基本不等式的应用精品教案
基本不等式及其应用教案(精心整理)
基本不等式及其应用一．知识结构（博闻强记，是一项很强的能力） 1.)00(2≥≥ +≤b a b a ab ，，当且仅当____________时，等号成立． 其中2b a +和ab 分别称为正数b a ，的______________和_______________． 2.基本不等式的重要变形：≥+22b a _____________≤⇔∈ab R b a )(，_____________；≥+2b a _____________≤⇔∈+ab R b a )(，_____________． ≥+22b a ()22b a + 经典例题：下列不等式在a 、b >0时一定成立的是________．（1）2ab a b +≤2a b + （2≤2ab a b +≤2a b +（32a b +≤2ab a b + （4≤2ab a b +2a b + 3．均值定理已知+∈R y x ，，则： （1）若S y x =+（和为定值），则当y x =时，积xy 取得最____值42S ； （2）若P y x =⋅（积为定值），则当y x =时，和y x +取得最____值P 2．利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
二．题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法)题组一：利用不等式求最值例1：求下列各题的最值：（1）3x >，求4()3f x x x =+-的最小值； （2）x R ∈，求225()sin 1sin 1f x x x =+++的最小值； （3）403x <<，求()(43)f x x x =-的最大值； （4）已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值。
变式练习：1．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是A ．6B ．24C ．22D ．622．下列不等式中恒成立的是A ． 22222≥++x xB ．21≥+x xC ．25422≥++x x D ．2432≥--x x3．下列结论正确的是A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大值4．若y x ,是正实数， 则)41)((y x y x ++的最小值为A ．6B ． 9C ． 12D ． 155．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(6．设R y ∈，且06442=+++x xy y ，则x 的取值范围是A ．33≤≤-xB ．32≤≤-xC ．2-≤x 或3≥xD ．3-≤x 或2≥x7．下列函数中最小值是4的是A ．x x y 4+= B ．x x y sin 4sin +=C ．x x y -++=1122D ．0,31122≠+++=x x x y8．若关于x 的方程043)4(9=+⋅++x x a 有解，则实数a 的取值范围是A ．),0[]8,(+∞⋃--∞B ．]4,(--∞C ．]4,8(-D ．]8,(--∞9．已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值 。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式及其应用教案(精心整理)
基本不等式及其应用一．知识结构（博闻强记，是一项很强的能力） 1.)00(2≥≥ +≤b a b a ab ，，当且仅当____________时，等号成立． 其中2b a +和ab 分别称为正数b a ，的______________和_______________． 2.基本不等式的重要变形：≥+22b a _____________≤⇔∈ab R b a )(，_____________；≥+2b a _____________≤⇔∈+ab R b a )(，_____________． ≥+22b a ()22b a + 经典例题：下列不等式在a 、b >0时一定成立的是________．（1）2ab a b +2a b + （22ab a b +≤2a b +（32a b +≤2ab a b + （42ab a b +2a b + 3．均值定理已知+∈R y x ，，则： （1）若S y x =+（和为定值），则当y x =时，积xy 取得最____值42S ； （2）若P y x =⋅（积为定值），则当y x =时，和y x +取得最____值P 2．利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
二．题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法)题组一：利用不等式求最值例1：求下列各题的最值：（1）3x >，求4()3f x x x =+-的最小值； （2）x R ∈，求225()sin 1sin 1f x x x =+++的最小值； （3）403x <<，求()(43)f x x x =-的最大值； （4）已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值。
变式练习：1．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是A ．6B ．24C ．22D ．622．下列不等式中恒成立的是A ． 22222≥++x xB ．21≥+x xC ．25422≥++x x D ．2432≥--x x 3．下列结论正确的是 A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B ．21,0≥+>x x x 时当 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 4．若y x ,是正实数， 则)41)((yx y x ++的最小值为 A ．6 B ． 9 C ． 12 D ． 155．若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0(6．设R y ∈，且06442=+++x xy y ，则x 的取值范围是A ．33≤≤-xB ．32≤≤-xC ．2-≤x 或3≥xD ．3-≤x 或2≥x7．下列函数中最小值是4的是A ．x x y 4+= B ．xx y sin 4sin += C ．x x y -++=1122 D ．0,31122≠+++=x x x y 8．若关于x 的方程043)4(9=+⋅++x x a 有解，则实数a 的取值范围是A ．),0[]8,(+∞⋃--∞B ．]4,(--∞C ．]4,8(-D ．]8,(--∞9．已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值 。
