(整理)高等数学基本公式概念和方法

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2020年考研数学(高数、线代、概率论)最全公式手册

且 lim (x) lim (x) A, 则 lim f (x) A
xx0
x x0
x x0
2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：
sin x (1) lim 1
x0 x
1
(2) lim(1 x) x e x0
d(ln x) 1 dx x
d(sin x) cos xdx d(cos x) sin xdx
(7) y tan x
y

1 cos2
x

sec2
x
d(tan x) sec2 xdx
(8) y cot x
(9) y sec x (10) y csc x
y

1 sin2
x

csc2
x
d(cot x) csc2 xdx
y sec x tan x
d(sec x) sec x tan xdx
y csc x cot x
d(csc x) csc x cot xdx
(11) y arcsin x (12) y arccos x
y 1 1 x2
重要公式： lim a0 xn a1xn1 an1x an x b0 xm b1xm1 bm1x bm

0ab,00n,
n
m m

, n m
4 几个常用极限特例
lim n n 1,
n
lim arctan x
连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.
Th3: f (x0 ) 存在 f(x0 ) f(x0 )

高等数学概念定理推论公式

高等数学概念、定理、推论、公式※ 函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和； ·差的绝对值不小于各项绝对值的差； ·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。

·假设自变量x 在定义域X 内每获得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否那么就是多值函数。

·假设函数y=f(x)当x 改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；假设x 改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y 轴。

·反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x※ 数列的极限及函数的极限·假如数列收敛，必然是有界的； ·有界的数列不必然都是收敛的； ·无界数列必然是发散的。

·假如0lim ()x x f x A →=，而且A >0(或A <0)，那么就存在着点x 0的某一邻域，当x 在该领域内，但x ≠x 0时，f(x)>0(或f(x )<0)。

·假如f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且0lim ()x x f x A →=，那么A ≥0(或A ≤0)。

·函数f(x)当x →x0时极限存在的充分必要前提是左右极限都存在且相等。

·假如函数()f x 为无穷大，那么1()f x 为无穷小；反之亦然(()f x ≠0)。

·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，假如函数可表示为常数及无穷小，那么该常数就是函数的极限。

·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。

·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。

·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。

高数基础知识总结

( ) sin x
=
x−
x3 3!
+
x5 5!
+Λ
+ (−1)n
x 2n+1
(2n +1)!
+
0
x 2n+1
( ) cos x = 1−
x2 2!
+
x4 4!
−Λ
+ (−1)n
x 2n
(2n)!
+
0
x 2n
( ) ln(1 + x) = x − x2 + x3 − Λ + (− )1 n+1 xn + 0 xn
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
(log a
lim
f (x) g(x)
=
A
（或
∞
）
7．利用导数定义求极限
基本公式： lim ∆x→0
f (x0 + ∆x) −
∆x
f (x0 ) =
f ′(x0 )
[如果
值，如果对于区间 [a,b]上的任一点 x ，总有 f (x) ≤ M ，
则称 M 为函数 f (x) 在 [a,b]上的最大值。同样可以定义最
整数），则
lim
n→∞
xn
=
A 存在，且 A ≤
M
准则 2．（夹逼定理）设 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x)

高等数学基本常用公式

高等数学基本常用公式
一、集合方面：
1、空集的定义：空集是一个有着没有任何元素的集合，记作∅或{}。

2、幂集定义：给定集合S，则S的幂集定义为由S中所有不同元素组
成的所有可能的组合集合。

3、一元二次方程定义：一元二次方程式（Quadratic equation）是二次
多项式为0的形式，有唯一解决方法。

4、集合的不等式：A≠B 如果集合A和集合B不包含相同的元素，则
A≠B 。

二、函数方面：
1、一次函数定义：由一次多项式的第二项完成，它的关系式为 y=ax+b，其中a和b是实常数，且a≠0。

2、函数的导数法则：函数的导数是函数的变化率，可以由如下法则来
定义：d/dx(f(x))=f'(x)=limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。

3、指数函数定义：指数函数定义为y=ax^b，其中a和b是实常数，且
b>0。

4、对数函数定义：对数函数定义为y=a*log_b(x)，其中a和b是实常
数，且b>0。

三、微积分方面：
1、基本微积分定义：微积分是将函数导数应用到几何图形的学科，以开发几何图像的最佳特性。

2、基本积分公式：基本积分公式可以表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)为被求积函数，C为一定的常数。

3、泰勒公式：泰勒公式是一种用来把连续函数分解成多项式形式的方法，可以用来计算某个函数在某一点处的值。

4、定积分公式：定积分可以表示为∫a^bf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)为被求积函数。

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函数，它的定义域为 Dg，变量 u 称为中间变量.函数 g 与函数 f 构成的复合函数记为 f o g ，
( f o g )=f[g(x)].
1.3.4 函数的运算设函数 f(x)，g(x)的定义域依次为 D1，D2，D=D1ÇD2¹Æ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：
(1)和(差) f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x)，xÎD； (2)积 f×g：(f×g)(x)=f(x)×g(x)，xÎD；
tan
-tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanα
cot
-cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα
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映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射.
1.3 函数 1.3.1 函数设数集 DÌ ¡ ，则称映射 f：D® ¡ 为定义在 D 上的函数，记为 y=f(x)，xÎD，其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，记作 Df，即 Df=D. 1.3.2 函数的几种特性 (1)函数的有界性设函数 f（x）的定义域为 D，数集 X Ì D. 如果存在正数 M，使对任一 xÎX，有|f(x)|£M，则称函数 f(x)在 X 上有界；如果这样的 M 不存在，则称函数 f(x)在 X 上无界.即对任何 M，总存在 x1ÎX，使|f(x)|>M. (2)函数的单调性设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间 IÌD.如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)，则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称.如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=f(x) 恒成立，则称 f(x)为偶函数；如果对于任一 xÎD，有 f(-x)=-f(x)恒成立，则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D.如果存在一个正数 l，使得对于任一 xÎD 有 (x±l)ÎD，且 f(x+l)=f(x)，则称 f(x)为周期函数，l 称为 f(x)的周期. 1.3.3 反函数与复合函数

大一上高数知识点总结公式

大一上高数知识点总结公式本文旨在对大一上学期学习的高等数学知识点进行总结，并列出相关公式。

以下是各个知识点的概述及相关公式：1. 函数与极限函数概念：函数是一种关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

函数的表示：y = f(x), 其中 f(x) 表示函数的表达式，x 表示自变量，y 表示因变量。

极限概念：函数在某点无限逼近某值的过程。

极限的表示：lim(x→a) f(x) = L, 表示当 x 无限逼近 a 时，f(x)无限逼近 L。

2. 导数与微分导数概念：函数在某点的变化率，表示函数曲线在该点附近的切线斜率。

导数的表示：f'(x) 或 dy/dx，表示函数 f(x) 关于自变量 x 的导数。

微分概念：函数在某点附近的值变化量与自变量变化量的乘积。

微分的表示：df = f'(x)dx，其中 df 表示微分，dx 表示自变量的变化量。

3. 积分学不定积分概念：函数的反导数，表示函数的原函数。

不定积分的表示：∫f(x)dx，其中∫ 表示积分，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量。

定积分概念：表示函数在某区间上的面积或弧长。

定积分的表示：∫[a,b]f(x)dx，其中 [a,b] 表示积分区间，f(x) 表示被积函数，dx 表示自变量。

4. 一元函数的应用极值与最值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

求解极值的方法：通过函数的导数和二阶导数来判断函数的极值点。

应用题目：涉及到求最值和极值问题，如优化问题、最大最小值问题等。

5. 多元函数与偏导数多元函数概念：函数有多个自变量的情况下，称之为多元函数。

偏导数概念：多元函数在某个自变量上的变化率。

偏导数的表示：∂f/∂x，其中∂f/∂x 表示函数 f(x,y,...) 关于 x 的偏导数。

6. 重要公式总结（1）导数的基本公式：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0- 幂函数导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)- 指数函数导数：d/dx(e^x) = e^x- 对数函数导数：d/dx(ln(x)) = 1/x- 三角函数导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)- d/dx(cos(x)) = -sin(x)- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)（2）常用积分公式：- 幂函数积分：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C- 对数函数积分：∫1/x dx = ln|x| + C- 三角函数积分：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C通过对大一上高等数学知识点的总结，我们可以更好地掌握和应用这些知识。

