一元二次方程与动点及答案
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
一元二次方程与动点相结合的应用题
一元二次方程与动点相结合的应用题1. 一元二次方程的基础1.1 什么是它？首先，一元二次方程其实就是一个简单的数学公式，通常看起来像这样：( ax^2 + bx + c = 0 )。
听起来复杂，但别担心，简单几何图形就是它的代表，像一座优雅的抛物线。
你想象一下，抛物线就像你在公园滑滑梯，越滑越快，越滑越高，哈哈。
1.2 现实生活中的应用那么，这个方程有什么用呢？其实，它在我们的生活中无处不在。
比如说，建筑师在设计桥梁时，得考虑到材料的强度和形状，常常用到这种方程。
而且，当你打篮球时，投篮的轨迹也可以用它来描述。
是不是觉得这些数学知识跟你生活中的每一秒都有关系？2. 动点的神奇之旅2.1 动点是什么？接下来，让我们聊聊动点。
动点就像公园里那只自由自在的小鸟，随心所欲地在空中飞翔。
动点在数学中，通常指的是在某个规律下运动的点，位置会随着时间变化。
比如说，一个小球从高处掉下，位置就是不断变化的。
2.2 动点与一元二次方程的结合想象一下，小球从高处掉下，它的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
这个时候，你就能感受到数学的魅力了！当小球落地的瞬间，那一刹那就像是电影中的慢动作，让人无比期待。
你会发现，动点和一元二次方程就像是亲密无间的小伙伴，互相依赖，缺一不可。
3. 实际案例3.1 小朋友的投篮让我们来个实例。
想象一个小朋友正在公园里投篮，他抬起手，球在空中划出一个优美的弧线。
这个弧线的形状，正好可以用一元二次方程来描绘。
小朋友投篮时，势头和角度决定了球的飞行轨迹，而这一切都能用方程来算出来，真是太神奇了！3.2 从方程到答案假设小朋友投篮的方程是 ( y = x^2 + 4x )，这时候，我们可以通过解这个方程来知道，球在最高点时的高度有多高。
然后，利用这个高度，我们就可以知道这个小球是否能进篮筐。
就像在做一道美味的菜，得先调好配方，才能品尝到美味。
最后，结合一元二次方程与动点的故事，我们可以看到，数学不再是枯燥无味的，而是充满了生活的乐趣和探索的意义。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
完整版)一元二次方程解决动点问题
完整版)一元二次方程解决动点问题研究目标】1.回顾几何图形中动点的行走路程；2.理解等量关系；3.掌握列出关于动点的一元二次方程；4.灵活选用适当的方法解一元二次方程；5.合理舍掉其中一个根。
重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程。
导学流程】一）了解感知：一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
完成课本56页C组1题。
二）深入研究：1.在等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²？2.在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
三）迁移运用：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）1)经过几秒后，PQ的长度等于5？DC2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？3)经过几秒后，DP=DQ？XXX学生课堂导学提纲编号：SXTG-025使用时间：2014-9-21编制人：XXX一、知识点梳理本节课我们将研究三角函数的相关概念和性质，包括正弦、余弦、正切等基本概念，以及它们的定义和性质。
二、课堂讲解1.三角函数的定义三角函数是一类最基本的函数，它们的定义涉及到三角形的角度和边长。
一元二次方程应用题(动点问题)
一元二次方程的概述
一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，表达式形式为ax²+bx+c=0。它是数学中常见的方程类型，具有 重要的应用价值。
寻找问题的关键变量和已知条件
在解决动点问题时，我们需要仔细分析问题，确定关键变量和已知条件。这样可以帮助我们建立一元二次方程， 进而求解问题。
如何列出动点问题的一元二次方程
一元二次方程应用题(动 点问题)
在这个演示我们将介绍 问题的定义和一元二次方程的基本概念，以及如何寻找关键变量并列出方程。 通过实际案例分析，帮助您掌握解决这类问题的技巧。
动点问题的介绍与定义
动点问题是指根据物体的运动轨迹及已知条件，找出该物体的位置或状态。它常常涉及时间、距离、速度等变 量。
在列出方程时，我们通常需要根据关键变量和已知条件进行代入。通过代入求解，我们可以得到方程的解，从 而解决动点问题。
解方程并求出问题的答案
解一元二次方程通常会涉及到配方法、因式分解、求根公式等解法。通过运用这些方法，我们可以计算出问题 的答案，并得出具体的结论。
实际应用案例分析
通过实际应用案例的分析，我们将展示动点问题在现实生活中的应用场景。这些案例将帮助您更好地理解和掌 握一元二次方程在动点问题中的应用。
总结和应用技巧
在这个部分，我们将对整个演示进行总结，并提供一些应用技巧，帮助您在解决动点问题时更加高效和准确。
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
(完整版)一元二次方程与动点及答案
1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2A3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q PBDAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；的函数关系式．（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t8.2012•重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm，QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．9.（2012•市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s 的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合．时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN 的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD= 2 ，DQ= 4 ，此时CD+DQ = CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为的值；若不存在，请说明理由．顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情．况）（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t 1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t 1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q=1l th i n gs in th ei r be i ng ar e g o o d f o rs o 2×（6-y ）×2y=12，即y 2-6y+12=0，因为△=b 2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ 的面积不会等于12cm 2，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．4.相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．几何动点问题．（1）设x 秒时．