2019角平分线的几种辅助线作法与三种模型
角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案
、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线T 等腰三角形如图1,过/ AOB 平分线 OC 上的一点P ,作PE // 0B ,交OA 于点E ,贝U EO=EP.例3 如图6，点P 是厶ABC 的外角/ CAD 的平分线上的一点 •求证:PB+POAB+AC.、角平分线定理使用中的几种辅助线作法、已知角平分线，构造三角形 分线，BE 丄AD 于F 。
2、在厶 ABC 中, AD 平分/ BAC , CE 丄 AD 于E .求证：/ ACE= / B+ / ECD .精品文档精品文档例1 如图2，/ ABC ，/ ACB 的平分线相交于点 F ,过F 作DE // BC ,交AB 于 点D ，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线T 等腰三角形如图3,过/ AOB 平分线 0C 上的一点P ,作EF 丄0C ,交0A 于点E ,交0B 于点F , 贝U OE=OF , PE=PF.例2 如图4, BD 是/ ABC 的平分线，AD 丄BD ，垂足为D ，求证：/ BAD= / DAC+ / C.模型三：角平分线+翻折T 全等三角形在厶ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，沿角平分线 AD 将厶ABD 往右边折叠就得到如图 5的图形•此时有：△ ABD ◎△ AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段 此方法可解决一些不相等的线段和差类问题 •图51、如图所示，在△ ABC 中，/ ABC=3 / C , AD 是/ BAC 的平求证：BE 1(AC AB)OB 图1CA DB / 图6。
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全
全等三角形辅助线系列之一---与角平分线有关的辅助线作法大全本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线作法，一般有以下四种：1.角平分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；2.截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；3.延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；4.做平行线：以角平分线上一点作教的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
通常情况下，出现了直角或者是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其他情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
图一图二图三 图四典型例题精讲【例1】如图，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，且DB DC =。
求证：BE CF =【例2】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．【例3】在梯形ABCD 中，AD BC ∥， DB 是ABC ∠的平分线，求证：AD AB =。
DCBA AB CDF CDABE 第6题图【例4】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．a) 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． b) 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．【例5】 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠A 、∠C 的角平分线AE 、CF 相交于O ．求证：OE ＝OF ．【例6】如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
角平分线的几种辅助线作法与三种模型
一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.A A AE P C E CD FE PO B B C O F B图1 图2 图3例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.DA EA P/ B CD B/ B C图5 图6例3如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
求证：1()2BE AC AB =-2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠22、2、 如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．21F EDCBANPEDCBAG21PFECB A AGCHDEF图2BABDCE F图求证：AE=ED 3、（四（2））四、以角的平分线为对称轴构造对称图形 例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：CD=21BE ．BACD E图1ABDE CBACDE 图2。
1 角平分线中常用作辅助线的四种方法
全等三角形辅助线系列之角平分线类辅助线作法大全x
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等•对于有角平分线的 辅助线的作法，一般有以下四种.1、 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、 截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、 延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、 做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线， 从而构造等腰三角形.或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形.至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件.图三M图一M图M图四典型例题精讲如图所示，BN 平分/ ABC, P 为BN 上的一点，并且求证：.BAP+ . BCP =180 .【解析】因为已知 PD 平分/ADC ，所以我们过 P 点作PE 丄CD ，垂足为E,贝U PA = PE ，由P 是AB【例1】 PD 丄 BC 于 D , AB + BC =2BD .【解析】过点P 作PE 丄AB 于点E .VPE ± AB , PD 丄 BC , BN 平分/ABC ,： PE 二 PD . 在 Rt APBE 和 Rt APBC 中， BP =BP PE =PD ，•••Rt z2PBE 细t ^BC ( HL ), BE=BD .•/ AB BC =2BD , BC =CD BD , AB 二 BE - AE , • AE =CD . TPE 丄AB , PD 丄 BC ,.・. /PEB ^PDB =90 . 在 AFAE 和 Rt APCD 中，PE =PD ••• N PEB 二.PDC ,AE =DC• △AE 织t A^CD ，•- PCB - EAP .v Z BAP ： ^EAP =180，•乙BAP ^BCP =180 .【答案】见解析.【例2】 如图，已知: • A=90 , AD // BC , P 是 AB 的中点,D C的中点，得PB=PE，即CP平分/ DCB .【答案】作PE丄CD，垂足为E, ••…PEC =/A=90 ,••• PD 平分/ ADC , • PA 二PE ,又••• B —PEC =90 , • PB =PE ,•••点P在/ DCB的平分线上，• CP 平分/ DCB .【例3】已知：.AOB =90 , OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D .(1)PC和PD有怎样的数量关系是______________(2)请你证明(1)得出的结论.【解析】(1) PC =PD .(2)过P分别作PE丄OB于E, PF丄OA于F ,• CFP 二 DEP =90 ,••OM 是/AOB 的平分线，••• PE 二 PF ,£v ■ FPD =90 ，且 NAOB =90，•乙 FPE =90 ,:丄2 EFPD =90. 1 2 , 在△CFP 和ADEP 中CPF =. DEP PF =PE , AZCFP 也zDEP ,• PC =PD ..1 二/2【答案】见解析.【例4】 如图①，OP 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角 形•请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1) 如图②，在△ ABC 中，/ ACB 是直角，.B = 60 , AD 、CE 分别是/ BAC 、/ BCA 的平 分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出 FE 与FD 之间的数量关系(不需证明)；(2) 如图③，在△ ABC 中，.B =60，请问，在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由.【解析】如图①所示;(1) FE 二FD .F 作FG 丄AB 于G,作FH 丄BC 于H ，作FK 丄AC 于K,VAD 、CE 分别是/BAC 、/BCA 的平分线，• FG 二 FH 二 FK , 在四边形 BGFH 中， GFH =360 -60 - 902 =120 ,••AD、CE 分别是/BAC 、/BCA 的平分线，• B =60 , 1二 FAC FCA 180 -60=60 .2在MFC 中，Z AFC =180°-(N FAC +N FCA )=180°-60°=120° , • EFD = AFC =120 ,• EFG = DFH , 在AEFG 和ADFH 中，(2)如图，过点J?EFG 二/DFH.EGF =. DHF，•丘FG也Q FH ,二FE 二FDFG =FH【答案】见解析.【例5】已知.MAN =120 , AC平分/ MAN，点B、D分别在 AN、AM 上.【例6】（1）如图1，若.ABC = ADC =90，请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；【例7】（2）如图2，若.ABC • . ADC =180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.1【解析】（1）得到^ACD ^ACB =30后再可以证得 AD =AB二-AC，从而，证得结论;2（2）过点 C分别作 AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F，证得△ CED也JCFB后即可得到AD AB =AE - ED AF FB =AE AF，从而证得结论.【答案】（1 ）关系是：AD ' AB =AC .证明：••• AC 平分/MAN , - MAN =120•CAD 二 CAB =60又 ADC 二 ABC =90 ,•ACD 二 ACB =301则AD=AB=-AC （直角三角形一锐角为 30°,则它所对直角边为斜边一半）2•AD AB =AC ;（2 ）仍成立.