大学数学高等数学的基本概念与定理

大学数学高等数学的基本概念与定理数学作为一门基础学科，对于大学生而言，高等数学是他们学习数学的起点。

在大学的高等数学课程中，基本概念与定理是学生们必须掌握的内容。

本文将重点介绍大学数学高等数学的基本概念与定理。

第一章数列与极限数列是数学中一系列按照一定规律排列的数的集合。

数列中的每一个数称为数列的项，用一般的小写字母an表示。

在数学中，数列是研究极限的基础。

极限概念对于分析数列的性质和行为非常重要。

1.1 数列的定义与性质数列的定义：如果对于每一个整数n，都有唯一确定的一个实数an与之对应，那么称a1, a2, a3, ...为一个数列，简记为{an}。

数列的性质：1）数列的有界性：数列有界的意义是存在两个实数M和N，使得对于每一个正整数n，都有M≤an≤N。

2）数列的单调性：数列单调有两种情况，即递增和递减。

如果对于每一个正整数n，an≤an+1，则称数列递增；如果an≥an+1，则称数列递减。

3）数列的有界单调性：数列既有界又递增或递减。

1.2 数列的极限极限是数列中最重要的概念之一，它描述了数列中的项随着自变量趋于无穷大或无穷小时的行为。

数列收敛与发散的定义：1）数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε都成立，那么称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an=a。

如果数列不收敛，则称数列发散。

2）数列的无穷大：对于任意给定的正数M，总存在正整数N，使得当n>N时，an>M都成立。

如果数列有这样的性质，则称数列为无穷大数列。

第二章函数与极限函数是数学中研究量与量之间对应关系的一种映射关系。

在数学中，函数的极限是研究函数性质、行为和趋势的重要概念。

2.1 函数的基本概念函数的定义与性质：1）函数的定义：设A、B为非空数集，若对于每一个x∈A，都有唯一确定的确定用y表示的实数与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)，称f(x)为从A到B的一个函数。

高等数学教材公式

高等数学教材公式高等数学是理工科专业中必修的一门课程，它涵盖了许多重要的数学概念和公式。

本文将逐步介绍一些高等数学教材中常见的公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

一、导数的基本公式1.1 基本导数公式(1) 常数函数导数公式：若y=c，其中c为常数，则dy/dx=0。

(2) 幂函数导数公式：若y=x^n，其中n为常数，则dy/dx=nx^(n-1)。

(3) 指数函数导数公式：若y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则dy/dx=a^x*ln(a)。

(4) 对数函数导数公式：若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则dy/dx=1/(x*ln(a))。

1.2 基本求导法则(1) 和差法则：若f(x)=u(x)±v(x)，则f'(x)=u'(x)±v'(x)。

(2) 函数乘积法则：若f(x)=u(x)*v(x)，则f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。

(3) 函数商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))^2。

(4) 复合函数求导法则：设y=f(u)，其中u=g(x)，则dy/dx=f'(u)*g'(x)。

二、积分的基本公式2.1 基本积分公式(1) 幂函数积分公式：∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C，其中n≠-1。

(2) 正弦函数积分公式：∫sin(x) dx=-cos(x)+C。

(3) 余弦函数积分公式：∫cos(x) dx=sin(x)+C。

(4) 指数函数积分公式：∫a^x dx=(a^x)/(ln(a))+C，其中a>0，a≠1。

(5) 对数函数积分公式：∫1/x dx=ln|x|+C。

2.2 基本积分法则(1) 基本求导法则的逆定理：若F'(x)=f(x)，则∫f(x) dx=F(x)+C。

高数公式大全

高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或第二章导数与微分1、基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)![ln()](1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

考研数学二公式高数线代(整理)技巧归纳(精选.)

高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ））　（33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ）（1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

