第2讲 解三角形及其应用
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第 2 讲 解三角形及其应用
高考导航
热点透析 方法策略
高考导航—演练真题
高考体验
明确备考
1.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ,文 4)△ABC 的内角 A、B、C 的对
π π 边分别为 a、 b、 c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积为( B ) 4 6
(A)2 3 +2 (C)2 3 -2 (B) 3 +1 (D) 3 -1
2 13 2 2 3 13 5 26 =×()+ × = . 13 13 26 2 2
(2)利用余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos θ=125, ∴BC=5 5 . ∴该船匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里,
5 5 ∴该船的行驶速度 v= =15 5 (海里/小时). 1 3
结合应用.
热点训练 1
(1)求角 A 的大小;
(2013 年高考湖北卷)在△ABC 中,角 A、B、
C 对应的边分别是 a、b、c,已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (2)若△ABC 的面积 S=5 3 ,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cos A-2=0,
∴ac≤3(2+ 2 ), 当且仅当 a=c 时等号成立,
2
1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2
π ∵0<A<π,∴A= . 3
1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc× = bc=5 3 ,得 bc=20.又 b=5, 2 2 2 4
∴c=4.
2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA=25+16-20=21,故 a= 21 .
2 2 2
解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为
2 | BA |cos B= . 2
感悟备考
高考对解三角形的考查,既有选择题、 填空题,也有解答题. 选择、填空题主要是利用正、余弦定理实现三角形中的边 角互化,进而求解三角形(如求角、求边、求面积及判断三 角形的形状等),属基础题.解答题则常是综合应用正、 余弦 定理,求解三角形中的边、 角、 面积问题.也常与平面向量、 三角函数图象、三角恒等变换、数列等知识交汇命题.考查 解三角形的有关知识,属中档偏下题.在备考中不但要掌握 正、 余弦定理及其常用变形公式,而且在解题中要弄清三角 形的三边、三角中已知什么,求什么,恰当选择正、余弦定 理实现边角互化.
3 即 cos A=- . 5 4 又 0<A<π,则 sin A= . 5
a b (2)由正弦定理,有 = , sin A sin B
b sin A 2 所以 sin B= = . a 2
π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 4
根据余弦定理,有
3 (4 2 ) =5 +c -2×5c× , 5
π ∴sin A=1,A= ,∴△ABC 为直角三角形. 2
故选 A.
3.(2012 年高考新课标全国卷,文 17)已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3 asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c. 解:(1)由 c= 3 asin C-ccos A 及正弦定理得
热点训练 2
(2013 上海奉贤区二模)位于 A 处的雷达观
测站,发现其北偏东 45°方向,与 A 相距 20 2 海里的 B 处,有 一货船正以匀速直线行驶,20 分钟后又测得该船位于观测站北 偏东 45°+θ (0°<θ <45°)的 C 处,AC=5 13 ,在观测站 A 的正
2 13 南方向某处 E,cos∠EAC=. 13
【备选例题】 【例 1】 (2013 许昌二模)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 ( 2 a-c) BA · BC =c CB · CA . (1)求角 B 的大小; (2)若| BA - BC |= 6 ,求△ABC 面积的最大值.
解:(1)∵( 2 a-c) BA · BC =c CB · CA , ∴( 2 a-c)| BA |·| BC |cosB=c| CB |·| CA |cosC, 即( 2 a-c)cacosB=c·a·bcosC, ∴( 2 a-c)cosB=bcosC. 根据正弦定理得( 2 sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴ 2 sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sin A,
1 2 3 1 2 = ×2×2 × ( + )= 3 +1. 2 2 2 2
故选 B.
2.(2013 年高考陕西卷,文 9)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的 边分别为 a、b、c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形 状为( A ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定 解析:∵bcos C+ccos B=asin A, ∴sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, ∴sin(B+C)=sin2 A,即 sin A=sin2 A,
b2 c 2 a 2 3 解:(1)由余弦定理知 cos A= =. 2bc 2
5 ∵A∈(0,π),∴A= π. 6 1 (2)由(1)得 sin A= ,由正弦定理知 2 a b c = = , sin A sin B sin C
∴b=2 3 sin B,c=2 3 sin C, ∴S=
π π 7 解析:∵B= ,C= ,∴A= π, 12 4 6
∴sin
π π 3 2 2 1 2 3 1 7 π=sin( + )= × + × = ( + ). 12 2 2 3 4 2 2 2 2 2
b π sin 6
由正弦定理得
=
c π sin 4
,解得 c=2 2 ,
1 1 7 ∴S△ABC= bcsin A= ×2×2 2 sin π 12 2 2
3 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
由于 sin C≠0,所以 3 sin A-cos A=1,
π 1 即 sin（A- ）= . 6 2 π 又因为 0<A<π,故 A= . 3
1 (2)由于△ABC 的面积 S= bcsin A= 3 , 2
故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A, 2 2 故 b +c =8. 由①②解得 b=c=2.