基本不等式教学设计（通用8篇）
基本不等式教学设计（通用8篇）基本不等式教学设计1教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。
要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。
基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。
课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。
难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
基本不等式的应用教案
基本不等式的应用教案基本不等式是数学中常用的一种解决问题的方法，它涉及到数值的大小关系。
基本不等式的应用广泛，包括生活中的实际问题以及学习中的数学问题。
以下是一个基本不等式的应用教案，主要介绍了基本不等式的概念、性质和应用，用于帮助学生理解和掌握基本不等式的解题方法。
一、教学目标：1.了解基本不等式的概念、性质和应用；2.能够正确运用基本不等式解决实际问题；3.掌握基本不等式的解题方法。
二、教学步骤：1.引入知识（10分钟）教师出示一组数字：2、4、6、8，要求学生将这些数字从小到大排序。
学生进行排序后，教师引导学生发现这些数字之间的关系，即2<4<6<8，并提问学生怎样表示这些关系。
2.探究与总结（15分钟）教师向学生介绍基本不等式的概念，即对于两个实数a和b，如果a<b，则可以表示为a-b<0。
然后，教师给出几个示例，要求学生通过比较大小，将不等式表示出来。
3.示范与练习（20分钟）教师给出几个实际问题，要求学生运用基本不等式解答问题。
例如：“某超市正在举行打折活动，一种商品原价是120元，现正在打八折出售，请问现在这种商品的价格是多少？”学生通过基本不等式120-0.8×120来解答问题。
4.拓展与运用（15分钟）教师提供一些更为复杂和抽象的不等式题目，要求学生掌握使用基本不等式解题的方法。
例如：“对于任意的实数x和y，证明不等式|x+y|≤|x|+|y|恒成立。
”5.归纳与总结（10分钟）教师和学生一起回顾基本不等式的概念、性质和应用，并总结基本不等式的解题方法。
三、教学评价：1.课堂参与度评价：学生是否积极参与课堂活动，发表自己的观点；2.问题解答评价：学生是否能够运用基本不等式解决问题；3.概念掌握评价：学生是否理解和掌握基本不等式的概念和性质；4.解题方法评价：学生是否能够正确运用基本不等式的解题方法。
四、教学反思：通过这节课的教学，学生基本掌握了基本不等式的概念和性质，并能够正确运用基本不等式解决实际问题。
3.4.基本不等式的应用-苏教版必修5教案
3.4.基本不等式的应用-苏教版必修5教案一、知识概述本节课我们将介绍基本不等式的应用。
我们已经学会了基本不等式，现在要对其进行应用，掌握如何解决部分实际问题。
二、授课内容1.基本不等式的应用2.最值问题3.差值问题4.实例讲解三、教学重点1.理解基本不等式的应用2.掌握最值问题的解法3.掌握差值问题的解法四、教学难点1.如何将问题转化为基本不等式的形式2.如何通过基本不等式求解最值问题和差值问题五、教学方法1.讲解法2.互动式教学法3.例题分析法六、教学思路1.介绍基本不等式的应用，以最值问题和差值问题为例，引导学生思考如何将问题转化为基本不等式的形式。
2.通过讲解和例题分析，掌握如何通过基本不等式求解最值问题和差值问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
七、教学建议1.强调基本不等式的重要性和应用价值。
2.通过实例讲解，让学生深刻理解基本不等式的应用。
3.常结合实际问题展开讨论，培养学生的解决问题的能力。
八、课堂互动1.让学生分组，互相讨论如何将一个实际问题转换为基本不等式的形式，并进行讨论和探究。
2.以小组为单位比赛，让学生利用基本不等式解决提供的实际问题，增强学生解决问题的能力。
3.提供实例，让学生找出其中的最值或差值，从而演示如何通过基本不等式来解决问题，鼓励学生积极参与并展开讨论。
九、教学评估1.通过布置作业考察学生对基本不等式应用的掌握程度。
2.让学生在课后提交解决实际问题的思路和解题过程分析，从而检验学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
十、教学反思基本不等式的应用是重难点之一，需要学生对基本不等式的运用更加熟练，需要通过教师的引导和不断探究学生逐步掌握和理解。
在教学过程中，通过各种方式创设良好的课堂氛围，注重学生与教师的互动，以实际问题为切入点，帮助学生建立基本不等式应用的思维模型。
同时对学生进行个别化指导，全方位提高学生的学习积极性和学习能力，使教学效果更加显著。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。
（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。
（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点（1）基本不等式的证明。
（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。
高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
基本不等式的应用教案
基本不等式的应用教案教案标题：基本不等式的应用教案教案目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 学会应用基本不等式解决实际问题；3. 提高学生的数学解决问题的能力。
教学重点：1. 掌握基本不等式的定义和性质；2. 学会将基本不等式应用于实际问题的解决；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学难点：1. 将基本不等式应用于实际问题的转化和解决；2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：课件、教材、黑板、粉笔等；2. 学生准备：课本、笔、纸等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一些实际问题，引起学生对基本不等式的兴趣，如：小明和小红的身高差距不超过10厘米，他们的身高分别是x厘米和y厘米，那么x 和y之间的关系是什么？Step 2：讲解基本不等式的概念和性质（10分钟）教师通过课件或黑板，讲解基本不等式的定义和性质，如：a > b表示a大于b，a ≥ b表示a大于等于b，等等。
Step 3：应用基本不等式解决实际问题（25分钟）教师通过实际问题的展示，引导学生运用基本不等式解决问题，如：小明和小红的身高差距不超过10厘米，小明的身高是120厘米，那么小红的身高范围是多少？Step 4：练习与讨论（15分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成，并进行讨论和解答，以巩固所学知识。