证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、FVAC 平分/MAN •CE =CF （角平分线上点到角两边距离相等）V ABC ADC =180 , - ADC CDE =180• CDE 二ABC又CED = CFB =90 , • JCED ^/CFB （AAS ）V ED 二FB ,••• AD AB =AE -ED AF FB =AE AF由(1)知 AE AF 二 AC , •- AD AB =AC •【例8】 如图，在△ ABC 中，.C =2. B , AD 平分/ BAC ，求证:【解析】在AB 上截取点E,使得AE =AC •••AD 平分/BAC ,• EAD 二 CAD ,• ZADE 也△DC ( SAS ) • • AED = C , ED =CD •••• /C =2^B ,• AED=2 B •• AED “B EDB ,• B “EDB , • BE =DE • • CD =BE =AB -AE =AB -AC •【答案】见解析.【例9】 如图，△ ABC 中，AB = AC , A =108 , BD 平分.ABC 交AC 于D 点.求证：BC = AC CD •【解析】在BC 上截取E 点使BE 二BA ，连结DE •• BD 平分.ABC , • . ABD = EBD • 在ABD 与EBD 中•/ AB =EB , ABD =/EBD , BD =BDC••• . ABD 也 EBD . A =/DEB••• AB =AE ，•乙BAD ZBED , • Z DEC =72 .又T /ADB =36 18 =54 ,• /CDE =72 • . CDE 二/DEC , • CD =CE •/ BC =BE EC , • BC =AC CD【答案】见解析.【例10】已知 ABC 中，.A=60 , BD 、CE 分别平分.ABC 和.ACB , 断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明.BD 、CE 交于点试判【解析】在BC 上截取一点F 使得BF 二BE ,易证 BOE 也厶BOF ,在根据.BOC =120推出ZBOE ZCOF =60，再证明.：OCF：OCD 即可.【答案】 BC = BE CD .【例11】如图：已知AD ABC 的中线，且.1=2 , . 3=/4，求证:BE CF ■EF .O ,F在△DBE 和ADNE 中:DN =DB「4-2ED =ED/.ZDBE 也zDNE ( SAS ), /• BE =NE 同理可得：CF =NF在AEFN 中，EN FN EF (三角形两边之和大于第三边) 「•BE CF EF •【答案】见解析.【例12】已知：在四边形ABCD 中，BC . BA , . A • . C =180，且.C =60 , BD 平分/ ABC,求证:BC =AB DC •【解析】在BC 上截取BE =BA ,•••BD 平分/ABC,.「ABD^EBD , 在ABAD 和ABED 中，BA 二 BE ■: ZABD ZEBD , BD =BD.•./BAD BA ED ,••• AD =DE ，/A ^BED • v Z BED /DEC =180，乙A =180 • • C - DEC , • DE =DC •••• DC =AD • •「C =60 , .ZCDE 是等边三角形， •DE 二CD 二CE , • BC =BE CE =AB CD •【答案】见解析.【解析】在DA 上截取DN 二DB ，连接NE , NF ，贝U DN 二DC ,优质参考文档【例13】观察、猜想、探究：【例14】在厶ABC中，.ACB =2. B .【例15】(1)如图①，当.C =90 , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC - CD ;【例16】(2)如图②，当.C =90，AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；【例17】(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.闔①图②圍③【解析】(1)过D作DE丄AB，交AB于点E,理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE二AC , ■ AED =. ACB，由.ACB =2.B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE二DE，由AB二AE EB，等量代换即可得证；(2)AB =CD AC ,理由为：在AB上截取AG = AC ,如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD二AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同(1)即可得证；(3)AB =CD -AC，理由为：在 AF上截取AG =AC，如图3所示，同(2)即可得证.【答案】(1 )过D作DE丄AB,交AB于点E,如图1所示，••AD 为/BAC 的平分线，DC 丄 AC, DE 丄 AB,「. DE =DC ,在 Rt△XCD 和 Rt △XED 中，AD 二AD , DE 二 DC ,•••Rt△ACD 织t A AED ( HL ) , /• AC =AE , ^ACB =^AED ,ACB =24 ,.・. /AED=2 B ,又••• AED “B EDB ,• B »EDB ,•BE =DE =DC，贝U AB =BE AE =CD AC ;(2) AB =CD ' AC，理由为：在AB上截取AG =AC，如图2所示，VAD 为/BAC 的平分线，• GAD 二 CAD ,工AG = AC• •在△XDG 和△ADC 中，！^GAD ZCADAD =AD•••ZADG 也zADC ( SAS), /• CD =CG，/ AGD =NACB ,••復ACB =2/B，•乙AGD =2/B ,又•"AGD Z B £GDB，：上B ZGDB ,•BE =DG =DC，贝U AB =BG AG =CD AC ;(3) AB =CD - AC，理由为：在AF上截取AG =AC，如图3所示，••AD 为/FAC 的平分线，• • GAD =/CAD ,••在^ADG 和A ADC 中，f AG = ACIJNGAD CAD , •△K DG 也ZADC (SAS),AD =AD•CD =GD , - AGD =/ACD，即 ACB =/FGD ,•ACB =2 B ,• FGD =2 B，又• FGD 二 B GDB ,• B ~ GDB ,•BG 二 DG =DC，贝U AB =BG - AG =CD - AC .閨①图②園⑤【例18】如图所示，在△ ABC中，.ABC =3. C , AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于F.1求证：BE AC - AB .2【解析】延长BE交AC于点F.则AD为/BAC的对称轴，••BE丄AD于F，•点B和点F关于AD对称，1•BE =EF BF , AB=AF，/ABF ZAFB .2•ABF + FBC = ABC =3 C , - ABF = AFB = FBC+ C ,•FBC + C+ FBC =3 C ,。
角平分线的四大模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型(解析版)
角平分线的四大模型解题策略模型1角平分线的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⏊OM 于点A ，PB ⏊ON 于点B ，则PB =PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型2截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ,连接PB ，则△OPB ≌△OPA 模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP ⏊OP 于P 点，延长AP 交ON 于点B ，则△AOB 是等腰三角形.模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.A B MNO PAB MNO P A B MNO PO P QMN经典例题【例1】(2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习)四边形ABCD 中，DA =DC ，连接BD ．(1)如图1，若BD 平分∠ABC ，求证：∠A +∠C =180°．(2)如图2，若BD =BC ，∠BAD =150°，求证：∠DBC =2∠ABD ．(3)如图3，在(2)的条件下，作AE ⊥BC 于点E ，连接DE ，若DA ⊥DC ，BC =2，求DE 的长度．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【分析】(1)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED =FD ，结合已知条件HL 证明Rt △DAE ≌Rt △DCF ，继而可得∠C =∠EAD ，根据平角的定义以及等量代换即可证明∠BAD +∠BCD =180°；(2)过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，根据含30度角的直角三角形的性质可得ED =12AD ，根据三线合一，可得DG =12DC ，进而可得DE =DG ，根据角平分线的判定定理可推出∠ABD =∠DBG =12∠DBC ，进而即可证明∠DBC =2∠ABD ；(3)先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌△FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设∠ABD =α，根据(2)的结论以及三角形内角和定理，求得α=15°，进而求得∠DBC =30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt △DEF 中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】(1)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，∵BD 平分∠ABC ，∴ED =FD∵DA =DC ，在Rt △DAE 与Rt △DCF 中AD =DC ED =FD∴Rt △DAE ≌Rt △DCF (HL )∴∠C =∠EAD∴∠DAB +∠EAD =∠DAB +∠C =180°即∠BAD +∠BCD =180°(2)如图，过点D 作DE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG ⊥DC ，∵BD =BC∴DG =GC =12DC ,∠DBG =∠CBG =12∠DBC∵∠BAD =150°，∴∠EAD =180°-150°=30°∴ED =12AD ∵DA =DC∴ED =DG∵ED ⊥BE ,DG ⊥BG∴∠EBD =∠GBD∴∠ABD =12∠DBC 即∠DBC =2∠ABD(3)如图，过点D 分别作DF ⊥BC 于点F ，DM ⊥EA 交EA 的延长线于点M ，∵AE ⊥BC ，DM ⊥ME ,DF ⊥FE∴四边形DMEF 是矩形∴∠MDF =90°∴∠MDA +∠ADF =90°∵DA ⊥DC∴∠ADC =90°∴∠ADF +∠FDC =90°∴∠FDC =∠MDA在△MAD 与△FCD 中∠MDA =∠FDC ∠DMA =∠DFC DA =DC∴△MAD ≌△FCD∴DM =DF ，∠MDA =∠FDC∴四边形DMEF 是正方形∴DF =EF设∠ABD =α∴∠DBC =2∠ABD =2α∵BD =BC∴∠BDC =∠BCD =12(180°-2α)=90-α∴∠MDA =∠FDC =90°-∠BCD =α∴∠DAE =∠M +∠MDA =90°+α∵∠BAD =150°∴∠BAE =60-α在△BAE 中∠ABE =90°-∠BAE =30°+α∵∠ABE =∠ABD +∠DBC =α+2α=3α∴α=15°∴∠DBC =2α=30°∵BD=2∴DF=12BD=12×2=1在Rt△DEF中，EF=DF=1∴DE=EF2+DF2=2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．