(1)求 cosθ ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时).
2 13 解:(1)∵cos∠EAC=, 13 3 13 ∴sin∠EAC= 1 cos EAC = , 13
2
3 ∴cosθ=cos( π-∠EAC) 4 3π 3 =cos cos∠EAC+sin πsin∠EAC 4 4
2 ∵sinA≠0,∴cosB= , 2
π 又 0<B<π,∴B= . 4
(2)∵| BA - BC |= 6 , ∴| CA |= 6 ,即 b= 6 .
2 2 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accosB=a +c - 2 ac, 2 2 ∴6=a +c - 2 ac≥2ac- 2 ac=(2- 2 )ac,
热点透析—典例剖析
热点一
2 2 2
锁定高考
正、余弦定理及简单应用
【例 1】 (2013 年高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c,且 a =b +c + 3 bc. (1)求 A; (2)设 a= 3 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最 大值,并指出此时 B 的值.
解:(1)设缉私艇追上走私船所需的时间为 t 小时, 则有|BC|=25t,|AB|=35t, 且∠CAB=α,∠ACB=120°. 根据正弦定理得
BC sin
=
AB sin120
,
25t 35t 即 = . sin 3 2
5 3 ∴sin α= . 14
(2)在△ABC 中由余弦定理得, |AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC|·|BC|cos ∠ACB. 即(35t)2=152+(25t)2-2×15×25t·cos 120°,
① ②
4.(2013 年高考四川卷,文 17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos
3 B-sin(A-B)sin(A+C)=- . 5
(1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 2 ,b=5,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 则 cos(A-B+B)=- , 5 3 , 5
3 即 8t -5t-3=0,解之得 t=1 或 t=- (舍去), 8
2
故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间.
规律方法
应用解三角形知识解决实际问题的步骤
(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理 解题中有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中 ,通过合 理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍, 得出正确答案.
方法策略—以例释法
高分技巧
转化与化归思想在解三角形中的应用
【典例】 (2013 年高考江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列;
2π a (2)若 C= ,求 的值. b 3
审题策略:(1)先将角统一化成单角,再利用正弦 定理将角之间关系转化为边之间的关系. (2)结论与 c 无关.由(1)的结论及余弦定理,可 找到边 a、b 满足的关系式,问题得到解决. (1)证明:∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, 2 ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin B.∵sinB≠0, ∴sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理得 a+c=2b. ∴a、b、c 成等差数列.
b c 又由正弦定理得 sinBsinC= sinA· sinA= a a
bc 20 3 5 2 a 2 sin A= 21 × 4 = 7 .
热点二 正、余弦定理的实际应用
【例 2】(2013 广州三模)一缉私艇发现在 其方位角(从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平角)45°方向,距离其 15 海里 的海面上有一走私船正以 25 海里/小时的 速度沿方位角 105°的方向逃窜.若缉私 艇的速度为 35 海里/小时, 缉私艇沿方位角为 45°+α 的方向追去,若要在最短时间内追上走 私船. (1)求角α 的正弦值; (2)求缉私艇追上走私船所需的时间.
1 bcsin A=3sin Bsin C. 2
因此 S+3cos Bcos C=3cos(B-C),
π 当 B=C= 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 12
规律方法 (1)在解三角形问题时要根据题意恰当选择正弦
定理或余弦定理实现边角互化,有时可能交替使用.
1 1 (2)在解三角形问题中,面积公式 S= absin C= bcsin A 2 2 1 = acsin B 最常用.因公式中有边也有角,易和正、余弦定理 2
Baidu Nhomakorabea
(2)解:由余弦定理 c =a +b -2abcos C 得,
2
2
2
2π (2b-a) =a +b -2abcos .即 b(3b-5a)=0. 3
2 2 2
∵b≠0, ∴3b-5a=0,
a 3 ∴ = . b 5
方法点睛
解三角形常与三角恒等变换相
结合考查正、余弦定理的应用,其实质是将三角形 问题转化为代数问题. 解题过程中也常利用三角 恒等变换知识进行转化,其中第(1)问结合三角恒 等变换,利用正弦定理把角转化为边;第(2)问利 用余弦定理将问题转化为关于 a,b 的方程.