Step 5：归纳总结（5分钟）教师与学生一起总结基本不等式的应用方法和技巧，强调解决实际问题时的思考过程和步骤。
Step 6：作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过引导学生运用基本不等式解决实际问题，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
在教学中，要注重引导学生思考和讨论，提高他们的参与度和学习兴趣。
此外，教师还可以通过多种教学手段，如实物展示、小组讨论等，激发学生的学习兴趣和动力。
《基本不等式的应用》教学案例
《基本不等式的应用》教学案例教学案例：基本不等式的应用一、设计理思本节课主要通过应用基本不等式解决实际问题，培养学生的解决问题的能力，提高他们的数学思维能力和创新能力。
通过具体的案例，引导学生使用基本不等式解决实际问题，并培养他们的创新思维。
二、教学目标1.了解基本不等式的概念和性质；2.掌握基本不等式的运用方法；3.运用基本不等式解决实际问题；4.培养学生的创新思维和解决问题的能力。
三、教学重难点1.不等式解决实际问题的能力；2.创新思维的培养。
四、教学过程1.导入（10分钟）以以下问题导入本节课：小明和小红参加了一次马拉松比赛，小明每分钟跑5公里，小红每分钟跑4公里，比赛耗时相同，问小明和小红的比赛用时最长可以相差多少分钟？2.探究（15分钟）根据上面的问题，引导学生讨论解决问题的方法。
学生可以尝试列方程、画图等方法，最终会发现可以利用基本不等式来解决。
引导学生列出小明用时x分钟，则小红用时为(x+1)分钟，然后根据跑步速度列出不等式：5x≥4(x+1)，然后解不等式，得到x≥4、最终得出结论：小明和小红的比赛用时最长可以相差4分钟。
3.拓展（20分钟）将学生带入更复杂的问题情境，例如：甲、乙两地相距800公里，甲地有一列火车速度为80千米/小时日行10小时而终，乙地有一列火车速度为60千米/小时日行15小时而终，问两车相距多少小时可追上？引导学生尝试解决问题的方法。
学生可以设两车相距t小时，甲地火车行驶80t千米，乙地火车行驶60t千米，根据两车相距800公里列出不等式：80t≥800-60t，然后解不等式，得到t≥4、最终得出结论：两车相距4小时时可以追上。
4.指导（15分钟）通过上述问题解决的过程，引导学生总结出解决实际问题的基本步骤：设未知数，列出不等式，解不等式，求解范围，得出结论。
同时，引导学生思考如何改变问题情境或条件，创造新的问题，培养他们的创新思维。
5.练习（15分钟）让学生通过练习进行巩固和应用。
基本不等式应用教案
基本不等式应用教案教案标题：基本不等式应用教案教案目标：1. 学生能够理解基本不等式的概念和性质。
2. 学生能够应用基本不等式解决实际问题。
3. 学生能够运用基本不等式进行数学推理和证明。
教学资源：1. 教科书和课本。
2. 各种练习题和实际问题。
3. 黑板、白板或投影仪。
教学活动：1. 导入（5分钟）- 引入基本不等式的概念，让学生回顾等式和不等式的区别。
- 提问学生对不等式的理解和应用。
2. 知识讲解（15分钟）- 解释基本不等式的定义和性质，包括大于号、小于号、大于等于号、小于等于号的含义。
- 介绍如何解决基本不等式，包括加减法、乘除法等运算法则。
- 给出一些例子，让学生通过计算和推理来解决不等式。
3. 练习和应用（20分钟）- 分发练习题，让学生独立或合作完成。
- 引导学生应用基本不等式解决实际问题，如长度、面积、体积等相关的计算和比较。
- 鼓励学生分享解题思路和答案，进行讨论和交流。
4. 拓展（10分钟）- 提供一些挑战性的问题，让学生运用基本不等式进行推理和证明。
- 引导学生思考不等式在数学中的重要性和应用领域。
5. 总结（5分钟）- 总结基本不等式的概念和性质。
- 强调学生在解决实际问题时，要善于运用基本不等式进行推理和计算。
教学评估：1. 在练习和应用环节中观察学生的解题过程和答案，给予及时的指导和反馈。
2. 在拓展环节中观察学生的推理和证明能力，评估其对基本不等式的理解和应用程度。
3. 可以布置作业，让学生继续巩固和拓展基本不等式的应用。
教学延伸：1. 学生可以进一步学习复合不等式和绝对值不等式的概念和应用。
2. 学生可以通过解决更复杂的实际问题来提高基本不等式的应用能力。
3. 学生可以学习不等式的证明方法和技巧，拓展数学推理和证明的能力。
高中数学必修五《基本不等式》精品教案
高中数学必修五《基本不等式》精品教案教师引导学生通过面积的比较，抽象出基本不等式，并让学生探索取等号的条件。
1.让学生计算正方形ABCD和直角三角形的面积，从而理解不等式的含义。
2.引导学生通过观察前面得到的结论，归纳出基本不等式ab≤(a+b)/2.3.让学生思考取等号的条件，即a=b时等号成立。
4.引导学生思考例子，如何验证取等号的条件。
5.让学生总结基本不等式的几何意义和取等号的条件。
教学环节问题设计意图师生活动巩固练1．已知a，b为正数，且ab=1，求证a+b≥2.2．已知a，b为正数，且a+b=2，求证ab≤1.1.让学生运用基本不等式解决实际问题，巩固所学知识。
2.引导学生运用基本不等式解决实际问题，加深对基本不等式的理解。
1.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。
2.让学生列出基本不等式，代入已知条件，运用代数方法解决问题。
五．教学反思本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法，让学生从实际问题出发，通过观察、探究、归纳等方式，深入理解基本不等式的几何意义和取等号的条件。
同时，通过多媒体辅助教学，加深学生对基本不等式的理解。
在巩固练环节，让学生通过实际问题的解决，加深对基本不等式的应用。
整节课教学紧密联系实际，符合学生的研究兴趣和认知规律，达到了预期教学目标。
6.能否用代数证明不等式a2+b2≥2ab？7.如果用a、b替换不等式a+b≥2ab中的a、b，前提条件是什么？能得到什么结论？8.能否用代数证明基本不等式？9.请用语言文字表述基本不等式？从数列的角度又如何描述呢？10.你们能否利用这个图形解释基本不等式的几何意义吗？教师引导学生：假设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，让学生计算正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和，证明不等式a2+b2≥2ab。
2.发挥学生自主研究的能动性，让学生在证明过程中体会分析法的证明思想，并从代数和几何的不同角度理解不等式，拓展学生的思维空间。
2.4基本不等式的应用(教案)
