相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

【知识疏理】

一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！

若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。

二， 相似三角形证明的变式

1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：

例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA

·AC=BA ·AE

图2

题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。

2，对特殊图形的认识

例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。

图3

（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。

（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。 总结：

（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；

（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；

A

B C A'B'C'图（4）图1 B A

C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化

为“公边共角”，讨论、探究， A

B

C

得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。

【课堂检测】 一选择题

1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ）

A 、3100

B 、20

C 、54

D 、25

108

2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ）

A 、 51

B 、61

C 、71

D 、9

1

D C Ａ Ｄ

O Ｐ

A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图）

3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ）

A 、1：2

B 、1：4

C 、1：8

D 、1：16

4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ）

Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４

5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）

A 、AE BC AD A

B = B 、AD B

C AE AC = C 、AE BC DE AB =

D 、AD AB

AE AC =

A C E B

O

D C

E A D B （第5题图） （第6题图）

6、如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（ ）

① 图中有4个三角形与△ACB 相似； ② ;2EC AE DE •=

③∠A=∠BCD=∠CDE ； ④

BD

CE

AC AD =

； ⑤ 若AC=4，BC=3，则CD=316 ； ⑥DB

AD EC AE =

。 A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个

7．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）

A 、9∶5

B 、81∶25

C 、3∶ 5

D 、不能确定

8．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

9．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） A 、AD • BD=CD 2 B 、AC •BD=CB •AD C 、AC 2=AD •AB D 、AB 2=AC 2+BC 2

10．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG

GA

的比值是（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

11．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、8

12．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD 等于（ ） A 、a ∶b B 、a 2∶b 2 C 、 a ∶ b D 、不能确定