最新奇妙的幻方与数阵
第20讲 幻方与数阵图扩展-完整版
第20讲幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题。
典型问题兴趣篇1．把1～9这9个数分别填人图20-1中的9个○内，使得三个圆周及三条线段上的3个数之和都相等。
答案：答案不唯一，如：解析：全部数字之和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，而每一个圆圈都算了2次，则三个圆周上的数字和、三条线段上的数字和都加起来的总和，等于全部数字之和的2倍，即45×2=90，则每部分的和为90÷6=15.而15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.可发现1、3、7、9只出现2次，优先考虑．若其中一格填1，则与1相连的圆周和线段上的数字分别为6、8和5、9，如图1所示，则与9相连的圆周上只能是2、4．如图2，则竖线第2空为15-2-8=5，但5已经填过了，不合题意，舍去，如图3，则竖线第2空为15-4-8=3，左斜线第2空为15-2-6=7，如答案所示，经检验符合题意，（本题实际上是基本三阶幻方的变形简化：横行对应本题的圆圈，竖行对应本题直线，若熟记此基本幻方，就可以快速得到本题答案）2．(l)如图20-2，在3×3的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等．(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等。
答案：(1)(2)解答(1)幻和等于16+11+12=39.第二行已知11和15，中间的数为39-11-15=13.此时两条对角线都可以填出：39-12-13=14, 39-16-13=10.笫一行与第三行也可以填出：39-16-14=9,39-12-10=17.(2)幻和等于8+5+9+12=34.第二列与第三列可以填出：34-4-5-11=14, 34-7-9-16=2.第一行、第三行、第四行可以填出：34-14-7-12=1,34-5-16-3=10,34-8-11-2=13．第一列与第四列可以填出：34-1-10-8=15,34-12-3-13=6.3．在图20-4所示的3×4方格表的每个空格中填入恰当的数后，可以使各行、各列的各数之和都相等．那么标有符号“+”的方格内所填的数是多少？答案：1解析:第一列的和等于2+3+7=12，全部数字之和等于12×4=48，每行的知等于48÷3=16，第一行已经填了2、4、5，则最后一个是16-2-4-5=5，从而标有“*”的格内的数是12-5-6=1．4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
奇妙的幻方
第二步： 第三步：
2
8 4
30
6
14
16
10
12 18
幻和是多少？
完成
5阶幻方的填法
横5格（叫做5行），竖5格（叫做5列）的幻方叫做5阶幻方。
第一步： 第二步： 第三步： 16 6
1 2
这里面的就不动了
11
12
7
8
3 4 9
14
21 22
17
18 23 24
13 19
20 25
5 10
15
幻 和 是 15
4 9 2 3 5 7 8 1 6
4 3 8 9 5 1 2 7 6
这两 个实 际上 是同 一个
在这个横3格（叫做3行），竖3格（叫做3列）的9个 格子（叫做九宫格）中，这样填上9个数字，使得每一行、 每一列以及两条对角线上的3个数字的和都相等，得到的 这个东西就叫做“幻方”。横3竖3的幻方叫做“3阶幻 方”，横4竖4的幻方叫做“4阶幻方” ……，那个相等 的和叫做“幻和”。 从 1 开始的自然数幻方的幻和 = 阶数×(阶数2＋1)÷2
4阶幻方的填法
双偶数阶幻方， k＝1。 第一步：按顺序填数： 第二步：把此幻方分为k×k个小幻方：因为4阶幻方k＝1， 即不分。
此幻方中，最小数 1 和最大数 16 的和是 17，所以此幻方中相加 等于 17 的两个数，叫做“互补数”。
第三步：把大正方形的 4个角上的数字互换（即改 为其互补数）。 第四步：把中间的小正方 形的4个角上的数字互换（即 改为其互补数）。
1
5 9
6 7 2
它的右上一格填 6：它的右上一格填 7： 它的右上一格填 8： 它的右上一格填 9： 如果超出了上边界，就平移到这一列的最下面。 如果超出了右边界，就平移到这一行的最左面。 如果超出了上边 如果已经有了数字，就填到自己的下面一格： 界，就平移到这 如果超出了右边界，就平移到这一行的最左面。 一列的最下面。
神奇的幻方PPT课件
讲师：XXXXXX
XX年XX月XX日
15
1
典故 分类 神奇
2
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛
滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一 张神秘的图浮出洛水． 人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行， 竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1 到9这9个数字．可是，谁也弄不懂这些小点点究竟 是什么意思．
有一年，这只大乌龟又浮出水面来了，忽然， 一个看热闹的小孩大声惊叫起来：“大家看啦，多 么有趣啊，这些小点点横着加是15，竖着加也是15 ，斜着加还是15！”人们想，大概河神要的祭品每 样都是15份吧，于是，赶紧抬来15头猪，15头牛 和15只羊献给河神，……，果然，河水从此再也不 泛滥了．
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
14
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
5
6
7
8
9
16+13+4+1 2+5+12+15 3+8+9+14 16+2+5+11 3+13+10+8 9+7+4+14 6+1开并交换， 也是一个四阶幻方
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神奇的幻方 ppt课件
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
