2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版(2019)第四章第4章 章末复习(一)
第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____． 【解析】 令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故 原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关 于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图 象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个 单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】 由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数
专题04 充分条件与必要条件(练)(解析版).pdf
《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题04充分条件与必要条件（练）1．a ,b 中至少有一个不为零的充要条件是（ ）A ．ab ＝0B ．ab>0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0【参考答案】D 【解析】,ab ＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；A ab>0是a ,b 中至少有一个不为零的充分非必要条件；,B ,a 2＋b 2＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；C ,a 2＋b 2>0,则a ,b 不同时为零；a ,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0.所以a 2＋b 2>0是a ,b 中至少有一个不D 为零的充要条件.故选：D2．a >b 的一个充分不必要条件是（ ）A ．a 2>b 2B ．|a |>|b |C ．D ．a －b >111a b <【参考答案】D 【解析】,,,则ABC 错误；22a b a b >⇒>/11b a a b <⇒/>||||a b a b>⇒>/a －b >1⇒a －b >0而a －b >0⇏a －b >1,则D正确；故选：D3．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）2y ax bx c =++A ．B ．C ．D ．0,0b c ==0a b c ++=0b c +=0bc =【参考答案】D 【解析】若一元二次函数的图像的顶点在原点,则,且,所以顶点在2y ax bx c =++02b a -=0c =原点的充要条件是故A 是充要条件,B 、C 既不充分也不必要,D 是必要条件,非充分条件.0,0,b c ==故选：D.4．【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学同步练习】设集合,,则“”是“{}1,2M ={}2N a =1a =-”的（ ）N M ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件.C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】解：当时,,满足,故充分性成立；1a =-{}1N =N M ⊆当时,或,所以不一定满足,故必要性不成立.N M ⊆{}1N ={}2N =a 1a =-故选：A.5．【浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中】已知,那么“”是“”的（）a R ∈1a >21a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】当时,成立,1a >21a >取,此时成立,但是不成立,2a =-21a >1a >“”是“”的充分不必要条件,1a >21a >故选：A.6．【必修第一册 逆袭之路】若,则“且”是“且”的（ ）,a b ∈R 1a >1b >1ab >2a b +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】因为且,所以根据同向正数不等式相乘得,根据同向不等式相加得,即成1a >1b >1ab >2a b +>2a b +≥立,因此充分性成立；当时满足且,但不满足且,即必要性不成立；1,2a b ==1ab >2a b +≥1a >1b >从而“且”是“且”的充分不必要条件,1a >1b >1ab >2a b +≥故选：A7．【必修第一册 逆袭之路】设,则“”是“”的( )x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】B 【解析】化简不等式,可知 推不出；05x <<11x -<由能推出,11x -<05x <<故“”是“”的必要不充分条件,250x x -<|1|1x -<故选B ．8．若“”是“”的必要不充分条件,则实数的最大值为_______．21x >x m <m 【参考答案】1-【解析】由得,21x >-11x x <>或“”是“”的必要不充分条件,21x >x m <,(,)(,1)(1,)m ∴-∞⊆-∞-⋃+∞．1m ∴≤-故参考答案为．1-9．“方程没有实数根”的充要条件是________.220x x a --=【参考答案】1a <-【解析】解析因为方程没有实数根,所以有,解得,因此“方程没220x x a --=440a ∆=+<1a <-220x x a --=有实数根”的必要条件是.反之,若,则,方程无实根,从而充分性成立.故“方1a <-1a <-∆<0220x x a --=程没有实数根”的充要条件是“”.220x x a --=1a <-故参考答案为：1a <-10．已知a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的____条件．【参考答案】充分不必要【解析】解：a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”⇒“a +b ＞2,且ab ＞1”正确,当a ＝10,b ＝0.2时,a +b ＞2,且ab ＞1,所以a ＞1,且b ＞1不成立,即前者是推出后者,后者推不出前者,所以a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的充分而不必要条件．故参考答案为：充分而不必要．11．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0},B ＝{x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．【参考答案】充分不必要【解析】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1},则A ⊊B ,由m ∈B 不能推出m ∈A ,如x ＝2时,故必要性不成立．反之,根据A ⊊B ,“m ∈A ”⇒“m ∈B ”．所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要12．“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的____条件．（填充分不必要,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要．【参考答案】充分不必要【解析】解：若a ＞1且b ＞1时,ab ＞1成立．若a ＝﹣2,b ＝﹣2,满足ab ＞1,但a ＞1且b ＞1不成立,∴“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要．13．试判断“”是“”的充分条件还是必要条件？并给出证明.:1p x =32:10q x x x --+=【参考答案】充分条件,证明见解析【解析】是充分条件,但不是必要条件,证明如下由()()()()2322111110x x x x x x x x --+=---=-+=得或1x =1x =-或,或不能.:1:1p x q x =⇒=1x =-:1q x =1x =-:1p x ⇒=所以是充分条件,但不是必要条件.14．已知是实数,求证：成立的充分条件是,该条件是否为必要条件？试证,a b 44221a b b --=221a b -=明你的结论．【参考答案】必要条件,证明见解析.【解析】由,即44221a b b --=442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以成立的充分条件是44221a b b --=221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为,2210a b ++≠故,()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=所以成立的必要条件是.44221a b b --=221a b -=15．不等式x 2﹣3x +2＞0的解集记为p ,关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0的解集记为q ,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．【参考答案】﹣2＜a ≤﹣1【解析】解：由不等式x 2﹣3x +2＞0得,x ＞2或x ＜1；不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0等价为（x ﹣1）（x +a ）＞0,①当﹣a ≤1,即a ≥﹣1时,不等式的解是x ＞1或x ＜﹣a ,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ≥1,即a ＝﹣1,②若﹣a ＞1,即a ＜﹣1时,不等式的解是x ＞﹣a 或x ＜1,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ＜2,即﹣2＜a ＜﹣1,综上﹣2＜a ≤﹣1．