第2课时 垂直及性质
空间中直线与平面的位置关系 第2课时 直线与平面垂直课件
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离
高中数学
必修第二册
湖南教育版
即时训练
已知平面外的一条直线上有两个不同的点A，B，且A，B到的距离相等，则这条直线与平面的位置关系
是
平行或相交
.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
五、直线与平面所成的角
1.斜线
一条直线l与一个平面相交，但不与平面垂直，则直线l称为平面的一条斜线，斜线l与平面的交点A
能保证该直线与平面垂直的是（ AC ）
A.①
B.②
C.③
D.④
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三、直线与平面垂直的性质定理
文字描述
垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
a⊥α
} ⇒ ∥
b⊥α
应用
①证明或判断两条直线平行.②构造平行线，即作同一个平面的垂线
名师点析
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
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证明：（1）∵ 平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，
∴ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥BC.
解：（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND，如图所示.
∵ M为棱AB的中点，∴ MN∥BC.∴ ∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中，AM＝1，AD＝2 3，∴ DM＝ 2 + 2 ＝ 13.∵ AD⊥平面ABC，∴ AD⊥AC.
棱AB的中点，AB＝2，AD＝2 3，∠BAD＝90°.
（1）求证：AD⊥BC.
画垂线第2课时优秀教学案例四年级下册数学北京版
（一）导入新课
1. 利用生活情境：展示一些与垂线相关的图片，如教室里的墙壁、窗框，让学生观察并提问：“你们能找出这些图片中的垂线吗？为什么？”
2. 引导学生思考：让学生思考垂线的定义和特点，鼓励他们提出自己的观点。
3. 引发好奇心：通过提出问题：“垂线有什么特殊的性质吗？我们如何画出垂线呢？”激发学生的好奇心和探究欲望。
（四）总结归纳
1. 学生总结：让学生总结本节课所学的内容，包括垂线的定义、性质和画法。
2. 教师补充：教师对学生的总结进行补充和归纳，强调重点和难点，确保学生对知识的理解和掌握。
3. 知识拓展：引导学生思考垂线在实际生活中的应用，激发他们的学习兴趣和应用意识。
（五）作业小结
1. 布置作业：布置一些有关垂线的练习题，让学生巩固所学知识，提高他们的实际操作能力。
3. 学生能够理解垂直与平行的关系，能够判断一个平面内的两条直线是否垂直。
（二）过程与方法
1. 学生通过观察、实验、讨论等方法，主动探索垂线的性质和画法，培养他们的独立思考能力和问题解决能力。
2. 学生通过小组合作，互相交流，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
3. 学生通过实际操作，动手实践，培养他们的动手能力和实践能力。
2. 引导学生提问：鼓励学生主动提出问题，培养他们的批判性思维和问题解决能力。
3. 分层提问：针对不同学生的理解程度，提出不同难度的问题，使所有学生都能参与到课堂讨论中来。
（三）小组合作
1. 小组讨论：学生在小组内讨论问题，分享自己的观点和思考，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
2. 小组分享：各小组派代表分享自己的讨论结果，让全班同学共同学习和交流。
1. 利用实物和图片：通过展示教室里的直线和线段，让学生直观地理解垂线的定义和性质。
四年级上册数学教案-2.2相交与垂直 北师大版
四年级上册数学教案-2.2相交与垂直一、教学目标1. 让学生理解垂直的特征和性质，掌握垂直线的画法。
2. 使学生能够识别垂直线，并在实际情境中运用垂直知识。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象力。
二、教学内容1. 垂直的定义及特征2. 垂直线的画法3. 垂直线的性质4. 垂直线在实际中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直的定义、特征和性质，垂直线的画法。
2. 教学难点：在实际情境中识别和运用垂直知识。
四、教学过程1. 导入新课利用多媒体展示生活中的垂直现象，引导学生观察并思考：这些现象有什么共同特点？2. 探究新知（1）垂直的定义及特征- 出示垂直的定义：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
- 学生举例说明生活中的垂直现象。
- 总结垂直的特征：相交成直角，互相垂直。
（2）垂直线的画法- 教师示范如何用直尺和量角器画出垂直线。
- 学生动手操作，画出垂直线。
（3）垂直线的性质- 学生观察垂直线，总结性质：垂直线上的任意两个角都是直角。
- 学生举例说明垂直线的性质。
（4）垂直线在实际中的应用- 学生讨论：在生活中，哪些地方需要用到垂直知识？- 教师举例：建筑物的墙面、桌面、窗户等。
3. 巩固练习完成教材P35上的练习题，巩固垂直知识。
4. 课堂小结请学生谈谈对本节课的收获，教师总结。
五、课后作业完成教材P36上的习题，加深对垂直知识的理解。
六、板书设计1. 垂直的定义及特征2. 垂直线的画法3. 垂直线的性质4. 垂直线在实际中的应用七、教学反思本节课通过生活中的实例导入，激发了学生的学习兴趣。
在探究新知环节，学生通过观察、思考和动手操作，掌握了垂直的定义、特征和性质，以及垂直线的画法。
在巩固练习环节，学生能够熟练运用垂直知识解决实际问题。
但在课堂小结环节，部分学生对垂直知识的应用还不够熟练，需要在课后加强练习。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
需要重点关注的细节是“垂直线的画法”。
高数数学必修一《8.6.3.2平面与平面垂直的性质》教学课件
AB＝AD＝ CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
2
证明：平面BCE⊥平面BDE.