2.4基本不等式及其应用（1）【教学目标】 知识目标：1．引入两个基本不等式：222a b ab +≥),(R b a ∈，,)2a ba b R ++≥∈，并给出几何解释．2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围． 能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力． 情感目标：体会数学公式的内在联系，提高学习数学的兴趣． 【教学过程】1．基本不等式1：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．证明：2222()0a b ab a b +-=-≥ 222a b ab ∴+≥当a b ≠时，()20a b ->；当a b =时，()20a b -=；所以，当且仅当a b =时，222a b ab +≥的等号成立．（理解 “当且仅当”的含义）【例1】已知,a b R ∈，求证：()2222a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立．证法一：（作差比较）()()22222220222a b a b a b ab a b +-+-+-==≥，当且仅当a b =时等号成立．证法二：（利用基本不等式1）222a b ab +≥()222222a b a b ab ⇒+≥++()()2222a ba b ⇒+≥+()2222a b a b +⇒+≥，当且仅当a b =时等号成立．思考题：用不等符号连接2)(,2,222b a ab b a ++三者的大小：ab b a b a 22)(222≥+≥+2．基本不等式2：对于任意正数,a b ，有2a b+≥a b =时等号成立． 思考：1）如何证明这个不等式；2）不等式的使用前提，一定要是正数； 3）勿忘等号成立的条件；我们把2a b+,a b 的算术平均数和几何平均数．基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式2的几何意义：如图，,AC a BC b ==，DC AB ⊥以,a b 之和为直径的半圆中，半径OD 的长度≥垂线段CD 的长度．【例2】已知0ab >，求baa b +的最小值，并指出b a ,满足什么条件时取到最小值． 解：因为0ab >，所以a b 与b a 均正，22=⋅≥+ba ab b a a b ，即最小值为2， 当且仅当b a baa b =⇒=时取到最小值. 【变式】若改为0ab <，则a bb a+有怎样的最值？ 解：有最大值2-，当且仅当b a baa b -=⇒=时取到最大值. 【例3】（1）代数式221x x +与2的大小关系是：2122≥+x x （2）当0<x 时，x x 1+与2-的大小关系是：21-≤+xx （3）代数式41422+++x x 与2的大小关系是：241422>+++x x 【课堂练习】1．已知实数,a b ，判断下列不等式中哪些是一定正确的？ （1）222a b ab +≥ 正确 （2）222a b ab +≥- 正确（3）2b aa b+≥ 错误 2．设0ab ≠，求||b aa b+的取值范围. [2,)+∞3．设,a b R ∈，比较224b a +与ab 4的大小、224b a +与ab 4-的大小，你能对基本不等式1进行推广吗？解：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；有ab b a 222-≥+，当且仅当b a -=时等号成立.因此ab b a 222≥+. 【课后作业】1．如果,a b R ∈，且0ab >，那么下列不等式中正确的是 （ D ）A. 222a b ab +> B. a b +≥ C.11a b +>D. 2b a a b +≥ 2．设0x y >>，则下列各式中正确的是 （ A ）A. 2x y x y +>>>B. 2x yx y +>>>C. 2x y x y +>>>D. 2x yx y +>>> 3．函数2()f x =（ D ）A. 4B. 2C. kD. 不能确定4．已知,a b R ∈，比较||||2b a +解：||||2b a +≥2b a =时等号成立.5．已知0a >，求证：322a a a +≥，并指出等号成立的条件．6．已知0a >，0b >+≥+2.4基本不等式及其应用（2）【教学目标】 知识目标：1．掌握两个基本不等式及其变形；2．能够利用基本不等式证明简单的不等式；3．能够利用基本不等式求有关问题的最大值或最小值． 能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力． 情感目标：体会数学知识的逻辑性和灵活性，提高数学思维． 【教学过程】 1．知识回顾：基本不等式1 ：对任意实数,a b ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式1的变形：2()2a b ab +≤222b a +≤，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式2： 对任意正数,a b ，a b +≥a b =时等号成立． 当积ab 为定值时，和a b +有最小值，当且仅当a b =时等号成立；当和a b +为定值时，积ab 有最大值，当且仅当a b =时等号成立． 使用基本不等式2时，注意检验“一正二定三等号”的口诀． 2．例题： 【例1】求8,(0)x x x+>的最小值．解：x =. 【变式1】求8,(0)x x x+<的最值．解：最大值-，当且仅当x =-时等号成立. 【变式2】求)1(,18>-+x x x 的最小值. 解：124+，当且仅当122+=x 时等号成立. 【例2】求2622++x x 的最小值.解：4，当且仅当x =.【例3】当0x >时，求xx 12+的最小值.解：2，当且仅当1x =时等号成立. 【变式1】当0x >时，求21xx +的最大值． 解：12，当且仅当1x =时等号成立. 【变式2】当0x >时，求21xx +的取值范围． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（选讲）【例4】求)1(,1122>-++x x x x 的最小值． 解：8，当且仅当3=x 时等号成立. 小结：形如1()()f x f x +的最值，要注意检验()f x 的正负，并考察等号成立的条件． 【例5】求2(12)x x -，当102x <<时的最大值． 解：14，当且仅当14x =时等号成立. 【变式1】求(12)x x -，当102x <<时的最大值．（程度较好的班级可以先出此题） 解：18，当且仅当14x =时等号成立. 【变式2】求3(12)x x -，当102x <<时的最大值． 解：38，当且仅当14x =时等号成立. 小结：形如()ax b cx -求最值，可变形为()acx b cx c-，则cx b cx b +-=为定值，可利用基本不等式求解.【例6】若0,0>>y x ，且14=+y x ，求yx 11+的最小值.解：（乘1法）最小值为9，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3161y x 时等号成立.