1．【必修第一册（上） 重难点知识清单】已知a ,b ∈R,则“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】若“0≤a ≤1且0≤b ≤1”,则“0≤ab ≤1”．当a ＝－1,b ＝－1时,满足0≤ab ≤1,但不满足0≤a ≤1且0≤b ≤1,∴“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”成立的充分不必要条件．故选A.2．【必修第一册（上） 重难点知识清单】“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”,∴△＝（﹣1）2﹣4m ＜0,解得m ,又∵m ⇒△＝1﹣4m ＜0,所以m是“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”的充要条件,故选：A ．3．【浙江省杭州二中检测】“”的一个充分但不必要的条件是( )260x x --<A ．B ．23x -<<03x <<C ．D ．32x -<<33x -<<【参考答案】B 【解析】由解得,260x x --<23x -<<要找“”的一个充分但不必要的条件,260x x --<即是找的一个子集即可,{}23x x -<<易得,B 选项满足题意.故选B4．【必修第一册 逆袭之路】设且,则是的（ ）,a b ∈R 0ab ≠1ab >1a b >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【参考答案】D 【解析】若“ab ＞1”当a ＝﹣2,b ＝﹣1时,不能得到“”,1a b ＞若“”,例如当a ＝1,b ＝﹣1时,不能得到“ab ＞1“,1a b ＞故“ab ＞1”是“”的既不充分也不必要条件,1a b ＞故选：D ．5．【河南省6月联考】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取x ()()30x a x -->11x -<<a 值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1a ≤-0a <2a ≥1a ≥【参考答案】D 【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.()1,1-()()30x a x -->当时,不等式的解集为,此时 ；3a =()()30x a x -->{}3x x ≠()1,1-{}3x x ≠当时,不等式的解集为,3a >()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞,合乎题意；()1,1- (),3-∞当时,不等式的解集为,3a <()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞由题意可得,此时.()1,1-(),a -∞13a ≤<综上所述,.1a ≥故选：D.6．【河南省开封市2020届高三第三次模拟】设a ,b ∈R ,则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】C 【解析】由a ＞b ,①当a ＞b ≥0时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞b •b ,此时成立．②当0＞a ＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为﹣a •a ＞﹣b •b ,即a 2＜b 2,此时成立．③当a ≥0＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞﹣b •b ,即a 2＞﹣b 2,此时成立,即充分性成立；由a |a |＞b |b |,①当a ＞0,b ＞0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＞0,因为a +b ＞0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．②当a ＞0,b ＜0时,a ＞b ．③当a ＜0,b ＜0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＜0,因为a +b ＜0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．即必要性成立,综上可得“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的充要条件,故选：C ．7．【必修第一册 过关斩将】设,则“”是“”的（ ）R x ∈11||22x -<31x <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】绝对值不等式,1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<由.31x <⇔1x <据此可知是的充分而不必要条件.1122x -<31x <本题选择A 选项.8．【必修第一册 过关斩将】设集合,,那么“或”是“{|2}M x x =>{|3}P x x =<x M ∈x P ∈x P M ∈⋂”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【参考答案】必要不充分【解析】解:条件是或等价于；结论是．:p x M ∈x P ∈x P M ∈⋃:q x P M ∈⋂依题意得是的真子集,所以“”能推出“”,反之不成立,P M ⋂P M ⋃x P M ∈⋂x P M ∈⋃即结论条件p ,必要性成立；条件结论q ,充分性不成立．q ⇒p ⇒综上,“或”是“”的必要不充分条件．x M ∈x P ∈x P M ∈⋂故参考答案为：必要不充分9．【必修第一册 逆袭之路】设,则“”是“”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充a R ∈1a >1a >.(分”,“充要”,“既不充分也不必要”之一)【参考答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”,得或,1a >1a >1a <-又“”是“或”的充分不必要条件,1a >1a >1a <-即“”是“”的充分不必要条件,1a >1a >故参考答案为充分不必要条件.10．【必修第一册 过关斩将】已知,若是p 的一个必要条件,则使:13p x -<<1(0)a x a a -<-<>恒成立的实数b 的取值范围是________.a b >【参考答案】{|2}b b <【解析】∵,111a x a a x a -<-<⇔-<<+∴,所以解得{|13}{|11}x x x a x a -<<⊆-<<+11,13,a a -≤-⎧⎨+≥⎩2a ≥又使恒成立,因此,故实数b 的取值范围是.a b >2b <{|2}b b <故参考答案为：．{|2}b b <11．【必修第一册 过关斩将】若M 是N 的充分不必要条件,N 是P 的充要条件,Q 是P 的必要不充分条件,则M 是Q 的________条件.【参考答案】充分不必要【解析】命题的充分必要性具有传递性.根据题意得,但,,且,因此M N P Q ⇒⇔⇒Q P ⇒N P ⇔N M ⇒,但,故M 是Q 的充分不必要条件.M Q ⇒Q M ⇒故参考答案为：充分不必要12．【必修第一册 过关斩将】若实数a ,b 满足,,且,则称a 与b 互补记0a ≥0b ≥0ab =,那么“”是“a 与b 互补”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充(,)a b a b ϕ=--(,)0a b ϕ=分”“充要”或“既不充分也不必要”）【参考答案】充要【解析】解析若,,平方得,当时,所以；(,)0a b ϕ=a b =+0ab =0a =b =0b ≥当时,所以,故a 与b 互补；0b =a =0a ≥若a 与b 互补,易得.(,)0a b ϕ=故“”是“a 与b 互补”的充要条件(,)0a b ϕ=故参考答案为：充要条件13．【必修第一册（上） 重难点知识清单】已知,.{}2320P x x x =-+≤{}11S x m x m =-≤≤+（1）是否存在实数,使是的充要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由；m x P ∈x S ∈m （2）是否存在实数,使是的必要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由．m x P ∈x S ∈m 【参考答案】（1）不存在实数,使是的充要条件m x P ∈x S ∈（2）当实数时,是的必要条件0m ≤x P ∈x S ∈【解析】（1）.{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤要使是的充要条件,则,即 此方程组无解,x P ∈x S ∈P S =11,12,m m -=⎧⎨+=⎩则不存在实数,使是的充要条件；m x P ∈x S ∈（2）要使是的必要条件,则 ,x P ∈x S ∈S ⊆P 当时,,解得；S =∅11m m ->+0m <当时,,解得S ≠∅11m m -≤+0m ≥要使 ,则有,解得,所以,S ⊆P 11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩0m ≤0m =综上可得,当实数时,是的必要条件．0m ≤x P ∈x S ∈14．已知两个关于的一元二次方程和,求两方程的根都是x 2440mx x -+=2244450x mx m m -+--=整数的充要条件．【参考答案】1m =【解析】∵是一元二次方程,∴．2440mx x -+=0m ≠又另一方程为,且两方程都要有实根,2244450x mx m m -+--=∴()()212224160,1644450,m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得．5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵两方程的根都是整数,∴其根的和与积也为整数,即24,4,445,Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴为的约数．m 4又∵,5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴或．1m =-1当时,第一个方程可化为,其根不是整数；1m =-当时,两方程的根均为整数,∴两方程的根均为整数的充要条件是．1m =1m =15．设集合,,若“”是“”的充分不必要条件,试求满足条{}2|320A x x x =-+={}|1B x ax ==x B ∈x A ∈件的实数组成的集合.a 【参考答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵,{}{}2|3201,2A x x x =-+==由于“”是“”的充分不必要条件.∴ .x B ∈x A ∈B A 当时,得；B =∅0a =当时,由题意得或.B ≠∅{}1B ={}2B =当时,得；当时,得.{}1B =1a ={}2B =12a =综上所述,实数组成的集合是.a 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
