无穷级数知识点

无穷级数

1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞

→∞

==∑存在，称级数收敛。

2.若任意项级数1

n n u ∞=∑收敛，1

n n u ∞=∑发散，则称1

n n u ∞=∑条件收敛，若1

n n u ∞=∑收敛，则称级数1

n

n u ∞

=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

=

3.若有两个级数1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞=∑，1

1

,n n n n u s v σ∞∞

====∑∑

则 ①1()n n n u v s σ∞

=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==⎛⎫⎛⎫

⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑。

②1

n n u ∞=∑收敛，1

n n v ∞=∑发散，则1

()n n n u v ∞

=+∑发散。

③若二者都发散，则1

()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1

1

1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1

110k ∞

=-=∑收敛。

4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：

a)

b) P 级数：

c) 对数级数：

5.三个重要结论

6．常用收敛快慢

正整数

由慢到快

连续型由慢到快

7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧

1.

11,lim 1,lim 0)

1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞

⎧<⎪⎪

=>≠⎨⎪

=⎪⎩收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）

2. 1,1,1,n n l l l n l μ<⎧⎪

=>⎨⎪=⎩

收发（当为某次方时）单独讨论

3.

① 代数式 1

1

1

1

n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞

====≤⇒⇒⇒∑∑∑∑收敛收敛，发散发散

② 极限式 lim n

n n

u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞

=∑都是正项级数。

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

• 0 • 0 • n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞

∞

∞

∞

====∞∞

==∞

∞

∞

∞

=====→→

<⇒⇒⇒≠→

→=⇒=∞⇒→<⇒⇒

⇒∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。

是的同阶无穷小和敛散性相同。

是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。

32

112

2

1~~

111n n n n u n n n n ∞

=++⎛

⎫⇒==+ ⎪---⎝⎭

，

1

13220

01

2210113n n n n dx u dx x x n ∞

=⇒≤=≤=⨯++∑⎰

⎰，也可选用基准级数31

2

1n n ∞

=∑就可知原级

8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧

● ①lim 0n n u →∞

= ②1n n u u +≥⇒0

(1)n n n u ∞

=-∑收敛。这是一个必要条件，如果①不满足，则0

(1)n

n n u ∞

=-∑必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还

是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。

● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。 ● 任意项级数判敛的两个重要技巧：

()a 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。

()b k 阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，

9.幂级数 00

()n n n a x x ∞

=-∑

1．阿贝尔（Abel ）定理

如果级数0n

n n a x ∞

=∑当20001 0, =00n n x x x x a x ∞

=⎛⎫

=≠⇒= ⎪⎝⎭

∑因为显然收敛点收敛，则级数在圆

域0x x <内绝对收敛；如果级数0

n n n a x ∞=∑当1 x x =点发散，则级数在圆域1x x >外发散。由阿

贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除()00 0x x x =≠外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如

推论：如果0n n n a x ∞

=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确

定的正数R 存在，使得：

1

n n n x R x R x R x R R a x ∞

=<>==-∑当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；

当 与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。

10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域 已知00()n n n a x x ∞

=-∑

，若1

lim

n n n n

a a ρρ+→∞

==或

1000+1

1

lim

1=lim n n n n n n a a x x x x x x R a a ρρ+→∞

→∞-=-<⇒-<=收敛收敛。