注意：在这里连用两次基本不等式是错误的. 【变式1】若0,0>>y x ，且2=+y x ，求yx 11+的最小值. 解：2，当且仅当⎩⎨⎧==11y x 时等号成立.【变式2】若0,0>>y x ，且132=+yx ，求y x +的最小值. 解：625+，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧+=+=6362y x 时等号成立.小结：乘1法即把已知条件中的“1”乘在所求式子后面，达到出现“互倒和”形式的目的.【课堂练习】1．已知01x <<，求当x0.5x =2．正数,,1x y x y +=，求xy 的最大值． 最大值为143．设,x R +∈求821x x ++的最小值．最小值为6（选做）4．设2,x >求24524x x x -+-的最小值．最小值为1【课后作业】 1. 当0>x 时，x x 1+的范围是[)+∞,2；当0<x 时，xx 1+的范围是(]2,-∞-； 当0≠x 时，xx 1+的范围是(][)+∞-∞-,22, 2. 若3a >，则13a a +-有最__小___值，是____5_____，此时a =___4____．若0x <，则29x x+有最__大___值，是____-6______，此时x =___-3____．3. 对任意实数224,31x x x +≥+，等号成立的条件是____1x =±__________． 4. 代数式(4)x x -有最____大____值，是____4____，此时x =____2___．5．已知1x >-，求当x 取何值时，41x x ++的值最小. 解：当且仅当1x =时，41x x ++的值最小值是3 6．已知,x y R +∈，且1x y +=，求12x y+的最小值，并指出此时,x y 的取值．解：3+1,2x y ==时，等号成立 7．当0x >时，求234xx +的最大值.解：当且仅当2x =时，234x x +的最大值是348. 设22,,1a b R a b ∈+=且，求ab 及a b +的取值范围．解：11[,],[22-2.4基本不等式及其应用（3）【教学目标】 知识目标：基本不等式的应用，不等式证明及应用题． 能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力． 情感目标：体会数学知识的逻辑性和灵活性，提高数学思维． 【教学过程】【例1】求证：对任意实数,,a b c ，有222a b c ab bc ca ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立．【例2】若,x y R +∈，且1x y +=，求证： （1）14xy ≤； （2）11119x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （选讲）（3）4418x y +≥．【例3】某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如图所示，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米） 解：长30.6米，宽22.9米，此时人行道的占地面积最小为6.414平方米.【例4】求证：周长相等的矩形中，正方形的面积最大． 证明：设矩形的周长为常数C ，长与宽分别为b a ,，则2Cb a =+为定值. 面积16)2(22C b a ab S =+≤=，当且仅当4C b a ==时等号成立，此时矩形为正方形，面积最大值为162C .【课堂练习】1．已知,,a b c R +∈，求证：a b c ++≥．2．已知,x y R +∈，且21x y +=，求证：18xy ≤，并指出等号成立的条件．【课后作业】1. 设,,a b c R +∈，求证：6b c c a a ba b c+++++≥2. 已知,x y R +∈，求k =的最大值．x y =时，等号成立3. 直角三角形的面积为42cm ，求此三角形周长的最小值．解：4()cm ，当且仅当a b ==时，等号成立4. 用一根长为l 的铁丝制成一个矩形框架，当长、宽分别为多少时，框架的面积最大？解：长、宽分别为4l 时，框架的最大面积为216l5. 建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价是多少元？解：1760元，长2米、宽2米。
苏教版高中数学必修5《基本不等式的应用》参考教案2
3.4.2 基本不等式的应用【教案背景】：苏教版高中数学必修五【教学课题】：基本不等式的应用【教材分析】：1、知识与技能 ：会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2、过程与方法 ：本节课是基本不等式应用举例。
整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3、情感、态度与价值观 ：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性4、教学重点：化实际问题为数学问题；不等式思想和函数思想的具体应用5、教学难点：会恰当地运用基本不等式求几何中的最值．【教学方法与教学用具】：1、教学方法：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。
对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
2、 教学用具：直尺、投影仪 、PPT 课件【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学过程】：一、知识点复习：1.重要不等式：ab b a 222≥+ （b a ,R ∈）, 当且仅当b a =时取等号2.基本不等式： ≤2a b +（a ≥0，b ≥0）, 当且仅当b a =时取等号 不同点：两式的适用范围不同 相同点：当且仅当b a =时取等号二、创设情景，揭示课题已知y x , 都是正数，①如果xy 有定值 p ，那么当y x = 时，和 y x +有最小值 p 2；②如果和y x + 有定值s ，那么当 y x =时，积有最大值241s三、课前练习,巩固应用1.函数)2(x x y -=（20<<x ）在_______有最大值___________2.函数)21(1242>-+=x x x y 在_______有最小值___________ 3.已知)0,0(1232>>=+y x y x ，则xy 的最大值为____________4.已知y x ,为正数，且12=+y x ，则y x 11+的最小值为__________ 答案： 1. 1=x , 1 2. 23=x ,5 3. 6 4. 223+四、研探新知，例题讲解例1. （教材 例1） 用长为a 4 的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？解：设矩形的长为x )20(a x <<，则宽为x a -2 ，矩形面积)2(x a x S -= ，且02,0>->x a x ．由基本不等式a x a x x a x =-+≤-2)2()2( ．（当且仅当x a x -=2 ，即a x = 时取等号）， 由此可知，当a x = 时， S 有最大值 2a ．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积2a ．评述：1.本题可以转化为求二次函数)2(x a x S -=的最大值2.本题还可转化为二元函数来解决，设长为x ，宽为y ，且a y x 2=+，求xy S = 得最大值例2.（教材 例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