2021新编课件 新教材苏教版高中数学必修第一册第四章指数与对数 教学课件
10
2.
2.把根式 a (a>0)化成分数指数幂是(
3
A.(-a)2
3
B.-(-a)2
3
C.-2
3
D.2
答案 D
解析 a
1
=a·2
=
1
1+
2
=
3
2 ,故选
D.
)
3.(2020湖南高一期中)下列式子成立的是(
A.a - =
-3
B.a -=- -3
C.a - = 3
拆分等方式进行化简.
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公
式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
探究三
根式与分数指数幂的互化
例3将下列根式化成分数指数幂的形式:
(1) (a>0);(2) 3
1
·2
解 (1)原式=
4
1
5
( 2 )
=
2
;(3)(
2 -2
提示 (1)(
a)n是实数a的n次方根的n次幂.
(2)不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;
当n为大于1的偶数时,a≥0.
二、分数指数幂
名师点析 关于分数指数幂要注意以下几点:
(1)分数指数幂
不可以理解为 个
a 相乘,事实上,它是根式的一种新写法.
(2)0的指数幂:0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
+ + 3
2
2
3
6
6
3
2
6
2
(2) ×(-3 )÷( )=-9
第4章4.1第2课时 数列的递推公式-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 数列的单调性 【例 2】 已知数列{an}的通项公式是 an＝(n＋2)×78n(n∈N*)， 试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． [思路探究] 判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设 an 是 数列的最大项，解不等式．
[提示] 等式 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an 成立，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋
＝1＋
2(n－1)＝2n－1.
第2课时 数列的递推公式
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
第2课时 数列的递推公式
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知识点 1 数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第 1 项(或前几项)； ②任一项_a_n__与它的前一项__a_n_－_1___(或前几项)间的关系可以用 一个_公__式_来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递__推__公式．
(2)∵bn＝aan＋n 1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58.
故{bn}的前 4 项依次为 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
第2课时 数列的递推公式
1
2
3
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4.2.2 换底公式-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(北师大2019版必修第一册)
1 4.2.2 换底公式【教学目标】重点、难点1、对数换底公式的推导和应用；（重点）2、会用对数换底公式进行化简与求值；（难点）学科素养1、通过对对数换底公式推导的学习，培养逻辑推理素养；2、通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.【知识清单】1、换底公式及其推导证明：设，则，两边取以a 为底的对数，得x ,即2、换底公式的应用对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具，一般常换成以10为底.2、常见结论log a b ·log b a ＝【基础过关】1、log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92N log x b =N b x =N log b log a a =b log N log x a a =⇒b log Nlog N log a a b =2 2、已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________【经典例题】题型一 利用换底公式化简求值例1、计算：（1）log 1627log 8132 （2）log 29·log 34题型二 用已知对数表示其他对数例2、若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245.【课堂达标】1．（log 29）•（log 34）等于（ ）A ．B ．C ．2D ．42．设82log 9log 3a =，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23 C ．1 D ．23．已知lg 2a =,lg3b =,则3log 6等于( )A ．a b a +B ．a b b +C ．aa b + D ．ba b +4．计算:23log 9log 8⋅=( )A ．12B ．10C ．8D ．63 5．若3414491log 7log 27log log 8m ⨯⨯=，则m =___________．6．234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_________.7、求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.8.求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.【能力提升】1．设lg 2a =，lg3b =，则2log 6=（ ）A ．2abB ．2a bC ．a b a +D ．aa b +2．若lg 2,lg3a b ==，则24log 5等于（ ）．A ．13a a b ++B ．13aa b ++ C ．13a a b -+ D ．13aa b-+ 3．已知32m n k ==且112m n +=，则k 的值为( )4 A ．15 B 15C6 D ．64．计算25log 25log 22⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．若log 2x •log 34•log 59=8，则x =A ．8B ．25C ．16D ．46．若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则（ ）A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =7．（多选题）若0ab >，且1ab ≠，则下列等式中不正确的是（ ）A ．lg()lg lg ab a b =+B ．lg lg lg a a b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．21lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1lg()log 10ab ab =8．已知lg 2a =，lg3b =，则3log 6=__________（用含a ，b 的代数式表示）.9．设25a b m ==,且112a b +=,则m =______.10.已知35log 2,log 3a b ==，试用a ，b 分别表示下列各式：（1）2log 5；（2）lg 2；（3）20log 45．5【参考答案】【知识清单】1、log b N ＝log a Nlog a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)3、1【基础过关】1．B【解析】【分析】直接利用对数的运算性质，对选项进行逐一分析判断即可.【详解】log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.