1
2
证明：因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝ CD＝1，
所以BD＝BC＝ 2，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，所以ED⊥平面
平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练1 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥
平面PBC.
求证：BC⊥AB.
题型 2 垂直关系的综合应用
例2 如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD ，PA⊥AB，
AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
2．线线、线面、面面垂直关系的综合应用．
第2课时 平面与平面垂直的性质
预学案
共学案
预学案
一、平面与平面垂直的性质定理❶
一个平面内
两个平面垂直，如果__________有一直线垂直于这两
文字语言
交线
个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
α⊥β
α∩β=
ൢ⇒a⊥β
符号语言
a⊂α
____________
a⊥l
____________
ABCD，
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥ED，
因为BD，ED⊂平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
随堂练习
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(
)
8.6.2直线与平面垂直(第二课时：性质定理)
探索新知
与地面垂
直的旗杆，
它们有什
么关系？
问题：把地面抽象为平面，旗杆抽象为直线，
这个问题能够转化为 ？
新课引入
1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学
叙述一下．
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也
垂直于同一个平面．
2.请将上述命题用数学符号表示出来.
若a∥b，a⊥α，则b⊥α．
那是因为要建立立体几何公理系统，有这三个公理就足够了，其它都可以把它推导出来，可以当推论或当性
质等。其实加上公理4就真的够了，其他任何事实都可以由着四个公理加平面几何的公理和定理推导出来。
公理系统是什么？我们前面提过。
什么是公理？那就是不证自明非常显然的事实，公理是我们证明的原点或起点，从原点或起点出发到达我们
中国人的思维缺陷
1、不证而论
比如不懂逻辑学上的“充足理由律”，给出论点来往பைடு நூலகம்不证而论，只有论点，
没有论据。
2、以“经典、经验、想当然”作为论据
总结：中国数学是经验型的，结构松散毫无逻辑，中国人做事也不讲逻辑。
西方人思维优点
擅长逻辑，比如平面几何的公理系统，从几个公理出发当成起点推出定理、性质、
推论。或由以定理、性质、推论为依据推出定理、性质、推论，每一步都有论据，这
要到的地方。证明先从公理开始。证明的起点是显而易见的事实，这事实就是公理。公理是去证别人而自己是不
能证明的。
同学们很多立体几何定理结论实在是太明显太显然了，比公理还显然，但注意它不是公理而是可以证明出来
的性质或定理，我们中国人觉得拿过来用就可以了，但西方不然,要证明出它。这在平时的证明中可以当定理使
线垂直于这个平
四年级上册数学教案-2.2 相交与垂直-北师大版
四年级上册数学教案-2.2 相交与垂直-北师大版一、教学目标1. 让学生理解垂直的特征和性质，能够识别垂直现象，并能够运用垂直知识解决实际问题。
2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象能力。
3. 培养学生合作学习的精神，增强学生运用数学语言进行表达的能力。
二、教学内容1. 垂直的概念2. 垂直的性质3. 识别垂直现象4. 解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直的概念和性质，识别垂直现象。
2. 教学难点：运用垂直知识解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过生活中的实例，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2. 探究新知（1）让学生拿出一张白纸，用直尺和铅笔在纸上画出两条直线，观察这两条直线是否相交。
（2）引导学生思考：两条直线相交时，会形成几个角？这些角之间有什么关系？（3）让学生尝试画出垂直的两条直线，观察这两条直线相交形成的角的特点。
（4）引导学生总结垂直的定义：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
3. 巩固练习（1）让学生在练习本上画出垂直的两条直线，并标出直角。
（2）让学生观察教室内的物体，找出垂直现象，并说明理由。
4. 课堂小结让学生回顾本节课所学内容，用自己的话总结垂直的概念和性质。
5. 布置作业（1）完成课后练习题。
（2）观察生活中的垂直现象，与家长分享。
五、教学反思本节课通过让学生动手操作、观察和思考，使学生掌握了垂直的概念和性质。
在教学过程中，要注意引导学生运用数学语言进行表达，培养学生的空间想象能力。
同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
需要重点关注的细节是“巩固练习”环节。
在这个环节中，学生将通过实际操作和观察，进一步理解和掌握垂直的概念和性质。
以下是对这个重点细节的详细补充和说明：1. 巩固练习的设计在巩固练习环节，教师应设计具有针对性和层次性的练习题，帮助学生巩固所学知识。
练习题可以分为基础题和提高题两个部分。
基础题旨在帮助学生巩固垂直的定义和性质，如判断两条直线是否垂直，标出直角等。
垂径定理教学案(第2课时)