大学高等数学知识点整理（全）

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. . 数列函数数列函数数列函数: : 1. 1. 类型类型类型: : (1) (1)数列数列数列: *: *()na f n =; *1()n n a f a +=(2) (2)初等函数初等函数初等函数: :(3) (3)分段函数分段函数分段函数: *: *0102()(),()x x f x F x x x f x £ì=í>î; *00()(),x x f x F x x x a¹ì=í=î;* (4) (4)复合复合复合((含f )函数函数: : (),()y f u u x j == (5) (5)隐式隐式隐式((方程方程): ): (,)0F x y =(6) (6)参式参式参式((数一数一,,二): ()()x x t y y t =ìí=î (7) (7)变限积分函数变限积分函数变限积分函数: : ()(,)xaF x f x t dt =ò(8) (8)级数和函数级数和函数级数和函数((数一数一,,三): 0(),nn n S x a x x ¥==ÎW å 2. 2. 特征特征特征((几何几何): ):(1) (1)单调性与有界性单调性与有界性单调性与有界性((判别判别); (); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x Þ"--定号定号) ) (2) (2)奇偶性与周期性奇偶性与周期性奇偶性与周期性((应用应用). ).3. 3. 反函数与直接函数反函数与直接函数反函数与直接函数: : 11()()()y f x x f y y f x --=Û=Þ= 二. . 极限性质极限性质极限性质: :1. 1. 类型类型类型: *: *lim n n a ®¥; *lim ()x f x ®¥(含x ®±¥); *0lim ()x x f x ®(含0x x ±®)2. 2. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大((注: : 无穷量无穷量无穷量): ):3. 3. 未定型未定型未定型: :00,,1,,0,0,0¥¥¥-¥×¥¥¥4. 4. 性质性质性质: *: *: *有界性有界性有界性, *, *, *保号性保号性保号性, *, *, *归并性归并性三. . 常用结论常用结论常用结论: :11nn ®, 1(0)1na a >®, 1()max(,,)n nn na b c a b c ++®,()00!na a n >®1(0)x x ®®¥, 0lim 1x x x +®=, lim 0nx x x e ®+¥=, ln lim 0n x x x®+¥=, 0lim ln 0nx x x +®=, 0,xx e x ®-¥ì®í+¥®+¥î四. . 必备公式必备公式必备公式: :1. 1. 等价无穷小等价无穷小等价无穷小: : : 当当()0u x ®时,sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -;()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x a a +-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 2. 泰勒公式泰勒公式泰勒公式: :(1)2211()2!xe x x o x =+++;(2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x aa a a -+=+++. 五. . 常规方法常规方法常规方法: :前前提: (1)准确判断0,,1,0Ma ¥¥¥(其它如:00,0,0,¥-¥×¥¥); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 1. 抓大弃小抓大弃小()¥¥,2. 2. 无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积 ( (M a ×) () (注注:1sin 1,x x£®¥)3. 1¥处理处理((其它如其它如::000,¥) 4. 4. 左右极限左右极限左右极限((包括x ®±¥):(1)1(0)x x®; (2)()xe x ®¥; 1(0)x e x ®; (3)分段函数: x , []x ,max ()f x5. 5. 无穷小等价替换无穷小等价替换无穷小等价替换((因式中的无穷小因式中的无穷小)()()(注注: : 非零因子非零因子非零因子) )6. 6. 洛必达法则洛必达法则洛必达法则(1) (1)先”处理”先”处理”先”处理”,,后法则后法则((00最后方法最后方法); (); (); (注意对比注意对比注意对比: :1ln lim 1x x x x ®-与0ln lim 1x x x x ®-) (2) (2)幂指型处理幂指型处理幂指型处理: : ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x xx xee e e-++-=-)(3) (3)含变限积分含变限积分含变限积分; ; (4) (4)不能用与不便用不能用与不便用不能用与不便用 7. 7. 泰勒公式泰勒公式泰勒公式((皮亚诺余项皮亚诺余项): ): ): 处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小 8. 8. 极限函数极限函数极限函数: : ()lim (,)n f x F x n ®¥=(Þ分段函数分段函数) )六. . 非常手段非常手段 1. 1. 收敛准则收敛准则收敛准则: :(1)()lim ()nx a f n f x ®+¥=Þ(2) (2)双边夹双边夹双边夹: *: *?n n n b a c ££, *,?n nb c a ®(3) (3)单边挤单边挤单边挤: : 1()n n a f a += *21a a ³ *?n a M £ *'()0?f x >2. 2. 导数定义导数定义导数定义((洛必达洛必达?): ?): 00lim'()x ff x x®=3. 3. 积分和积分和积分和: : 10112lim [()()()]()n n f f f f x dx n n n n®¥+++=ò,4. 4. 中值定理中值定理中值定理: : lim [()()]lim '()x xf x a f x a f x ®+¥®+¥+-=5. 5. 级数和级数和级数和((数一三数一三): ):(1)1n n a ¥=å收敛lim 0n n a ®¥Þ=, (, (如如2!limnn n n n ®¥) (2)121lim()n nn n a a a a ¥®¥=+++=å, (3){}na 与11()nn n aa ¥-=-å同敛散七. . 常见应用常见应用常见应用: :1. 1. 无穷小比较无穷小比较无穷小比较((等价等价,,阶): *(),(0)?n f x kx x ®(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f ffa -=====Û()()!!nn n a a f x x x x n n a =+(2)()xxnf t dtkt dt òò2. 2. 渐近线渐近线渐近线((含斜含斜): ): (1)()lim,lim[()]x xf x a b f x ax x®¥®¥==-()f x ax b a Þ++(2)()f x ax b a =++,(10x®)3. 3. 连续性连续性连续性: (1): (1): (1)间断点判别间断点判别间断点判别((个数个数); (2)); (2)); (2)分段函数连续性分段函数连续性分段函数连续性((附:极限函数极限函数, , '()f x 连续性)八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01l "<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x l l +-=) 2. 2. 介值定理介值定理介值定理: (: (: (附附: : 达布定理达布定理达布定理) )(1) (1)零点存在定理零点存在定理零点存在定理: : ()()0f a f b <0()0f x Þ=(根的个数根的个数); ); (2)()0(())'0xaf x f x dx =Þ=ò.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. . 基本概念基本概念基本概念: :1. 1. 差商与导数差商与导数差商与导数: : '()f x =0()()limx f x x f x x ®+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x ®--(1)0()(0)'(0)lim x f x f f x ®-= ( (注注:0()lim (x f x A f x ®=连续连续))(0)0,'(0)f f A Þ==) (2) (2)左右导左右导左右导: :''0(),()f x f x -+;(3) (3)可导与连续可导与连续可导与连续; (; (; (在在0x =处, x 连续不可导连续不可导; ; x x 可导可导) )2. 2. 微分与导数微分与导数微分与导数: : ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+Þ= (1) (1)可微可微Û可导可导; (2); (2); (2)比较比较,f df D 与"0"的大小比较的大小比较((图示图示); ); 二. . 求导准备求导准备求导准备: :1. 1. 基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式; (; (; (注注: (())'f x )2. 2. 法则法则法则: (1): (1): (1)四则运算四则运算四则运算; (2); (2); (2)复合法则复合法则复合法则; (3); (3); (3)反函数反函数1'dx dy y = 三. . 各类求导各类求导各类求导((方法步骤方法步骤): ): 1. 定义导: (1)'()f a 与'()x af x =; (2)分段函数左右导;(3)0()()limh f x h f x h h®+--( (注注: 00()(),x x F x f x x x a ¹ì=í=î, , 求求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性的连续性) )2. 2. 初等导初等导初等导((公式加法则公式加法则): ): (1)[()]u f g x =, , 求求:0'()u x (图形题图形题); ); (2)()()xaF x f t dt=ò,求:'()F x (注:((,))',((,))',(())'xbbaaaf x t dt f x t dt f t dt òòò)(3)0102(),()x x f x y x x f x <ì=í³î,求''00(),()f x f x -+及0'()f x ( (待定系数待定系数待定系数) )3. 3. 隐式隐式隐式(((,)0f x y =)导: 22,dy d ydx dx(1) (1)存在定理存在定理存在定理; ; (2) (2)微分法微分法微分法((一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性). ). (3) (3)对数求导法对数求导法对数求导法. .4. 4. 参式导参式导参式导((数一数一,,二): ()()x x t y y t =ìí=î, , 求求:22,dy d y dx dx 5. 5. 高阶导高阶导()()nfx 公式公式: :()()ax n n ax e a e =; ()11!()()nn n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n p =+´; ()(cos )cos()2n nax a ax n p =+´()()1(1)2(2)()'"nnn n nnuv u v C uv C uv --=+++注注: ()(0)n f与泰勒展式与泰勒展式: : 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n Þ=四. . 各类应用各类应用各类应用: :1. 1. 斜率与切线斜率与切线斜率与切线((法线法线); (); (); (区别区别区别: : ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线的切线) )2. 2. 物理物理物理: (: (: (相对相对相对))变化率-速度速度; ;3. 3. 曲率曲率曲率((数一二数一二): ): 23"()(1'())f x f x r =+(曲率半径曲率半径, , , 曲率中心曲率中心曲率中心, , , 曲率圆曲率圆曲率圆) )4. 4. 