第三章 一维定态问题

I
结果，最后得：

III
0
对应 m = 2 n
II
m
I
m A sin x 2a III 0 m A cos x 2a
m 0的偶数
对应 m = 2n+1
II
m奇数。
xa
合并为：
n
0
1 2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 Z 2 dz
令
E E x E y Ez
2 d 2 [ V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x ) 2 2 dx 2 d 2 [ V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y ) 2 2 dy 2 d 2 [ V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z ) 2 2 dz
由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空 间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚 态。一般地说，束缚态的能量本征值是分立能级，组成 分立谱。 能量量子化，n：量子数
第三章 一维定态问题
本章要求
1 掌握求解一维定态Schrö dinger 方程的 基本步骤; 2 掌握能量量子化,束缚态,宇称,隧道效应, 零点能,分立谱,连续谱,厄密多项式等概 念;
第三章 一维定态问题
l
l l l
l
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrö dinger 方程来处理一类简单的问题——一维定 态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行 细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维 问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
r r
称波函数具有正宇称（或偶宇称） 称波函数具有负宇称（或奇宇称）
(r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下，
则波函数没有确定的宇称。
（四）讨论 １） 定态波函数为
n ( x, t ) n ( x)e
i Ent
0
xa
i Ent 1 n sin ( x a)e x a 2a a
等式两边除以（x, y, z ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 X 1 2 d 2 2 d 2 2 dx 2 X V1 ( x) Y 2 dy 2 Y V2 ( y )

V(x)
I II III
0, A sin(x ), 0.
1）波函数连续：
I -a
II
III 0 a
(a ) (a )
I II


A sin(a ) 0,
A sin(a ) 0 .
II (a ) III (a )
2 d 2 2 d 2 YZ X V1 ( x) XZ Y V2 ( y ) 2 2 2 dx 2 dy 2 d 2 XY Z V3 ( z ) E ( x, y, z ) 2 2 dz
0
xa
i Ent 1 n sin ( x a)e x a 2a a
（三）宇称 （1）空间反射：空间矢量反向的操作。
(r , t ) (r , t ) (r , t ) (r , t )
(r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： (r , t ) (r , t )
方程可简化为：
d2 2 dx d2 2 dx d2 2 dx
I
2
2 2
I
0 0 0
I
V(x)
பைடு நூலகம்II
II
II
III
III

III
-a
0
a
（2）解方程

I II
C 1e
x
C 2e
x
A s in(x ) B1e
（1）列出各势域的 Schrö dinger 方程
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2 dx d2 2 ( x ) 2 [V ( x ) E ] ( x ) 0 2 dx
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，其上的波函数 分别为ψI(x),ψII(x) 和ψIII(x)。则方程 为：
2
n
II
n A sin x a
( n 0, 1, 2, )
讨论
E0 0 当n 0时： 0， II 0 A sin 0 x 0
当n k时： k
II
状态不存在
k k A sin x A sin x a a
所以 n 只取正整数，即
n A sin ( x a) 2a
xa
（4）由归一化条件定系数 A
n
0

xa
| n | dx 1
2
n A sin ( x a) 2a
xa
得：
1 | A| a
2

A
1 a
（取实数）
定态波函数为
n ( x, t ) n ( x)e
i Ent
2
设：V ( x, y, z ) V1 ( x) V2 ( y ) V3 ( z )
令： ( x, y, z ) X ( x)Y ( y ) Z ( z )
2 2 V ( x , y , z ) ( x , y , z ) E ( x , y , z ) 2
n a
( n 0 , 1, 2 , )
因
所以
2 2 E
2
2 E 2 2
II
2
2
n a

2

n 2 2 2 2 a
2
En
n
n A sin x A sin x a
En
n 2 2 2 2 a
§1 一维无限深势阱
§1 §2 §3
§2 线性谐振子
§3 势垒贯穿
§1
l l l l
一维无限深势阱
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
（一） 一维运动 当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时， 其Schrö dinger 方程为：
2 ˆ H [ V ( x, y, z )] ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 Schrö dinger 方程可在直角坐标系中分离变量。
•
l
l l
2）波函数导数连续： 在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。 这是因为： 若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ) 与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无 穷跳跃处不连续。
描写同一状态
( n 1, 2, )
于是：
n
I III 0 n II x n A sin a
n 1,2,
或
2n A sin x 2a
En
( 2n)
2
2 2
8 a
2
cos 0 sina 0 II .
所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。
（二）一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
I
V(x)
II
III
-a
l l l l l
0
a
求解步骤： （1）列出各势域的一维Schrö dinger 方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数
II
II
III
2
III
C 1 e x C 2 e x A s in(x ) B1e
x
2

I
C 1 e x

I
2 (V E ) 2
B2 e
x
I ( a ) lim C1e a 0
所以
（3）使用波函数标准条件
由（3）式
cos 0 2
则
sin 1
cos a 0 cos(a ) sin 0
1 ( n ) 2 a
( 3)
1 a ( n ) 2
所以 En
( n 0 , 1, 2 , )

2
I III n II n 1 2n 1 2 x A cos x n A sin(x ) A cos x A cos 2 a 2a

A sin(a ) 0 A sin(a ) 0
(1) ( 2)
Asin(a ) cos Acos(a ) sin 0 Asin(a ) cos Acos(a ) sin 0
(1)+(2) (2)-(1)
cos(a ) sin 0 sin(a ) cos 0
( 3) ( 4)
sin 0 cosa 0 cos 0 sina 0
两种情况：
I.
sin 0 0
由（4）式
则
cos 1
sin a 0
( n 0 , 1, 2 , )
a n
n a
a n
x
III
B2 e
x

V(x)

I -a

I II III
II 0 a
III
1 单值； 2 有限：当x -∞，ψ有限 条件要求C2=0
d2 2 dx d2 2 dx d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
2 2 2 d d d 2 2 X ( x)Y ( y ) Z ( z ) 2 2 dx dy dz V1 ( x) V2 ( y) V3 ( z ) ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2
2 d 2 2 d 2 YZ X V1 ( x) XZ Y V2 ( y ) 2 2 2 dx 2 dy 2 d 2 XY Z V3 ( z ) E ( x, y, z ) 2 2 dz
1 2 2 ( n ) 2 2 2 2 a 于是波函数： 0

( 2 n1) 2 2 2 8 a 2
类似 I 中关于 n = m 的 讨论可知：
( n 0,1, 2, )
综合 I 、II 2 2 2 m Em 2 8a
d2 2 I I ( x ) ( V E ) ( x) 0 x a 2 2 dx 2 d2 2 II II ( x ) E ( x) 0 a x a 2 2 dx 2 d2 2 III III ( x ) ( V E ) ( x) 0 xa 2 2 dx
从物理考虑，粒子不能透过无穷 高的势壁。根据波函数的统计解 释，要求在阱壁上和阱壁外波函 数为零，特别是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。

同理：
则解为：
I II III
III 0
0
0, A sin(x ), 0.
(3) 使用标准条件定解：