的自旋状态。

通过统计大量的自旋状态，我们能够获得磁体的平均磁矩、比热容等物理量。

应用伊辛模型虽然简单，却被广泛应用于各种磁性系统的研究。

从铁磁体到自旋玻璃等复杂的系统，伊辛模型都能提供重要的参考。

通过调节参数J和温度T，我们能够模拟出不同体系下的磁性行为，为材料科学和凝聚态物理学的研究提供了重要的参考。

总结伊辛模型作为一种理想磁体模型，为我们理解磁性材料中的重要现象提供了一个简单而有力的工具。

通过建立模型、模拟计算，我们能够更好地理解材料的性质，并为新材料的设计提供指导。

这个简单却丰富的模型，一直在吸引着物理学家和材料科学家的关注，带动着磁性材料研究的进步。

伊辛模型配分函数的简捷推导_谢自芳

= Tr
0 1
[1 0 ]U1 U 2… UN - 1
[0 1 ]U 1 U2… UN - 1;
[0 1 ]U 1 U2… UN - 1 1 a - a -a 于是得 QN (λ ) = ( A 1| D = 1 e + B 1| D = 1e ) eb+ λ0 + ( A 1| D = - 1e + 0 0 0
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第 29卷第 3 期 20 0 2年 6 月
湖南大学学报 (自然科学版 ) Jour nal of Huna n U niv er sity ( N atura l Sciences Edition )
V o 1. 29, N o. 3 Ju n. 2 0 0 2
- a - b- λ
a - b- λ
N- 3
( 9)
由此类推下去 eaD 0D 1 ( A2 eaD 1 + B 2 e- a D1 ) ( eb+ λ1 + e- b- λ1 ) = A 1 eaD 0 + B 1 e- aD 0
b+ λ
1 1
=
e- a+ b+ λ1 e e
1
A2 B2 e e
+
b+ λ
BN - 1 e ) e
N- 2
- aD
N- 3
e
- b- λ
N- 2
=
AN - 2e
a
+ .
; AN - 2 = ( AN - 1 e + BN - 1 e ) e AN - 2 BN - 2 e e
a+ b+ λ

一维横场伊辛模型的精确解

一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。

Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。

这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。

Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。

相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。

涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。

为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。

事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。

早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。

文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。

海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。

1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。

这是统计物理发展的里程碑。

不过那篇文章及其晦涩难懂。

直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。

2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]：H=−Jg∑σi xi −J∑σi zi,jσj z上述式子的意义：其中J>0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。

ising model

伊辛模型Yixin moxing伊辛模型Ising model描述物质相变的一种模型。

物质经过相变，要出现新的结构和物性。

发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。

在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度（见铁磁性）时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。

温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产生净磁矩。

当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。

这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。

伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。

它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。

这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。

这个模型所研究的系统是由个阵点排列成维周期性点阵，这里=1,2,3点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数,如果＝+1,即第个阵点的自旋向上；如＝-1，即第个阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。

点阵的位形用一组自旋变数{}（＝1，2，…,）来确定。

图1[二维伊辛点阵模型]是一个二维伊辛模型的示意图，图中表示自旋向上,[kg2]表示自旋向下。

处理方法20世纪30年代初，不少科学家如W.L.布格 E.J.威廉斯H.A.贝特、R.E.佩尔斯等人就已从有序－无序转变问题及点阵气体等模型出发，采用平均场近似法处理伊辛模型。

布格－威廉斯平均场近似法认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。

每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。

用这种方法可求得下列公式[1148-01]式中是每个自旋的磁矩,是每一阵点的最近邻数，是外磁场强度，是热力学温度，是自旋同向的最近邻对之间的相互作用能（铁磁性物质0，非铁磁性物质0），是玻耳兹曼常数, [kg2]是每个自旋上的磁化强度，可表示为[1148-02],其中是总阵点数,[1110-17]、[1110-18]分别代表自旋向上和向下的总阵点数,显然[1110-17]+[1110-18]=。

自旋模型简述

自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。

电子自旋的概念是由Uhlenbeck 和Goudsmit 为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常Zeeman 效应而提出的。

他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其自转的角动量为ħ/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即±ħ/2(也就是自旋向上和向下两个状态↑↓)，与自旋相对应的磁矩则是eħ/2mc 。

当然，这样带有机械性质的概念是不正确的，而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子等各种粒子(如质子、中子等)的一个重要的物理量。