A BC O垂径定理（第2课时）【目标导航】1．掌握弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形高h 之间的关系，并能熟练运用这一关系进行计算． 2．了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力．【要点梳理】1．垂径定理及其推论的图形认识：若垂径定理或推论中的某一个成立，则⑴△CAB 、△OAB 、△DAB 都是等腰三角形，弦AB 是它们公共的底边，直径CD 是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线．⑵△ACD 和△BCD 是全等的直角三角形，直径CD 是它们公共的斜边，AE 、BE 分别是斜边上的高，AO 、BO 分别是斜边上的中线在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质． ⑶ ．2．圆的半径r 、弦长a 、弦心距d 及弓形高h 之间的关系： 一条弦的中点和它所对的弧的中点的连线段叫做弓形的高． 圆心到弦的距离可以简称为弦心距．设圆的半径为r 、弦长为a 、弦心距为d ，弓形高为h ，则⑴2222a d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ⑵ h r d h r d =-=+或． 说明：这两个公式是关于四个量r 、a 、d 、h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量. 例题1（2011安徽）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，求⊙O 的半径的长．解：过O 作OF ⊥CD 于F ，OQ ⊥AB 于Q ，连接OD ， ∵AB=CD ， ∴OQ=OF ，∵OF 过圆心O ，OF ⊥CD ， ∴CF=DF=2， ∴EF=2-1=1，∵OF ⊥CD ，OQ ⊥AB ，AB ⊥CD ，∴∠OQE=∠AEF=∠OFE=90°， ∵OQ=OF ，∴四边形OQEF 是正方形，∴OF=EF=1，在△OFD 中由勾股定理得：OD=225DF OF +=， 故答案为： 5．【课堂操练】1．在同一个圆中，两条弦长分别是a 、b ，它们的弦心距分别是c 、d ，若c ＞d ，则a 、b 的大小关系是 ． 答案: a <b 2．（2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。
8.6.3 第二课时 平面与平面垂直的性质2019(秋)数学 必修 第二册 人教A版(新教材)改题型
@《创新设计》
6
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
题型一 垂直关系的相互转化
【例1】 m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为( )
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的__交__线__， 文字语言
那么这条直线与另一个平面__垂__直___
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，__a_⊂_α__，_a_⊥__l__⇒a⊥β
图形语言
3
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
18
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
【训练2】 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
19
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
证明 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF. ∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， ∴EF∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴BC⊥平面ABD. ∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD. ∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.
【教《两条直线的位置关系》第2课时示范公开课教案【北师大数学七年级下册】
《两条直线的位置关系》教学设计第2课时一、教学目标1.通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握两条直线互相垂直的符号表示.2.能通过具体情境说出并掌握垂直和垂线的概念.3.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，积累操作活动经验.4.通过操作活动，探索并了解有关两条直线互相垂直的一些性质，理解“垂线的性质”、“垂线段最短”的性质以及点到直线的距离.二、教学重难点重点：理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离.难点：能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.问题1：①在同一平面内，两条直线的位置关系有和两种.②若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为.③在同一平面内，不相交的两条直线叫做.预设：①相交；平行②相交线；③平行线对顶角的性质：对顶角相等.∠1=∠2 （或∠3=∠4）问题2：下列说法正确的有()①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个B．2个C．3个D．4个预设：B.余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.教师补充：同角：是一个角；等角：是两个角.问题3：如图，已知：直线AB与CD交于点O，∠EOD=90°，回答下列问题：(1)∠AOE的余角是；补角是；(2)∠AOC的余角是；补角是；对顶角是.预设：(1)∠AOC；∠BOE；(2)∠AOE；∠BOC；∠BOD．理的进行思考和表达思考的过程，获得分析问题和解决问题的能力.观察图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？预设：追问：你还能举出哪些例子呢？垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.垂直的表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图，直线AB与直线CD垂直.记作：AB⊥CD读作：AB垂直于CD，垂足为O.直线l与直线m垂直，记作：l⊥m，垂足为O．【注意】“⊥”是“垂直”的记号，而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.垂直的性质、定义判定的应用格式:∵AB⊥CD∴∠1=90 °线垂直直角(90°)∵∠1=90°(已知)∴AB⊥CD(垂直的定义)直角(90°) 线垂直【做一做】教师活动：鼓励学生探索画垂线的方法，积累数学活动经验.方法不唯一，只要正确、可操作即可.问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？教师提示：方格纸是由小正方形构成！问题3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！