《基本不等式》教案的应用,解决实际问题
本文将基本不等式的教学应用与实际问题的解决联系起来，旨在加深学生对基本不等式的理解与运用，进而提高他们的数学素养和问题解决能力。
一、基本不等式的教学应用基本不等式是初中数学中的重要知识点，也是进一步深入学习数学的重要基础。
在教学中，我们可以通过如下步骤进行：1.引入基本不等式我们可以通过举例来引入基本不等式，例如：已知正整数a、b、c，证明a+b+c≥3√abc。
这个式子就是基本不等式的一种形式，而证明过程中需要用到积的平均数大于等于几何平均数这个数学定理，所以一定记得先讲解这个定理的概念与证明方法。
2.提供练习题在讲完基本不等式的定义之后，我们可以提供一些练习题让学生练习，例如：已知0<x<π/2，证明sinx+(cosx)²≥1。
这个练习题要运用基本不等式的知识，运用正确的推理方法与证明过程，就会得到正确的结论。
3.引导思考在让学生完成练习题的时候，我们可以引导他们思考问题，例如：除了通过证明使用，基本不等式在哪些实际应用中发挥了重要作用呢？这个问题就是本文接下来要具体解答的内容。
二、基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用非常广泛，不仅在数学领域，也在物理、化学等自然科学领域有广泛应用。
以下是一些常见的例子：1.证明机械工程中的稳定性问题机械系统的稳定性是工程设计中的重要问题，而它与基本不等式也有很大的联系。
例如，在压力在机械系统中进行传递的时候，我们需要证明传递的压力不超过系统的极限承受力，而这个证明过程就可以用到基本不等式。
2.常用物理公式的推导在物理领域，我们常用到一些公式，例如能量守恒定律、牛顿第二定律、高斯定理等。
这些公式的推导与基本不等式也有密切联系，例如在高斯定理的证明过程中，我们需要用到伯努利不等式和柯西-施瓦茨不等式，而这些不等式都是基本不等式的推论。
3.经济学中的应用在经济学中，我们需要通过一些数学模型来解释和预测经济现象。
而基本不等式可以用来说明市场机制和资源配置的优化，从而提高经济效益和社会福利。
基本不等式优秀教案初中
基本不等式优秀教案初中教学目标：1. 理解并掌握基本不等式的概念和性质。
2. 能够运用基本不等式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 基本不等式的定义和性质2. 基本不等式的证明3. 基本不等式在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的不等式知识，例如一元一次不等式、一元二次不等式等。
2. 提问：不等式有什么特点和性质？二、基本不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍基本不等式的定义：基本不等式是指对于任意的实数a、b，都有a^2 + b^2 ≥ 2ab。
2. 引导学生探讨基本不等式的性质：a) 交换律：a^2 + b^2 ≥ 2ab 且b^2 + a^2 ≥ 2abb) 结合律：((a+b)^2 ≥ 4ab 且 (a-b)^2 ≥ 4abc) 平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) ≥ 03. 举例说明基本不等式的应用：a) 证明两个数的和是非负数b) 证明两个数的乘积是非负数三、基本不等式的证明（20分钟）1. 引导学生思考如何证明基本不等式：a) 使用平方差公式b) 使用完全平方公式2. 分组讨论并展示证明过程。
四、基本不等式在实际问题中的应用（15分钟）1. 举例说明基本不等式在实际问题中的应用：a) 证明一个三角形的两边之和大于第三边b) 证明一个矩形的对角线长大于两边之和2. 让学生尝试解决一些实际问题，如：a) 给定两个正数a和b，求证a+b的最小值是多少？b) 给定两个正数a和b，求证ab的最小值是多少？五、总结和作业（5分钟）1. 总结基本不等式的定义、性质和应用。
2. 布置作业：a) 复习基本不等式的定义和性质b) 解决一些实际问题，如：i) 给定两个正数a和b，求证a+b的最小值是多少？ii) 给定两个正数a和b，求证ab的最小值是多少？教学反思：本节课通过导入、定义、性质、证明和应用等环节，让学生全面了解了基本不等式的相关知识。
《基本不等式的的应用》教案2(新人教A版必修5).doc
3.4.2基本不等式4ab<^-的应用（一）2 从容说课通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在木大节屮是起承上启下作用.在本节课的研究屮，将由基本不等式推导岀许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美•从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程.根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究, 对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式J亦5凹.以数学知识2为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题.教学重点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式陌5凹；22.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.教学难点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式后S出；22.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1•利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式V^<—；22.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.