边际与弹性边际与弹性边际与弹性((数三数三): (): (): (附附: : 需求需求需求, , , 收益收益收益, , , 成本成本成本, , , 利润利润利润)) 五. . 单调性与极值单调性与极值单调性与极值((必求导必求导) ) 1. 1. 判别判别判别((驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ³Þ; '()0()f x f x £Þ;(2) (2)分段函数的单调性分段函数的单调性(3)'()0f x >Þ零点唯一零点唯一; ; "()0f x >Þ驻点唯一驻点唯一((必为极值必为极值,,最值最值). ). 2. 2. 极值点极值点极值点: :(1) (1)表格表格表格(('()f x 变号变号); (); (); (由由02'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x xxxxxf x f x f x x xxx®®®¹¹¹Þ=的特点)(2) (2)二阶导二阶导二阶导((0'()0f x =)注注(1)f 与',"f f 的匹配的匹配(('f 图形中包含的信息图形中包含的信息); );(2) (2)实例实例实例: : : 由由'()()()()f x x f x g x l +=确定点“0x x =”的特点”的特点. . (3) (3)闭域上最值闭域上最值闭域上最值((应用例应用例: : : 与定积分几何应用相结合与定积分几何应用相结合与定积分几何应用相结合, , , 求最优求最优求最优) ) 3. 3. 不等式证明不等式证明不等式证明((()0f x ³)(1) (1)区别区别区别: *: *: *单变量与双变量单变量与双变量单变量与双变量? *? *[,]x a b Î与[,),(,)x a x Î+¥Î-¥+¥? (2) (2)类型类型类型: *: *'0,()0f f a ³³; *'0,()0f f b £³*"0,(),()0f f a f b £³; *0"()0,'()0,()0f x f x f x ³=³(3) (3)注意注意注意: : : 单调性单调性Å端点值Å极值Å凹凸性凹凸性. (. (. (如如: max ()()f x M f x M £Û=) 4. 4. 函数的零点个数函数的零点个数函数的零点个数: : : 单调单调Å介值六. . 凹凸与拐点凹凸与拐点凹凸与拐点((必求导必求导!): !): 1. "y Þ表格表格; (; (0"()0f x =)2. 2. 应用应用应用: (1): (1): (1)泰勒估计泰勒估计泰勒估计; (2); (2)'f 单调单调; (3); (3); (3)凹凸凹凸凹凸. . 七. . 罗尔定理与辅助函数罗尔定理与辅助函数罗尔定理与辅助函数: (: (: (注注: : 最值点必为驻点最值点必为驻点最值点必为驻点) ) 1. 1. 结论结论结论: : ()()'()()0F b F a F f x x =Þ== 2. 2. 辅助函数构造实例辅助函数构造实例辅助函数构造实例: :(1)()f x Þ()()xa a F x f t dt =ò(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x x x x x +=Þ= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x x x x x -=Þ=(4)'()()()0f f x l x x +=Þ()()()x dx F x e f x l ò=;3. ()()0()n f f x x =Û有1n +个零点(1)()n f x -Û有2个零点4. 4. 特例特例特例: : : 证明证明()()nf a x =的常规方法的常规方法::令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点个零点((()nP x 待定)5. 5. 注注: : 含含12,x x 时,分家分家!(!(!(柯西定理柯西定理柯西定理) )6. 6. 附附(达布定理达布定理): ): ()f x 在[,]a b 可导可导,,['(),'()]c f a f b "Î,[,]a b x $Î,使:'()f c x = 八. . 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理1. 1. 结论结论结论: : ()()'()()f b f a f b a x -=-; (()(),'()0a b j j x j x <Þ$'>)2. 2. 估计估计估计: : '()f f x x =九. . 泰勒公式泰勒公式泰勒公式((连接,',"f f f 之间的桥梁之间的桥梁) )1. 1. 结论结论结论: : 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x x =+-+-+-;2. 2. 应用应用应用: : : 在已知在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. . 积分中值定理积分中值定理积分中值定理((附:广义广义): [): [): [注注:有定积分有定积分((不含变限不含变限))条件时使用条件时使用] ] 第三讲: 一元积分学一. . 基本概念基本概念基本概念: : 1. 1. 原函数原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+ò注注(1)()()xaF x f t dt =ò(连续不一定可导连续不一定可导); );(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -ÞÞòò (()f x 连续连续) )2. 2. 不定积分性质不定积分性质不定积分性质: :(1)(())'()f x dx f x =ò; (())()d f x dx f x dx =ò(2)'()()f x dx f x c =+ò; ()()df x f x c =+ò二. . 不定积分常规方法不定积分常规方法不定积分常规方法 1. 1. 熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式2. 2. 基本方法基本方法基本方法: : : 拆拆(线性性线性性) )1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+òòò3. 3. 凑微法凑微法凑微法((基础基础): ): ): 要求巧要求巧要求巧,,简,活(221sin cos x x =+)如如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x ax=+==2dx d x x=221,(1ln )(ln )1x dx d x x dx d x x x=++=+4. 4. 变量代换变量代换变量代换: :(1) (1)常用常用常用((三角代换三角代换,,根式代换根式代换,,倒代换倒代换): ): 1sin ,,,1xx t ax b t t e t x=+==+=(2) (2)作用与引伸作用与引伸作用与引伸((化简化简): ): 21x x t ±-=5. 5. 分部积分分部积分分部积分((巧用巧用): ):(1) (1)含需求导的被积函数含需求导的被积函数含需求导的被积函数((如ln ,arctan ,()xax x f t dt ò);(2) (2)“反对幂三指”“反对幂三指”“反对幂三指”: : ,ln ,n ax n x e dx x xdx òò(3) (3)特别特别特别: :()xf x dx ò (* (*已知已知()f x 的原函数为()F x ; *; *已知已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b xdx a x b x ++ò; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx òò快速法; (3)()()nv x dx u x ò三. . 定积分定积分定积分: : 1. 1. 概念性质概念性质概念性质: : (1) (1)积分和式积分和式积分和式((可积的必要条件可积的必要条件::有界有界, , , 充分条件充分条件充分条件::连续连续) ) (2) (2)几何意义几何意义几何意义((面积面积,,对称性对称性,,周期性周期性,,积分中值积分中值) ) *220(0)8a ax x dx a ap ->=ò; *()02baa b x dx +-=ò(3) (3)附附: ()()baf x dx M b a £-ò,()()()bbaaf xg x dx M g x dx £òò) (4) (4)定积分与变限积分定积分与变限积分定积分与变限积分, , , 反常积分的区别联系与侧重反常积分的区别联系与侧重2: 2: 变限积分变限积分()()xax f t dt F =ò的处理的处理((重点重点) )(1)f 可积ÞF 连续连续, , f 连续ÞF 可导 (2)(())'xaf t dt ò()f x =;(()())'()x xaax t f t dt f t dt-=òò;()()()xaf x dt x a f x =-ò(3) (3)由函数由函数()()xaF x f t dt =ò参与的求导参与的求导, , , 极限极限极限, , , 极值极值极值, , , 积分积分积分((方程方程))问题3. N L -公式公式: :()()()baf x dx F b F a =-ò(()F x 在[,]a b 上必须连续上必须连续!)!) 注注: (1): (1)分段积分分段积分分段积分, , , 对称性对称性对称性((奇偶奇偶), ), ), 周期性周期性 (2) (2)有理式有理式有理式, , , 三角式三角式三角式, , , 根式根式 (3) (3)含含()baf t dt ò的方程的方程. .4. 4. 变量代换变量代换变量代换: :()(())'()baf x dx f u t u t dt ba=òò(1)00()()()aaf x dx f a x dx x a t =-=-òò,(2)0()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-òòò ( (如如:4411sin dx x pp -+ò) (3)2201sin nn n n I xdx I np--==ò,(4)220(sin )(cos )f x dx f x dx pp =òò;20(sin )2(sin )f x dx f x dx pp =òò,(5)0(sin )(sin )2xf x dx f x dx p p p =òò,5. 5. 分部积分分部积分(1) (1)准备时“凑常数”准备时“凑常数” (2) (2)已知已知'()f x 或()x af x =ò时, , 求求()baf x dx ò6. 6. 附附: : 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系的正交性: :22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx ppp pp p===òòò2200sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m p p=¹=òò22220sin cos nxdx nxdx p pp ==òò 四. . 反常积分反常积分反常积分: : 1. 1. 类型类型类型: (1): (1)(),(),()aaf x dx f x dx f x dx +¥+¥-¥-¥òòò(()f x 连续连续) )(2)()b af x dx ò: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断处为无穷间断) )2. 2. 敛散敛散敛散; ;3. 3. 计算计算计算: : : 积分法积分法ÅN L -公式Å极限极限((可换元与分部可换元与分部) )4. 4. 特例特例特例: (1): (1)11p dx x+¥ò; (2)101pdx xò五. . 应用应用应用: (: (: (柱体侧面积除外柱体侧面积除外柱体侧面积除外) )1. 1. 面积面积面积, ,(1)[()()];baS f x g x dx =-ò(2)1()dcS f y dy -=ò;(3)21()2S r d b a q q =ò; (4); (4)侧面积侧面积侧面积::22()1'()b a S f x f x dx p =+ò 2. 2. 体积体积体积: :(1)22[()()]bx a V fx g x dx p=-ò; (2)12[()]2()dbyc a V f y dy xf x dx p p -==òò(3)0x x V =与0y y V = 3. 3. 弧长弧长弧长: : 22()()ds dx dy =+(1)(),[,]y f x x a b =Î21'()bas f x dx =+ò(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =ìÎí=î 2122'()'()t t s x t y t dt =+ò(3)(),[,]r r q q a b =Î: 22()'()s r r d baq q q =+ò4. 