由三角形的面积公式列出关于x 的方程，（6﹣x ）•2x=8，通过解方程求得x 1=2，x 2=4；（2）过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，构建相似三角形△CQD ∽△CAB ，由该相似三角形的对应边成比例得到，即QD=；然后由三角形的面积公式列出关于x 的方程（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．解：（1）设x 秒时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 面积为8cm 2，由题意得（6﹣x ）•2x=8，解之，得x 1=2，x 2=4，经过2秒时，点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；或经4秒，点P 到距离B 点2cm 处，点Q 到距离B 点8cm 处，△PBQ 的面积为8cm 2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ 的面积为8cm 2；（2）当P 在AB 上时，经x 秒，△PCQ 的面积为：×PB ×CQ=×（6﹣x ）（8﹣2x ）=12.6，解得：x 1=（不合题意舍去），x 2=，经x 秒，点P 移动到BC 上，且有CP=（14﹣x ）cm ，点Q 移动到CA 上，且使CQ=（2x ﹣8）cm ，过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，由△CQD ∽△CAB 得，即 QD=，由题意得（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．经7秒，点P 在BC 上距离C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．经11秒，点P 在BC 上距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处，14＞10，点Q 已超出CA 的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ 的面积等于12.6cm 2．hingsintheirbeingaregoodforso 5.解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，∵PH2+HQ2=PQ2可得：（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过 1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．6.答案略分析：7.（1）当t=3时，CQ=3，过P作PE⊥QR于E，易求得PE的长和△QPE的面积，设PQ交CD于G，由于CG∥PE，可证得△CQG∽△EQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值．（2）当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．（3）当5≤t≤8时，AB与PQ相交，RP与CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值．解答：解：（1）作PE⊥QR，E为垂足．∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4，在Rt△PEQ中∴PE==3；（1分）当t=3时，QC=3，设PQ与DC交于点G．∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP．（2分）∴，∵S△QEP=×4×3=6，∴S=×6=（cm2）．（3分）（2）当t=5时，CR=3．i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s 设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG=，所以，S △RCG =×3×=（cm 2），（5分）S=12﹣=（cm 2）．（6分）（3）当5≤t ≤8时，QB=t ﹣5，RC=8﹣t ，设PQ 交AB 于点H ，由△QBH ∽△QEP ，EQ=4，∴BQ ：EQ=（t ﹣5）：4，∴S △BQH ：S △PEQ =（t ﹣5）2：42，又S △PEQ =6，∴S △QBH =（t ﹣5）2（7分）由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG =（8﹣t ）2（8分）∴S=12﹣（t ﹣5）2﹣（8﹣t ）2．即S=﹣（9分）当t=﹣=时，S 最大，S 的最大值==（cm 2）．（10分）a r e g o o d f o r s o 考8.点：相似形综合题．分析：（1）由正方形的性质可以得出DC ∥AB ，就有∠CDR=∠ARD ，在Rt △PQR 中，由PQ=6cm ，QR=12cm 有tan ∠ARD=，就可以得出MC ，再根据勾股定理就可以求出PM 的值；（2）分情况求出当当0＜t ≤6时，当6＜t ≤12时，12＜t ≤18时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S 的解析式；（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．解答：解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=BC ，CD ∥AB ，∠C=90°，∴∠CDR=∠ARD ，∵PQ=6cm ，QR=12cm ，∴tan ∠ARD=，∴tan ∠CDR==，∵CD=6，∴CM=3，在Rt △CPM 中，由勾股定理，得PM==3．（2）如图1，当0＜t ≤6时，∵QB=t ，QR=12，∴BR=12﹣t ，∴BM=6﹣0.5t ，∴S=，∴S=﹣t 2+6t ，如图2，当6＜t ≤12时，∵AR=12﹣t+6=18﹣t ，BR=12﹣t ，∴SA=9﹣0.5t ，MB=6﹣0.5t∴S=，=3t+45，dAl l th i n gs i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o 如图3，12＜t ≤18时，AR=6﹣（t ﹣12）=18﹣t ，AS=9﹣0.5t ，∴S=，=t 2﹣9t+81；（3）当6＜t ≤12时，由图象得：QN 2=AQ 2+AN 2=（t ﹣6）2+（9﹣0.5t ）2=t 2﹣21t+117，NR 2=AN 2+AR 2=（9﹣0.5t ）2+（18﹣t ）2=t 2﹣45t+405RQ 2=144①如图4，当QR 2=NR 2时，t 2﹣45t+405=144，解得：t 1=18+t ＞12（舍去），t 2=18﹣；②如图5，当QN 2=QR 2时，t 2﹣21t+117=144，解得：t 1=﹣1.2（舍去），t 2=18（舍去），③如图6，当QN 2=RN 2时，t 2﹣21t+117=t 2﹣45t+405，解得：t=12，12＜t ≤18与6＜t ≤12时一致，而t=18时△NQR 不存在，∴t=12或t=18﹣．andAllthingsintheirbeingaregoodforso9.（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=d A l l t h i n g s i n t he i r b e i n g a r e g o o df o r s o ∴t=时，四边形PMBN 为平行四边形．10.分析：（1）当x=2时，延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，就有EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，就可以求出CH=6﹣2x ，再根据勾股定理就可以求出CD 、DQ 及CQ 的值；（2）由图形观察可以得出S △CDQ =S △CBQ ﹣S △CHD ﹣S 梯形HBQD ，只要根据条件分别表示出=S △CBQ 、S △CHD 、S 梯形HBQD 的面积即可；（3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，解直角三角形CHD ；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形ADH ；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形DCK 和直角三角形DHA ；如图9，当CD=AC 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，解直角三角形DKC ；如图10，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点，解直角三角形DHA ．