高考导航
热点透析 方法策略
高考导航—演练真题
高考体验
明确备考
1.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ,文 4)△ABC 的内角 A、B、C 的对
π π 边分别为 a、 b、 c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积为( B ) 4 6
(A)2 3 +2 (C)2 3 -2 (B) 3 +1 (D) 3 -1
2 13 2 2 3 13 5 26 =×()+ × = . 13 13 26 2 2
(2)利用余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos θ=125, ∴BC=5 5 . ∴该船匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里,
5 5 ∴该船的行驶速度 v= =15 5 (海里/小时). 1 3
结合应用.
热点训练 1
(1)求角 A 的大小;
(2013 年高考湖北卷)在△ABC 中,角 A、B、
C 对应的边分别是 a、b、c,已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (2)若△ABC 的面积 S=5 3 ,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解:(1)由 cos 2A-3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cos A-2=0,
∴ac≤3(2+ 2 ), 当且仅当 a=c 时等号成立,
2
1 即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2
π ∵0<A<π,∴A= . 3
1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc× = bc=5 3 ,得 bc=20.又 b=5, 2 2 2 4
∴c=4.
2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA=25+16-20=21,故 a= 21 .
2 2 2
解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为
2 | BA |cos B= . 2
感悟备考
高考对解三角形的考查,既有选择题、 填空题,也有解答题. 选择、填空题主要是利用正、余弦定理实现三角形中的边 角互化,进而求解三角形(如求角、求边、求面积及判断三 角形的形状等),属基础题.解答题则常是综合应用正、 余弦 定理,求解三角形中的边、 角、 面积问题.也常与平面向量、 三角函数图象、三角恒等变换、数列等知识交汇命题.考查 解三角形的有关知识,属中档偏下题.在备考中不但要掌握 正、 余弦定理及其常用变形公式,而且在解题中要弄清三角 形的三边、三角中已知什么,求什么,恰当选择正、余弦定 理实现边角互化.
3 即 cos A=- . 5 4 又 0<A<π,则 sin A= . 5
a b (2)由正弦定理,有 = , sin A sin B
b sin A 2 所以 sin B= = . a 2
π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 4
根据余弦定理,有
3 (4 2 ) =5 +c -2×5c× , 5
π ∴sin A=1,A= ,∴△ABC 为直角三角形. 2
故选 A.
3.(2012 年高考新课标全国卷,文 17)已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3 asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c. 解:(1)由 c= 3 asin C-ccos A 及正弦定理得
热点训练 2
(2013 上海奉贤区二模)位于 A 处的雷达观
测站,发现其北偏东 45°方向,与 A 相距 20 2 海里的 B 处,有 一货船正以匀速直线行驶,20 分钟后又测得该船位于观测站北 偏东 45°+θ (0°<θ <45°)的 C 处,AC=5 13 ,在观测站 A 的正
2 13 南方向某处 E,cos∠EAC=. 13
【备选例题】 【例 1】 (2013 许昌二模)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 ( 2 a-c) BA · BC =c CB · CA . (1)求角 B 的大小; (2)若| BA - BC |= 6 ,求△ABC 面积的最大值.
解:(1)∵( 2 a-c) BA · BC =c CB · CA , ∴( 2 a-c)| BA |·| BC |cosB=c| CB |·| CA |cosC, 即( 2 a-c)cacosB=c·a·bcosC, ∴( 2 a-c)cosB=bcosC. 根据正弦定理得( 2 sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ∴ 2 sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sin A,
1 2 3 1 2 = ×2×2 × ( + )= 3 +1. 2 2 2 2
故选 B.
2.(2013 年高考陕西卷,文 9)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的 边分别为 a、b、c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形 状为( A ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)不确定 解析:∵bcos C+ccos B=asin A, ∴sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, ∴sin(B+C)=sin2 A,即 sin A=sin2 A,
b2 c 2 a 2 3 解:(1)由余弦定理知 cos A= =. 2bc 2
5 ∵A∈(0,π),∴A= π. 6 1 (2)由(1)得 sin A= ,由正弦定理知 2 a b c = = , sin A sin B sin C
∴b=2 3 sin B,c=2 3 sin C, ∴S=
π π 7 解析:∵B= ,C= ,∴A= π, 12 4 6
∴sin
π π 3 2 2 1 2 3 1 7 π=sin( + )= × + × = ( + ). 12 2 2 3 4 2 2 2 2 2
b π sin 6
由正弦定理得
=
c π sin 4
,解得 c=2 2 ,
1 1 7 ∴S△ABC= bcsin A= ×2×2 2 sin π 12 2 2
3 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
由于 sin C≠0,所以 3 sin A-cos A=1,
π 1 即 sin（A- ）= . 6 2 π 又因为 0<A<π,故 A= . 3
1 (2)由于△ABC 的面积 S= bcsin A= 3 , 2
故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos A, 2 2 故 b +c =8. 由①②解得 b=c=2.