1.折叠长方形纸片的一个角；2.沿①中的折痕对折，使它与①中的折痕互相重合；3.展开长方形纸片，则两次折叠所形成的折痕互相垂直.【想一想】教师活动：指导学生独立完成，然后请学生上台展示自己所做的题目.教师鼓励学生运用自己的语言描述所得到的结论.如图，已知直线l，用三角尺或量角器画直线l的垂线，你能画出多少条？总结：这样画l的垂线可以画无数条.如图，点 A 在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？总结：这样画l 的垂线可以画一条.如果点A在直线l外呢？过点A你能画多少条直线l 的垂线？总结：这样画l 的垂线可以画一条.垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.教师活动：引导学生归纳“想一想”的结论，在学习垂线性质的基础上引出点到直线的距离的概念.点P是直线l 外一点，PO⊥l，点O是垂足，线段PO叫做点P到直线l 的垂线段.垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.过直线外一点向已知直线作垂线时，这一点与垂足之间的线段叫做垂线段.点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足，点A，B，C在直线l上，比较线段PO、P A、PB、PC的长短，你发现了什么？总结：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.【议一议】问题：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？教师活动：学生先独立思考，然后小组展开交流，最后派两位同学上台讲解，并及时对学生肯定和鼓励.然后课件展示答案.答案：线段PO的长度即为所求.根据：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.∠AOM和∠NOC的度数．解：∵∠BOE＝∠NOE(已知)，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，又∵∠MOC＝∠BON＝40°(对顶角相等).∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.例2 如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE 与AB的位置关系是.解：∵∠1＝35°，∠2＝55°(已知)∴∠AOE＝180°－∠1－∠2＝180°－35°－55°＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)教师总结:由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相教师给出练习，随时观察学生完成情况并进行相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.画一条直线l，在直线l上取一点A，在直线外取一点B，分别经过点A，B 用三角尺或量角器画直线l的垂线.答案：直线AP就是所求垂线.直线BC就是所求垂线.2.分别找出下列图中互相垂直的线段.答案：(1)AO⊥OC，OB⊥OD.(2)DC⊥BC，DC⊥CE，DC⊥BE；AC⊥BC，AC⊥CE，AC⊥BE；DA⊥BC，DA⊥CE，DA⊥BE.3.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是( )A. 两对对顶角分别相等B. 有一对对顶角互补C. 有一对邻补角相等D. 有三个角相等答案：A.4.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条答案：D5. 如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流.(1)从火车站到码头怎样走最近?画图并说明理由.(2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由.(3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由.答案：(1)如图所示，沿BA走最近，理由:两点之间线段最短.(2)沿AC走最近，理由:垂线段最短.(3)沿BD走最近，理由:垂线段最短.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
四年级上册数学教案-2.2 相交与垂直-北师大版
四年级上册数学教案-2.2 相交与垂直-北师大版教学目标1. 知识与技能- 理解垂直的定义和性质。
- 能够识别和构造垂直线段。
- 掌握垂直线段的作图方法。
2. 过程与方法- 通过观察和操作活动，培养学生的空间想象能力。
- 通过小组合作，提高学生的交流与合作能力。
3. 情感态度价值观- 培养学生对几何图形的兴趣和好奇心。
- 培养学生解决问题的自信心。
教学重点与难点1. 重点- 理解垂直的定义和性质。
- 能够识别和构造垂直线段。
2. 难点- 垂直线段的作图方法。
教学准备- 教学课件或黑板。
- 练习题或作业纸。
- 尺子、直角器等作图工具。
教学过程1. 导入（5分钟）- 通过复习上节课的知识，引入垂直的概念。
- 展示一些生活中的垂直现象，如墙角、桌面等。
2. 新课导入（15分钟）- 讲解垂直的定义和性质。
- 通过实例，展示如何识别垂直线段。
- 引导学生通过观察和操作，理解垂直线段的性质。
3. 探究活动（10分钟）- 分组进行探究活动，让学生通过实际操作，体验垂直线段的作图方法。
- 引导学生总结垂直线段的作图步骤。
4. 练习与应用（15分钟）- 出示一些练习题，让学生独立完成。
- 针对学生的作业，进行讲解和点评。
5. 总结与拓展（5分钟）- 对本节课的知识进行总结。
- 引导学生思考垂直线段在实际生活中的应用。
作业布置- 完成练习册上与本节课相关的练习题。
- 思考并回答：你在生活中还见过哪些垂直的现象？教学反思- 在教学过程中，要注重培养学生的空间想象能力。
- 要关注学生的学习反馈，及时调整教学策略。
- 要注重培养学生的合作能力和解决问题的能力。
在以上的教学过程中，需要重点关注的是“探究活动”环节。
这个环节是学生通过实际操作，体验垂直线段的作图方法，从而加深对垂直概念的理解和运用。
在这个环节中，教师需要引导学生积极参与，鼓励他们动手实践，培养他们的空间想象能力和解决问题的能力。
在探究活动中，教师可以设计一些有趣的任务，让学生通过实际操作，体验垂直线段的作图方法。