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4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
学而思四年级秋季班幻方与数阵图
学⽽思四年级秋季班幻⽅与数阵图第⼋讲幻⽅与数阵图⼀、幻⽅基本概念1、幻⽅：是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……2、幻和：幻⽅中每⾏/列/对⾓线的数的和幻和=总和÷阶数⼆、幻⽅的构造⽅法 1、杨辉⼝诀法（三阶）——九⼦斜排，上下对易，左右相更，四维挺出具体操作如下：九⼦斜排上下对易，左右相更四维挺出2、连续摆数法（罗伯法）适合于连续⾃然数或者等差数列的奇数阶幻⽅。
要点：1、⾸数填在第⼀⾏的正中间 2、连续往右上⽅摆数3、出格了怎么办？——卷纸筒，上⾯出格就卷到下⾯，右⾯出格就卷到左⾯。
4、格⼦中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。
如，构造三阶具体操作：⼀居上⾏正中央上出框时往下填右出框时往左填排重便在下格填（注意是原数3的下格）注意：6的右上⽅经过卷纸筒应该对应的是左下⽅“4”的位置，已经有数“4”了，7就要在原数6的下⽅写。
同学们⾃⼰试试5阶、7阶：）56398742156398742156398742121321342156342156374215638742156398742113、楼梯法（适合奇数阶）要点：1、构造楼梯2、数字按顺序斜排3、把幻⽅外的数字平移进幻⽅——上到下，下到上，左到右，右到左如，构造五阶具体操作：54 103 9 152 8 14 201 7 13 19256 12 18 2411 17 2316 22213 16 9 22 1520 8 21 14 27 25 13 1 1924 12 5 18 611 4 17 10 23 在四边都构造楼梯按顺序排好数把幻⽅外的数字平移进幻⽅——上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就OK啦4、四阶（对⾓线法）总体来说，偶数阶的幻⽅构造⽐奇数阶要复杂。
但因为四阶阶数不⼤，作为拓展，程⽼师也给⼤家补充⼀下四阶的⼀种简单构造⽅法——对⾓线法。
三年级幻方与数阵图初步完整版课件
例题3
将 1 ～ 10分别填入下图的○内（9 已经填好），使图中每个○内的数 （第一行除外）都等于 它上方与它相连的两个○内的数的差。
6 10 1
8
4
7
5
2
3
一、幻和：幻方中，行、列、对角线上的数之 和相等，这个和称为幻和。
二、中心数求幻和：3阶幻方中，幻和是中心 数的3倍。 三、特殊数阵：如果两组数和相等，那么这两 组数相等。
21 这个幻方的中心数是______，幻和是 _6__3___。 中心数：（18+24）÷2=21
知识提炼
2 如果中心数未知，那么就需要找到经过中心的同一直线上的两个数。它们的和除以_____
即为中心数。
牛刀小试2-2
填空。 如果 9 + 5 + ▲ = 4 + ▲ + ★，那么★ = ______。
练习4-2
将1～10 分别填入下图的○内，使图中三条直线上四个数的和都相等， 每个三角形三个顶点上
的数的和也相等。
10
6
10个数之和：（1+10）×10÷2=55 设中间数为a，则三条线上和为：55+2a
2 1
当a=1，和为55+2×1=57 57÷3=19 要使每条直线上的四个数之和等于19 5
1 14
15
6
10
2 13
幻和：8+5+9+12=34
练习1-2
在下图的空格内填上合适的数后，图中每行、每列上的数的和都相等。 “*”所在的空格内 填的数是多少？
练习1-2
在下图的空格内填上合适的数后，图中每行、每列上的数的和都相等。 “*”所在的空格内 填的数是多少？
三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方.学生版
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
幻方与数阵2
奇妙幻方与数阵【例1】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数填入右图3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等。
【例2】根据例1的结果，填空：1、在求和的过程中位置上的数被用了3次。
2、在求和的过程中位置上的数被用了2次。
3、请你计算出这个相等的和(幻和)：。
4、你还发现了哪些规律，请写下来：【例3】在右图的空格中填入不同的自然数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和是18。
例4【例4】将九个连续偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于36。
【例5】在右图的每个空格填入一个自然数，使得每一行，每一列及每一条对角线上的三个数之和都相等。
三、我能行：（一）展现自己：1、用自然数2、3、4、5、6、7、8、9、10编制成一个三阶幻方。
2、用1、3、5、7、9、11、13、15、17编制成一个三阶幻方。
3、用2、4、6、8、10、12、14、16、18编制成一个三阶幻方。
4、将九个偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于24。
5、将九个连续奇数制成一个三阶幻方，使幻和等于33。
6、在下面的两个图空着的方格内填里合适的数，使每行、每列及两条对角线上三个数字之和都等于27。
7、在右图中的九个小方格中各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x 的值。
8、下图中A ，B ，C ，D 各等于多少时，才能使每行 、每列及每条对角线上三个数之和相等。
9、在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都等于90。
10、在右图中的每个空格中填入一个自然数，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
11、在右图的空格中再填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都是48。
