初中几何一题多解

初中几何一题多解 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

浅谈初中数学几何中的“一题多解”摘要数学充满着浓厚的趣味性和挑战性，数学教学应体现其科学性，尊重学生的个体差异，尽可能满足学生的多样化学习需求，让学生根据自己的实际感受不同层次的学科味。问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排要尽量体现发散思维，让学生真正在几

何数学

的思维上有所提高。

关键字多样化学习不同层次练习一题多解发散思维曾在初中三年级的“添加辅助线”教学过程中，根据学生的实际情况，课前要求每位学生收集3—5题有关三角形添加辅助线的典型练习，汇集到各组小组长处，各组组长组织小组成员互相讨论选择出3题具有代表性的题目上报到老师处，老师适当选择几个有层次性的展示出来作为课外作业，小组根据课外作业讨论寻找不同辅助线的添加方法，以达到“一题多解”，再通过课堂组织学生共同探讨何种“辅助线”的添加方法最有效。这样，让学生来选教材，根据学生的需要来选教材，有利于调动学生课外学习数学的积极性与主动性。更增加了学生的数学交流，其中学生敏捷的思路很令我折服。

《添加有效辅助线》的整堂练习课我采用“小组竞赛”的形式展开，让学生来当老师，让学生来当评委，对同班同学的思路、证明过程进行合理的评价并交流自己的心得体会。

例1 ：如图，在四边形ABCD 中，∠A=60ο,∠B=90ο,∠D=90ο

BC=2,CD=3,

求AB 的长度

学生A （小组代表）： 解：延长AB ，CD 交F ∵∠A=60ο ∠D=90ο（已知）

∴∠F=30ο（三角形三个内角之和为180度） ∵∠B=90ο BC=2（已知）

∴ CF=2BC=4（直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半） AF=2AD （同上） 又∵CD=3

∴

BF=

学生B （小组代表）： 解：延长AD ，BC 交F ∵∠A=60ο ∠B=90ο（已知）

∴∠F=30ο

（三角形三个内角之和为180度）

∵∠D=90ο CD=3（已知）

∴ CF=2CD=6（直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半） AF=2AB （同上） 又∵BC=2

F

B

∴ BF=BC+CF=8 AB=

学生C （小组代表）：

解：分别过点B 、C 作BE ⊥AD ，CF ⊥BE ∵ BE ⊥AD ，CF ⊥BE ∠D=90ο

DC=3（已知）

∴ EF=DC=3 在△BCF 中

∵ ∠BCF=30ο∠BFC=90ο BC=2（已知）

∴ BF=1（直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半） BE=EF+BF=4 在△ABE 中

∵ ∠A=60ο ∠AEB=90ο（已知） ∴AB=2AE=（直角三角形中30ο的角所对的直角边是斜边的一

半）

学生D （小组代表）：

解：作∠C 的平分线交AD 于E ，过点B 作AD 的垂线 ∵ CE 平分∠BCD BF ⊥AD ∠A=60ο BC=2（已知） ∴∠BCE=60ο ∠ABF= 30ο ∠CBO=∠B-∠ABF=60ο

△ BCO 是等边三角形

OB=OC=BC=2 又∵∠DEC=30ο DC=3

A

B

C

D

∴ EC=6 （直角三角形中30ο

的角所对的直角边是斜边的一半） OE=CE-OC=4 OF=2（同上） BF=4 AF= ∴AB=2AF=（直角三角形中30ο的角所对的直角边是斜边的一

半）

例2：如图，已知在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C 。求证：CD=AB+BD

学生A （小组代表）：

证明：在DC 上取点E ，使的BD=DE ，并连接AE ∵ AD ⊥BC DB=DE （已知）

∴ AB=AE ；∠B=∠AEB （线段中垂线的性质定理） ∵∠B=2∠C ；∠AEB=∠C+∠CAE=∠B

∴∠C=∠CAE （等量代换） AE=CE ；CD=CE+DE=AE+DB=AB+BD

即CD= AB+BD 学生B （小组代表）：

证明：作AC 的中垂线交BC 于E ，并连接AE ∵ EF ⊥AC AF=CF （已知） ∴ CE=AE

∠C=∠CAE （线段中垂线的性质定理） ∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C=∠B ∴AB=AE （等角对等边）

D

D

D

又∵ AD⊥BC

∴ BD=DE（线段中垂线的逆定理）

CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD

即CD= AB+BD

学生C（小组代表）：

证明：延长DB到E，使得AB=BE，并连接AE

∵AB=BE（已知）Array∴∠E=∠BAE（等边对等角）

∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E（一个外角等于与它不相邻的两个内角和）

又∵∠ABC=2∠C（已知）

∴∠C=∠E（等量代换）

AC=AE（等角对等边）

又∵AD⊥BC

∴DC=DE（线段中垂线的逆定理）

即CD= AB+BD

本堂课的教材内容是学生自主选择、自主确定的缘故，课堂气氛空前高涨，几位代表同学的思维都很敏捷，介绍方法很有条理，学生学的效果很好。看来，教学应该是以学生的动机和需要为中心展开的。教学并非是忠实地执行官方课程文本的过程，而是师生共同决定学习内容、建构知识的过程，而实际上更应该是开发、创生课程的过程。只有这样

才能使师生的主体性与生命力的张扬、发展成为一个统一的过程。学生

从两个角度考虑：（1）割补法，将长的线段分割成两段，其中一段通过作辅助线与求解的一段相等，再求解另一段与剩下一段的关系即可。（2）“化曲为直法”，延长其中的一条线段，再求解。

……

数学课堂应该是充满生命活力的，充满着浓厚的趣味性和挑战性，数学课堂更应该体现数学的学科味，注重学生在每个45分钟内有效地锻炼数学思维的过程。

数学学习过程中，学生的个体差异表现在认知方式与思维策略的不同，以及认知水平与学习能力的差异。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足学生的多样化学习需求，让学生们根据自己的实际感受不同层次的学科味。教学过程中鼓励提倡学生独立思考，以求解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中表现出来的不同水平，不同层次。问题情境的设计、教学过程的展开，练习的安排等要尽可能地让所有的学生主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富解决问题的经验，提高思维水平。

教师的数学教学应该建立在学生自身经验、兴趣与动机的基础上，而不是老师以为地讲，学生一味地模仿、接受，我们要让学生们自己来发现问题、认识问题、探索并有效地解决问题，并为他们提供互相交流的平台，让他们在“做中学，学中做”的过程中不断成长。让我们教师换一种姿态来与我们的学生交流，用一种全新的授课方式走进我们的数学课堂，让我们的学生正真体会到数学味！