2020合肥三模理科数学 答案之欧阳家百创编

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)

欧阳家百（2021.03.07）

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.480 14.-960 15.416.①②④⑤

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解:(1)

(

)(

))

1

cos sin sin21cos2

2

f x x x x x x

ωωωωω==

+

sin2

3

x

π

ω

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

由

1sin21

3

x

π

ω

⎛⎫

-≤+≤

⎪

⎝⎭得，()

f x的值域

是11

⎤

⎥

⎣⎦.……………………………5分

(2)∵0xπ

≤≤，∴

22

333

x

πππ

ωωπ

≤+≤+

，

由正弦函数的图像可知，

(

)

f x=

在区间[]

0π

，上恰有两个实数解，必须

223

3

π

πωππ

≤+<

，

解得54

63

ω

≤<

. ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

解：(1)∵四边形11

A ACC是菱形，∴11

AC AC

⊥，

又∵11

AC=，∴1=60

ACC

∠，∴1

ACC

∆是等边三角形.

∵点M为线段AC的中点，∴1C M AC

⊥.

又∵AC∥11

A C，∴111

C M AC

⊥.

∵在等边ABC

∆中，BM AC

⊥，

由AC∥11

A C可得，11

BM AC

⊥.

又∵1

BM C M M

=，∴111

AC BMC

⊥平面，

∵11AC ⊂平面11A BC ，∴平面

1

BMC ⊥平面

11A BC .……………………………5分

(2)∵BM AC ⊥，平面ABC ⊥平面11A ACC ，且交线为AC ，

∴11

BM ACC A ⊥平面，∴直线MB ，MC ，1

MC 两两垂直.

以点M 为坐标原点，分别以MB ，MC ，1MC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，

则

(

)3 0 0

B

，，，()1

0 0 3C ，，

，()1

0 2 3A -，，，

()

0 1 0C ，，，

∴()1

1

0 2 0A C =，，，(

)13 0 3

BC =-，，，()1

01 3CC =-，

，.

设平面11A BC 的一个法向量为() n x y z =，，，

∴11100A C n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴0

330y x z =⎧⎪⎨

-+=⎪⎩.令1x =，得()1 0 1n =，，，

∴

136

2CC n d n

⋅=

=

=，即点C 到平面

11

A BC 的距离为

6.………………………………12分 19.(本小题满分12分)

解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90，100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.……………………3分

(2)①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，

∴()22423092

0145

C P X C ===

，

()116242

30

48

1145C C P X C ⋅===，

()262301

229

C P X C ===

，

∴X

的分布

列为

∴

924812012145145295EX =⨯

+⨯+⨯=.…………………………………8分

②甲不宜进行户外体育运动的概率为110

，乙不宜进行户外体

育运动的概率为3

10，

X

0 1 2 P

92145

48145

129

∴

2

2

13

21937

5671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=

⎪⎝⎭.………………………………12分 20.(本小题满分12分) 解：(1)()x

x

f x e e a -'=+-.

当2a ≤时，()20x x f x e e a a -'=+-≥-≥，()f x 在R 上单调递增；

当2a >时，由

()0f x '=

得

x

e =

x =.

当ln a x ⎛⎛⎫

+

⎪∈-∞+∞

⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，

当x ⎛

∈ ⎝

⎭时，()0f x '<. ∴

()f

x 在⎛ -∞ ⎝⎭，

和

⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 在

⎛ ⎝⎭

上单调递

减.………………………………5分

(2)由(1)知，当2a =时，()2x x f x e e x -=--在R 上单调递增，

∴

()()1

ln 2ln g x f x x x x ==-

-在()0+∞，上单调递增.

当2n Z n ∈≥且时，11

2ln 12ln10

1n n n -->--=，即212ln n n n ->，

∴当2n Z n ∈≥且时，21211

ln 111n n n n n >=-

--+，

∴

()

22111111111132

1ln 132411212n 1n

i n n i i

n n n n n =-->-+-++-=+--=-+++∑.

…

……………………………12分

21.(本小题满分12分)

解: 设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，.

(1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.

∵022014x y +=，∴

022

014x y =-. 同理得

12

2

114x y =-

. ∴

0011010101

0122

2222

01012222

22010111444414

PA PB

x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫

----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---.

∴直线

PA

与直线

PB

的斜率之积为定