【例2】(2022·山西·交城县教学研究办公室八年级期中)综合与实践：问题情境：已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上的一点，点C，D分别在射线OA，OB上，连接PC,PD．(1)初步探究：如图1，当PC⊥OA，PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是；(2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线OA，OB上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，如果点C在射线OA上运动，且∠AOB=90°，当∠CPD=90°时，点D落在了射线OB的反向延长线上，若点P到OB的距离为3，OD=1，求OC的长(直接写出答案)．【答案】(1)PC=PD(2)PC与PD在(1)中的数量关系还成立，理由见解析(3)OC的长为7【分析】(1)根据角平分线的性质进行解答即可；(2)过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，根据“ASA”证明△CPE≌△DPF即可得出结论；(3)过点P作PE⊥OA,PF⊥OB，垂足分别为E,F，先证明四边形OEPF为正方形，然后证明△CPE≌△DPF(ASA)，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论．【详解】(1)解：∵OM是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，故答案为：PC=PD；(2)还成立，理由如下：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，∵OM平分∠AOB，∴PE=PF，∠PEC=∠PFD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠EPF =360°-∠DEO -∠AOB -∠DFO =90°，∵∠CPD =90°∴∠CPD -∠EPD =∠EPF -∠EPD ，即∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠PEC =∠PFD，∴△CPE ≌△DPF ASA ，∴PC =PD ；(3)过点P 作PE ⊥OA ,PF ⊥OB ，垂足分别为E ,F ，∴四边形OEPF 为矩形，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE =PF =3，四边形OEPF 为正方形，∵∠AOB =90°，∠OEP =90°,∠OFP =90°，∴∠EPF =90°，∵∠CPD =90°，∴∠CPE +∠EPD =∠EPD +∠DPF =90°，∴∠CPE =∠DPF ，在△CPE 和△DPF 中，∠CPE =∠DPFPE =PF ∠CEP =∠DFP，∴△CPE ≌△DPF (ASA )，∴CE =DF ，∵OD =1，∴DF =OD +OF =1+3=4，∴OC =OE +CE =3+4=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【例3】(2021·全国·八年级专题练习)如图，已知B (-1，0)，C (1，0)，A 为y 轴正半轴上一点，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在点D 运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，60°【分析】(1)根据∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，再结合∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，即可得出结论；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM=AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；(3)运用截长法在CD上截取CP=BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．【详解】(1)证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°，∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN，∴AD平分∠CDE(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；(3)∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°，∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．【例4】(2021·贵州·九年级专题练习)【特例感知】(1)如图(1)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD=3，BD=4，求点D到直线AB的距离．【类比迁移】(2)如图(2)，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】(3)如图(3)，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，BD=72，AB=6，求△ABC的内心与外心之间的距离．【答案】(1)125；(2)AB+BC=2BE，理由见解析；(3)5．【分析】(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．理由面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF=DE解决问题；(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE．只要证明ΔDFA≅ΔDEC(ASA)，推出AF=CE，RtΔBDF ≅RtΔBDE(HL)，推出AF=BE即可解决问题；(3)如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由(1)(2)可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：AN=6+10-82=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在RtΔOMN中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：(1)如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．图①∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF=DE，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC=BD2+CD2=42+32=5，∵12·BC·DE=12·BD·DC，∴DE=125，∴DF =DE =125．故答案为125(2)如图②中，结论：AB +BC =2BE ．图②理由：作DF ⊥BA 于F ，连接AD ，DC ．∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥BA ，∴DF =DE ，∠DFB =∠DEB =90°，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠EDF =180°，∴∠ADC =∠EDF ，∴∠FDA =∠CDE ，∵∠DFA =∠DEC =90°，∴ΔDFA ≅ΔDEC (ASA )，∴AF =CE ，∵BD =BD ，DF =DE ，∴Rt ΔBDF ≅Rt ΔBDE (HL )，∴BF =BE ，∴AB +BC =BF -AF +BE +CE =2BE ．(3)如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由(1)(2)可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③∵BD =72，∴正方形BEDF 的边长为7，由(2)可知：BC =2BE -AB =8，∴AC =62+82=10，由切线长定理可知：AN =6+10-82=4，∴ON=5-4=1，设内切圆的半径为r，则12×r×10+12×r×6+12×r×8=12×6×8解得r=2，即MN=2，在RtΔOMN中，OM=MN2+ON2=22+12=5．故答案为5．【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．培优训练一、解答题1.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，BC>BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC上截取BE=BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C=∠DEC，则DE=DC，从而得出AD=CD即可证明．【详解】证：如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，∵BD=BD，∠ABD=∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A=∠DEB，AD=DE，∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴AD=CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．2.(2022·全国·八年级课时练习)如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．(1)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；(2)判断△BEG的形状，并说明理由．【答案】(1)BE=12AD，见解析；(2)△BEG是等腰直角三角形，见解析【分析】(1)延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE=HE=12BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH=AD，则BE=12AD；(2)先证明CF垂直平分AB，则AG=BG，再证明∠CAB=∠CBA=45°，则∠GAB=∠GBA= 22.5°，于是∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．【详解】证：(1)BE=12AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB=∠AEH=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠HAE，在△BAE和△HAE中，∠AEB=∠AEHAE=AE∠BAE=∠HAE，∴△BAE≌△HAE(ASA)，∴BE=HE=12BH，∵∠ACB=90°，∴∠BCH=180°-∠ACB=90°=∠ACD，∴∠CBH=90°-∠H=∠CAD，在△BCH和△ACD中，∠BCH=∠ACDBC=AC∠CBH=∠CAD，∴△BCH≌△ACD(ASA)，∴BH=AD，∴BE=12AD．