【点睛】本题考查对数换底公式，属简单题.2、9【解析】因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9.所以m ＝9.6 【经典例题】例1、（1）[解析]log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.（2）[解析]（3）[log 29·log 34＝2log 23·log 24log 23＝2log 24＝4log 22＝4.]例2、[解析]因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b .[课堂达标]1．D【解析】试题分析：利用换底公式、对数运算法则求解．解：（log 29）•（log 34）===4． 故选D ．7 考点：对数的运算性质．2．B【解析】【分析】由对数函数运算性质整理分子，即可求出答案. 【详解】 由题可知，322822222log 3log 3log 923log 3log 3log 33a ====故选：B【点睛】本题考查对数式的运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】应用换底公式和对数的运算公式直接求解即可.【详解】∵lg 2a =,lg3b =∵3lg 6lg 2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故选：B【点睛】8 本题考查了换底公式，考查了对数的运算公式，考查了数学运算能力.4．D【解析】【分析】根据对数换底公式,化简原式即可求得答案. 【详解】23lg9lg82lg33lg 2log 9log 86lg 2lg3lg 2lg3⋅=⋅=⋅=∴ 23log 9log 86⋅=故选:D.【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.5．4 【解析】【分析】由对数的运算性质和对数的换底公式，化简整理得32441log log 8m -=，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得344341424449log 7log log 7log 27log log 3log 3log (7)mm -⨯⨯=⨯⨯9344244444log 7log 33log 3log log log 32log 72m m m -=⨯⨯=-=-， 所以32441log log 8m -=，所以3218m -=，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理利用对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．3【解析】【分析】直接利用换底公式计算得到答案. 【详解】 原式2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln8ln8log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln 2=⋅⋅⋅⋅⋅===. 故答案为：3.【点睛】本题考查了换底公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.7、18【解析】【分析】首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.10 【详解】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换地公式，同时考查对数的运算，属于中档题.8. 18【解析】【分析】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.【能力提升】1．C【解析】【分析】把2log 6换成以10为底的对数，再利用对数的运算性质用,a b 表示lg 6lg 2即可.【详解】11 ∵lg 2a =，lg3b =，∵212lg3log 612g a b g a++==． 故选：C ．【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的运算性质，注意根据题设条件中的对数的形式选择合适的底的对数去表示目标对数，此类问题属于基础题.2．D【解析】【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.【详解】由lg 2,lg3a b ==，则24lg51lg 21lg 21log 5lg 24lg8lg33lg 2lg33a a b---====+++. 故选：D【点睛】本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题.3．C【解析】【分析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解.12 【详解】∵3m =2n =k ，∵m =log 3k ，n =log 2k ，∵32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2，∵k 2=6，又0k >∵6k =故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．A【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解 【详解】3222525253log 25log 22log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题13 5．B【解析】【分析】由换底公式将原式化为：lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，进而得到lgx=2lg5=lg25. 【详解】∵log 2x•log 34•log 59=8，∵lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，∵lgx=2lg5=lg25，∵x=25． 故选B ．【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:log log (0,1;0,1;0)log c b c N N b b c c N b=>≠>≠>且且. 6．C【解析】【分析】 根据换底公式可统一为常用对数，即可化简. 【详解】因为567895lg 6lg 7lg8lg 9lg10log 6log 7log 8log 9log 10log 10lg 5lg 6lg 7lg8lg 9p =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，14 而555log 5log 10log 25<<，所以()12p ∈，，故选C.【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题.7．AB【解析】【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．【详解】对于A ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于B ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于C ，00aab b >⇒>，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D ，由换底公式得，()()()1lg()log 1log 0log 10ab ab ab ab ab ==，该等式正确．故选AB ．【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．8．a bb +【解析】【分析】15由换底公式，可得l 3lg6lg2lg3log 6lg3lg3+==，由此能够准确地利用a ，b 表示log 36．【详解】由换底公式，3lg6lg2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故答案为a bb +【点睛】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．910【解析】【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b +==，得到答案.【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =， 故11log 2log 5log 102,10m m m m a b +=+==∴=10.【点睛】 本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.10.（1）1ab ；（2）1+ab ab ；（3）1212++bab16 【解析】【分析】（1）根据换底公式进行换底即可得到答案；（2）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案；（3）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案. 【详解】 解：（1）535233log 5115log 31log 5log 2log 2og b a ab====； （2）33335333335log 2log 2log 2log 2lg 2log 51log 10log (25)log 2log 51log 2log 3a abab a b======⨯++++； （3）()33333320333333log 45log (59)log 5log 9log 5log (33)log 45log 20log 45log 4log 5log (22)log 5⨯++⨯====⨯+⨯+ 5333553335log 512log 32log 52log 3log 312log 512log 2log 51222log 2log 3bb aba b++++====++++.【点睛】本题主要考查换底公式和对数的运算性质，考查学生的计算能力和公式的应用能力，属于基础题.171819。