结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x 的值即可．解答：解：（1）延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，∴EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，∵x=2，BC=6，DE=4，∴EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，∴CH=2．在Rt △CHD 、Rt △DKQ 、Rt △CBQ 中，由勾股定理得：CD=2，DQ=4，CQ=6．∴CD+DQ=6，∴CD+DQ=CQ ．故答案为：2，4，=；（2）当0≤x ≤2时，如图2，∵EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，CH=6﹣2x ，∴S △CDQ =，=﹣x 2﹣4x+12当2＜x ≤3时，如图5，作CH ⊥DG 于H ，DK ⊥BC 于K ，l th i n g s in th ei r be i n g a r e g o o df o r s o ∴EQ=BK=2x ，CK=HD=6﹣2x ，BQ=4+x ，CH=x ，∴S △CDQ =CK •KD+KB •BQ ﹣﹣﹣，=（6﹣2x ）x+2x （4+x ）﹣﹣﹣，=x 2+4x ﹣12；当3＜x ≤4时，如图3，作DH ⊥BC 的延长线于H ，∴EQ=HB=2x ，HD=x ，BQ=4+x ，CH=2x ﹣6，∴S △CDQ =HB •QB ﹣﹣﹣，=2x （4+x ）﹣﹣﹣，=8x+2x 2﹣x 2+3x ﹣4x ﹣12﹣3x ，=x 2+4x ﹣12．∴S=，（3）∵纸片DEFG 沿RS 方向平移，∴4≤x ≤24．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣6﹣4=2，CH=（x+4）﹣（2x ﹣4）=8﹣x ，∵AB=8，BC=6，∴AC==10在Rt △CHD 中，由勾股定理，得（8﹣x ）2+22=100，解得：x 1=8+4，x 2=8﹣4＜4（舍去）；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣4=8，AH=（x+4+8）﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，在Rt △ADH 中，由勾股定理，得（16﹣x ）2+82=100，i n g s i n t h e i r b e i n g 解得：x 1=22，x 2=10；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DK=2x ﹣4﹣（x+4）=x ﹣8，KC=12﹣4﹣6=2，AH=x+4+8﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，DH=12﹣4=8．∴（x ﹣8）2+4=（16﹣x ）2+64，∴x=15；综上所述：纸片DEFG 沿RS 方向平移，当x 的值为：22，10，15，8+4时，以A 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．andAllthingsintheirbeingaregoodfo 11.irbeingaregoodforso 分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，n dAl l th i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o ∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB ∴13t=13，解得：t=1当1＜t ≤时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．∴t=．当＜t ≤时，如图⑤．∵S △ABR =S △QBR ，∴S △ABR ＜S 四边形BQPR ．∴BR 不能把四边形ABQP 分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间时，C ′D ′在BC 上方且C ′D ′∥BC 时，∴∠C ′OQ=∠OQC ．∵△C ′OQ ≌△COQ ，∴∠C ′OQ=∠COQ ，∴∠CQO=∠COQ ，∴QC=OC ，∴50﹣5t=50﹣8（t ﹣1）+13，或50﹣5t=8（t ﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间，C ′D ′在BC 下方且C ′D ′∥BC 时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD ，∴50﹣5t+13=8（t ﹣1）﹣50，解得：t=．n dAl l th i n gs in th ei r be i ng ar eg oo df or s o∴当t=7，t=，t=时，点C 、D 关于直线PQ 的对称点分别为C ′、D ′，且C ′D ′∥BC ．beingaregoodforso 分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴，∴FG==3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC∴OP∥AC∴x==×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴∴AH=（x+5），FH=（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=EG=2cm∵FP=3﹣x∴S 四边形OAHP =S △AFH ﹣S △OFP =•AH •FH ﹣•OD •FP=•（x+5）•（x+5）﹣×2×（3﹣x ）=x 2+x+3（0＜x ＜3）．（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24则S 四边形OAHP =×S △ABC ∴x 2+x+3=××6×8∴6x 2+85x ﹣250=0解得x 1=，x 2=﹣（舍去）∵0＜x ＜3∴当x=（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24．。
一元二次方程应用题动点问题
一元二次方程应用题动点问题1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一元二次方程。
听到这个名词，有人可能会皱起眉头，觉得这是个高深莫测的数学问题，其实它就像个大闸蟹，外表坚硬，里面却是满满的美味。
动点问题听起来也有点复杂，但实际上，它们和我们生活中的许多事都息息相关。
比如说，咱们的运动、追逐梦想，甚至是追公交车的那一瞬间，都是动态变化的过程，不是吗？今天，就让我们轻松地探索一下这些动点问题，用一元二次方程来解锁它们的秘密。
2. 一元二次方程的基本概念2.1 方程的定义说到一元二次方程，咱们得先搞清楚这是什么玩意儿。
一元二次方程的标准形式是这样的：( ax^2 + bx + c = 0 )。
看上去是不是很高大上？其实，a、b、c 就是一些常数，而 x 就是我们要找的未知数。
简单来说，它就像是在说：“嘿，x 你在哪儿呢？”每个数都有自己的故事，就像我们每个人都有自己的烦恼和喜好。
2.2 动点的概念那么，动点又是什么呢？想象一下你在公园里散步，突然发现一只小狗在草地上追蝴蝶。
这个小狗就是动点，它的位置会随着时间不断变化。
用数学的语言来说，动点就是指在某个时间段内，位置随着变化而不断更新的点。