4. 物理物理物理((数一数一,,二)功,引力引力,,水压力水压力,,质心质心, ,5. 5. 平均值平均值平均值((中值定理中值定理): ): (1)1[,]()baf a b f x dx b a=-ò;(2)0()[0)limxx f t dt f x®+¥+¥=ò, (f 以T 为周期为周期::0()Tf t dt fT=ò)第四讲: 微分方程一. . 基本概念基本概念 1. 1. 常识常识常识: : : 通解通解通解, , , 初值问题与特解初值问题与特解初值问题与特解((注: : 应用题中的隐含条件应用题中的隐含条件应用题中的隐含条件) ) 2. 2. 变换方程变换方程变换方程: : (1) (1)令令()'""x x t y Dy =Þ=(如欧拉方程如欧拉方程) )(2) (2)令令(,)(,)'u u x y y y x u y =Þ=Þ(如伯努利方程如伯努利方程) ) 3. 3. 建立方程建立方程建立方程((应用题应用题))的能力二. . 一阶方程一阶方程一阶方程: :1. 1. 形式形式形式: (1): (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 2. 变量分离型变量分离型变量分离型: : '()()y f x g y = (1) (1)解法解法解法: :()()()()dyf x dx G y F x Cg y =Þ=+òò(2) (2)“偏”微分方程“偏”微分方程“偏”微分方程: : (,)z f x y x¶=¶;3. 3. 一阶线性一阶线性一阶线性((重点重点): ): '()()y p x y q x += (1) (1)解法解法解法((积分因子法积分因子法): ): 0()01()[()()]()x x p x dxxx M x e y M x q x dx y M x ò=Þ=+ò(2) (2)变化变化变化: : '()()x p y x q y +=;(3) (3)推广推广推广: : : 伯努利伯努利伯努利((数一数一) ) '()()y p x y q x y a += 4. 4. 齐次方程齐次方程齐次方程: : '()y y x=F(1) (1)解法解法解法: : '(),()y dudx u u xu u xu u x=Þ+=F =F -òò(2) (2)特例特例特例: : 111222a xb yc dy dxa xb yc ++=++5. 5. 全微分方程全微分方程全微分方程((数一数一): ): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y¶¶=¶¶ dU Mdx Ndy U C =+Þ=6. 6. 一阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程((数三数三): ): 1*0()()xx x x xn x x y ca y ay b p x y x Q x b +=ì-=Þí=î三. . 二阶降阶方程二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: : 令令'()"(,)dp y p x y f x p dx=Þ==3. "(,')y f y y =: : 令令'()"(,)dp y p y y p f y p dy =Þ==四. . 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程: : ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 1. 通解结构通解结构通解结构: :(1) (1)齐次解齐次解齐次解: : 01122()()()y x c y x c y x =+(2) (2)非齐次特解非齐次特解非齐次特解: : 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 2. 常系数方程常系数方程常系数方程: : "'()ay by cy f x ++=(1) (1)特征方程与特征根特征方程与特征根特征方程与特征根: : 20a b c l l ++=(2) (2)非齐次特解形式确定非齐次特解形式确定非齐次特解形式确定: : : 待定系数待定系数待定系数; (; (; (附附: ()ax f x ke =的算子法的算子法) )(3) (3)由已知解反求方程由已知解反求方程由已知解反求方程. .3. 欧拉方程(数一):2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =Þ=-=五. . 应用应用应用((注意初始条件注意初始条件): ): 1. 1. 几何应用几何应用几何应用((斜率斜率, , , 弧长弧长弧长, , , 曲率曲率曲率, , , 面积面积面积, , , 体积体积体积); ); 注注: : 切线和法线的截距切线和法线的截距 2. 2. 积分等式变方程积分等式变方程积分等式变方程((含变限积分含变限积分); ); 可设可设 ()(),()0xaf x dx F x F a ==ò3. 3. 导数定义立方程导数定义立方程导数定义立方程: : 含双变量条件含双变量条件()f x y +=的方程4. 4. 变化率变化率变化率((速度速度) )5. 22dv d x F ma dt dt ===6. 6. 路径无关得方程路径无关得方程路径无关得方程((数一数一): ): Q Px y ¶¶=¶¶7. 7. 级数与方程级数与方程级数与方程: :(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 8. 弹性问题弹性问题弹性问题((数三数三) )第五讲: 多元微分与二重积分一. . 二元微分学概念二元微分学概念 1. 1. 极限极限极限, , , 连续连续连续, , , 单变量连续单变量连续单变量连续, , , 偏导偏导偏导, , , 全微分全微分全微分, , , 偏导连续偏导连续偏导连续((必要条件与充分条件必要条件与充分条件), ), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y D =++D =+D =+(2)lim ,lim ,lim y xx y f ff f f x y D D D ==D D(3)22,lim()()x y f dff x f ydf x y D -++ ( (判别可微性判别可微性判别可微性) )注注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义点处的偏导数与全微分的极限定义: :(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy®®--==2. 2. 特例特例特例: :(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx yf x y ì¹ï+=íï=î: (0,0)点处可导不连续点处可导不连续; ; (2)22(0,0)(,)0,(0,0)xy f x y x y ì¹ï=+íï=î: (0,0)点处连续可导不可微点处连续可导不可微; ; 二. . 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算: :1. 1. 显函数一显函数一显函数一,,二阶偏导二阶偏导: : (,)z f x y = 注注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3); (3)含变限积分含变限积分2. 2. 复合函数的一复合函数的一复合函数的一,,二阶偏导二阶偏导((重点重点): ): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用 3. 3. 隐函数隐函数隐函数((由方程或方程组确定由方程或方程组确定): ):(1) (1)形式形式形式: *: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =ìí=î ( (存在定理存在定理存在定理) )(2) (2)微分法微分法微分法((熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0xyzF dx F dy F dz ++= ( (要求要求要求: : : 二阶二阶导)(3) (3)注注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4) (4)会变换方程会变换方程会变换方程. . 三. . 二元极值二元极值二元极值((定义定义?); ?); 1. 1. 二元极值二元极值二元极值((显式或隐式显式或隐式): ): (1) (1)必要条件必要条件必要条件((驻点驻点); ); (2) (2)充分条件充分条件充分条件((判别判别) ) 2. 2. 条件极值条件极值条件极值((拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) () () (注注: : 应用应用应用) )(1) (1)目标函数与约束条件目标函数与约束条件目标函数与约束条件: : (,)(,)0z f x y x y j =Å=, (, (或或: : 多条件多条件多条件) ) (2) (2)求解步骤求解步骤求解步骤: : (,,)(,)(,)L x y f x y x y l lj =+, , 求驻点即可求驻点即可求驻点即可. . 3. 3. 有界闭域上最值有界闭域上最值有界闭域上最值((重点重点). ).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y j =ÅÎ=£ (2) (2)实例实例实例: : : 距离问题距离问题四. . 二重积分计算二重积分计算二重积分计算:: 1. 1. 概念与性质概念与性质概念与性质((“积”前工作“积”前工作): ): (1)Dd s òò,(2) (2)对称性对称性对称性((熟练掌握熟练掌握): *): *D 域轴对称域轴对称; *; *f 奇偶对称奇偶对称; *; *; *字母轮换对称字母轮换对称字母轮换对称; *; *; *重心坐重心坐标;(3) (3)“分块”积分“分块”积分“分块”积分: *: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义分片定义; *; *(,)f x y 奇偶2. 2. 计算计算计算((化二次积分化二次积分): ):(1) (1)直角坐标与极坐标选择直角坐标与极坐标选择直角坐标与极坐标选择((转换转换): ): ): 以“以“D ”为主”为主; ; (2) (2)交换积分次序交换积分次序交换积分次序((熟练掌握熟练掌握). ). 3. 3. 极坐标使用极坐标使用极坐标使用((转换转换): ): 22()f x y +附附: 222:()()D x a y b R -+-£; 2222:1x y D ab+£;双纽线双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +£ 4. 4. 特例特例特例: :(1) (1)单变量单变量单变量: : ()f x 或()f y (2) (2)利用利用重心求积分: : 要求要求要求: : : 题型题型12()Dk x k y dxdy +òò, , 且已知且已知D 的面积DS 与重心(,)x y5. 5. 无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分((数三数三) ) 五: : 一类积分的应用一类积分的应用一类积分的应用((():;;;;f M d D L s WÞW W G S ò):1. 1. “尺寸”“尺寸”“尺寸”: (1): (1)D Dd Ss Ûòò; (2); (2)曲面面积曲面面积曲面面积((除柱体侧面除柱体侧面); ); 2. 2. 质量质量质量, , , 重心重心重心((形心形心), ), ), 转动惯量转动惯量转动惯量; ; 3. 3. 为三重积分为三重积分为三重积分, , , 格林公式格林公式格林公式, , , 曲面投影作准备曲面投影作准备曲面投影作准备. .第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. . 级数概念级数概念1. 1. 定义定义定义: (1): (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S ®¥( (如如1(1)!n nn ¥=+å)注注:(1)lim n n a ®¥; (2)nq å(或1n aå); (3)“伸缩”级数级数::1()n n a a +-å收敛{}n a Û收敛收敛. .2. 2. 