(2)△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC=BC，AF=BF，∴CF⊥AB，∴AG=BG，∴∠GAB=∠GBA，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠GAB=1∠CAB=22.5°，2∴∠GAB=∠GBA=22.5°，∴∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°，∵∠BEG=90°，∴∠EBG=∠EGB=45°，∴EG=EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．3.(2022·江苏·八年级专题练习)在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．(1)如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E=48°，AE=AD=DC，则∠ABC的度数为 ．(2)如图2，AC>AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．(3)连接AE，若∠DAE=90°，∠BAC=24°，且满足AB+AC=EC，请求出∠ACB的度数(要求：画图，写思路，求出度数)．【答案】(1)108°；(2)AC+BP>AB+PC，见解析；(3)44°或104°；详见解析．【分析】(1)根据等边对等角，可得∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质求出∠ADE=2∠DAC=48°，由此即可解题；(2)在AC边上取一点M使AM=AB，构造△ABP≅△AMP，根据MP+MC>PC即可得出答案；(3)画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得GC=EC，可得∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；根据∠BAC= 24°，AD为△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠DAC=12°，可证△AGE≅△ABE(SAS)，得出∠ABE=∠G=90°-x，利用还有∠ABE=24°+2x，列方程90°-x=24°+2x；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA 到G，使AG=AB，可得GC=EC，得出∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；∠BAC=24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出∠BAD=∠DAC=12°，证明△AGE≅△ABE (SAS)，得出∠ABE=∠G=x，利用三角形内角和列方程x+24°+2x=180°，解方程即可．【详解】解：(1)∵AE=AD=DC，∴∠E=∠ADE，∠DAC=∠C，∵∠E=48°，∠ADE=∠DAC+∠C，∴∠ADE=2∠DAC=48°，∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAC=2∠DAC，∴∠BAC=48°；∴∠ABC=180°-48°-24°=108°(2)如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在△ABP和△AMP中，AB=AM∠BAP=∠MAPAP=AP，∴△ABP≅△AMP(SAS)，∴BP=MP，∵MP+MC>PC，MC=AC-AM，∴AC-AB+BP>PC，∴AC+BP>AB+PC；(3)如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG= AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=90°-x；又∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，∴∠BAE=90°-∠BAD=78°，∠GAE=90°-∠DAC=78°，∴∠BAE=∠GAE，在△AGE和△ABE中，AE=AE∠GAE=∠BAEAG=AB，∴△AGE≅△ABE(SAS)，∴∠ABE=∠G=90°-x，又∵∠ABE=∠BAC+∠ACB=24°+2x，∴90°-x=24°+2x，解得：x=22°，∴∠ACB=2x=44°；当点E在BD上时，∠EAD<90°，不成立；不成立；当点E在CD上时，∠EAD<90°，如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC=EC，∴AG+AC=EC，即GC=EC，∴∠G=∠GEC，设∠ACB=2x，则∠G=∠GEC=x；又∵∠BAC=24°，AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC=12°，又∵∠DAE=90°，在△AGE和△ABE中，AE=AE，∠GAE=∠BAEAG=AB∴△AGE ≅△ABE (SAS )，∴∠ABE =∠G =x ，∴x +24°+2x =180°，解得：x =52°，∴∠ACB =2x =104°．∴∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．4.(2022·全国·八年级课时练习)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD =DF ．(1)求证：AC =AE ；(2)若AB =7.4，AF =1.4，求线段BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】(1)证明△ACD ≌△AED (AAS )，即可得出结论；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD (SAS )，得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE (HL )，得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，∠C =∠DEA∠DAC =∠DAE AD =AD，∴△ACD ≌△AED (AAS )，∴AC =AE ；(2)在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD中，AF=AM∠DAF=∠DAMAD=AD，∴△FAD≌△MAD(SAS)，∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，MD=BDDE=DE，∴Rt△MDE≌Rt△BDE(HL)，∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE=12BM=3，即BE的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键．5.(2022·江苏·八年级专题练习)如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．(1)求证AC=BN；(2)如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM的值．【答案】(1)见解析；(2)2k k+1【分析】(1)延长CM至点D，使CM=DM，可证ΔACM≅ΔBDM，由全等三角形的性质从而得出AC=BD，根据题目已知，可证ΔDCB≅ΔNCB，由全等三角形的性质从而得出BN=BD，等量代换即可得出答案；(2)如图所示，作CQ=CP，可证ΔCPO≅ΔCQO，由全等三角形的性质相等角从而得出∠1=∠2=∠3，进而得出∠4=∠5，故可证ΔNOB≅ΔNOQ等量转化即可求出CPCM的值．【详解】(1)如图1所示，延长CM至点D，使CM=DM，在△ACM与△BDM中，CM=DM∠AMC=∠BMDAM=BM，∴ΔACM≅ΔBDM，∴AC=BD，∵2CM=CN，∴CD=CN，在△DCB与△NCB中，CD=CN∠DCB=∠NCBCB=CB,∴ΔDCB≅ΔNCB，∴BN=BD，∴AC=BN；(2)如图所示，∵∠AMC=120°，∴∠CMN=60°，∵NP平分∠MNC，∠BCN=∠BCM，∠PNC+∠BCN=12∠AMC=60°，∴∠CON=120°，∠COP=60°，∴∠CMN+∠BOP=180°，作CQ=CP，在△CPO与△CQO中，CQ=CP∠QCO=∠PCOCO=CO，∴ΔCPO≅ΔCQO，∴∠1=∠2=∠3，∴∠4=∠5，在△NOB与△NOQ中，∠4=∠5∠BNO=∠QNONO=NO，∴ΔNOB≅ΔNOQ，∴BN=NQ，∴CN=CP+NB，∴2CM=CP+AC，设AC=a，∴CP=ka，CM=a(k+1)2，∴CP CM =2kk+1．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA=OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD=BD．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，求证：BC=AC+AD．(3)如图3，在四边形ABDE中，AB=9，DE=1，BD=6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，求AE的值．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)AE=13【分析】(1)由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；(3)在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理(2)可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG 是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：(1)∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA=OB，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴AD=BD．(2)在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC=AC+AD．(3)在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理(1)(2)可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE=120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．7.(2022·全国·八年级课时练习)已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC．(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG:S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②6．【分析】(1)用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；(2)①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用SAS证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，S△FAE:S△ACF=1:3，而△FAG≌△FAE，故S△FAG:S△ACF=1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．