就像我，今天心情好，走路像个小精灵，明天心情差，走路就像个拖着沉重行李的人，这就是动态变化的魅力。
3. 应用实例3.1 追逐游戏让我们通过一个有趣的例子来说明吧。
想象一下，有两个小朋友在操场上玩追逐游戏。
小明的速度是每秒3米，而小红则快了点，能达到每秒5米。
小明从某个点出发，而小红则在距离小明10米的地方开始追。
我们要想知道小红什么时候能追上小明，就得用一元二次方程来帮忙。
假设小明的起始位置是0米，那么他在t秒后的位置就是 ( 3t ) 米；小红的起始位置是10米，她在t秒后的位置是 ( 10 + 5t ) 米。
要想知道小红什么时候追上小明，就得解方程：3t = 10 + 5t经过简单的变形，我们可以得到：2t = 10从而得出 ( t = 5 ) 秒。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。
一元二次方程的应用(动点问题)
二次函数
一元二次方程的图像是抛物线，其性质和特征对于
顶点和轴对称
抛物线的顶点是二次函数的最值点，而抛物线关于
什么是动点问题
动点问题涉及物体、车辆、人员等在空间或时间中的运动，通过建立一元二次方程描绘其变化规律。
1 运动轨迹
描述物体或人员在空间中的路径或轨迹，了 解运动方式和特点。
2 运动速度
计算物体或人员在不同时间点的速度，以推 断其行进过程。
例一：物体自由落体问题
考虑一个物体自由落体的场景，建立一元二次方程解决高度、时间和速度等相关问题。
下落距离
计算物体自由落体所经历的高度以及特定时间点的 下落距离。
速度计算
根据物体自由落体的加速度和时间，计算物体的速 度。
达到特定时间
通过一元二次方程，求解物体自由落体到达特定时
抛物线轨迹
分析抛物线运动的特点，找出物体的最高点和最远
物体自由落体问题
计算自由落体物体的高度、速度等参数，并确 定其运动轨迹。
两车相遇问题
研究两辆车从不同地点同时出发，相向而行的 问题，求出两车相遇的时间和位置。
跳伞问题
求解跳伞过程中的空中时间、速度、高度等数 据，为安全跳伞提供参考。
炮弹射击问题
通过炮弹的射程、发射角度等参数，计算击中 目标所需的条件与策略。
一元二次方程的应用(动 点问题)
一元二次方程的应用(动点问题) PPT大纲
一元二次方程的定义和基本形式
介绍一元二次方程的定义、基本形式和一些基础概念，帮助理解和解决动点问题。
方程的定义
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、 c都是实数，a≠0。
基本形式
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、 c是已知实数，且a≠0。
一元二次方程的应用题(动点问题)
x²+ (14-x)²=100 x²+ (14-x)²=196 x²+ (14-x)²=200
二课本79页第14题
解:设水渠应挖X米宽
92m 60m
水渠的面积=耕地的民面积-6个矩形的面积
92x+60x+60x=92╳60-6╳885
92m
60-2x 60m
92-2x
. 90-30X
50
东
解得 X1= 56 (不符合题意)
. X2=226
B 答:最早2时能侦察到
把长为36厘米的铁丝剪成相等的两段,用一段弯成一个 矩形,另一段弯成一个有一.个有一条边为5厘米的等腰 三角形,如果举矩形面积与等腰三角形面积相等,求矩形 的边长 .
5
5
3
6.5
6.5
6
44 设:长方形的长X为厘米,则宽为(9-X)厘米. 5
用一元二次方程的数学模型解具体问题
解应用题的步骤: 1弄清题意,设适当的未知数,
注意写上单位. 2寻找已知量,未知量的相等关系,
列出所需要的代数式. 3列出方程,解方程. 4检验方程的根是否符合题意.
是否满足方程.
例1课本65页随堂练习第1题
3 7
X
解:设相遇时甲走X步
10
因为乙速是甲速的七分之三.
.Q 向点C以2cm/s的移动,点 Q从点B出发向点C以 1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从A、B出发， 几秒后四边形APQB是 C ΔABC面积的三分之二？
B
设X秒后四边形APQB是
1x
10
Q ΔABC面积的三分之二.
则AP=2X ,BQ=1X
初中数学 一元二次方程的应用 动点问题
终点是 终点是
， 速度是 ， 速度是
。 。
， ，
3、P点从开始走过的路程是那一段？ Q点从开始走过的路程是那一段？ 4、 △ PCD的面积= ×
（哪条边？）
A
QC P
1、动点：P和Q
B
2、P的起点是 A 终点是 C ， 速度是 1cm/s Q的起点是 C 终点是 B ， 速度是 2cm/s 3、P点从开始走过的路程是那一段？ Q点从开始走过的路程是那一段？ 设 x s后 AP= X cm , CQ= 2X cm 4、 △PCQ的面积= CP=AC-AP =6-X AP CQ 。 。
B
Q
C
P
A
1、动点：P和Q 2、P的起点是 终点 是 ， 速度是 ， Q的起点是 终点 是 ， 速度是 ， 3、P点从开始走过的路程是那一 段？ 。 Q点从开始走过的路程是那一 段？ 。 4、 △ PCD的面积= × 。
C
Q
B
练习册 P32
P A度1m/s Q速度2m/s
， ，
½
CP × CQ （哪条边？） CQ=2X △ PCQ=9
A
QC P
• 解：设点P、Q出发x s后可使PCQ的面积为9 cm2 。依据题意得AP= x cm, PC=（6-x）cm, CQ=2X CM, 则由S △ PCQ= ½ ·PC · CQ可得 ½· （6-x）·2X=9 整理得 x2-6x+9=0 解得 x1=x2=3 答：、、、、、、、、、
一元二次方程的应用
动点问题
动点问题：
要从审题中明白以下关键点： 1、动点的起点， 从哪里出发？ 2、动点的终点，到哪里停止？ 3、动点在时间内 走过的路程是那一段，且路 程是多少？ （路程=速度×时间） 4、所构成的图形 面积怎么求？距离怎么求？ 5 、根据等量关系列出方程。
列一元二次方程解应用题的四种类型(利润、增长率、面积、动点问题)
列一元二次方程解应用题的四种类型（利润、增长率、面积、动点问题）一、商品销售问题售价—进价=利润单价×销售量=销售额一件商品的利润×销售量=总利润某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的盈利元；商场每天可以多销售件，则商场降价后每天售出的数量为件。
根据：利润=单件的利润╳数量，我们可以列出方程：解这个方程得：答：；例1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3圆；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？练习：1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？2、某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？4、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题3(附答案)
11．Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每 秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动，到达点 C 停止运动．设运动时间为 t 秒
（1）如图 1，过点 P 作 PD⊥AC，交 AB 于 D，若△ PBC 与△ PAD 的面积和是△ ABC
4．在平面直角坐标系 x O y 中，过原点 O 及点 A(0，2) 、C（6，0）作矩形 OABC，
∠AOC 的平分线交 AB 于点 D 点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线
OD 方向移动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动 设
移动时间为 t 秒，当 t 为
2．在△ ABC 中,∠B=90°,AB=8,BC=6.点 P 从点 B 沿 BA 向 A 以 1 cm/s 向 A 移动,到 A 后停止;同时,点 Q 从 B 沿 BC→CA 以 1 cm/s 移动到终点 A,_______秒后,△ PBQ 的面积 为 16.