2020-2021年数学必修第一册课后试题：第四章4.1 课后课时精练(人教A版)
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在对数式log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1<x <3 B ．x >1且x ≠2 C ．x >3 D ．1<x <3且x ≠2答案 D解析 要使对数式log (x －1)(3－x )有意义，需⎩⎨⎧3－x ＞0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ＜3且x ≠2.2．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.3．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38 答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，∴⎩⎨⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3.故选B.4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 答案 A解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞答案 B解析 由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立． k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎨⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54，故选B.二、填空题 6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________． 答案 {x |x ＜4且x ≠3}解析 由题意，得⎩⎨⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．7．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________. 答案 1解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 8．集合A ＝{1，log 2x }中的实数x 的取值范围为________． 答案 (0,2)∪(2，＋∞) 解析 ∵集合A ＝{1，log 2x }，∴⎩⎨⎧log 2x ≠1，x ＞0，解得x ∈(0,2)∪(2，＋∞)． 三、解答题9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10(单位：m/s)，其中O 表示燕子的耗氧量．。
2020-2020学年高中数学第一册学案第4章 4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析
2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析第3课时不同函数增长的差异学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点）3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只,喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长．问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?提示：都是增函数,而y＝a x（a〉1)增长速度越来越快；y＝log a x(a〉1）在（0，＋∞）上增长速度非常缓慢．三种函数模型的性质y＝a x（a〉1）y＝log a x(a>1)y＝kx（k〉0)在（0,＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝log a x （a〉1）的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x〉x0时，有a x>kx〉log a x1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）(1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()（2）当a〉1，n>0时,在区间(0,＋∞)上，对任意的x,总有log a x 〈x n〈a x成立．(）(3)函数y＝log错误!x衰减的速度越来越慢．（)[答案］（1)×(2)×(3)√2．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（）A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2590 1 62029 160524 8809 447 840170 061 120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是________．y2［由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．] 4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年）的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③［结合图象可知②③正确，故填②③。
新教材高中数学第4章数学归纳法课件苏教版选择性必修第一册ppt
(2)假设 n＝k(k>2，k∈N*)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数为 f(k)＝12k(k－1)， 那么当 n＝k＋1 时，任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交 点个数为 f(k)＝12k(k－1)，
l 与其他 k 条直线交点个数为 k，从而 k＋1 条直线共有 f(k)＋k 个交点，
由(1)和(2)可知，命题对所有的 n∈N*都成立．
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法 更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知 fk＞gk，求证 fk ＋1＞gk＋1时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分 析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点：
1先凑假设，作等价变换； 2瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到 凑出结论.)
[跟进训练] 1．用数学归纳法证明等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－ 1)n－1nn2＋1．
[证明] ①当 n＝1 时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×1×2 2＝1，左边＝右边，等式成立； ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2 ＝(－1)k－1kk＋2 1，
即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k ＋1)[(k＋1)－1]，
∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，对任意 n∈N*，n≥2，命题都成立．
用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有 必要的文字说明.
[跟进训练] 4．平面内有 n(n∈N*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每 三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 f(n)＝n2－n ＋2 部分．
2020-2021学年高中化学新教材苏教版必修第一册：4.1.1 二氧化硫的性质和应用
3．用途 (1)用于□ 34___漂__白___纸浆、毛、 丝、草编织物等。 (2)制硫酸和作防腐剂、杀菌消毒剂。
[即时性自测]
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×” (1)硫元素在自然界中只有化合态形式存在。( × ) (2)黑火药中使用的硫单质转化为 K2S，故作还原剂。( × ) (3)二氧化硫有漂白性，可使石蕊试液褪色。( × ) (4)二氧化硫能使酸性 KMnO4 溶液褪色，因为 SO2 具有漂白性。 (× ) (5)二氧化硫漂白的草帽不会发黄。( × ) (6)二氧化硫可作食品添加剂。( √ )
2．下列各组物质都能使品红溶液褪色，且褪色原理相同的是 ()
A．SO2、CO2 B．HClO、Na2O2 C．SO2、活性炭 D．Na2O2、活性炭
解析：A 项，SO2 可使品红溶液褪色，CO2 不能使品红褪色，不正确； B 项，HClO、Na2O2 都是氧化型漂白剂，正确；C 项，SO2、活性炭分别 属于加合型、吸附型漂白剂，不正确；D 项，Na2O2、活性炭分属氧化型、 吸附型漂白剂，不正确。
③与碱性氧化物反应(如 CaO)： □ 27___S_O_2_＋__C_a_O_=_=__=_C_a_S_O_3_________________________________。
(2)强还原性：可被多种氧化剂(如 O2、Cl2、Br2、I2、HNO3、KMnO4、