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第二课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第二课时)教学反思教学目标1.理解垂线段的概念.2.掌握垂线段最短的性质.3.体会点到直线的距离的意义，并会度量或计算点到直线的距离.4.学会用本节知识理解生活中的一些现象及解决生活中的一些实际问题.教学重难点重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解，垂线段的画法.课前准备多媒体课件、模型教学过程导入新课教师：同学们上节课，我们研究了垂直、垂线、垂线的性质，请分别回答它们各自的定义或内容是什么？学生积极回答，教师给予肯定和表扬.教师：今天这节课我们继续深入学习，研究垂线的性质及点到直线的距离.(板书课题：5.1.2垂线(第二课时))探究新知探究点一：垂线段最短教师：同学们来看下面一个问题，出示教材图5.1-8(如图1所示)，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠使渠道最短？图1教师：要完美地解决这个问题，我们首先来看第一个问题：如果把上述实际问题抽象成几何图形的话，你们能否画出来？教师引导，学生上台板演，结果如图2所示.图2教师：我们来看第二个问题：在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连(如图3所示)，猜想在P点与直线l上的点连接的线段中，哪条线段最短？这时直线l上的点的位置在什么地方？图3学生发言，指出当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是，过点P作l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.教师：如果我们规定：当PO⊥直线l时，线段PO是直线l的垂线段，你们能用一句话总结你们观察得出的结论吗？学生展示，教师引导学生总结.设计意图首先引领学生回忆旧知识，加深学生对上节课所学知识的理解，为新知识的学习奠定基础.探究点二：垂线的性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.教师：“垂线段最短”在日常生活中广泛应用，你们还能举出几个例子吗？学生回答，教师给予肯定和表扬.教师：我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形的区别与联系是什么？学生独立思考后，小组交流，代表发言.垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.设计意图通过设计分层问题，将实际问题转化成数学问题，结合图形直观演示.使学生对垂线的性质2有初步的认识，从而得出“垂线段最短”这一性质.探究点三：点到直线的距离教师：在以前我们学习了两个点之间的距离，你们知道怎样才能得到两个点之间的距离吗？学生：测量连接两个点的线段的长度.教师：两个点之间的距离是测量两点之间线段的长度，那确定一个点到一条直线的距离，应该测量什么？学生独立思考，小组讨论，展示答案，教师引导得出结论：确定点到直线的距离，应该测量点到直线垂线段的长度.教师：现在你们知道什么是点到直线的距离了吗？学生回答，教师板书：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.教师强调：点到直线的距离是长度，而非垂线段.设计意图类比两点间的距离给出点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，在教学中注意强调距离是数量，而不能说成垂线段是距离.新知应用例1 如图4所示，∠C＝90°.(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度.(2)AC AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.(3)AC+BC＝AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.解：(1)AC，BC.(2)＜垂线段最短.(3)＞两点之间，线段最短.例2 (1)如图5所示，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，作出小刚(2)如图6所示，小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到点D处观察河水水质情况，然后再去牵牛饮水，作出小刚行走的最短路线(不考虑其他因素)，并作出必要说明.师生活动学生先独立思考，教师组织学生交流并适度进行引导评价.7所示.(2)如图8所示，由C处到D处和由D处到C处，依据：两点之间线段最短；由C处到河边，依据：垂线段最短.设计意图通过例题进一步了解垂线段最短和两点之间线段最短的区别.例3 如图9所示，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P是线段AB上一个动点，点P在运动过程中，PC长度随之发生变化.你能确定PC长度的最大值与最小值吗？师生活动学生先独立分析，再小组交流，教师巡视指导. 解：如图10所示.(1)当点P 运动到与点A 重合时，PC ＝AC ＝4，∴ PC 长度的最大值为4. (2)当点P 运动到CP ⊥AB 时，PC 的长度最小. ∵ S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CP ， ∴ AC ·BC ＝AB ·CP ，∴ 3×4＝5·CP ， ∴ PC ＝125，∴ PC 长度的最小值为125.设计意图通过解决生活中的实际问题，加深学生对垂线段最短的理解.借助“动点”运动问题(课本习题的变式)，不仅加深学生对知识的理解，而且渗透了“等积法”这一解题方法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.C4.B5.4.8 66.4 10 6.(1)略 (2)略 (3)PM (4)PM ＜OP. 理由：垂线段最短.7.解：(1)如图11所示，连接AC ，BD 交于点H ，则H 为蓄水池的位置.(2)作HG ⊥EF ，如图11所示，沿线段HG 把河水引入蓄水池，开渠最短.理由：过直线外一点与直线上的各点的所有线段中，垂线段最短.(见导学案“课后提升”)参考答案1.A2.解：∵ AC ⊥BC ，∴ AC ＜m. ∵ AD ⊥CD ，∴ AC ＞n ，∴n＜AC＜m.课堂小结1.本节课主要学习了垂线的性质“垂线段最短”和点到直线的距离.2.注意垂线段、垂线概念之间的区别和联系.布置作业教材第8，9页习题5.1第6，10题板书设计。
1.6.2 第2课时 平面与平面垂直的性质
垂直 C1 B1 C D B A A1 D1
问题4:一般地， 问题4:一般地，α ⊥ β ,α I β = CD, AB ⊂ α, AB ⊥ CD, 4:一般地 垂足为B 那么直线AB与平面 的位置关系如何？ 垂足为B，那么直线AB与平面 β 的位置关系如何？ AB
垂直 β D A B α C
平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面. 们交线的直线垂直于另一个平面.