对于自旋这个自由度，我们一般用算符ŝ表示(这里的记号^表示算符，在下文中为了简便我们将略去这一记号)。

因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s ⨯s =iħs 。

在这里我们引入泡利算符s =σħ/2。

由于s 沿任何表象的投影都只能取±ħ/2两个值，即σ沿任何方向的投影只能取±1这两个值，所以泡利算符σ的每个分量都可以用2⨯2的矩阵来表示。

我们一般采用σz 分量对角化的表象，得到其矩阵表示：i i z y x ,1001,00,0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσσ (1-1) 这样的表示就是著名的Pauli 矩阵。

2、自旋模型的形式2.1 物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和。

电子的总磁矩(轨道磁矩+自旋磁矩)，直接体现为物质的宏观磁性。

而对于过渡金属的原子或离子，因为轨道角动量的冻结，其磁性主要来源于未配对电子的自旋磁矩。

对于物质的磁性，很早以来就有着广泛的研究，比如Langevin的顺磁理论，Wiess的分子场理论，Bloch的自旋波理论。

这些理论中，原子(离子)都具有磁矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。

Ising模型简述

Ising模型简述Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。

当时Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。

另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。

这个推断在后来被证明是错误的。

1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。

1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。

这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。

在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。

但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。

甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。

人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。

我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。

张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。

通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。

当系统的对称性越高，居里温度也越高。

他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。

一维钻石链反铁磁Ising模型磁化的模拟

０引言
近年来，低维磁性材料的研究引起了科学家们的极大兴趣．０１年１月，国Ｎｂａｋ２０１美ｅｒｓａ大学的Ｒｊａ等ａｃ在Ｓｉｃｃｎｅ上发表文章 … ，ｅ宣布合成了一种有机高聚物，３５Ｋ～１在．ＯＫ温度范围内，料显示强磁性及磁有材序．同年，ｏｏｏｈ与其合作者合成了很好的有机分子基亚铁磁体，Ｈｓｋｓｉ显示临界温度为０２另外一些．８Ｋ．
化曲线的影响．
１模型及模拟方法
一
维钻石链模型结构如图１示．所自旋之间具有 ‘ ，：‘ 三种自旋交换作用．，．，。，，
Ｎ／３Ｎ／３Ｎ／３Ｎ
设定．，．均小于零，，Ｉ，，。，，为反铁磁自旋交换作用．在外磁场下，系统Ｉｎ模型哈密顿量为ｓｇｉ
自旋构型的影响．模拟磁化曲线中Ｍ＝Ｍ３化平台，得到平台宽度随不同的自旋交换相互作用强弱的变化关／磁
系，以及出现磁化平台时格点的自旋构型；给出亚稳态存在的条件及亚稳态时的微观构型．研究磁滞回线随温
一Ｊ（・＋卸・驯）Ｊ（驯・）Ｊ∑ （・＋・）ｈＳ，１ｌＳＳＳＳ一２ＳＪ一３ＳＳＳｓ一 ∑ （）ｓ
其中Ｓ是第ｆ个格点的有效自旋磁矩，的可能取值为土１２Ｓ：，Ｓ，ＳＳ分别是图１中Ｃ，它／．３ＪＳ玑，：。日，，：ｃ格点自旋．（）Ａ曰，：式１中前三项是自旋交换作用对系统哈密顿量的贡献，，ｉ：１２．）表自旋交．（．３代

Ising 模型简介

Ising 模型简介

可以毫不夸张地说，Ising模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同时具备:表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。 Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。
1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而 Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表 Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第 399种解法’。但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度的时候，Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。
ISING模型简史 Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来，他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。随后，著名的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的ISING模型进行了解析求解，并同时发现了二维ISING模型中的相变现象，从而引起了更多学者的注意。之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的 “统计场论”

一维横场伊辛模型的精确解

一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。

Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。

这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。

Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。

相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。

涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。

为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。

事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。

早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。

文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。

海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。

1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。

这是统计物理发展的里程碑。

不过那篇文章及其晦涩难懂。

直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。

2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]：H=−Jg∑σi xi −J∑σi zi,jσj z上述式子的意义：其中J>0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。

三维简单正交晶格伊辛(Ising)模型精确解猜想

三维简单正交晶格伊辛(Ising)模型精确解的猜想伊辛(Ising)模型是一个最简单的模型可以提供非常丰富的物理内容，可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。

它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。

科学家对伊辛模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或原子或自旋)最简单的模型。

它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统(特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。