二、过程与方法L采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1•通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2•学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同吋去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2^b2>2ab(a.”WR),然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式陌5 凹.本节课，我们将利用2基本不等式V^<—来尝试证明一些简单的不等式.2(此时，老师用投影仪给出下列问题)推进新课问题1.已知兀、y都是正数，求证：⑴』+兰汀% J(2)Cx+y) (?+/) (?+/) >8.师前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质來证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？(思考两分钟)生不可以证明.师是否可以用基本不等式证明呢？生可以.(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)解:・・* y都是正数,A->0, 2>o..\^+2i>2J-e2=2,即- + ->2.y x y x \ y y x师这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？(齐声：完成)［合作探究］师请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？(引导同学们积极思考)生可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.师这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生Vx, y 都是正数，.*.JV2>0, y2>0» x3>0,A0. Ax+y>2yfxy >0, x -|->,2>2x2y2>0,可得(x+y) (x 2+/) (?+/) >2vy2yjx2y2 -2^x2y2= 8,即(x +y) (? + y2) (x3+/) > 8 x V. 师这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.(在表达过程中，对条件兀，y都是正数往往忽视)师在运用定理：3必》J亦时，注意条件G、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.(此时，老师用投影仪给出下列问题)、r # 4、十/d + b、2 . ci~ h~问题3.求证：( ---- )-< ------- .2 2(此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题,把探究的思维空间切实留给学生) 师利用完全平方公式，结合重要不等式：a2+b2>2ab，恰当变形，是证明本题的关键.(让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评)解：*：a2+b2>2ab, ：.2 (/+/) >a2+b2+2ab= (a+b) 2.A2 (a2+Z>2) > (a+b) 2.不等式两边同除以4,得尤也2(旦)2,即<«!+£.师下面同学都是用这种思路解答的吗？生也可由结论到条件去证明，即用作差法.师这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.［课堂练习］1.已知d、b、c 都是正数，求证：(d+b) (b+c) (c+d) > 8 a he.分析：对于此类题目，选择定理：凹 n仏a>o, b>o)灵活变形，可求得结果.2Ta、b、c都是正数，'•a+h>2-fab >0,b+c>2^/bc >0,c+«>2yfac >0./. (c+b) (b+c) (c+d) >2 -24bc -2 = 8 abc,即(o+b) (b+c) (c+d) > 8 abc.［合作探究］x— v a — b2•己知(a+b) (x+y) >2 (oy+bx),求证：---------- —H ------- > 2.・a-b x-y(老师先分析，再让学生完成)师本题结论中，注意兰二上与£二2互为倒数，它们的积为1,可利用公式a+b>2ab ,但a-b x-y要注意条件G、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明丄二丄与上二◎为正数a-bx-y开始证题.(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)生 *.* (d+b) (x+y) >2 (ay+bx),ax+ay+bx+by > lay+2bx.ax—ay+by—bx>0.・：(ax—bx) — Cay—by) >0.(Q—b)(兀一y) >0,即a~b与x~y同号.x— y — a_b ,, M十妆—与均为正数.a-b x-y ・・・q与口>2」二旦=2 （当且仅当q=口时取■，，）.a-b x- y \ a-b x- y a-b x- y・・・4 +口》2.a-b x-y师生共析我们在运用重要不等式a2+b2>2ab H^,只要求°、b为实数就可以了.而运用定理: “号泅时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断兰二上与土二2是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.a-b x-y课堂小结师本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师本节课我们用到重要不等式a2+b2>lab；两正数°、b的算术平均数（出），几何平2均数（必）及它们的关系C凹nJ亦）证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求G、b都是实数，而后者要求d、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形來2 w 2 1解决问题：ab<a+ , ab <（^t£）2.2 2师同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.布置作业课本第116页，B组第1题.板书设计基本不等式陌5 凹的应用（一）2复习引入例1方法归纳基本不等式例2血a + b2方法引导小结实例剖析（知识方法应用）示范解题备课资料备用习题1 •已知a、b W R •,求证：a3+b3>a2b+ab2. 证明：・九、bWR：(a3+b3)-(a2b+ab2) =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b~) =(a+b)(a・b)2o, /.6Z34-/?3>«2Z?