高中数学破题致胜方法构造齐次方程求双曲线的离心率

今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。双曲线的几何性质中，离心率问题是重点。根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

先看例题：

例：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B. 13-

C. 213+

D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2

c -，由焦半径公式a ex PF p --=1， 即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==a

c e （31-舍去），故选D

整理：

用齐次方程的方法求双曲线的离心率：

列出关于a ，b ，c 的方程，

222b c a -＝消去b

转化成关于e 的齐次方程求解.

再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线122

22=-b

y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4

3，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得

c b a ab

432

2=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()

4222316c a c a =-，整理得 01616324=+-e e ，

得42=e 或342

=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A

总结：

1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.

2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e .

练习：

1.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）

A

3 B 26 C 36 D 3

3

2.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点.若△ABF 2为直角三角形，则双曲线的离心率为( )

A ．1＋ 2

B ．1±2 C. 2

D.2±1

答案：

1.

即()()

()222

22222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，

∵222a c b -=，∴212222-=--a c a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴2

6=e ，故选B

2.

解析：∵△ABF 2是直角三角形， ∴∠AF 2F 1＝45°，

|AF 1|＝|F 1F 2|，b 2a ＝2c .

∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0. 解得e ＝1±2.又e >1，

∴e ＝1＋ 2.

所以选A