3．如图，将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方 向平移，得到△ A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为 32 时，它移动的距离 AA′等 于．
时，△ PQB;ax+b 图像与 x 轴有 2 个交点，A(x1,0)，B(x2,0)；且 0< x1<1； 1< x2<2,那么（1）a 的取值范围是___________；b 的取值范围是________；则（2）
一元二次方程-动点问题
二．经过多少时间后， S△PCQ的面积为 15cm2？
三．请用配方法说明，何 时△PCQ的面积最大， 最大面积是多少？
2．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁 片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个 相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB=_______cm，宽 BC=__________cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子 的容积． （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在， 求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
想一想
(40 x 30)(600 10 x ) 10000. 1
答 : 每个台灯的定价应为50元或80元, 进 货 量 相 应 为5000个 或 200个.
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月 能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元时, 其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月 达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
边形DFCE的面积为20cm2？
Ｃ
F
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｄ
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C 同时出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到
点B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡
D
P
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，
点P和点Q的距离是10cm？
的速度移动, 同时另一
点Q由C点以3cm/s的速
度沿着CB边移动,几秒钟
后, PCQ的面积等于
一元二次方程的几何问题(含详细答案解析)
一元二次方程的几何动态问题一．解答题1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．3．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．4．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？6．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．7．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）2018年10月01日初数50的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6=33，解方程可得解；（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．2．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6×（5﹣x）×2x=6整理得：x2﹣5x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2=52，5t2﹣10t=0，t（5t﹣10）=0，t1=0（舍去），t2=2，∴当t=2时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，×（5﹣x）×2x=8整理得：x2﹣5x+8=0△=25﹣32=﹣7＜0∴△PQB的面积不能等于8cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．3．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．4．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=×6×8=24，（6﹣y）•2y=12，y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）=1，m2﹣10m+23=0，解得m1=5+，m2=5﹣，经检验，m1=5+不符合题意，舍去，∴m=5﹣；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）=1，n2﹣10n+25=0，解得n1=n2=5，经检验，n=5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）=1，k2﹣10k+23=0，解得k1=5+，k2=5﹣，经检验，k1=5﹣不符合题意，舍去，∴k=5+；综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= 6 cm，BQ= 12 cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得AP=6cm，BQ=12cm．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∴BP=12﹣6=6cm．故答案为：6、12．（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，∴x=，当∠QPB=90°时，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），x=6答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=BQ=x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x，∴，解得；x1=10，x2=2，∵x=10时，2x＞12，故舍去∴x=2．答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2．【点评】本题考查了动点问题的运用，等边三角形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时建立根据三角形的面积公式建立一元二次方程求解是关键．6．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．【分析】（1）设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于8cm2．得出方程×（6﹣x）×2x=8，求出方程的解即可；（2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．那么可分以下情况讨论设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．（1）0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，连接PC，求出CQ=8﹣2y，PB=6﹣y，根据三角形的面积公式得出×（8﹣2y）×（6﹣y）=12.6，求出方程的解即可；（2）4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），过点P作PM⊥AC，交AC于点M，求出CQ=2y﹣8，AP=y，根据sinA==，推出=，求出PM=y，根据三角形的面积公式求出×（2y﹣8）×y=12.6，求出方程的解即可；（3）6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，根据QD∥AB得出，代入求出QD=，根据三角形的面积公式得出方程×（14﹣y）×=12.6，求出方程的解即可．【解答】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2．×（6﹣x）×2x=8，解得x1=2 x2=4，答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2．①0＜y≤4（Q在BC上，P在AB上）时，如图：（1）连接PC，则CQ=8﹣2y，PB=6﹣y，∵S△PQC=CQ×PB，∴×（8﹣2y）×（6﹣y）=12.6，解得y1=5+＞4（不合题意，舍去），y2=5﹣；②4＜y≤6（Q在CA上，P在AB上），如图（2）过点P作PM⊥AC，交AC于点M，由题意可知CQ=2y﹣8，AP=y，在直角三角形ABC中，sinA==，在直角三角形APM中，sinA=，即=，∴PM=y，∵S△PCQ=CQ×PM，∴×（2y﹣8）×y=12.6，解得y1=2+＞6（舍去），y2=2﹣＜0（负值舍去）；③6＜y≤9（Q在CA上，P在BC上），如图（3），过点Q作QD⊥BC，交BC于点D，∵∠B=90°，∴QD∥AB，∴，即=，∴QD=，∵S△CQP=×CP×QD，∴×（14﹣y）×=12.6解得：y1=7，y2=11（不合题意，舍去）答：当（5﹣）秒或7秒后，△PCQ的面积等于12.6cm2【点评】应注意应先表示出两直角三角形的面积所需要的边和高，然后分情况进行讨论．7．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= ，，，．以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【分析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。
初中数学专题：利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题