【详解】解：(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，∠BAD =∠CADAD =AD ∠ADB =∠ADC，∴△ABD ≌△ACD ASA ，∴AB =AC ；(2)①∵AB =AC ，∠ABC =30°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =60°，∴∠BAG =60°=∠CAD ，在△BAG 和△CAE 中，∠BAG =∠CAEAB =AC ∠ABG =∠ACE，∴△BAG ≌△CAE ASA ，∴AG =AE ，在△FAG 和△FAE 中，AG =AE∠GAF =∠EAF AF =AF，∴△FAG ≌△FAE SAS ，∴∠AFG =∠AFC ；②过F 作FK ⊥AG 于K ，如图：由①知：△BAG ≌△CAE ，∵S △ABG :S △ACF =2:3，∴S △CAE :S △ACF =2:3，∴S △FAE :S △ACF =1:3，由①知：△FAG ≌△FAE ，∴S △FAG :S △ACF =1:3，∴12AG ⋅FK :12AC ⋅FK =1:3，∴AG :AC =1:3，∵AG =2，∴AC =6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.8.(2022·全国·八年级)如图1，在△ABC 中，AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．(1)求证：CD 平分∠ACB ；(2)如图2，过F 作FP ⊥AC 于点P ，连接PD ，若∠ACB =45°，∠PDF =67.5°，求证：PD =CP ；(3)如图3，若2∠BAF +3∠ABE =180°，求证：BE -BF =AB -AE．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG =DH =DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；(2)作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ，通过证明△SQD ≌△TFD 和△QDP ≌△FDP 得到∠PDC =∠PCD =22.5°，从而根据等角对等边判断即可；(3)延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ，通过证明△AFC ≌△AFM 得到AC =AM ，再结合CE =EB 即可得出结论．【详解】(1)证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴DG =DH =DK ，∴CD 平分∠ACB ；(2)证明：如图，作DS ⊥AC ，DT ⊥BC ，在AC 上取一点Q ，使∠QDP =∠FDP ．∵CD 平分∠ACB ，∴DS =DT ，∵∠QDP =∠FDP =67.5°，∠ACB =45°，∴∠QDF +∠ACB =135°+45°=180°，在四边形QDFC 中，∠CQD +∠DFC =180°，又∵∠DFT +∠DFC =180°，∴∠CQD =∠DFT ，在△SQD 和△TFD 中，∠CQD =∠DFTDS =DT∠DSQ =∠DTF =90°∴△SQD ≌△TFD ，∴QD =FD ，在△QDP 和△FDP 中QD =FD∠QDP =∠FDPDP =DP∴△QDP ≌△FDP，∴∠QPD =∠FPD =45°又∵∠QPD =∠PCD +∠PDC ，∠PCD =22.5°，∴∠PDC =∠PCD =22.5°，∴CP =PD ；(3)证明：延长AB 至M ，使BM =BF ，连接FM ．∵AF ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的角平分线，∴2∠BAF +2∠ABE +∠C =180°，又∵2∠BAF +3∠ABE =180°，∴∠C =∠ABE =∠CBE ，∴CE =EB ，∵BM =BF ，∴∠BFM =∠BMF =∠ABE =∠CBE =∠C ，在△AFC 和△AFM 中，∠C =∠BMF∠CAF =∠BAF AF =AF，∴△AFC ≌△AFM ，∴AC =AM ，∴AE +CE =AB +BM ，∴AE +BE =AB +BF ，∴BE -BF =AB -AE ．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．9.(2022·湖南·宁远县至善学校八年级阶段练习)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,a )，点B 的坐标(b ,0)且a ，b 满足a 2-12a +36+a -b =0．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图(1)，点C 为x 轴负半轴一动点，OC <OB ，BD ⊥AC 于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分∠CDB ．(3)如图(2)，点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，S △AFH -S △FBG 的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．【答案】(1)A(0，6)，B(6，0)；(2)证明见解析；(3)不变化，S△AFH-S△FBG=9．【分析】(1)由非负性可求a，b的值，即可求A、B两点的坐标；(2)过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)由于点F是等腰直角三角形AOB的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答即可．【详解】解：(1)∵a2-12a+36+a-b=0∴(a-6)2+a-b=0，∴a-6=0a-b=0，即a=b=6．∴A(0，6)，B(6，0)．(2)如图，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N，根据题意可知∠ACO+∠CAO=90°．∵BD⊥AC，∴∠BCD+∠CBE=90°，∴∠CAO=∠CBE．∵A(0，6)，B(6，0)，∴OA=OB=6．在△AOC和△BOE中，∠CAO=∠EBOOA=OB∠AOC=∠BOE=90°，∴△AOC≅△BOE(ASA)．∴OE=OC，AC=BE，S△AOC=S△BOE．∴1 2AC·ON=12BE·OM，∴OM=ON，∴点O一定在∠CDB的角平分线上，即OD平分∠CDB．(3)如图，连接OF，∵△AOB是等腰直角三角形且点F为AB的中点，∴OF⊥AB，OF=FB，OF平分∠AOB．∴∠OFB=∠OFH+∠HFB=90°．又∵FG⊥FH，∴∠HFG=∠BFG+∠HFB=90°，∴∠OFH=∠BFG．∵∠FOB=12∠AOB=45°，∴∠FOH=∠FOB+∠HOB=45°+90°=135°．又∵∠FBG=180°-∠ABO=180°-45°=135°，∴∠FOH=∠FBG．在△FOH和△FBG中∠OFH=∠BFG OF=BF∠FOH=∠FBG ，∴△FOH≅△FBG(ASA)．∴S△FOH=S△FBG，∴S△AFH-S△FBG=S△AFH-S△FOH=S△FOA=12S△AOB=12×12OA·OB=14×6×6=9．故不发生变化，且S△AFH-S△FBG=9．【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10.(2022·全国·八年级课时练习)已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC+BD=AB，理由见见解析【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得△BEF≌△BED，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得△AEF≌△AEC，可得AF=AC，即可求解．【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，BF=BD∠EBF=∠EBDBE=BE，∴△BEF≌△BED(SAS)，∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，∠EAF=∠EAC∠AFE=∠CAE=AE，∴△AEF≌△AEC(AAS)，∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11.(2022·全国·八年级课时练习)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=1，DF=2，求线段DB的长．【答案】(1)见解析；(2)AD-AB=2BE，理由见解析；(3)3．【分析】(1)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；(3)在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．【详解】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC=DC；(2)解：AD-AB=2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，AE=AF，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CDF =∠CBE ，在△BCE 和△DCF 中，∠CBE =∠CDF∠CEB =∠CFD =90°CE =CF，∴△BCE ≌△DCF (AAS )，∴DF =BE ，∴AD =AF +DF =AE +DF =AB +BE +DF =AB +2BE ，∴AD -AB =2BE ；(3)解：如图3，在BD 上截取BH =BG ，连接OH ，∵BH =BG ，∠OBH =∠OBG ，OB =OB在△OBH 和△OBG 中，BH =BG∠OBH =∠OBG OB =OB，∴△OBH ≌△OBG (SAS )∴∠OHB =∠OGB ，∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，∴点O 到AD ，AB ，BD 的距离相等，∴∠ODH =∠ODF ，∵∠OHB =∠ODH +∠DOH ，∠OGB =∠ODF +∠DAB ，∴∠DOH =∠DAB =60°，∴∠GOH =120°，∴∠BOG =∠BOH =60°，∴∠DOF =∠BOG =60°，∴∠DOH =∠DOF ，在△ODH 和△ODF 中，∠DOH =∠DOFOD =OD ∠ODH =∠ODF，∴△ODH ≌△ODF (ASA )，∴DH =DF ，∴DB =DH +BH =DF +BG =2+1=3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．12.(2022·全国·八年级)在平面直角坐标系中，点A -5,0 ，B 0,5 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD ⊥BC 交y 轴于点E ．(1)如图①，若点C 的坐标为(3，0)，试求点E 的坐标；(2)如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且OC <5，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分∠ADC(3)若点C 在x 轴正半轴上运动，当∠OCB =2∠DAO 时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．