12、在右图中的每个空格里各填入一个不大于12且互不相同的9个自然数（左上角已经填入8），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
13、将1—9九个自然数填入右图中各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和相等，并且使两个正方形四个顶点上的数的和也都相等。
4年级-6-幻方和数阵图
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n 行n 列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有： 1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷2 2．数字的奇偶性 奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数知识梳理奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【例2】★小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？614532【小试牛刀】把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13．典型例题【例3】★把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等。
探寻神奇的幻方 PPT课件 1 北师大版
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
幻方和数阵
知识网络传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
重点·难点要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。
还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。
并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
学法指导解数阵图的一般方法：（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
四年级数学之幻方和数阵
第六讲幻方和数阵知识要点与学法指导：传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。
有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”。
书上有一幅奇特的这幅图用现在的数字表示，即为1～9这九个数字,填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。
我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方—“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这个数字方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236数阵图就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称之为数阵图。
由于它既有数字之间的运算，又要结合图形，因此对开发学生综合思考和形象思维很有益处。
数阵图的种类很多，这里我们将主要介绍封闭式的数阵图。
幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。
例1 把1、2、3、4、5、6填在图中，使每条边上的三个数之和都等于9。
【分析与解】同学们，首先用你敏锐的眼光观察一下，三角形三个顶点的数在求和时各使用了几次呢？如图（2）所示，很容易看出，位于三角形顶点的三个数a，b，c各被使用了两次。
因此三条边上的总和表示为：1＋2＋3＋4＋5＋6＋a＋b＋c＝27又因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，与总和相差27－21＝6，也就是说a＋b＋c＝6，所以三个顶点应选作1，2，3，其他数字也就可以依次填入空位了［如图（3）所示］。
通过例1我们不难发现，填数的过程是有规律的。
我们首先需要找到关键数（即在数阵中重复使用的数字），然后通过总和找到关键数的和，并以此确定关键数。
关键数找到了，就可以根据每边的数字和将其他数字填写完整。
聪明的同学们，这个方法你掌握了吗？试一试1把1，2，3，4，5，6这6个数，分别填在图中三角形三条边的六个圆圈中。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。
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奇妙的幻方与数阵
走进来
相传大禹治水时，洛水中出现了一只“神龟”，背上有美妙的
图案（如图），史称“烙书”。
我国南宋时期数学家杨辉将它命
名为“纵横图”，又名“九宫图”或“九宫和阵”。
用现在的数
字翻译出来，就是三阶幻方。
幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外有许多大数学
家、大学者，如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣，并且逐
步研究出了不少独特的构造幻方的方法。
一起做
例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数填入右图3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等。
例2 认真观察例1的结果，里面蕴涵着神奇的奥妙，你发现了吗？幻方问题，可以通过计算的方法填写。
把你发现的方法写下来。
109
2
1085例3 在右图的空格中填入不同的自然数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和是18。
例4 将九个连续偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于36.