+«/22.2.已知A+B+C=7i,求证：P+.y'+z'NZxycosC+ZxzcosB+ZwcosA.分析:“取差问号”的比较法，关键在于取差(左式一右式)后，怎么判断符号.这里可把差式看作关于兀(关于y或关于z也可以)的二次三项式.证明:左式一右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2y,zcoSi47 2 2=x -2(ycosC・zcosB)x+)厂+z~-2yzcosA=[x-(jcosC+zcosB) ] 2+y2+z2-2yzcoSi4-(jcosC+zcosB)2.又y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2 =y2+z2-2}?zcos/4-y2cos2C-z2cos2Z?-2},zcosBcosC=>,2sin2C+z2sin2^-2yz(cosA+cosBcosC),由于A+3+C=TT,故cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC.•:左式■右式=[x・(ycosC+zcosB) ] 24-y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=[兀・©cosC+zcosB)]2+(j?sinC-zsinB)2>0.・・・左式2右式.点评:二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正，证明它的判别式AS0来进行.3.4.3基本不等式J亦5 旦的应用(二)2从容说课在本节课的教学过程屮，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理•从这个角度來说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究, 对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1•构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱. 教学难点1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；2.基本不等式应用吋等号成立条件的考查；3•通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生対数学这门学科的热爱. 教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1•通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程小，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用•通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是。
基本不等式的应用教案
基本不等式的应用杜晓军教学目标：1、 知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点：利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.教学难点：如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.教学方法：学案式教学教学过程：一、复习导入1.重要不等式：()222,a b ab a b R +≥∈当且仅当a=b 是“=”成立。
2.()0,02a b a b +≤>>当且仅当a=b 是“=”成立。
3.简单推论：若ab>0,则2b a a b +≥，当且仅当a=b 是“=”成立。
特别的，a>0时，12a a +≥，当且仅当a=b 是“=”成立。
二、讲授新课【题型1.不具备“正数”】1. ()()91,01log a a x a x x><<2.求f =2+log x+的最值 【题型2.不具备“定值”】3. 4.【题型3.不具备“相等”】5. ()40,sin 2x πθθθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦求函数f =sin +其中的最小值。
【题型4.分式型函数的最值求法】()27107.11x x x x ++>-+求函数y=的最小值。
11,(1)1x y x x <=-+-若求的最值。
10,(12)2x y x x <<=⋅-若求的最大值。
1(1)1y x x x =+>-+求的最小值。
12x y x x≥=+若时，求的最小值。
8.求函数三、探索思考191,x y x y+=+已知x>0,y>0,且求的最小值。
四、小结基本不等式的三个条件:（一）、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；（二）、不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）（三）、不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；五、作业布置：全程设计（同步训练） P84页分层作业考虑学生的差异性，让各个层次上的学生都学有所获。
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基本不等式的应用
例１．证明 （学生自己证明）
设计意图
（1）这道例题很简单,多数学生都会仿照课本上的分析思路重新证明,能够练习“分析法”证明不等式的过程；
（２）学生能够加深对基本不等式的理解,a 和b 不仅仅是一个字母,而是一个符号,它们可以是a 、b,也可以是x 、y,也可以是一个多项式；
（３）此例不是课本例题,比课本例题简单,这样，循序渐进, 有利于学生理解不等式的内涵。
例2：（1）把36写成两个正数的积，当两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把18写成两个正数的和，当两个正数取什么值时，它们的积最大？
（让学生分组合作、探究完成）
设计意图
（１）此题目利用基本不等式求最值，包含正用，逆用，体现了基本不等式的应用价值；
（２）强调利用不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”；
a+10)
≥≥1x+2(x>0)x
≥
（3）有利于培养学生团结合作的精神。
练习：（1）若a,b同号，则b a
a b
+≥2
（2）P113练习1.2
设计意图
巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用。
小结：（让学生畅所欲言）
设计意图
有利于发挥学生的主观能动性，突出学生的主体地位。