专题1.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题的理解！【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（）A．B．C．D．2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当s时，的面积为．3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3 ，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时PDQ的面积为40cm26．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在中，厘米，厘米，于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求的长；（2）当的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为．2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始秒时，点P和点Q的距离是．（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）求的长．（3）当时，①求的值；②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．5．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，MON 的面积为？6．（2023春·浙江·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求当t＝0.5s时，APQ的面积；（3）当APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．8．（2023春·广东惠州·九年级惠州一中校考开学考试）如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜8）(1)当t＝1时，试求PE的长；(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．9．（2023春·九年级单元测试）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，动点从点出发，以的速度沿方向向点运动，若，两点同时出发，运动时间为．(1)连接，，，当为何值时，面积为(2)当点在上运动时，是否存在这样的的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由．10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．(1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________．(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？(3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【类型3 利用一元二次方程解决坐标系中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴上，边在x轴上，点B的坐标是，D为边上一个动点，把沿折叠，若点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为（）A．B．C．D．3．（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图①，在中，于D，，，，点E 是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G、H在上，设，连接．(1)设矩形的面积为，的面积为，令，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变量的取值范围）(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为，，当为等腰三角形时，求点M的坐标．4．（2023春·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，．(1)求出__________；(2)若平分，求点的坐标；(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.5．（2023春·广东江门·九年级江门市福泉奥林匹克学校校考期中）已知，如图：在直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间为t（秒）(1)如图1，当t为何值时，DOE的面积为6；(2)如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE；(3)如图3，过点D作DG OB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构成等腰三角形，求出此时t的值6．（2023春·浙江·九年级期中）如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）．(1)求线段的长，及点的坐标；(2)为何值时，的面积为；(3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值．7．（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，A，B点的坐标分别为（0，4），（-4，0），点坐标为，点是射线BO上的动点，满足BE=1.5OP，以，为邻边作．（1）当m=2时，求出PE的长度；（2）当m﹥0时，是否存在m的值，使得的面积等于ABO面积的，若存在求出m的值，若不存在，请说明理由；（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q′，点Q′刚好落在AB上时，求m的值（直接写出答案）．8．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设．(1)求和的长；(2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形；(3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值．9．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，已知，点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上．在中，边的角平分线交于点D．（1）求两点的坐标；（2）若点M是直线上的一个动点，点是坐标平面上的点，以点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；（3）如图2，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动：同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向移动，连结，设移动时间t秒．当t为何值时，是直角三角形．10．（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校联考期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．(1)求直线l的解析式．(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．11．（2023春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，平行四边形位于直角坐标系中，为坐标原点，点，点交轴于点动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度终点运动，同时动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：________，________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当恰好是等腰三角形时，求t的值．12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．专题1.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题的理解！【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设AP＝x cm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝P A＝x cm，然后根据▱PQCR 的面积为ABC面积的一半列方程求解即可．【详解】解：设AP＝x cm，则PB＝（8−x）cm，∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，∴∠A＝45°，∵PR BC，∴∠APR＝90°，∴PR＝P A＝x cm，∵▱PQCR的面积为ABC面积的一半，∴，解得：，∴点P移动的路程为4cm．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当s时，的面积为．【答案】或【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．【详解】解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于点．∴设当时间为秒时，的面积为．当时，，，，即，解得：或（舍去）．当时，，，，即，解得：或（舍去）．综上所述：当或秒时，的面积为．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG CF，AB⊥CF，垂足为B，AB=BC=3 ，点P是射线AG上的动点（点P不与点A重合），点Q是线段CB上的动点，点D是线段AB的中点，连接PD并延长交BF于点E，连接PQ，设AP=2t，CQ=t，当PQE是以PE为腰的等腰三角形时，t的值为．【答案】或【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据PQE是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D点为AB中点，∴AD=BD，∴结合∠ADP=∠BDE可得APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E点坐标为(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，∴Q点坐标为(t-3,0)，∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根据PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，有，整理：，解得（负值舍去），当QE=PE时，有，整理：，解得（0舍去），综上所述：t的值可以为，．故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，是边长为6cm的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速移动，它们的速度都是2，当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为，解答下列问题：(1)当为何值时，是以为直角的直角三角形？(2)是否存在，使四边形的面积是面积的若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)不存在，理由见解析【分析】（1）当时，利用直角三角形的性质建立方程，解方程即可得；（2）假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，从而可得，过点作于点，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，再利用三角形的面积公式建立方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得出答案．【详解】（1）由题意得：，，为等边三角形，，当点到达点时，，则，∵，，，即，解得，符合题意；（2）不存在，使四边形的面积是面积的，理由如下：假设存在某一时刻，使四边形的面积是面积的，由（1）得：，，如图，过点作于点，，，，整理得：，此方程根的判别式为，方程无解，所以假设不成立，即不存在，使四边形的面积是面积的．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，正确建立关于时间的方程是解题关键．5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P 从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时PDQ的面积为40cm2【答案】(1)（12﹣2t）；4t(2)t＝2或4【分析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中点，∴BH=BC＝12cm，DH是ABC的中位线，∴DH AB＝6cm，根据题意，得-（12﹣2t）-（24﹣4t）×6-2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，PBQ的面积是40cm2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．6．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在中，厘米，厘米，于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求的长；（2）当的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t的值为2或或，使得S PMD=S ABC．