2020-2021学年期末考试复习试卷(四)【新教材】高一上学期生物(苏教版(2019)必修第一册)
2020-2021学年期末考试复习试卷（四）【新教材】高一上学期生物（苏教版（2019）必修第一册）1.蛋白质核酸等生物大分子在生物体的生命活动中具有重要作用，构成这些生物大分子基本骨架的元素是（）A．N B．H C．O D．C2.细胞中的无机盐离子有多种功能。
下列离子中，组成人体血红蛋白的成分是（）A．Ca 2+B．Cu 2+C．Fe 2+D．Mg 2+3.下列有关组成细胞化合物的叙述，错误的是（）A．水和无机盐是构成细胞的无机化合物B．DNA分子通常为双链，RNA分子通常为单链C．植物细胞中主要的二糖是蔗糖和麦芽糖D．构成脂质的化学元素为C、H、O、N 4.下列有关细胞膜的叙述中，最能体现细胞膜结构特点的是（）A．内吞和胞吐B．选择透过性C．保护作用D．主动运输5.下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是（）A．含有DNA的细胞器有细胞核和线粒体B．有叶绿体的细胞一定也有线粒体C．所有细胞的能量代谢都离不开线粒体和叶绿体D．根尖细胞中具双层膜的细胞器是线粒体和叶绿体6.下图是某种物质跨膜运输方式的示意图，该运输方式是（）A．自由（简单）扩散B．协助扩散C．主动运输D．被动运输7.下列能直接给细胞的生命活动提供能量的物质是（）A．糖类B．蛋白质C．ATP D．核酸8.呼吸方式包括有氧呼吸和无氧呼吸，下列属于有氧呼吸的最终产物是（）A．丙酮酸和[H] B．乳酸C．酒精和二氧化碳D．二氧化碳和水9.细胞有丝分裂过程的不同时期细胞中会发生不同变化，其中有丝分裂前期发生的主要变化是（）A．染色体加倍B．DNA加倍C．纺锤体的形成D．赤道板的出现10.下列关于细胞分化、衰老和凋亡的叙述，正确的是（）A．细胞分化导致细胞中的遗传物质逐渐减少B．人体各种组织细胞的衰老是同步进行的C．人的早期胚胎有尾，尾部细胞随着发育逐渐凋亡D．细胞具有全能性是因为细胞都未经分化11.如图为某动物细胞部分结构示意图，相关叙述错误的是（）A．①增大了细胞内的膜面积B．②是蛋白质合成和加工以及脂质合成的“车间”C．③与动物细胞的有丝分裂有关D．④普遍存在于原核细胞中12.下列有关生物膜系统的说法，正确的是（）A．原核细胞无核膜及细胞器因而不具生物膜B．生物膜都具有相同的组成成分和结构，在结构和功能上紧密联系C．所有的酶都附着在生物膜上，没有生物膜生物就无法进行各种代谢活动D．细胞内的生物膜把各种细胞器分隔开，使细胞内的化学反应不会互相干扰13.酶是细胞内主要的有机物，对活细胞完成各项生命活动具有重要作用，下列关于酶的叙述，正确的是（）A．温度过高或过低对酶活性的影响原理相同B．酶适宜在最适温度及最适pH条件下长期保存C．探究温度影响酶活性的实验中，酶与底物应分别保温后再混合D．酶是活细胞产生的具有催化作用的有机物，只在细胞内发挥作用14.下图1为ATP的结构简图，图2为ATP与ADP相互转化的关系式，以下说法正确的是（）A．图1中字母A代表的是腺苷，b、c为高能磷酸键B．图2中反应向左进行时，图1中的c断裂并释放能量C．酶1和酶2的催化作用受到温度、pH等因素的影响D．ATP与ADP相互转化属于可逆反应15.下列光合作用过程中，物质转变途径错误的是（）A．碳原子：CO 2→三碳化合物→葡萄糖B．氢原子：H 2O→ATP→葡萄糖C．氧原子：H 2O→O 2D．氧原子：CO 2→三碳化合物→葡萄糖16.下图示绿色植物光合作用与呼吸作用两者间的关系。
2020-2021学年高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析
③b＞a＞1
④0＜a＜b＜1
⑤a＝b
其中不可能成立的关系有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：∵实数 a，b 满足 th a th b，
hh 即
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ ；
h
h 对于①，当 a＝3，b＝2 时， h
h h ，即 th 3
th 2，∴①不成立；
对于②，当 a ，b 时， th
∴
；
使
∴使
使
使
x＝y＝3 时取等号．
故选：B．
使 使
使
，当且仅当
，即
使
6．已知 3m＝2n＝k 且
，则 k 的值为（ ）
A．15
B．
C．
【解答】解：∵3m＝2n＝k，∴m＝log3k，n＝log2k，
D．6
∴
th
th
th
th logk6＝2，
∴k2＝6，∴
，
故选：C．
7．设 a＝30.7，b＝（ ）﹣0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
第6页共9页
∴ thh
，
∴f（6t）﹣f（3t）＝loga6t﹣loga3t＝loga2 ．
故答案为： ． 四．解答题（共 6 小题）
14．（1）计算： ୠ
⺁
ୠ；
（2）已知 x+x﹣1＝4，求 x2﹣x﹣2 的值．
【解答】解：（1） ୠ
⺁
ୠ
ୠ
⺁
；
ୠ
（2）由 x+x﹣1＝4，两边平方并整理得 x2+x﹣2＝14，
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析第四章指数函数与对数函数4.1指数【素养目标】1．弄清（na）n与错误!的区别,掌握n次方根的运算．(数学抽象）2．能够利用a错误!＝错误!进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4。
1.1n次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识知识点1n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为错误!a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±错误!a＜0x不存在思考1：正数a的n次方根一定有两个吗?提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且仍为正数．知识点2根式(1）定义:式子__错误!__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a 叫做__被开方数__.（2）性质：(n＞1，且n∈N*）①（na）n＝a。
②n，a n＝错误!思考2：(n，a）n与错误!中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(错误!）n中隐含a是有意义的，若n 为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子错误!中，a∈R.知识点3分数指数幂的意义(a〉0，m,n∈N*,且n〉1)正分数指数幂a错误!＝错误!负分数指数幂a－错误!＝错误!＝错误!0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义思考3:为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：（1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数,则a错误!，a－错误!无意义；（2）当a＝0时，a0无意义．知识点4有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r,s∈Q）(1）a r a s＝a r＋s.（2)（a r)s＝a rs.(3)（ab)r＝a r b r。
2020-2021学年新教材数学北师大版(2019)必修第一册练测评：4.2.2换底公式含解析
必备知识基础练进阶训练第一层知识点一 利用换底公式求值1.若a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.3．设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y 的值．知识点二 利用换底公式计算 4.(log 134)·(log 227)等于( )A .23B .32C ．6D ．－6 5．计算： (1)log 927；(2)log 21125×log 3132×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)知识点三 利用换底公式证明6.证明：log an b m ＝mn log a b(a>0，且a ≠1；m ≠0)．7．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .关键能力综合练 进阶训练第1.log 29log 23＝( )A .12 B ．2 C .32 D .922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD .ab3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A .10 B ．10 C ．20 D ．1004.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C .1lg 3D ．－1lg 3 5．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．46．(探究题)若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( )A .1a ＋2b ＝2cB .2a ＋2b ＝1cC .1a ＋1b ＝2cD .2a ＋1b ＝2c 7．若log a b·log 3a ＝4，则b 的值为________．8．已知log 32＝m ，则log 3218＝________.(用m 表示) 9．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．10．计算：(1)(log 43＋log 83)×lg 2lg 3；(2)log 52×log 79log 513×log 734＋log 4(3＋5－3－5)2.