性质性质性质: (1): (1): (1)收敛的必要条件收敛的必要条件收敛的必要条件: : lim 0n n a ®¥=;(2) (2)加括号后发散加括号后发散加括号后发散, , , 则原级数必发散则原级数必发散则原级数必发散((交错级数的讨论交错级数的讨论); ); (3)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®; 二. . 正项级数正项级数1. 1. 正项级数正项级数正项级数: (1): (1): (1)定义定义定义: : 0n a ³; (2); (2)特征特征特征: : n S ; (3); (3)收敛收敛n S M Û£(有界)2. 2. 标准级数标准级数标准级数: (1): (1)1p n å, (2)ln knna å, (3)1ln k n n å 3. 3. 审敛方法审敛方法审敛方法: (: (: (注注:222ab a b £+,ln ln baa b=)(1) (1)比较法比较法比较法((原理原理):):np k a n (估计估计), ), ), 如如10()n f x dx ò; ()()P n Q n å (2) (2)比值与根值比值与根值比值与根值: *: *1lim n n nu u +®¥ *lim n n n u ®¥ ( (应用应用应用: : : 幂级数收敛半径计算幂级数收敛半径计算幂级数收敛半径计算) )三. . 交错级数交错级数交错级数((含一般项含一般项): ):1(1)n n a +-å(0n a >) 1. 1. “审”前考察“审”前考察“审”前考察: (1): (1)0?na > (2)0?n a ®; (3); (3)绝对绝对绝对((条件条件))收敛收敛? ? 注注: : 若若1lim 1n n na a r +®¥=>,则n u å发散2. 2. 标准级数标准级数标准级数: (1): (1)11(1)n n +-å; (2)11(1)n p n +-å; (3)11(1)ln n pn +-å3. 3. 莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法((收敛收敛?) ?) (1) (1)前提前提前提: :n a å发散发散; (2); (2); (2)条件条件条件: : ,0nn a a ®; (3); (3)结论结论结论: : 1(1)n n a +-å条件收敛收敛. .4. 4. 补充方法补充方法补充方法: :(1) (1)加括号后发散加括号后发散加括号后发散, , , 则原级数必发散则原级数必发散则原级数必发散; (2); (2)221,0n n n n s s s s a a s s s s s s s s+®®Þ®Þ®.5. 5. 注意事项注意事项注意事项: : : 对比对比 n a å; (1)n n a -å; n a å; 2n a å之间的敛散关系四. . 幂级数幂级数幂级数: : 1. 1. 常见形式常见形式常见形式: : (1)n n a x å, (2)0()n n a x x -å, (3)20()nna x x -å 2. 2. 阿贝尔定理阿贝尔定理阿贝尔定理: :(1) (1)结论结论结论: : *x x =敛*0R x x Þ³-; *x x =散*0R x x Þ£-(2) (2)注注: : 当当*x x =条件收敛时*R x x Þ=- 3. 3. 收敛半径收敛半径收敛半径,,区间区间,,收敛域收敛域((求和前的准备求和前的准备) ) 注注(1),nnnn a na x x nåå与n n a x å同收敛半径(2)nn a x å与20()nn a x x -å之间的转换 4. 4. 幂级数展开法幂级数展开法幂级数展开法: : (1) (1)前提前提前提: : : 熟记公式熟记公式熟记公式((双向双向,,标明敛域标明敛域) )23111,2!3!xe x x x R =++++W =24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++W =35111(),23!5!xxe e x x x R --=+++W =3511sin ,3!5!x x x x R =-+-W = 2411cos 1,2!4!x x x R =-++W =; 211,(1,1)1x x x x =+++Î--; 211,(1,1)1x x x x=-+-Î-+2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-Î-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----Î-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-Î-(2) (2)分解分解分解: : ()()()f x g x h x =+(注:中心移动中心移动) () () (特别特别特别: : 021,x x ax bx c=++) (3) (3)考察导函数考察导函数考察导函数: : ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f Þ=+ò(4) (4)考察原函数考察原函数考察原函数: : 0()()xg x f x dx ò()'()f x g x Þ=5. 5. 幂级数求和法幂级数求和法幂级数求和法((注: *: *先求收敛域先求收敛域先求收敛域, *, *, *变量替换变量替换变量替换): ): (1)(),S x =+åå(2)'()S x =,(,(注意首项变化注意首项变化注意首项变化) )(3)()()'S x =å,(4)()"()"S x S x Þ的微分方程 (5) (5)应用应用应用::()(1(1))nn n n a a x S x a S Þ=Þ=ååå. 6. 6. 方程的幂级数解法方程的幂级数解法7. 7. 经济应用经济应用经济应用((数三数三): ):(1) (1)复利复利复利: : (1)nA p +; (2); (2)现值现值现值: : (1)n A p -+五. . 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数((数一数一): (): (2T p =) 1. 1. 傅氏级数傅氏级数傅氏级数((三角级数三角级数): ): 01()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥==++å2. Dirichlet 充分条件充分条件((收敛定理收敛定理): ): (1) (1)由由()()f x S x Þ(和函数和函数) ) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++3. 3. 系数公式系数公式系数公式: : 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin nn a f x nxdx a f x dx n b f x nxdxppp ppp ppp ---ì=ïï==íï=ïîòòò4. 4. 题型题型题型: (: (: (注注: ()(),?f x S x x =Î) (1)2T p =且(),(,]f x x p p =Î-(分段表示分段表示) )(2)(,]x p p Î-或[0,2]x p Î (3)[0,]x p Î正弦或余弦 *(4)[0,]x p Î(T p =) *5. 2T l =6. 6. 附产品附产品附产品: : ()f x Þ01()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥==++å0001()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥=Þ=++å001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. . 向量基本运算向量基本运算1. 12k a k b +; (; (平行平行b a l Û=)2. a ; (; (单位向量单位向量单位向量((方向余弦方向余弦) ) 01(cos ,cos ,cos )a aaa b g =)3. a b ×; (; (投影投影投影::()a a b b a×=; ; 垂直垂直垂直::0a b a b ^Û×=; ; 夹角夹角夹角::(,)a b a b a b×=)4. a b ´; (; (法向法向法向::,n a b a b =´^; ; 面积面积面积::S a b =´) 二. . 平面与直线平面与直线 1. 1.平面平面P(1) (1)特征特征特征((基本量基本量): ): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C Å= (2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D p -+-+-=Þ+++=(3) (3)其它其它其它: *: *: *截距式截距式1x y za b c++=; *; *三点式三点式2. 2.直线直线L(1) (1)特征特征特征((基本量基本量): ): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p Å=(2) (2)方程方程方程((点向式点向式): ): 000:x x y y z z L m n p ---==(3) (3)一般方程一般方程一般方程((交面式交面式): ): 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=ìí+++=î(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a ty b b b t t z c c c t=+-ìï=+-Îíï=+-î)3. 3. 实用方法实用方法实用方法: :(1) (1)平面束方程平面束方程平面束方程: : 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D p l +++++++=(2) (2)距离公式距离公式距离公式: : : 如点如点000(,)M x y 到平面的距离000222Ax By Cz D d A B C +++=++(3) (3)对称问题对称问题对称问题; ;(4) (4)投影问题投影问题投影问题. .三. . 曲面与空间曲线曲面与空间曲线曲面与空间曲线((准备准备) ) 1. 1. 曲面曲面(1) (1)形式形式S : (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (; (注注: : 柱面柱面(,)0f x y =) (2) (2)法向法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y zn F F F a b g =Þ ( (或或(,1)x y n z z =--)2. 2. 曲线曲线(1) (1)形式形式():()()x x t y y t z z t =ìïG =íï=î, , 或或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =ìí=î; (2) (2)切向切向切向: : {'(),'(),'()}s x t y t z t = ( (或或12s n n =´)3. 3. 应用应用 (1) (1)交线交线交线, , , 投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线; ;(2) (2)旋转面计算旋转面计算旋转面计算: : : 参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转; ;(3) (3)锥面计算锥面计算锥面计算. .四. . 常用二次曲面常用二次曲面 1. 1. 圆柱面圆柱面圆柱面: : 222x y R += 2. 2. 球面球面球面: : 2222x y z R ++=变形变形变形: : 2222x y R z +=-, 222()z R x y =-+,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 3. 锥面锥面锥面: : 22z x y =+变形变形变形: : 222x y z +=, 22z a x y =-+ 4. 4. 抛物面抛物面抛物面: : 22z x y =+,变形变形变形: : 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 5. 双曲面双曲面双曲面: : 2221x y z +=± 6. 6. 马鞍面马鞍面马鞍面: : 22z x y =-, , 或或z xy =五. . 偏导几何应用偏导几何应用 1. 1. 曲面曲面(1) (1)法向法向法向: : (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =Þ=, , 注注: (,)(,1)x y z f x y n f f =Þ=- (2) (2)切平面与法线切平面与法线切平面与法线: :。