【答案】(1)(0，3)；(2)详见解析；(3)AD =OC +CD【分析】(1)先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE =OC ，再根据点C 的坐标为(3，0)，得到OC =2=OE ，进而得到点E 的坐标；(2)先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM =ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；(3)在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，根据三角形内角和定理，求得∠PAO =30°，进而得到∠OCB =60°，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，得OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，再根据三角形外角性质得PA =PO =OC ，故AD =PA +PD =OC +CD ．【详解】(1)如图①，∵AD ⊥BC ，BO ⊥AO ，∴∠AOE =∠BDE ，又∵∠AEO =∠BED ，∴∠OAE =∠OBC ，∵A (-5，0)，B (0，5)，∴OA =OB =5，∴△AOE ≌△BOC ，∴OE =OC ，又∵点C 的坐标为(3，0)，∴OC =3=OE ，∴点E 的坐标为(0，3)；(2)如图②，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，∵△AOE ≌△BOC ，∴S △AOE =S △BOC ，且AE =BC ，∵OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，∴OM =ON ，∴OD 平分∠ADC ；(3)如所示，在DA 上截取DP =DC ，连接OP ，∵∠OCB =2∠DAO ，∠ADC =90°∴∠PAO +∠OCD =90°，∴∠DAC =90°3=30°，∠DCA =2×90°3=60°∵∠PDO =∠CDO ，OD =OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC =OP ，∠OPD =∠OCD =60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．13.(2022·全国·八年级)如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，且MN⎳PQ．∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C．(1)求证：BC⊥AC；(2)过点C作直线交MN于点D(不与点A重合)，交PQ于点E,①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE=AB；②若点D在点A的左侧，则线段AD、BE、AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)BE=AD+AB【分析】(1)由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;②方法与①相同．【详解】解：(1)∵MN∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ∴∠BAC=12∠NAB,∠CBA=12∠ABQ∴∠BAC+∠ABC=12×180°=90°在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°∴BC⊥AC;(2)①延长AC交PQ于点F∵BC⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC =CF ，AB =BF∵MN ∥BQ∴∠DAC =∠EFC∵∠ACD =∠FCE∴△ACD ≌△FCE∴AD =EF∴AB =BF =BE +EF =BE +AD即：AB =AD +BE②线段AD ，BE ，AB 数量关系是：AD +AB =BE如图3，延长AC 交PQ 点F ,∵MN ⎳PQ ．∴∠AFB =∠FAN ，∠DAC =∠EFC∵AC 平分∠NAB∴∠BAF =∠FAN∴∠BAF =∠AFB∴AB =FB∵BC ⊥AC∴C 是AF 的中点∴AC =FC在△ACD 与△FCE 中∠DAC =∠EFC AC =FC ∠ACD =∠FCE∴△ACD ≅△FCE (ASA )∴AD =EF∵AB =FB =BE -EF∴AD +AB =BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14.(2018·湖北武汉·八年级期中)在平面直角坐标中，等腰Rt △ABC 中，AB =AC ，∠CAB =90°，A (0，a )，B (b ，0)．(1)如图1，若2a-b+(a-2)2=0，求△ABO的面积；(2)如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；(3)如图3，在(1)的条件下，若以P(0，-6)为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．【答案】(1)△ABO的面积=4；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【分析】(1)根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：(1)∵2a-b+(a-2)2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A(0，2)，B(4，0)，∴OA=2，OB=4，∴△ABO的面积=12×2×4=4；(2)作AF平分∠BAC交BD于F点，∵AB=AC，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△ACE和△BAF中，∠CAE=∠ABFAC=AB∠ACE=∠BAF，∴△ACE≌△BAF(ASA)，∴CE=AF，在△CED和△AFD中，CD=AD∠C=∠DAFCE=AF，∴△CED≌△AFD(SAS)∴∠CDE=∠ADB；(3)过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO，在△ACM和△BAO中，。
有关角平分线的辅助线做法
由角平分线想到的辅助线角平分线具有两条性质：a对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，/ AOCh BOC如取OE=OF并连接DEDF,则有△ OED^A OFD从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1. 如图1-2，AB//CD，BE平分/ ABC CE平分/ BCD 点E 在AD上,求证：BC=AB+CD分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2. 已知：如图1-3，AB=2ACZ BAD2 CAD DA=DB 求证DC!AC D C分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明例3. 已知：如图1-4，在△ ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB- AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
专题06 全等模型-角平分线模型(解析版)
专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231AFCB4321DAA．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠ABC；(1)求证：∠AOC＝90°＋12(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．∠MK=ML，角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；∠A(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
有关角平分线的辅助线做法_含例题与分析
由角平分线想到的辅助线角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥ACB图1-2DBC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
角平分线的4种辅助线
角平分线的4种辅助线（方法总结，讲练结合）中考高频考点系列是笔者根据近两年中考的趋势及热点，结合《新课标》的要求，对中考经常出现的题型，进行了归纳总结，要想在中考时取得好成绩，这些都是必须要掌握的知识。
作有关角平分线的辅助线，常见的有四种方法：①如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；①②③④②如上图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；③如上图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；④如上图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.证法一：如上图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.∵BD平分∠ABC∴DM=DN又∵AD=CD∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）∴∠NAD=∠C∵∠BAD＋∠NAD=180°∴∠BAD＋∠C=180°.证法二：如上图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）∴∠A=∠BED,AD=ED∵AD=CD∴ED=CD∴∠C=∠DEC∴∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.证法三：如上图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED.可证△BDE≌△BDC（SAS）∴∠E=∠C，ED=CD.∵AD=CD∴AD=ED.∴∠E=∠DAE，∠C=∠DAE，∴∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.点评：法一用的是第一种模型“由角的平分线上的一点向角的两边作垂线”，法二和法三实际上用的是第二种模型：以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形.本题证明两角之和等于180°，实际上可以证明一个角等于另一个角的邻补角.许多证明线段、角关系的问题，往往转化为证线段、角相等.证明两个三角形全等是证明两线段、角相等的重要方法，许多时候要通过作辅助线，使图形出现全等三角形，将角或线段相对转移、等量代换，以使问题得到解决.【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路分析：注意到BD 平分∠ABC，CE⊥BE，这种情况完全和第三种模型吻合，于是延长CE、BA相交于F，如下图，则易证△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=CE ∴CE=EF=1/2CF.∵CE⊥BE∴∠1=90°-∠F.同理∠3=90°-∠F∴∠1=∠3又∵AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴CE=1/2BD.点评：本题解题的关键是抓住角平分线加垂直的条件，构造出等腰三角形.【配套练习】已知，如下图，AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，而且AB＞AD.求证：CD=CB.