进一步说，三维伊辛模型可以研究从无限大温度到绝对零度相互作用的粒子(或原子或自旋) 系统的演变过程，如果将热力学中的温度作为动力学中时间来考量，它不仅可以理解热力学平衡的无限系统，如一个磁铁，还可以帮助理解我们的宇宙。

另外，平衡相变的理论可以用来研究连续的量子相变、基本粒子的超弦理论、在动力学系统到混沌的转变、系统偏离平衡的长时间行为和动力学临界行为等。

由于伊辛模型中的粒子(或原子或自旋)具有两种可能的状态(自旋向上或向下)，它实际上可以对应黑白、上下、左右、前后、是非、正负……原则上，伊辛模型可以描述所有具有两种可能的状态的多体系统，描述两种极端条件间的相互竞争。

尽管伊辛模型是一个最简单的物理模型，目前仅有一维和二维的精确解。

Ising 在1925年解出的精确解表明一维伊辛模型中没有相变发生。

Onsager 于1944年获得二维伊辛模型的配分函数和比热的精确解，为统计物理领域的一个重大进展。

杨振宁于1952年求出二维伊辛模型的自发磁化强度。

二维正方伊辛模型的居里温度精确地存在于122−==−c K c e x 即1/K c = 2.26918531……。

二维伊辛模型的临界指数为α = 0, β = 1/8, γ = 7/4, δ = 15, η = 1/4 和 ν = 1。

一维斯特林发动机的数值模型

能量方程中沿表面的积分项
ρ n( eV ) d s 可 ∫
s
r
ρ 以简化为5 ( u eA ) / 5 x , 因为没有能量流过边界 ,
2 数学模型和控制方程
斯特林发动机内的气体的流动和传热为非定常周期性、可压缩流动 . 为了便于说明一维流动和传热 , 将空间平均和时间平均的内部流动的连续方程、动量方程和能量方程分别描述为 : d ρ dv + ρ nV r d s = 0 ; s dt v d ρ σ] d s = 0 ; V d v + [ ( nV r )ρ V - n s dt v d ρ e d v + [ n (ρ eV r - σ V - q) ] d s = 0 . s dt v 上述方程中连续方程描述了气体质量随时间变化的关系 , 单位时间内流入控制体的气体质量
N u ( k/ dh ) S x ( Tw - T) ,
等于单位时间内流出控制体的气体质量 , 在边界上 nV r 为零 . 动量方程描述了牛顿第二定理 — — — 控制体中动量随时间的变化率和作用在所有表面上的力的关系 . 能量方程描述了单位时间内气体内能和动能的变化等于净热流和机械功的和 . 为了将上述方程变为一维差分方程 , 用 A d x 代替 d v , 其中 A 为气体流过的面积 , x 为主流方向 . 考虑 Δ x →d x 时 , 可以得到连续方程式中
A 5 p/ 5 x , 粘性力可表示为 - FA , 如图 3 ( a ) 所示 .
图3 表面功和表面应力的简化 ( a) 轴向表面应力 σ 简化为压力和流动摩擦 - N ∫ σ 力 ; ( b) 能量方程中作用于表面的功 - n V 简化 ∫

Ising模型简述

Ising模型简述Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。

当时Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。

另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。

这个推断在后来被证明是错误的。

1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。

1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。

这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。

在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。

但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。

甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。

人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。

我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。

张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。

通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。

当系统的对称性越高，居里温度也越高。

他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。

伊辛模型的基本方法

伊辛模型的基本方法
伊辛模型（Ising model）是一种描述物质相变的随机过程模型，主要用于解释铁磁系统的相变。

该模型由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。

伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。

伊辛模型的计算方法通常包括以下步骤：
1. 定义模型参数：包括自旋的相互作用强度、温度等。

2. 初始状态设置：根据问题背景和具体要求，设置初始的自旋状态。

3. 迭代更新：根据伊辛模型的更新规则，对每个自旋进行状态更新，通常采用Metropolis算法或其他相关算法。

4. 统计测量：在更新完成后，统计各种物理量的测量值，如总自旋向上或向下的数量、磁化强度等。

5. 结果分析：根据测量结果，进行分析和解读，以了解相变的过程和性质。

需要注意的是，伊辛模型的计算方法可能因具体问题和要求而有所不同，上述步骤仅为一般性的流程。

同时，由于伊辛模型的计算复杂度较高，对于大规模系统的模拟需要借助高性能计算机和高效的算法设计。

一维伊辛模型严格解

一维伊辛模型严格解
一维伊辛模型是一种描述自旋系统的模型，其中自旋在一维链上
排布。

每个自旋只能处于两种状态中的一种，记为自旋向上和自旋向下。

伊辛模型的基本假设是自旋之间存在相互作用，并且系统的能量
由相邻自旋的相互作用决定。

我们考虑一维含有N个自旋的链，自旋可以在格点上取值为+1或-1。

系统的总能量可以用以下哈密顿量来描述：
H = -J * ∑(i=1到N) Si * Si+1 - h * ∑(i=1到N) Si
其中，Si表示第i个自旋的值，Si*Si+1表示自旋之间的相互作用，J是自旋间相互作用的耦合常数，h是外场的强度。