α
l
α l
β
β
β
问题2:黑板所在平面与地面所在平面垂直， 问题2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否 2:黑板所在平面与地面所在平面垂直 存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？ 存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
问题3:长方体ABCD— 平面A 与平面ABCD垂直， ABCD垂直 问题3:长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直， 3:长方体ABCD 其交线为AD，直线A 都在平面A 其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线 AD AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？ AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？ 垂直 ABCD垂直吗
解：显然，平面 BCC′B′ ⊥ 平面ABCD ，交线为 BC ．
因为 MN 在平面 BCC′B′ 内，且 MN ⊥ BC ，从而 MN ⊥ AB ．
回顾上节例题
例2 如图， 如图，在正方体 ABCD − A′B′C′D′ 中 ， BD, BC′, DC′ 分别为三条
α A
B β
问题3:对于三个平面α 问题3:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ， 3:对于三个平面 如果α⊥γ，β⊥γ， α⊥γ 那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？ 与平面γ α I β = l ，那么直线 与平面γ的位置关系如何？为什么？
2.1.2垂线及性质--导学案
2.1.2 两条直线的位置关系第二课时-垂线及垂线的性质导学案【学习目标】1、理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线2、掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离3、掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理【学习重点】垂线的定义及性质【学习难点】垂线的画法【课堂学习】一、情景导入二、自主学习探究一：垂直、垂线的定义自主学习课本第162页，回答下列问题：1、两条直线相交，所成四个角中有一个角是时，我们称这两条直线，其中一条直线是另一条的，他们的交点叫做。
2、垂直的符号表示：(垂直用符号“”来表示)（1）如右图，若“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB CD，垂足为O。
（2）○1由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直，记为：∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD （垂直的定义）②由两条直线垂直，可知四个角为直角，记为：∵ AB⊥CD （已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）3、总结：①垂直是相交。
是相交的一种特殊情况。
②垂直是一种相互关系，即a⊥b，同时b⊥a③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。
练一练：如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。
已知∠BOD=45°，求∠COE 的度数。
探究二：画已知直线l的垂线自主学习：课本第163页，回答：1垂线的画法有两种：利用或者。
2、经过直线l上一点A画垂线，这样的垂线能画几条？3、经过直线l外一点B画垂线，这样的垂线能画几条？总结：垂直的性质1 过一点直线与已知直线垂直。
练一练：分别画出点A、B、C到BC、AC、AB的垂线段._A_C_B探究三：垂直的性质2：自主学习课本第164页，回答下列问题：1、如下图，连接直线l外一点P与直线l上各点O,A、B、C、l比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，那一条最短？pA B C O l由此你能得出什么结论？垂线的性质:__________________________________________2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。
课时作业2：线面、面面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．(2013·宝鸡模拟)α、β、γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．n⊥α，n⊥β，m⊥αB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l2．(2013·深圳模拟)设a，b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确命题的个数是()①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.A．1 B．2 C．3 D．4图7－5－113．如图7－5－11，P A⊥正方形ABCD，下列结论中不正确的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．P A⊥BD图7－5－124．(2013·宁夏模拟)如图7－5－12正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝12，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等5．如图7－5－13所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()图7－5－13A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC图7－5－146．(2013·杭州模拟)如图7－5－14，正三角形P AD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为()二、填空题图7－5－157．(2012·江苏高考)如图7－5－15，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.8．正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．图7－5－169．如图7－5－16所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．三、解答题图7－5－1710.(2012·江苏高考)如图7－5－17，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.图7－5－1811．(2013·济南模拟)如图7－5－18，在四棱锥S—ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．(1)求证：CD⊥平面SAD；(2)求证：PQ∥平面SCD；(3)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，并证明你的结论．图7－5－1912．(2012·浙江高考)如图7－5－19，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E 与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF.(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．解析及答案一、选择题1．【解析】由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，但当m⊥β时，n⊥α，n⊥β不一定成立，故选A.【答案】A2．【解析】由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确．【答案】D3．