第1题第2题2、如上图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠BAD=∠DAC＋∠C.第3题第4题第5题3、如上图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D是垂足，∠ABC 的平分线BE交CD于点G，交AC于点E，GF∥AB交AC于F.求证：AF=CG.4、如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.5、（乌鲁木齐中考）如上图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．【答案】1、分别过C作AB、AD的垂线，垂足为E、F，证△CBE≌△CDF，或在AB上截取AE=AD，连接CE，则CE=CD，证CE=CB.2、延长AD交BC于点F，则∠BAD=∠BFA=∠DAC＋∠C.3、过点E作EH⊥AB于H，则EH=EC，证∠CEG=∠CGE，则EC=GC，∴CG=EH，再证△CGF≌△EHA，则CF=EA.4、因AD平分∠BAC，过点C作CE∥AB，则△ACE是等腰三角形.因为CM⊥AD，所以AE=2AM，又AE=AD＋DE=AB＋DE，证DE=AC 即可.5、利用模型3的方法，延长CF交AB于点G，则△AFC≌△AFG，∴CF=GFAC=AG=2，∵AB=5∴BG=3又∵F是GC的中点，D是BC 的中点，即DF是△CBG的中位线，∴DF平行且等于BG的一半，即DF=角平分线专题训练，得熟悉此类题题1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AC＝AB+BD.求证：AD是∠BAC的平分线。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(一)全等类
专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC 的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED ＝△ACD，又由△ACB＝2△B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．【详解】（1）猜想：AB AC CD=+．AB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△．△ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析 (3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：△AD 平分EAC ∠，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，△180180AED ACD ︒-∠=︒-∠，即FED ACB ∠=∠，△2ACB B ∠=∠，△2∠=∠，FED B又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，+===，△AB AE EB ED CD△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC 的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED （SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD△△AED（SAS）．△△AED=△C=90°，CD=ED，又△△ACB=2△B，△C=90°，△△B=45°．△△EDB=△B=45°．△DE=BE，△CD=BE．△AB=AE＋BE，△AB=AC＋CD．（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，在△ACD和△AED中，AC AEBAD EADAD AD＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,△△ACD△△AED，△△C=△AED，CD=DE，又△△C=2△B，△△AED=2△B，△△AED是△EDC的外角，△△EDB=△B，△ED=EB，△CD=EB，△AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CD﹣AC证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1图2图3D B邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°， 在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△ABCD 的周长为56，AB BC +=BE 平分∠EQ EF ==ABC S S ∆∆=【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识CD 交射线OA 于点F ，射线CE 交射线OB 于点G ．（1）如图1，若CD △OA ，CE △OB ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系；（2）如图2，若△AOB =120°，△DCE =△AOC ，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM△OA于M，CN△OB于N，证明△CMF△△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：△OP平分△AOB，CF△OA，CG△OB，△CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM△OA，CN△OB，△OP平分△AOB，CM△OA，CN△OB，△AOB=120°，△CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC=△BOC=60°（角平分线的性质），△△DCE=△AOC，△△AOC=△BOC=△DCE=60°，△△MCO=90°-60° =30°，△NCO=90°-60° =30°，△△MCN=30°+30°=60°，△△MCN=△DCE，△△MCF=△MCN-△DCN，△NCG=△DCE-△DCN，△△MCF=△NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。
辅助线的作法之角平分线模型构造
辅助线的作法之角平分线模型构造在数学几何中，角平分线问题是比较基础而常见的问题，也被广泛地应用于解决各种实际的问题中。
本文将介绍一种应用辅助线的方法来构造角平分线模型的方法。
角平分线首先，我们来看一下什么是角平分线。
在一个角中，如果一个线段从角的顶点出发，将角分成两个大小相等的部分，那么这条线段便是这个角的平分线。
我们可以通过以下两种方法来确定一条角平分线：1.将顶点和角的另外两个点连起来，然后通过辅助线的方法将这个角分成两个大小相等的部分。
2.将角的顶点作为三角形底边所在的直线上的一点，然后从这个点向三角形的上面作一条平行于另外两个边的线，便可以确定一条平分线。
两种方法的具体实现细节稍有不同，但核心思路是相同的，都是通过构造一个辅助线，将要求的角平分成两个大小相等的部分。
角平分线模型构造除了解决角平分线问题外，角平分线模型也有着广泛的应用。
下面我们将介绍一种利用辅助线构造角平分线模型的方法。
构造思路假设我们有一个角ABC，需要构造它的平分线模型。
我们可以按照以下步骤来完成构造：1.连接角的顶点A和两条边的中点M和N，得到线段AM和AN；2.连接线段MN的中点P和顶点A，得到线段AP；3.在线段AP上取点Q，使得AQ = AP；4.连接点Q和MN的中点P。
这样，我们便得到了一条线段QD，它就是角ABC的平分线。
证明为了方便证明，我们先简化问题，假设角ABC是直角，且AB = AC = 1。
我们可以按照以下步骤来证明：1.设点M是AB的中点，N是AC的中点，线段MN的中点为O，角MOQ为x，则角NOQ为90-x；2.设AM = a，AN = b，则由勾股定理可得，a2 + b2 = 1；3.由正弦定理和余弦定理可得：sin(x) / a = sin(90-x) / bcos(x) / a = cos(90-x) / b4.将第一步和第三步的式子相减，得到：tan(x) = b/a；5.同时，将第二步和第三步的式子相加，并将其化简，得到：AQ / AP= 1。
初二数学角平分线模型大全
初二数学角平分线模型大全
1.垂直直线模型：如果已知一个角的顶点和两个端点，则可以通过垂
直直线的方法构造角平分线。
2.三线相交模型：可以通过构造角平分线所在的三线相交的方法来求
角平分线，其中三线分别为角的两边和角平分线所在的直线。
3.作正方形模型：通过作出角的两边所构成的正方形来确定角平分线
的方向。
4.作等边三角形模型：通过作出角顶点所在的等边三角形来找到角平
分线。
5.利用角的性质模型：在特定情况下，利用角的性质可以直接求出角
平分线的方程式，如在等腰三角形中，角平分线必定与底边的中垂线重合。
角平分线的几种辅助线作法与三种模型 参考答案
一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP.A A AE P C E CD FE PO B B C O F B图1 图2 图3例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.DA EA P/ B CD B/ B C图5 图6例3如图6，P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点．（1）求证：PB+PC＞AB+AC；（2）若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC＞AB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系？二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E。
求证：1()2BE AC AB=-2、在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD．21FED CBAABDCEF图二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。
求证：∠BAP＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1NPED C BA2、如图2，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=EDAG CHDEF图2B四、以角的平分线为对称轴构造对称图形例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：AB=AC+CD．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1（1）当∠C=90°时，AD为∠BAC的平分线，求证：AB=AC+CD；（提示在AB上截取AE=AC）（2）如图2，当∠C≠90°时，AD为∠BAC的角平分线，猜想线段AB，AC，CD的关系式______；（请直接写出你的猜想，不需要证明）（3）如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD的关系______ （请写出你的猜想并对你的猜想给予证明）2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形 1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：CD=21BE ．BA CDE图2。
全等三角形辅助线系列之一___角平分线类辅助线作法大全