高数前三章知识点总结公式

高数前三章知识点总结公式一、函数与极限1. 函数的概念函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个自变量和因变量之间的映射关系。

在高等数学中，函数通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等性质都是我们研究函数的重要内容。

2. 极限的概念极限是微积分中一个基本概念，它描述了一个函数在某一点或者无穷远处的趋势。

在高等数学中，我们主要讨论函数在某一点的极限和无穷远处的极限。

极限的定义、性质、计算方法是我们学习的重点内容。

3. 极限存在的条件在高等数学中，我们学习了许多函数的极限存在的条件，比如数列的极限、函数的左右极限、无穷极限等。

这些条件对我们理解函数的性质和应用都有着重要的意义。

4. 极限的运算法则在计算函数的极限时，我们通常会用到极限的四则运算法则、复合函数的极限、夹逼准则等方法。

这些运算法则是我们计算极限时的重要工具。

5. 无穷小与无穷大在研究极限时，我们会遇到无穷小和无穷大的概念。

无穷小是当自变量趋于某一点时，因变量趋于零的量，而无穷大是当自变量趋于某一点时，因变量趋于无穷的量。

无穷小和无穷大的性质和计算是我们学习的重点内容。

6. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的近似表达式。

泰勒公式的推导和应用是我们学习的重要内容。

7. 函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数图像的平滑程度。

在高等数学中，我们学习了函数的间断点、可导性、连续函数的性质和应用。

8. 函数的单调性单调性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的增减性。

在高等数学中，我们学习了函数的单调递增和单调递减的判定方法和应用。

二、导数与微分1. 导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点的变化率。

在高等数学中，我们学习了导数的定义、性质、几何意义和物理意义。

2. 导数的计算在计算函数的导数时，我们通常会用到导数的四则运算法则、复合函数的导数、高阶导数、隐函数的导数等方法。

高等数学公式大全

高等数学公式大全高等数学是一个非常广泛的学科，包含了数学中的许多基本概念和方法。

这里我们将为大家介绍高等数学中的各种公式。

1.微积分微积分是高等数学中最重要的概念之一。

它是研究函数的变化的一种方法，包括微分和积分。

以下是微积分中的一些重要公式：（1）导数：如果$f(x)$是一个可导函数，则$f(x)$在$x=a$处的导数为$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。

（2）高阶导数：如果$f(x)$是一个可导函数，则$f(x)$的$n$阶导数为$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}f(x)}{dx^{n}}$。

（3）链式法则：如果$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可导函数，则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。

（4）积分基本定理：如果$f(x)$是一个可积函数，则$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。

（5）分部积分法：如果$u(x)$和$v(x)$都是可积函数，则$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)\,dx$。

2.矩阵和行列式矩阵和行列式是高等数学中的另一个重要概念。

它们在线性代数中扮演着重要的角色。

以下是矩阵和行列式中的一些重要公式：（1）矩阵加法和减法：如果$A$和$B$是两个相同阶数的矩阵，则$A+B$和$A-B$也是这个阶数的矩阵，定义为$(A+B)_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$和$(A-B)_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j}$。

（2）矩阵乘法：如果$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times p$矩阵，$C$是$m\times p$矩阵，则$C_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,j}$。

高数的基本公式大全

高数的基本公式大全高等数学（简称高数）是大多数理工科专业的重要学科之一，其理论基础和应用广泛深入。

在学习高数的过程中，熟练掌握各类基本公式是非常关键的。

本文将为大家总结并介绍一些高数中常用的基本公式，希望能对广大学生有所指导和帮助。

一、导数公式1. 基本导数：常数导数为0，幂函数求导是将幂次降低一次并乘以原幂次系数。

2. 乘积法则：$(u * v)' = u' * v + u * v'$3. 商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' * v - u * v'}{v^2}$4. 复合函数求导法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)$5. 反函数求导法则：$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$6. 指数函数求导法则：$(a^x)' = a^x * \ln(a)$7. 对数函数求导法则：$(\log_a{x})' = \frac{1}{x *\ln(a)}$8. 三角函数求导法则：$(\sin{x})' = \cos{x}$，$(\cos{x})' = -\sin{x}$，$(\tan{x})' = \sec^2{x}$9. 反三角函数求导法则：$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1- x^2}}$，$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，$(\arctan{x})' = \frac{1}{1 + x^2}$二、积分公式1. 基本积分：幂函数的积分是将幂次升高一次并除以新的幂次。

2. 基本定积分：$\int_a^b{f(x)dx} = F(b) - F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。

高数学公式和知识点笔记

高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含了众多的公式和知识点。

以下是我为大家整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限（一）函数函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

函数的性质：1、单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x)在该区间上单调递增（或单调递减）。

2、奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数。

（二）极限极限的定义：设函数 f(x)在点 x₀的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当 x 满足 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，对应的函数值 f(x)都满足|f(x) A|＜ε，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当x→x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。

极限的运算：1、四则运算：若lim(x→x₀) f(x) ＝ A，lim(x→x₀) g(x) ＝ B，则lim(x→x₀) f(x) ± g(x) ＝ A ± B；lim(x→x₀) f(x) × g(x) ＝ A × B；lim(x→x₀) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。

2、两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1；lim(x→∞）（1 ＋1 ／ x)ⁿ ＝ e（n 为常数）。

二、导数与微分（一）导数导数的定义：函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。

高等数学公式大全(几乎包含了所有)

高等数学公式大全(几乎包含了所有)高等数学公式大全（几乎包含了所有）在高等数学中，公式是解决问题的重要工具之一。

它们可以帮助我们理解和描述数学概念，推导出新的数学结论，并应用于各个领域，包括物理学、工程学、经济学等。

本文将呈现一个高等数学公式大全，几乎包含了所有相关的公式。

希望这个公式大全能对广大数学爱好者和学习者有所帮助。

一、微积分公式微积分是高等数学的基础，它主要研究函数的极限、导数和积分等概念。

以下是一些常用的微积分公式：1. 极限公式：（1）极限的四则运算法则：对于函数f(x)和g(x)，若lim[x→a] f(x)存在且等于A，lim[x→a] g(x)存在且等于B，则有：lim[x→a] (f(x)±g(x)) = A±Blim[x→a] (f(x)·g(x)) = A·Blim[x→a] (f(x)/g(x)) = A/B (若B≠0)lim[x→a] (c·f(x)) = c·A (c为常数)（2）洛必达法则：若lim[x→a] f(x) = lim[x→a] g(x) = 0或±∞，则有：lim[x→a] (f(x)/g(x)) = lim[x→a] (f'(x)/g'(x)) (其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数)2. 导数公式：（1）基本求导法则：对于常数c和可导函数u(x)、v(x)，有以下导数法则：（常数法则） (c)' = 0（乘法法则） (u·v)' = u'·v + u·v'（除法法则） (u/v)' = (u'·v - u·v')/v^2（2）常见函数的导数公式：函数导数sin(x) cos(x)cos(x) -sin(x)e^x e^xln(x) 1/x3. 积分公式：（1）基本积分法则：对于连续函数f(x)和可导函数F(x)，有以下积分法则：（常数法则）∫(c)dx = cx + C (C为常数)（幂函数积分法则）∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) (n≠-1)（三角函数积分法则）∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C（2）常见函数的积分公式：函数积分e^x e^x + C (C为常数)1/x ln|x| + C二、线性代数公式线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支。

高等数学上常用公式定理

高等数学上常用公式定理1.导数的基本公式：(a) (c^k)' = kc^(k-1) * f'(x) ，其中c为常数，k为常数(b) (ax^n)' = anx^(n-1)，其中a为常数，n为常数(c) (sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, (tanx)' = sec^2x, (cotx)' = -csc^2x(d) (lnx)' = 1/x，(ex)' = ex , (a^x)' = a^x * ln(a)2.基本积分公式：(a) ∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数(b) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数(c) ∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为常数(d) ∫e^xdx = e^x + C3.基本微分方程：(a) dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数，求解y(x)(b)y'+P(x)y=g(x)，其中P(x)和g(x)为已知函数，求解y(x)(c)y'+yP(x)=Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数，求解y(x)4.泰勒级数展开：函数f(x)在a点的n阶泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)，其中R_n(x)为剩余项5.定积分的基本定理：(a) 若F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b] f(x)dx = F(b) -F(a)(b) 若F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b]f(x)dx =∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx，其中a < c < b6.常用级数：(a)等比数列求和公式：Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比(b)幂级数：f(x)=Σ(a_n*x^n)，其中a_n为常数，n从0到无穷大7.连续函数定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在[a,b]的任意一点x处可导，则f(x)在[a,b]上有界。

高数重要公式

高数重要公式高数（高等数学）中涉及的公式众多，以下是一些基本且重要的公式：1. 极限部分- 极限存在准则：若f(x)当x趋于a时，无论从左边还是右边趋近，其值都为L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

