微专题27以解析几何为载体的应用题答案

微专题27

例题

答案：(1)150；(2)10.

解析：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直

角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4

3.又因为AB ⊥BC ，

所以直线AB 的斜率k AB ＝3

4.

设点B 的坐标为(a ，b)，则k BC ＝

b －0a －170＝－4

3，k AB ＝b －60a －0＝34

.解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝

（170－80）2＋（0＋120）2＝150.答：新桥BC 的长为150 m .

(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．

由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4

3(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0，

d)到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d

5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，

所以⎩⎨⎧r －d ≥80，

r －（60－d ）≥80，

即⎩⎨⎧680－3d

5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80，

解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d

5最大，即圆面积最大．

答：当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．

变式联想

变式1

答案：(1)22＋2百米；(2)点Q 在线段DE 上且距离y 轴1

3

百米．

解析：(1)设直线OM ：y ＝kx(其中k 一定存在)，代入y ＝x ＋1x ，得kx ＝x ＋1

x ，化简为(k －1)x 2＝1.设M(x 1，

y 1)，则x 1＝

1

k －1

，(k ＞1)，所以OM ＝x 12＋y 12＝x 12＋k 2x 12＝1＋k 2·1k －1

＝1＋k 2

k －1

.令t ＝k －1(t ＞0)，则1＋k 2k －1＝t 2＋2t ＋2t ＝t ＋2

t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝2时等号成立，即k ＝2＋1时成立．综上，

OM 的最短长度为22＋2百米．

(2)当直线PQ 与边界曲线相切时，PQ 最短．若直线PQ 斜率不存在，则直线方程为x ＝4

3，不符合题意；

若直线PQ 斜率存在，设PQ 方程为

y ＝k )3

4(-x ，代入y ＝x ＋1x ，化简得(k －1)x 2－43kx －1＝0.当k ＝1时，方程有唯一解x ＝－3

4(舍去)，当k ≠1

时，因为直线与曲线相切，所以Δ＝2)3

4(k -

＋4(k －1)＝0，解得k ＝－3或k ＝3

4(舍去)，此时直线PQ 方程为y ＝－3x ＋4，令y ＝5，得x ＝－13，即点Q 在线段DE 上且距离y 轴1

3百米．

答：当点Q 在线段DE 上且距离y 轴1

3百米，通道PQ 最短．

变式2

答案：(1)y ＝14x 2(0≤x ≤2)；(2)①y ＝12tx －14t 2; ②AF ＝2

3

.

解析：(1)因为边缘线OM 上每一点到点D 的距离都等于它到边AB 的距离，所以边缘线OM 是以点D 为焦点，直线AB 为准线的抛物线的一部分．因为D(0，1)，M(2，1)，所以边缘线OM 的方程为y ＝1

4

x 2(0≤x ≤2)．

(2)①设切点为P )4

,(2t t (0＜t ＜2)，则点P 处的切线斜率为12t.所以直线EF 的方程为y －14t 2＝1

2t(x －t)，

即y ＝12tx －1

4

t 2.

②点E ，F 的坐标分别为E )1,24(2t t +，F )4

,0(2t -.所以S △DEF ＝12⎝⎛⎭⎫1＋14t 2·4＋t 22t ＝（4＋t 2）2

16t ，t ∈(0，2)． 因为S′△DEF ＝1

16

·

（4＋t 2）（3t 2－4）t 2

，令S′△DEF ＝0，得t ＝233⎝⎛⎭⎫t ＝－233舍.当t ∈)332,0(时，S ′△DEF ＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫

233，2时，S ′△DEF ＞0，所以S △DEF 在]332,0(上是减函数，在)23

32[，上是增函数．所以当t ＝23

3时，S △DEF 最小，此时F )3

1

,0(-.

答：取AF ＝2

3

时，沿直线EF 画线段切割，可使截去的△DEF 的面积最小．

说明：很多实际问题都与曲线有关(如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线)，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结构特征，建立直角坐标系，把要解决的问题放在坐标平面上使之与有关曲线相联系，根据相关等量关系建立数学模型(函数模型、不等式模型等)，运用解析几何的基本知识、思想和方法予以解决，此类问题通常涉及确定最优解的点的位置，如例题和变式题就是这样的问题．

串讲激活

串讲1

答案：(1)2t 2－18t ＋129(0＜t ＜8)；

(2)满足题意的P 点距河岸5 km ，距小区M 到河岸的垂线5 3 km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10 km 和6 km .

解析：(1)如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点M(0, 10)，点N(83，8)．

设点P(s ，t)，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N′，则N′(83，2t －8)．则PM ＋PN ＝PM ＋PN′≥MN ′＝（83－0）2＋（12t －8－10）2＝2t 2－18t ＋129(0＜t ＜8)即为所求． (2)设三段水管总长为L ，则由(1)知L ＝PM ＋PN ＋PQ ≥MN′＋PQ ＝t ＋

2t 2－18t ＋129(0＜t ＜8)，所以(L －t)2＝4(t 2－18t ＋129)，即方程3t 2＋(2L －72)t ＋(516－L 2)＝0在t ∈(0，8)上有解．故Δ＝(2L －72)2－12(516－L 2)≥0，即L 2－18L －63≥0，解得L ≥21或L ≤－3，所以L 的最小值为21，此时对应的t ＝5∈(0，8)．故N′(83，2)，MN ′方程为y ＝10－3

3

x ，令y ＝5得x ＝53， 即P(53，5)．从而PM ＝（53）2＋（5－10）2＝10，

PN ＝（53－83）2＋（5－8）2＝6.

答：满足题意的P 点距河岸5 km ，距小区M 到河岸的垂线5 3 km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10 km 和6 km .

串讲2 答案：(1)4

3

m ；(2) 2 m .

解析：建立如图所示的直角坐标系，

设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，由已知点P(2，2)在抛物线上，得p ＝1，所以抛物线的方程为y ＝1

2x 2.

(1)为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点A )2

1

,(2

t t (0＜t ＜2)，则此时梯形APQB

的面积S(t)＝12(2t ＋4)·)2

12(2t ＝－12t 3－t 2＋2t ＋4，∴S ′(t)＝－32t 2－2t ＋2，令S′(t)＝－32t 2－2t ＋2＝0，