学科素养升级练进阶训练第三层 1a 等的是( )A .1log ba B .lg a lg bC ．log b aD ．log an b n2．已知x ，y ，z 都是大于1的实数，m>0且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为________．3．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x＝b y ＝c z，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．2．2 换底公式 必备知识基础练1．解析：∵log a x ＝1log xa ＝2，∴log x a ＝12.同理log x c ＝16，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ＝1.答案：A2．解析：由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.答案：93．解析：∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．解析：(log 134)·(log 227)＝(log 1322)·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝(2log 132)·⎝⎛⎭⎪⎫－3log 213＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2＝－6.答案：D5．解析：(1)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(2)log 21125×log 3132×log 513 ＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.6．解析：证明：log an b m＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b . 7．解析：证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y . 关键能力综合练1．解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23，又∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.答案：B2．解析：log 27＝log 23×log 37＝ab . 答案：C3．解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10，选A. 答案：A4．解析：原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C.答案：C5．解析：原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 答案：B6．解析：由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 5 2 019，b ＝log 4042 019，c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.答案：A7．解析：log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案：818．解析：log 23＝1log 32＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32＝lg 2＋2lg 35lg 2＝15＋25log 23＝15＋25m ＝m ＋25m .答案：m ＋25m9．解析：解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 2351)(log 52＋log 52 22＋log 53 23)＝⎝⎛⎭⎪⎫3log 2 5＋log 25＋13log 2 5(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13.10．解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8×lg 2lg 3＝lg 32lg 2×lg 2lg 3＋lg 33lg 2×lg 2lg 3 ＝12＋13＝56.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＋log 4(3＋5－3－5)2＝log 132×log 349＋log 4(3＋5＋3－5－232－5) ＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＋log 4(6－2×2) ＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＋log 42 ＝－32＋12log 22＝－32＋12＝－1. 学科素养升级练1．解析：1log b a ＝log a b ，lg alg b ＝log b a ，log ba ＝logb a ，log an b n ＝log a b ，故选A 、D. 答案：AD2．解析：∵log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，∴log m x ＝124，log m y ＝140，log m xyz ＝112，∴124＋140＋log m z ＝112，解得log m z ＝160，故log z m ＝60.答案：603．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log ct ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1. 解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ， ∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t ， ∵1x ＋1y ＋1z ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。
2020-2021学年人教版新教材必修第一册 第4章第2节 元素周期律(第1课时) 课件(53张)
新知预习 一、原子结构的周期性变化
结合图1、图2、图3完成下表：
原子 电子 序数 层数
最外层 电子数
原子半径的变化(稀 有气体元素除外)
最高或最低化合价的变化
1～2
1
1～2
＋1→0
3～10
__2___
___1_～__8__
三、元素周期律 1．内容：元素的性质随着原子序数的递增而呈周期性的变化。 2．实质：元素性质的周期性变化是原子的___核__外__电__子__排__布___的周期 性变化的必然结果。
预习自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)同周期元素，从左到右，原子半径逐渐减小，离子半径也逐渐减
与氢气反应
由难到易的顺序为_______S_i<_P__<_S_<_C_l_______
最高价氧化 物对应的水 化物的酸性
结论
H2SiO3： 弱酸
H3PO4：中强酸
H2SO4：强 HClO4：强
酸
酸
酸性：____H__C_l_O_4_＞__H_2_S_O__4＞__H__3_P_O_4_＞__H__2S_i_O_3______
6．门捷列夫对化学这一学科发展的最大贡献在于发现了化学元素周
期律。下列事实不能用元素周期律解释的只有
(C )
A．碱性：KOH＞Ca(OH)2＞Mg(OH)2 B．稳定性：H2O＞H2S＞H2Se C．挥发性：HNO3＞H3PO4＞H2SO4 D．原子半径：P＞S＞Cl
解析：酸的挥发性是物质本身的特性，没有规律，所以选C。
课堂素能探究
知识点 一
2021_2022学年新教材高中数学第4章指数与对数4.24.2.1对数的概念课件苏教版必修第一册2
ln N
是一个_无__理__数__
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×) (1)logaN 中 a 的取值范围为(0，＋∞)．( ) (2)(－2)4＝16 可化为 log(－2)16＝4.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) (4)在 b＝log3(x－2)中，实数 x 的取值范围是(2，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
利用指数与对数的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟进训练] 2．求下列各式中 x 的值： (1)log64x＝－23； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x； (4)log27x＝－23.
[解] (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000. (3)x＝71－log75＝7÷7log75＝7÷5＝75.
1．将本例(1)改为“log2(lnx)＝1”如何求 x? [解] 由 log2(lnx)＝1 知 lnx＝2，所以 x＝e2. 2．将本例(2)改为“log3(log2(lgx))＝0”呢？ [解] 由 log3(log2(lgx))＝0 知 log2(lgx)＝1，所以 lgx＝21， x＝102＝100. 3．将本例(3)改为“3log3(log4(log5x))＝0”如何求 x? [解] 由 3log3(log4(log5x))＝0 知 log4(log5x)＝1， 所以 log5x＝4，x＝54＝625.
[解] (1)x＝64
＝ 4 3
＝4－2＝116.
(2)因为 x6＝8，所以 x＝(x6) ＝8 ＝(23) ＝2 ＝ 2.
新教材2020-2021学年数学苏教版(2019)必修第一册课件：4.2.2对数的运算性质
所以x=a2b－13.