【分析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2-CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12-t，又∵由PDM面积为PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S PMD=S ABC．①若点M在线段CD上，即0≤t≤时，PD=12-t，DM=5-2t，由S PMD=S ABC，即×(12−t)(5−2t)＝5，2t2-29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．②若点M在射线DB上，即≤t≤12．由S PMD=S ABC得(12−t)(2t−5)＝5，2t2-29t+70=0解得t 1＝，t 2＝．综上，存在t的值为2或或，使得S PMD=S ABC．【点睛】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC 上)，设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．【答案】(1) t＝4 (2) t＝6【分析】分别根据运动方式列出面积S1,S2关于t的函数关系，第一问令面积相等，第二问配方求最值. 【详解】解：S1＝×8×t＝8t，S2＝t(8－t)＝－2t2＋16t，(1)由8t＝－2t2＋16t，解得t1＝4，t2＝0(舍去)，∴当t＝4秒时，S1＝S2(2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝－2(t－6)2＋72，∴当t＝6时，S1＋S2最大，最大为72【点睛】关于x的两次三项式，可以配方化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值,必要是需要引入二次函数的内容求最值.8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t的值为或2时，重叠面积为8．【分析】（1）先求出ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，列出方程、解方程即可解答；（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】（1）∵Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S ABC＝×6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与P AD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），∵△PBC与P AD的面积和是ABC的面积的，∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝12t﹣t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝6×6﹣t2＝8，解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去），综上，t的值为或2时，重叠面积为8．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形中，点是上的一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰好落在的平分线上时，的长为．【答案】或【分析】过点A1作A1F⊥BC于F，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设CF==x，从而得出BF= 7－x，CA1=，然后根据折叠的性质可得AB==5，再利用勾股定理求出x，即可求出结论．【详解】解：过点A1作A1F⊥BC于F∵四边形ABCD为矩形，平分∴∴△为等腰直角三角形，设CF==x则BF=BC－CF=7－x，CA1==由折叠的性质可得AB==5在Rt中，即解得：x1=3，x2=4∴CA1=或故答案为：或．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始秒时，点P和点Q的距离是．（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）【答案】2或【分析】设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时，，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设当P、Q两点从出发开始x秒时，点P和点Q的距离是，此时，，如图，过作于，∵四边形是矩形，∴四边形，是矩形，∴，，∴，则，根据题意得：，解得：，．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？【答案】(1)或；(2)4秒或6秒．【分析】（1）过点P作于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得；【详解】（1）解：过点P作于E，设x秒后，点P和点Q的距离是．，∴，；∴经过或，P、Q两点之间的距离是；（2）解：连接．设经过后PBQ的面积为．①当时，，∴，即，解得；②当时，，，则，解得，（舍去）；③时，，则，解得（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）求的长．（3）当时，①求的值；②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．【答案】（1）见解析；（2）8；（3）①2；②，，【分析】（1）根据已知证明即可得证；（2）根据题，当时，，令时，即可求得；（3）①当到达点时，点到达点，此时,则，令求得，可得，结合已知条件可得；②由①可得，是等边三角形，分情况讨论，当在上，时，根据含30度角的直角三角形的性质，可得；当时，过点分别作，垂足为,可得四边形是矩形，分别求得,根据勾股定理列出方程，解一元二次方程即可，当时，如图，过点作于点,同理通过勾股定理求得，当点在上时，观察图形可知不存在直角三角形．【详解】四边形是平行四边形；即四边形是平行四边形；（2）依题意，设点运动的路程为，的长度为，。
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题(有答案)
专题八：一元二次方程应用类型中的动点问题（有答案）➢知识指引所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．动点问题思路剖析问题1：动点问题的处理框架是什么？答：读题标注，整合信息（即明确所研究的背景图形）问题2：分析运动过程需要关注四要素是什么？答：①起点、终点、速度：标注到图形中，以示说明②时间范围根据路程、时间和速度的公式s=vt，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间③状态转折状态转折即点的运协发生变化的时刻，常体现在动点的运动方向，运动速度发生了改变④目标或结论导向根据题意作出图形，有序操作（分段作图并求解）问题3：在分析几何特征，表达时，常见表达线段长的方式有哪些？答：①路程即线段长，可根据s=vt直接进行表达已走路程或未走路程②根据研究几何特征的需求进行表达，即要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息➢知识点睛由点的运动产生的几何问题称为动点问题．动点问题的解决方法：1.研究背景图形并标注；；2.分析运动过程，并适时分段；3.表达线段长，建等式和方程．➢典型例题【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=12，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P．Q分别从A．B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）（2）经过几秒，PQ的长为6√2cm？（3）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？【解答】（1）根据题意得：BQ=2t，PB=9-t．故答案为：2t；9-t．（2）根据题意得：（9-t）2+（2t）2=72，，t2=3，解得：t1=35秒或3秒，PQ的长为6√2cm．∴经过35×（9-t）×2t=8，（3）根据题意得：12解得：t1=8，t2=1．∵0≤t≤6，∴t=1．答：经过1秒，△PBQ的面积等于8cm2．【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ，∠C=90°， BC=16，DC=12 ，AD=21 ，动点P从点D出发，沿线段 DA的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q从点 C出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点B运动；点P，Q 分别从点D，C同时出发，当点P运动到点 A 时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t秒）.（1）当t=2时，求△BPQ的面积；（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.（3）当t为何值时，以 B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？备用图【解答】（1）如图，过点P 作PM ⊥BC 于M ，则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12．∵QB=16－t ，当t=2时，则BQ=14，则S=12QB ⋅PM =12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP=BQ,即21－2t=16－t ．解得t=5． ∴当t=5时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ=BQ ，在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122，由PQ 2= BQ 2， 得t 2+ 122= (16-t)2 解得t=72；②若BP=BQ ，在Rt △PMB 中，PB 2=(16-2t)2+122，由PB 2= BQ 2得(16-2t)2+ 122= (16-t)2，即3t 2+-32t+144= 0．此时，Δ= (-32)2 －4×3×144= －704＜0, 所以此方程无解，所以PB ≠BQ ；③若PB=PA ，由PB 2= PQ 2,得t 2+ 122= (16-2t)2 + 122 , 解得t 1=163,t 2=16，（不合题意，舍去）；综上所述，当t=72或163时，以B ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.➢ 跟踪训练1．如图，在△ABC 中，AC=50cm ，BC=40 cm ，∠C =90°，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以每秒2 cm 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以每秒3 cm 的速度沿着射线CB 匀速移动，当△PCQ 的面积等于300 cm 2运动时间为（ ）．A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定【解答】由题意，得AP=2t ，CQ=3t ，∴PC=50-2t ，∴12•PC•CQ=300，∴12•（50-2t ）•3t=300，解得t=20或5，∴t=20s 或5s 时，△PCQ 的面积为300m 2．故选：C ．2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．若P 、Q 两点同时出发，当点P 运动到点B 时，P ，Q 两点同时停止运动，当三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一时，所需时间为（ ）A ．4 sB ．2 sC ．2或4sD ．