浙教版八年级下册第四章平行四边形 第2讲(平行四边形的判定及三角形中位线)培优讲义(含解析)

平行四边形第2讲（平行四边形的判定及三角形中位线）命题点一：平行四边形判定定理的应用

【思路点拨】

延长AC后，证明AD∥BC，然后转化为证明三角形全等，得到四边形对角线互相平分，从而证得四边形ABCD是平行四边形．在解决几何证明时，全等三角形是解题的有效手段．

例1如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F，若PE＝PF，且AP＋AE＝CP＋CF.证明：四边形ABCD为平行四边形．

解：延长AC，在点C上方取点N，点A下方取点M，使AM＝AE，CN＝CF，则由已知可得PM＝PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．

∴∠M＝∠N，∠MEP＝∠NFP.

∴∠AEP＝∠PF C．

∴AD∥B C．

可证得△PAE≌△PCF，得PA＝PC，

再证△PED≌△PFB，得PB＝P D．

∴四边形ABCD为平行四边形．

例2已知四边形ABCD是平行四边形，且满足AB＝BC，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.如图所示，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

解：如图，连结EF，过点A作AH⊥EC于点H，

过点F作FG⊥EC于点G.

∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．

∴AB＝A C．

∵∠EAF＝∠BAC＝60°，

∴∠EAB＝∠FA C．

∵∠AEB＝∠ABH－∠EAB＝60°－15°＝45°，且AB∥CD，∴∠AFC＝∠BAF＝60°－15°＝45°.

∴△ABE≌△ACF.

∴BE＝CF.

∵BH＝CH＝2，AH＝23，

∴EH＝AH＝2 3.

∴EB＝CF＝EH－BH＝23－2.

∵∠FCG＝∠ABC＝60°，

∴FG＝

3

2

(23－2)＝3－ 3.

【思路点拨】

对于平行四边形的证明，首先通过证明△ADP≌△BEP，可得DP＝EP，从而通过对角线互相平分证得结论．而对于等腰三角形的证明，通过直角三角形的重要性质：斜边上的中线等于斜边的一半.

例3如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．

(1)如图①，当P为AB的中点时，连结AE，BD，证明：四边形ADBE是平行四边形．

(2)如图②，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE，证明：△QDE是等腰三角形．

答图

解：(1)∵P为AB的中点，∴AP＝BP.∵BE⊥CP，AD⊥CP，

∴∠ADP＝∠BEP＝90°，且AD∥BE.

又∵∠APD＝∠BPE，∴△ADP≌△BEP.∴DP＝EP.

又∵AP＝BP，∴四边形ADBE是平行四边形．

(2)如图，延长DQ交BE于点F.

∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴AD∥BE.∴∠DAQ＝∠FBQ.

又∵∠AQD＝∠BQF，AQ＝BQ，

∴△ADQ≌△BFQ.∴DQ＝FQ.又∵BE⊥DC，∴QE是Rt△DEF斜边上的中线．

∴QE＝QF＝Q D．∴△QDE是等腰三角形．

例4如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．

(1)若ED⊥EF，求证：ED＝EF.

(2)在题(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)．

(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直，请给出证明．

解：(1)如图①，连结CE.在▱ABCD中，

∵AD＝AC，AD⊥AC，∴AC＝BC，AC⊥B C．

∵E是AB的中点，∴AE＝EC，CE⊥A B．

∴∠ACE＝∠BCE＝45°.∴∠ECF＝∠EAD＝135°.

∵ED ⊥EF ，∴∠CEF ＝∠AED ＝90°－∠CE D ．

在△CEF 和△AED 中，∵⎩⎨⎧

∠CEF ＝∠AED ，

EC ＝AE ，

∠ECF ＝∠EAD ，

∴△CEF ≌△AE D ．∴ED ＝EF .

(2)连结CE .由题(1)知△CEF ≌△AED ，CF ＝A D ．

∵AD ＝AC ，∴AC ＝CF .∵DP ∥AB ，∴FP ＝P B ．∴CP ＝1

2A B ．∴四边形ACPE 为平行四边形．

(3)垂直．理由如下：

过点E 作EM ⊥DA ，交DA 延长线于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N . 在△AME 与△CNE 中∵⎩⎨

⎧

∠M ＝∠CNE ＝90°，

∠EAM ＝∠NCE ＝45°，AE ＝CE ，

∴△AME ≌△CNE .∴ME ＝NE .

又∵∠DME ＝∠ENF ＝90°，DE ＝EF ， ∴△DME ≌△FNE .∴∠ADE ＝∠CFE .

在△ADE 与△CFE 中，∵⎩⎨⎧

∠ADE ＝∠CFE ，

∠DAE ＝∠FCE ，

DE ＝EF ，

∴△ADE ≌△CFE (AAS )．∴∠DEA ＝∠FE C ．

∵∠DEA ＋∠DEC ＝90°，∴∠FEC ＋∠DEC ＝90°.∴∠DEF ＝90°.∴ED ⊥EF .

例5如图，E，F为△ABC中AB，BC的中点，在AC上取G，H两点，使得AG＝GH＝HC，EG与FH的延长线相交于点D，求证：四边形ABCD为平行四边形．

证明：如图，连结BG，BH，连结BD交AC于点O.

∵AG＝GH，

∴G是AH的中点．

∵在△ABH中，E是AB的中点，

∴EG∥BH.

∴GD∥BH.

∵GH＝HC，

∴H是CG的中点．

∵在△CBG中，F是BC的中点，

∴FH∥BG.

∴DH∥BG.

∴四边形BHDG是平行四边形．

∴OG＝OH，OB＝O D．

又∵AG＝HC，

∴OA＝O C．

∴四边形ABCD是平行四边形．

命题点二：三角形中位线的性质和应用

例6如图，AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE＝AB，M，N分别为BC，AE的中点．求证：MN∥A D．