答案:a2
－1
b3
关键能力·合作学习
类型一 对数运算性质的应用(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·苏州高一检测)计算:0.25-0.5-log525= ( ) A.0 B.1 C.3 D.4
2.若a=logm x,b=logm y,c=logm z,则用a,b,c表示
logm
A.4 B.10 C.20 D.40
【解析】选D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg a=1,
4
所以 a=10,所以a=40.
4
3.(教材二次开发:练习改编)
若ln x=2ln a- 1 ln b,则x=________.
3
【解析】因为ln x=2ln a- 1ln b=ln a2
3
b, －13
018,所以1
a
+ 1=
b
1.
c
【补偿训练】已知2x=5y=t, 1 + 1 =2,则t=(
xy
A. 1
10
B. 1
100
C. 10
【解析】选C.因为2x=5y=t>0,t≠1,
所以x= ln t,y= ln. t
ln 2 ln 5
代入 1+ =1 2,所以 l+n t =l2n,t
xy
ln 2 ln 5
D. 2 1 2 ab c
【解析】选B.由已知,得2a=1 009b=2 018c=2 020,
得a=log22 020,b=log1 0092 020,c=log2 0182 020,
所以 1a=log2 0202, 1b=log2 0201 009,
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第4章 章末复习（一）
一、要点回顾
1. 当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个 ,负数的n 次方根是一个 .这时,a 的n 次方根用符号 表示.
当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数 . 当n 为奇数时,√a n n
= ;
当n 为偶数时,√a n n =|a|= { , a ≥0,
, a <0.
2. 正数的正分数指数幂的意义是a m n
= (a>0, m , n ∈N *,且n>1); 正数的负分数指数幂的意义是a －
m n
= (a>0, m , n ∈N *,且n>1).
3. 有理数指数幂的运算性质
a r a s = , (a r )s = ,(a
b )r = ,其中a>0, b>0, r , s ∈Q . 4. 对数的概念(对数与指数的互化):如果a b =N (a>0且a ≠1),那么b 叫作以a 为底N 的对数,记作b= ,其中a 叫作对数的 ,N 叫作 . 5. 对数的性质:① log a 1= ; ② log a a= ; ③ a log a N = .
6. 对数的运算性质:如果a>0且a ≠1, M>0, N>0, n ∈R,那么
log a (MN )= , log a M N
= , log a M n = . 7. 换底公式及其推论:① log a b=
log c b log c a (a , c 均大于0且不等于1, b>0);
② log a b ·log b a=1,即log a b=1log b a
;
③ lo g a m b n =n
m log a b.
二、考点聚焦
考点一 指数式与对数式的互化(a b =N ⇔log a N=b ,其中a>0且a ≠1) 【例1】 (1) 若log x √y 7=z ,则 ( )
A. y 7=x z
B. y=x 7z
C. y=7x
D. y=z 7x (2) 已知log a 2=m , log a 3=n ,则a 2m+n = .
题组训练
1. 若log x 8=3,则x= .
2. 已知3m =2n =k ,且1m +1n
=2,则k 的值为
( )
A. 15
B. √15
C. 6
D. √6
3. 已知log 5(log 2x )=1,求x 的值.
考点二 利用指数、对数的运算性质计算 【例2】 (1) 已知3a+2b=1,求9a b
√a
的值;
(2) 已知lg a －lg b=m ,求lg (a 2)3－lg (b 2)3
的值.
题组训练 1.
化简:(8)－1
3
+lg √10等于 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2. (1) 已知x log 34=1,求4x +4－
x 的值;
(2) 已知3a =2, 3b =5,求log 360的值.
3. 已知log 4a=log 25b=√3,求lg(ab )的值.
考点三 换底公式的应用 【例3】 计算:
log 5√2×log 79
log 51
3×log 7√4
3
.
题组训练
1. 计算:log 54·log 1625= .
2. 计算:(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).
3. 已知log 189=a , 18b =5,试用a , b 表示log 3645.
三、课后作业
1. (多选)下列结论中错误的有
( )
A . 若log 2x =3,则x =6
B . 5log 5
1
25
=√5
C . lg(lne)=0
D . lg(lg10)=1 2. 若√(3a －1)2=√(1－3a)33
,则实数a 的取值范围为
( )
A . (0,1
3) B . (0,1
3]
C . (－∞,13
] D . [13
,+∞)
3. 计算:lg 2516
－2lg 59
+lg 3281
等于
( )
A . lg2
B . lg3
C . lg4
D . lg5
4. 已知a =log 54,那么log 564－2log 520用a 表示是 ( )
A . a －2
B . 5a －2
C . 3a －(1+a )2
D . 3a －a 2－1
5. (多选)下列说法中正确的有
( )
A . x
－
34
=√(1
x )3
4
(x >0)
B . √(－x)23
=－x 2
3
C . √a 2=a
D . √－x 3=－x √－x
6. 设a =log 310, b =log 37,则3a
－b
的值为
( )
A .
107
B . 7
10 C . 10
49 D . 49
10
7. 若log a b ·log 3a =4,则b 的值为 . 8. 计算:(1)
(18)－1
3×(－76)0+80.25×√24+(√23
×√3)6;
(2) lg25+23
lg8+lg5×lg20+(lg2)2－10lg3.
9. 已知2x =3, log 48
3
=y ,则x +2y 的值为 ( )
A . 3
B . 4
C . 8
D . log 48
10. 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震
时释放出的能量E (单位:J)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M. 2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的 倍.
11. 已知2a ·3b =2c ·3d =6,求证:(a －1)(d －1)=(b －1)(c －1).
12. (1) 已知2a =5b =m (m >0),且1a +1
b
=2,求m 的值;
(2) 已知2x =3y =5z ,且1x +1y +1
z =1,求x , y , z.
1
log22021×2021
1
log42021×2021
1
log82021×2021
1
log162021×2021
1
log322021)15.
*13.计算:(2021。