- 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：如果f(x)/g(x)在x=a处的分子分母分别趋向于0或无穷大，且满足一定的条件，可以通过求导计算它们的极限。

2. 微积分基础- 导数定义：若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a) = lim(Δx->0) [f(a+Δx)-f(a)]/Δx。

- 常用导数公式：如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。

- 微积分基本定理：若函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么对于任意一点c ∈(a, b)，有∫_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)。

3. 积分部分- 不定积分与定积分的关系：不定积分是求原函数的过程，记作∫f(x) dx=F(x)+C；而定积分则是求面积、体积等问题，记作∫_a^b f(x) dx。

- 积分性质和运算法则：线性性质、积分上限函数的导数等于被积函数、换元积分法、分部积分法等。

4. 多元函数微积分- 偏导数：如果z=f(x,y)，则∂z/∂x就是在y保持不变的情况下，z关于x的局部变化率，类似的还有∂z/∂y。

- 链式法则、梯度、方向导数和多元函数的极值问题等。

5. 级数理论- 级数的收敛判别法：比值判别法、根值判别法、积分判别法、狄利克雷判别法等。

- 幂级数展开：如泰勒级数、麦克劳林公式等。

以上仅列举了部分重要公式，具体使用时需根据实际问题灵活运用。

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高等数学基本公式、概念和方法一．函数1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;)(1≠=x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数）（３）0)(:)(log >=x f x f y a 。

（４）1)(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y（５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定．2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１）若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数．（２）若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2==等。

若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3)===３．将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续1．主要概念和计算方法：（１）．A x f x f A x f xx xx x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0（２）．若0)(lim 0=→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。

（3）．若)()(lim 00x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。

即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。

若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。

（4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。

若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。

（5）．重要公式：条件0)(lim =x ϕ（极限过程不限）结论《１》1)()(sin lim =x x ϕϕ；《２》e x x =+)(1)](1lim[ϕϕ2．求极限的方法：先判断极限类型（依据基本初等函数图象和函数值）（１）定式：直接得结论（即常数Ｃ、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限）。

（２）不定式：（Ａ）00型：消去零因子或用公式《１》。

（Ｂ）∞∞型：约去∞因子，使之变成定式。

（Ｃ）∞1型：用公式《２》。

（Ｄ）∞⋅0型：取简单的翻到分母上，转化成《Ａ》或《Ｂ》。

（Ｅ）∞-∞型：通分或有理化，使之转化成其它类型。

注：《Ａ》和《Ｂ》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。

但要满足条件。

三．导数（一）基本概念1．导数值：000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→，也可以记作0);(0x x dxdyx y ='。

2．导数的几何意义：)(0x f '就是曲线)(x f y =在点),(00y x 处切线的斜率k ，其切线的方程是：))((000x x x f y y -'=-，法线方程：)()(1000x x x f y y -'-=-。

３．函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系（见关系图）。

（二）．导数基本公式： 1．0)(='c 2。

1)(-='αααxx 3。

a a a x x ln )(=' 4。

xx e e =')( 5。

xx 1)(ln =' 6．x x cos )(sin =' 7。

x x sin )(cos -=' 8。

x x 2sec )(tan =' 9。

x x 2csc )(cot -=' 10．211)(arcsin x x -=' 11。

211)(arccos x x --=' 12。

211)(arctan xx +=' 13．211)cot (x x arc +-='（三）微分法（设u 和v 都是x 的函数）1．用定义求导数或导函数。

2．v u v u '±'='±)(3．v u v u uv '+'=')(；u c cu '=')( 4．2)(v v u v u v u '-'=' 5．设复合函数)(),(x u u f y ϕ==，则x u u f y '='6．设)(x f y =由隐函数0).(=y x F 确定，则yXF F y ''-='，也可以直接对方程求导数。

7．对于单项式可以用取对数法求导数。

对于幂指函数必须用取对数法求导数。

8．设参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ，则)()(t x t y y t t ''='9．微分：dx y dy '= 10．反函数的导数：yx x y '='1 附：函数在一点处几个概念之间的关系图四．中值定理与导数应用 1．拉格朗日中值定理：条件：函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导结论：至少存在一点ab a f b f f b a --='∈)()()(),(ξξ使。

４．洛必塔法则适用于∞∞和00型极限，注意四种失效题型： 3．单调性：若)(x f y =在（a,b ）内)(0)(x f x f ⇒>'在（a,b ）内单调递增。

若)(x f y =在（a,b ）内0)(<'x f )(x f ⇒在（a,b ）内单调递减。

a) 极值存在的必要条件：若0)()(00='⇒=x f x x f y 处可导且取极值在（0x 为驻点） b) 极值存在的充分条件：设函数在a 点连续，则：在a 点左右函数的导数由正变负⇒a 点为函数的极大值点。

在a 点左右函数的导数由负变正⇒a 点为函数的极小值点。

c) 判断曲线凹凸的方法：若在(a,b)内)(x f ''>0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内上凹。

如xe y x y ==...2等。

若在(a,b)内)(x f ''<0，则曲线)(x f y =在（a,b ）内下凹。

如x y xy ln (1)==等。

４．曲线拐点的求法：设a 为函数)(x f y =的连续点，若函数)(x f y =在a 点处二阶导数变号，则曲线上的点（a,f(a)）为曲线的拐点。

５．求渐近线的方法：若∞=→)(lim x f ax ，则x=a 为曲线)(x f y =的垂直渐近线。

若b x f x =∞→)(lim ，则y=b 为曲线)(x f y =的水平渐近线。

６．极值应用： i. 画图、设变量x ，并将其余变量用x 表示。

ii. 建立函数关系，并写出定义域。

iii. 求函数的一阶导数，找出驻点。

iv. 说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。

五．不定积分1．原函数：在某区间内，若在任一点处均有)()(x f x F ='，则称F （x ）是)(x f 的一个原函数。

2．若)(x f 有原函数F （x ），则F （x ）+C 表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。

3．若)(x f 有原函数F （x ），则)(x f 的不定积分可表示为⎰+=C x F dx x f )()(。

4．不定积分的几何意义⎰+=C x F dx x f )()(表示在x 点处切线斜率均为)(x f 的一族曲线。

5．基本积分公式（1）)1.(111-≠++=+⎰ααααC x dx x （2）C x dx x+=⎰ln 1（3）)1,0.(ln 1≠>+=⎰a a C a adx a xx （4）C e dx e x x +=⎰（5）⎰+-=C x xdx cos sin （6）⎰+=C x xdx sin cos （7）C x xdx +=⎰tan sec 2 （8）C x xdx +-=⎰cot csc 2（9）C a x dx x a +=-⎰arcsin122 （10）C a x a dx xa +=+⎰arctan 1122 （11）C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec （12）C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc(13)C ax a x a dx a x ++-=-⎰ln 21122 （14）C a x x dx a x +±+=±⎰2222ln 1 6. 积分性质（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( （2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([（3）⎰=')(])([x f dx x f （4）⎰+='C x f dx x f )()(7．计算方法（1）直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。

（2）第一换元法：对简单的题目用凑微分法一般地可以用代换)()(x x d dx φφ'=设)(x u φ=的导数连续，则⎰⎰='du u f dx x x f )()()]([φφ。

（３）第二换元法：主要是消去被积函数中的2222,x a a x -±等因子，见P286。

（４）分部积分法：⎰⎰⎰⎰-='-='vdu uv udv vdx u uv dx v u 或，要用算式。

选u 的顺序：反、对、幂、三、指、常。

（５）简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。

六．定积分1．定积分特点：（1）定积分是一个数，与积分变量无关。

（2）被积函数连续是可积的充分条件。

（3）被积函数有界是可积的必要条件。

2．定积分的几何意义（1）设0)(≥x f ，则⎰ba dx x f )(表示由曲线)(x f y =直线y=0;x=a;x=b 所围成的曲边梯形面积。

（2）设0)(≤x f ，则⎰badx x f )(表示由曲线)(x f y =直线y=0;x=a;x=b 所围成的曲边梯形的负面积。

（3）若)(x f y =的符号不定，则⎰badx x f )(表示面积的代数和。

由此得到对称区间上的奇函数积分为0，即0)(=⎰-aadx x f ，其中函数)(x f 是奇函数。

3．主要性质（1）⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(。

（2）⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。