3或4s【解答】设经过x 秒，三角形PQB 的面积是三角形ABC 的面积的三分之一．∵P 、Q 移动t 秒时，AP=t ，BQ=2t ，则PB=AB-AP=6-t ，∴S △P B Q =13，由S △A B C =12AB•BC=12×6×8=24，当S △P B Q =13S △A B C 时，则12•2t（6-t ）=13×24，整理，得t 2-6t+8=0，解得t 1=2，t 2=4，即当t=2或4时，△PBQ 的面积等于△ABC 的面积的三分之一． 故选：C ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12 cm ，点D 从点A 开始沿边AB 以2 cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持四边形DFCE (点E ，F 分别在AC ，BC 上)为平行四边形，则出发________s 时，四边形DFCE 的面积为20 cm 2.【解答】设点D从点A出发x s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.由题意，得12×12×12−4x22−(12−2x)22＝20，解得x1＝1，x2＝5，故答案为：1或5.4.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系l=t2+3t（t≥0），乙以8cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为42cm．（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？【解答】（1）当t=4s 时，l=t2+3t=16+12=28（cm）．答：甲运动4s后的路程是28cm．（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21cm，甲走过的路程为t2+3t，乙走过的路程为4t，则t2+3t+8t=42，解得：t1=3，t2=-14（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s．（3）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为三个半圆3×42=126cm，则t2+3t+8t=126，解得：t=7或t=-18（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s ．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向B 移动，点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）是否存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．（2）几秒后，△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形．【解答】（1）不存在，理由如下：设出发秒x 时△DPQ 的面积等于8cm 2． ∵S 矩形A B C D -S △A P D -S △B P Q -S △C D Q =S △D P Q ，∴6×12-12×12×x -12×（6-x ）•2x -12（12-2x ）×6=8，∴x 2-6x+28=0，∵∆=b 2-4ac=36-4×28=-76＜0，∴原方程无实数根，即不存在某一时刻使得△PQD 的面积等于8cm 2． （2）∵∠A=∠B=∠C=90°，∴PD 2=t 2+122，PQ 2=（6-t ）2+（2t ）2，QD 2=（12-2t ）2+62， ∵△PQD 是以DP 为斜边的直角三角形，∴PD 2=PQ 2+QD 2，即t 2+122=（6-t ）2+（2t ）2+（12-2t ）2+62， 整理得2t 2-15t+18=0，解之得t 1=6，t 2=32，即当t 为32秒或6秒时，△PQD 是以PD 为斜边的直角三角形．6.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点B 出发沿线段BC 、CD 以2cm/s 的速度向终点D 运动；同时，点Q 从点C 出发沿线段CD 、DA 以1cm/s 的速度向终点A 运动（P 、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ 的面积能否等于22cm 2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由【解答】（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2=9s，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1=18s， ∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）-1×9=9cm， 答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-2a×62−(12−2a)×a2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b+6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2， ∴12×6-(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1=1，b 2=14（舍去），即需运动6+1=7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．7．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒． （1）填空：BQ=__________，PB=_________；（用含t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，∴AP=tcm．∵AB=5cm，∴PB=（5-t）cm．∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，∴BQ=2tcm；（2）由题意，得(5-t)2+(2t)2=52．解得t1=0（不合题意，舍去），t2=2．所以当t=2秒时，PQ的长度等于5cm．（3）存在，t=1秒时，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．由矩形ABCD的面积是5×6=30cm2，若五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBG的面积为30－26=4 cm2，=4．解得t1=4（不合题意，舍去），t2=1．即（5－t）×2t×12即当t=1秒时，五边形APQCD的面积等于26cm2．8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．点Q在射线PC上，且PQ ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，设运动时间为t秒，(1)当N点落在BC上时，t= 秒;(2)若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．备用图【解答】(1)当N 落在BC 上时，Q 点在C 处，此时CP+AP=2t+t=6,∴t=2,.故填：2（2）∵AP ＝t ，PQ ＝2AP ，∴PQ ＝2t ，①如图1，当0≤t ≤2时，S ＝（2t ）2﹣12t 2＝72t 2＝8， 解得：t 1＝47√7，t 2＝﹣47√7（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t ≤3时，S ＝12×6×6﹣12t 2﹣12（6﹣2t ）2＝12t ﹣25t 2＝8， 解得：t 1＝4（不合题意，舍去），t 2＝45（不合题意，舍去）， ③如图3，当3≤t ≤6时，S ＝12×6×6﹣12t 2＝8，解得：t 1＝2√5，t 2＝﹣2√5（不合题意，舍去）， 综上，t 的值为47√7或2√5时，重叠面积为8．9.等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ． （1）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？（2）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．【解答】（1）由S △ABC =12AB •BC ＝12×10×10=50.当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，此时CQ=t ，PB=10-t. ∴S △PCQ ＝12×t×(10−t)＝12 (10t −t 2) ＝50.整理得t 2-10t+100=0无解.当t ＞10秒时，P 在线段AB 得延长线上，此时CQ=t ，PB=t-10. ∴S △PCQ ＝12×t×(t −10)＝12(t 2−10t) ＝50.整理得t 2-10t-100=0解得t=5±5√5（舍去负值）. ∴当点P 运动5+5√5秒时，S △PCQ =S △ABC .（2）当点P,Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 证明：过Q 作QM ⊥AC ，交直线AC 于点M 易证△APE ≌△QCM ，∴AE=PE=CM=QM=√22t ，∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半． 又∵EM=AC=10√2，∴DE=5√2.∴当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变． 同理，当点P 在点B 右侧时，DE=5√2。
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1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．P C A B Q ↑3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q P B DAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式．QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）．（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD=2，DQ=4，此时CD+DQ=CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的值；若不存在，请说明理由．11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B 出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A 运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ 的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A 与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q= 12×（6-y）×2y=12，即y2-6y+12=0，因为△=b2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ABC的面积．的方程，（应边成比例得到；的方程（=12.6由题意得的面积为：（不合题意舍去）得，由题意得•秒和解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．=3∴×6=，××=（﹣（==﹣（（时，= ARD=，就可以得出ARD=，CDR==，=3，t，，ttt=18+t．∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=∴t=时，四边形PMBN为平行四边形．，，．，，=﹣﹣）﹣﹣，﹣﹣，﹣﹣，，，4；158+4时，根据三角形的面积公式分别求出＜时，当＜＜t=，=．时，如图②=t=．时，如图④t=＜≤时，线段．t=．t=，时，∴=∴（FH=EG=2cm•••（×x∴+x+3=×=（舍去）（。