【解析】由CB⊥BA，CB⊥P A，P A∩BA＝A，知CB⊥平面P AB，故CB⊥PB，即A 正确；同理B正确；由条件易知D正确，故选C.【答案】C4．【解析】连接BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，从而A、B、C正确．因为点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以△AEF与△BEF的面积不相等，故选D.【答案】D5．【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】D6．【解析】取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD，从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC、AB的中点F、G，连接DF、DG、FG，由PD＝DC知DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，∴DG⊥PC，DF∩DG＝D，∴PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，因此线段DG上的点满足MP＝MC，故选A.【答案】A二、填空题7．【解析】关键是求出四棱锥A－BB1D1D的高．连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝32且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD ×BB 1＝32×2＝62， ∴VA －BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D ·AO ＝13×62×322＝6(cm 3)． 【答案】 6 8．【解析】 设BD 与AC 交于点O ，连接D 1O ，∵BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1成的角．∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面DD 1B ，平面DD 1B ∩平面ACD 1＝OD 1，∴DD 1在平面ACD 1内的射影落在OD 1上，故∠DD 1O 为直线DD 1与平面ACD 1所成的角，设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝63，∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.【答案】639．【解析】 由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC . ∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC . 又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF . ∴PB ⊥EF .故①②③正确． 【答案】 ①②③ 三、解答题10.【证明】 (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1. 因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE . 11．【解】 (1)证明 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD .又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面SAD .(2)证明 取SC 的中点R ，连接QR ，DR . 由题意知：PD ∥BC 且PD ＝12BC .在△SBC 中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR ＝12BC .所以QR ∥PD 且QR ＝PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形，所以PQ ∥DR . 又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ， 所以PQ ∥平面SCD .(3)存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD . 连接PC 、DM 交于点O ，连接PM 、SP 、NM 、ND 、NO ， 因为PD ∥CM ，且PD ＝CM ，所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO ＝CO . 又因为N 为SC 的中点， 所以NO ∥SP .易知SP ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，并且SP ⊥AD ，所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD .又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD .12．【解】(1)证明①因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝4 6 .在Rt△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝30 15.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是30 15.。
第2课时 垂线及其性质
第2课时垂线及其性质【教学目标】1.理解垂直的概念，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.2.掌握过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.【教学重点】两条直线互相垂直的概念、性质及画法.【教学难点】过一点作已知直线的垂线.教学过程一、创设情境，导入新课课件展示：教师引导学生观察图片并思考下列问题：如果把十字街上的两条道路看作直线AB和CD，AB、CD相交于点O形成4个角，如果∠AOC＝90°，那么其他3个角的度数是多少？为什么？除利用三角尺和量角器外，教师还可以鼓励学生运用推理得出结论.生：90°，因为对顶角相等，邻角互补.师：上图给我们展现了两条直线相交的一种特殊情况——垂直.教师出示相交线模型，学生观察思考，固定木条a，逆时针转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的？生：当b的位置变化时，角α从锐角变为直角再变为钝角.师：当α是直角时是特殊情况，其特殊之处还在于它的相邻的角和对顶角都是直角.垂直的定义：直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.师：垂直定义中“互相垂直”是说两条直线的位置关系，而“垂线”是其中一条直线对另一条直线的称呼.你能举出在日常生活中，两条直线互相垂直的情形吗？生：黑板相邻的两条缘线，地砖间的缝隙、围棋盘上的方格线、方格纸上的横竖线等，引导学生多举生活中的垂直实例.二、操作实践，探究性质师：同学们在纸上画一条直线l，你能画出直线l的垂线吗？试试看，这样的垂线l能画多少条？学生可用折纸法和利用三角尺或量角器.生：能画垂线，并有无数条.师：你能过直线l上一点P画直线l的垂线吗？试试看，能画几条？学生画图交流得出：能画垂线，并且只有一条.师：若点P在直线l外，你会过点P画直线l的垂线吗？试试看，能画几条？学生动手操作，并分组讨论得出：能画垂线，并且只有一条.学生完成后，教师示范：1.用三角尺画垂线：一靠——让三角尺的一条直角边靠住已知直线；二移——沿直线左右移动三角尺，让另一条直角边靠住已知点；三画——沿这条直角边画直线.2.用折线法画垂线：教师引导学生仿照课本所示的方法操作.师：通过以上的画图和折纸，你知道过一点画已知直线的垂线能画几条吗？鼓励学生运用自己的语言描述所得到的结论.生：过一个点有一条直线垂直于已知直线.师：以上的两个活动汇成了一点认识：只要通过一个点，不管这点在直线上，还是在直线外向已知直线作垂线能作一条且只能作一条.用简洁的语言表达出来就是：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.注意画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.三、巩固练习1.如图，三角形ABC中，D是BC的中点，连接AD，请分别画出自点B、C向AD所作的垂线(垂足为E、F).第1题图第3题图2.下列语句中，正确的有__3__个.①两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；②两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线垂直；③一条直线的垂线可以画无数条；④在同一平面内，经过一个已知点能够画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.3.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠DOA＝140°，则∠COB＝__40°__.四、课堂小结教师引导学生一起回顾这节课所学的主要内容及注意哪些问题，鼓励学生用自己的语言进行回答，教师归纳总结.1.垂直的定义.2.性质1.3.过一点画已知直线的垂线.。