全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒． 在△PAE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PAE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】 如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB 的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =， 又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】 已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________． （2）请你证明（1）得出的结论．【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，PDCBA A BCDPE∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠， 在△CFP 和△DEP 中12CPF DEP PF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =． 【答案】见解析．【例4】 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==， 在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒． 在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠， 在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】 已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之； （2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论； （2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB 后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=； （2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】 如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】 如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠． 在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．ABCDE DCBAAB CD又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ ∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】 如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB AOED CBAFOED CBA∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】 已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠， 在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =． ∵60C ∠=︒，∴△CDE 是等边三角形，∴DE CD CE ==，∴BC BE CE AB CD =+=+．【答案】见解析．【例11】 观察、猜想、探究：在△ABC 中，2ACB B ∠=∠．（1）如图①，当90C ∠=︒，AD 为∠BAC 的角平分线时，求证：AB AC CD =+；（2）如图②，当90C ∠≠︒，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB 、AC 、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，理由角平分线性质得到ED=CD ，利用HL 得到直角三角形AED与直角三角形ACD 全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC =，AED ACB ∠=∠，由2ACB B ∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE DE =，由AB AE EB =+，等量代换即可得证；（2）AB CD AC =+，理由为：在AB 上截取AG AC =，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD AD =，利用SAS 得到三角形AGD 与三角形ACD 全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB CD AC =-，理由为：在AF 上截取AG AC =，如图3所示，同（2）即可得证．【答案】（1）过D 作DE ⊥AB ，交AB 于点E ，如图1所示，∵AD 为∠BAC 的平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE DC =， 在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠， 又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+； （2）AB CD AC =+，理由为： 在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠， 又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+； （3）AB CD AC =-，理由为： 在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠FAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】 如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-． 【答案】见解析．【例13】 如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =， 又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】 已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM = ∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=，∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】 如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．【解析】过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F．因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE PF=．同理可证PF PG=．所以PG PE=，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以P在∠A的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC=，BAD CAD∠=∠，DA DB=，求证：DC⊥AC．【解析】在AB上取中点E，连接DE，则12AE BE AB==．∵DA DB=，∴DE⊥AB，90AED∠=︒．又∵2AB AC=，∴AE AC=．PCBAPABCD∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠． 又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．EDCBAABCDC【解析】延长AC，交BF的延长线于点N．∵AD平分∠BAC，BF⊥AD，∴△AFB≌△AFN，∴BF NF=．∵AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，∴EA⊥FA．∵BF⊥AF，∴BF∥AE．∴::BF ME CF CM=，::FN AM CF CM=．∵BF NF=，∴AM ME=．【答案】见解析．MFE DCBAN MFE DCBA。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
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一、角平分线的三种“模型”
模型一：角平分线+平行线→等腰三角形
如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. A
A A
E P C E C D
F E P
O B B C O F B 图1 图2 图3
例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE.
模型二：角平分线+垂线→等腰三角形
如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF.
例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.
模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.
D A E
A P /
B
C
D B / B C 图5 图6
例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.
二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥
AD 于F 。
求证：1
()2
BE AC AB =-
2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。
求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。
2
1F
E
D
C
B
A
N
P
E D
C
B
A
A
B
D
C
E F
图
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：
∠1=∠2
2、2、 如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，
且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．
求证：AE=ED
3、（四（2））
四、以角的平分线为对称轴构造对称图形
例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠
C=2∠B ．
求证：AB=AC+CD ．
2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，
且∠A+∠C=1800，
求证：AD=DC ．
五、利用角的平分线构造等腰三角形
1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分
∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．
求证：CD=2
1
BE ．
G
21P F E
C B A
A G C H D E F
图2
B B A
C
D
E 图1 A
B
D
E C
B A
C
D
E 图2。