例5 在右图的每个空格填入一个自然数，使得每一行，每一列及每一条对角线上的三个数之和都相等。
我能行
展现自己
1、用自然数
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、10编制成一个三阶幻方。
2、用1、
3、5、7、9、11、13、15、17编制成一个三阶幻方。
3、用2、
4、6、8、10、12、14、16、18编织成一个三阶幻方。
7127124、将9个偶数编成一个三阶幻方，使幻方和等于24。
5、将九个连续奇数制成一个三阶幻方，是幻和等于33。
6、在下面的两个图空着的方格内填上合适的数，是每行、每列及两条对角线上三个数字之和都等于27。
x 8
735723
201687、在右图中的九个小方格中各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数字之和都相等，求x 的值。
8、在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都等于90。
9、在右图中的每个空格中填入一个自然数，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
27138
10、在右图的空格中再填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都是48。
11、在右图中的每个方格里填入一个不大于12且互不相同的9个自然数（左上角已经填入8），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
12、将1—9九个自然数填入右图中各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和、两个正方形四个顶点上的四个数的和都相等。
13、将1—8
161514131211109
87654321超越自我
1、将下面第一个图的数重新排列，写在第二个图中，是每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等。
2、请你试着用1—25这些自然数制作成一个五阶幻方。
3、将1—8填入下图的圆圈内，要求按自然数的顺序，相邻的两个数不能填入有直线相连的两个圆圈内。
4、将1—8这八个数分别填入右图的八个方格内，使上面四格、下面四格、左面四格、右面四格、中间四格、及四角四格内四个相加的和都是18。
小结
1、三阶幻方性质：
（1）中间数等于幻和除以3。
（2）中间数等于两端的两个数的平均数。
（3）每个角上的数等于斜对角边中间两个数的平均数。
2、编制幻方的常用方法：
（1）求和计算法。
（2）杨辉口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，思维挺出。
（3）罗伯法。
（4）画“Z”字法。
《人力资源管理导论》作业参考答案
一、选择题(请在列出的备选答案中选出正确答案)
1．认为人力资源是具有劳动能力的全部人口的观点属于( A )。
A．成年人口观 B．在岗人员观Ｃ．人员素质观
2．人力资源与人力资本在 D 这一点上有相似之处。
Ａ．品性 B．态度 C．经验 D．形式
3．具有内耗性特征的资源是( B )。
Ａ．自然资源 B．人力资源 C．矿产资源
4．“人力资源管理，即负责组织人员的招聘、甄选、训练及报酬等功能的活动，以达成个人与组织的目标。
”这一概念属于( A )。
Ａ．过程揭示论 B．目的揭示论
C．现象揭示论 D．综合揭示论
5．人力资源管理与人事管理的主要区别体现在( B )。
Ａ．内容上 B．观念上C．工作程序上
6．以“任务管理”为主要内容的泰勒的“科学管理原理，是在哪种人性假设基础上提出来的? ( A )
Ａ．经济人 B．社会人 C．自我实现人 D．复杂人
7．“社会人”人性理论假设的基础是什么?( D )
A．泰勒的科学管理原理B．梅奥的人际关系理论
C．马斯洛的需要层次理论D．霍桑试验
8．以人性为核心的人本管理的主体是何种基本要素?( A )
Ａ．职工 B．环境 C．文化 D．价值观
9．期望激励理论属于哪种类型的激励理论?( B )
Ａ．内容型激励理论 B．过程型激励理论
C．行为改造型激励理论 D．综合激励理论
10．通常制约人们士气、创造力、生产效率和目标实现程度的组织气候属于哪种环境类型? ( B )
Ａ．组织外部环境 B．组织内部环境
C．物质环境 D．人文环境。