9.4.2 直线与平面垂直的判定与性质2
【课题】9.4.2直线与平面的判定与性质【教学目标】知识目标：掌握直线与平面垂直的判定方法与性质，并能进行简单计算和证明．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．培养学生把空间问题转化为平面问题的转化能力。
【教学重点】直线与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】图9−44检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D 都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD 内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂图9−48α，CD⊥α，所以AB∥CD BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面AE∥BD，直线AE与CD交于点ACE中，因为AE＝BD＝5 cm，板书设计：9.4.2 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
【教师教学后记】9.4.2 直线与平面垂直的判定与性质安阳市中等职业技术学校商贸旅游部贾树香2019-4。
四年级上册数学教案-第二单元第2课时《相交与垂直》(北师大版)
教案标题：四年级上册数学教案-第二单元第2课时《相交与垂直》（北师大版）一、教学目标1. 让学生理解两条直线相交的概念，掌握垂直的定义和性质。
2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
3. 引导学生运用垂直知识解决生活中的实际问题，增强数学应用意识。
二、教学内容1. 两条直线相交的概念2. 垂直的定义和性质3. 垂直在实际中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直的定义和性质2. 教学难点：垂直在实际中的应用四、教学方法1. 采用启发式教学法，引导学生自主探究、合作交流。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示垂直现象。
3. 结合生活实例，让学生在实际中感受垂直的存在和应用。
五、教学过程1. 导入新课利用多媒体展示生活中的垂直现象，如墙面、窗户、书桌等，引导学生观察并思考：这些现象有什么共同特点？从而引出垂直的概念。
2. 探究新知（1）让学生动手操作，用直尺和铅笔在纸上画出两条相交的直线，观察相交处的角度关系。
（2）引导学生发现，当两条直线相交成90度时，我们称这样的两条直线互相垂直。
（3）让学生举例说明生活中的垂直现象，并尝试用垂直的定义进行解释。
3. 巩固练习（1）让学生在练习本上画出垂直的直线，并标出垂直符号。
（2）出示一些图形，让学生判断哪些是垂直的，并说明理由。
4. 拓展应用（1）让学生思考：垂直在实际生活中有哪些应用？如建筑设计、家具摆放等。
（2）引导学生运用垂直知识解决实际问题，如测量墙角是否垂直、判断桌面是否水平等。
5. 总结反馈让学生回顾本节课所学内容，总结垂直的定义、性质和应用。
教师对学生的表现给予评价和鼓励。
六、课后作业1. 练习本上完成垂直练习题。
2. 观察生活中的垂直现象，并尝试用垂直知识进行解释。
七、板书设计1. 板书标题：相交与垂直2. 板书内容：（1）两条直线相交的概念（2）垂直的定义和性质（3）垂直在实际中的应用八、教学反思本节课通过引导学生动手操作、观察思考，让学生掌握了垂直的定义和性质。
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1.垂直 (1)两条直线相交成四个角,如果一个角是 直角 ,那么称这两条直线互相垂 直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. (2)通常用符号“ ⊥ ”表示两条直线互相垂直.如直线AB与直线CD垂直, 记作 AB⊥CD . 2.垂线的性质 (1)平面内,过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 垂线段 最短.
探究点二:垂线的性质及应用 【例2】 如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资 修建一个蓄水池. (1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄距离之和 最小;
【导学探究】 1.由两点之间线段最短,可知点H应在线段AD与BC的交点处.
解:(1)因为两点之间线段最短, 所以连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小.
3.如图,已知直线AB,CD交于点E,EF⊥CD,∠AEF=50°,那么∠BED= 40° .
4.如图,P是∠AOB的边OB上一点. (1)过点P画OA的垂线,垂足为H; (2)过点P画OB的垂线,交OA于点C; (3)点O到直线PC的距离是线段
的长度;
解:(1)如图.
(2)如图. (3)因为由(2)知OB⊥PC于点P,所以点O到直线PC的距离是线段OP的长度.
3.点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 ,叫做这点到直线的距离.
探究点一:垂直的概念及角的计算 【例1】 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,O为垂足,∠DOB=2∠EOD,求 ∠AOC,∠COB的度数.
【导学探究】
1.由OE⊥AB可知∠EOB= 90° .
2.∠AOC= ∠DOB
,∠AOC+∠COB=
180° .
解:因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°, 所以∠EOD+∠DOB=90°. 因为∠DOB=2∠EOD, 所以2∠EOD+∠EOD=90°, 所以∠EOD=30°,∠DOB=60°, 所以∠AOC=∠DOB=60°, 所以∠COB=180°-60°=120°.
利用垂直定义求角的度数,首先根据垂直得到直角,进而根据互余、 互补以及对顶角相等进行角度的计算.
(4)比较PH与CO的大小,并说明理由.
解:(4)PH<CO. 因为垂线段最短, 所以PH<PO,PO<OC, 所以PH<CO.
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(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据. 【导学探究】 2.由垂线段最短可知过点H作EF的垂线段,沿垂线段开渠最短.
根据垂线段最短解决实际问题,需要从实际问题中建立垂线段模型, 把实际问题转化为数学问题.
1.下列说法正确的是( D ) (A)有且只有一条直线垂直于已知直线 (B)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离 (C)互相垂直的线段一定相交 (D)直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm, 则点A到直线c的距离是3 cm 2.(2019广州)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6 cm,PB=5 cm,PC=7 cm,则点 P到直线l的距离是 5 cm.