对于一维伊辛模型，我们可以使用解析的方式求解该系统的严格解。

首先，我们可以使用巴塞尔函数和傅里叶变换来方便地处理问题。

通过使用傅里叶变换，我们可以将自旋的链上的问题转化为动量空间
中的积分问题。

在解出哈密顿量的本征值和本征态后，我们可以计算系统的各种
性质，如自旋的关联函数、磁化强度和比热等。

这些性质可以用于研
究相变的行为，例如系统的临界温度和相变点。

需要注意的是，在一维伊辛模型中，由于不存在严格相变，因此
没有明确的临界温度。

但是我们可以通过计算性质的导数来观察到相
变的迹象。

总之，一维伊辛模型的严格解提供了对自旋链系统的深入理解，
可以帮助我们研究自旋系统的性质和行为。

Ising模型简述

Ising模型简述Ising模型最早由德国物理学家Ernst Ising在1920年代提出，是描述简单的磁性系统的一个数学模型。

Ising模型基于自旋的概念来描述物质的磁性，其中自旋是一个标量量子数，其在磁场中的取向可以表示为“上”或者“下”。

Ising模型最初被应用于描述铁磁体中的自发磁化现象，即铁磁体在低温下会生成由自旋排列有序的区域。

这些区域被称为磁畴，每个磁畴有一个共同的自旋方向。

Ising模型通过自旋的相互作用来描述这些磁畴的形成和演化。

Ising模型的形式可以表示为：H = - J ∑<i,j> SiSj - h ∑i Si其中，H是系统的哈密顿量，Si和Sj是位于格点i和格点j上的自旋，J表示自旋之间的相互作用强度，h表示外磁场的强度。

i和j是相邻的格点，<i,j>表示它们之间的相邻关系。

哈密顿量可以理解为系统的总能量。

在Ising模型中，自旋状态只能是-1或+1，这是一个离散的二元变量。

当两个自旋在相邻的点上，它们的相互作用强度是J，如果两个自旋的取向相反，那么它们之间的相互作用能量为-J，如果它们的取向相同，那么相互作用能量为+J。

外磁场h的存在会改变每个自旋的能量，即当自旋的取向朝向外磁场时，能量会减小h，反之则会增加h。

Ising模型通常被用于描述相变现象，即材料在不同温度和磁场下呈现不同的物理性质。

在低温下，铁磁体会具有自发磁化现象，而在高温下，自旋会更加随机分布而不会产生磁畴。

当温度从高到低变化时，会出现相变点，即系统的性质会突然发生改变。

Ising模型可以通过计算机模拟来研究系统的性质。

在模拟过程中，可以通过随机选择自旋，并对其进行翻转，从而模拟对系统的扰动和演化。

通过大量计算和统计分析，可以得出各种不同情况下系统的物理性质，例如磁化强度、热容等。

总的来说，Ising模型是一个简单但重要的数学模型，可以用于描述物质的磁性及相变现象，并在物理、化学、统计学等多个领域中有广泛的应用，并有不少变体和扩展。

相变中的伊辛模型

伊辛模型的相变讨论姓名：胡博昊( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆 246011)指导老师：尹训昌摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。

伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。

它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。

在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。

本文应用重整化群的方法研究了相同的问题，得到了系统的相变点。

与平均场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。

关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论引言：在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型——伊辛（Ising）模型的相变，得到下面的结论：对于一维Ising模型不存在有限温度的相变，只有零温相变；对于二维一维Ising模型，相变点为0.25。

由于此种方法推到复杂，不容易掌握。

本文应用了一种简单的方法——重整化群（RG）对Ising模型的相变进行了讨论，得到了相同的结果。

与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。

1平均场理论在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论:基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。

范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多不同的名称。

1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。

朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。

认为热力学函数是序参量的解析函数。

这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。

曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。