(1)求 cosθ ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时).
2 13 解:(1)∵cos∠EAC=, 13 3 13 ∴sin∠EAC= 1 cos EAC = , 13
2
3 ∴cosθ=cos( π-∠EAC) 4 3π 3 =cos cos∠EAC+sin πsin∠EAC 4 4
2 ∵sinA≠0,∴cosB= , 2
π 又 0<B<π,∴B= . 4
(2)∵| BA - BC |= 6 , ∴| CA |= 6 ,即 b= 6 .
2 2 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accosB=a +c - 2 ac, 2 2 ∴6=a +c - 2 ac≥2ac- 2 ac=(2- 2 )ac,
热点透析—典例剖析
热点一
2 2 2
锁定高考
正、余弦定理及简单应用
【例 1】 (2013 年高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c,且 a =b +c + 3 bc. (1)求 A; (2)设 a= 3 ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cos Bcos C 的最 大值,并指出此时 B 的值.
解:(1)设缉私艇追上走私船所需的时间为 t 小时, 则有|BC|=25t,|AB|=35t, 且∠CAB=α,∠ACB=120°. 根据正弦定理得
BC sin
=
AB sin120
,
25t 35t 即 = . sin 3 2
5 3 ∴sin α= . 14
(2)在△ABC 中由余弦定理得, |AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC|·|BC|cos ∠ACB. 即(35t)2=152+(25t)2-2×15×25t·cos 120°,
① ②
4.(2013 年高考四川卷,文 17)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cos
3 B-sin(A-B)sin(A+C)=- . 5
(1)求 sin A 的值; (2)若 a=4 2 ,b=5,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 则 cos(A-B+B)=- , 5 3 , 5
3 即 8t -5t-3=0,解之得 t=1 或 t=- (舍去), 8
2
故缉私艇追上走私船需要 1 个小时的时间.
规律方法
应用解三角形知识解决实际问题的步骤
(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理 解题中有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中 ,通过合 理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍, 得出正确答案.
方法策略—以例释法
高分技巧
转化与化归思想在解三角形中的应用
【典例】 (2013 年高考江西卷)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列;
2π a (2)若 C= ,求 的值. b 3
审题策略:(1)先将角统一化成单角,再利用正弦 定理将角之间关系转化为边之间的关系. (2)结论与 c 无关.由(1)的结论及余弦定理,可 找到边 a、b 满足的关系式,问题得到解决. (1)证明:∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, 2 ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin B.∵sinB≠0, ∴sinA+sinC=2sinB, 由正弦定理得 a+c=2b. ∴a、b、c 成等差数列.
b c 又由正弦定理得 sinBsinC= sinA· sinA= a a
bc 20 3 5 2 a 2 sin A= 21 × 4 = 7 .
热点二 正、余弦定理的实际应用
【例 2】(2013 广州三模)一缉私艇发现在 其方位角(从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平角)45°方向,距离其 15 海里 的海面上有一走私船正以 25 海里/小时的 速度沿方位角 105°的方向逃窜.若缉私 艇的速度为 35 海里/小时, 缉私艇沿方位角为 45°+α 的方向追去,若要在最短时间内追上走 私船. (1)求角α 的正弦值; (2)求缉私艇追上走私船所需的时间.
1 bcsin A=3sin Bsin C. 2
因此 S+3cos Bcos C=3cos(B-C),
π 当 B=C= 时,S+3cos Bcos C 取最大值 3. 12
规律方法 (1)在解三角形问题时要根据题意恰当选择正弦
定理或余弦定理实现边角互化,有时可能交替使用.
1 1 (2)在解三角形问题中,面积公式 S= absin C= bcsin A 2 2 1 = acsin B 最常用.因公式中有边也有角,易和正、余弦定理 2
Baidu Nhomakorabea
(2)解:由余弦定理 c =a +b -2abcos C 得,
2
2
2
2π (2b-a) =a +b -2abcos .即 b(3b-5a)=0. 3
2 2 2
∵b≠0, ∴3b-5a=0,
a 3 ∴ = . b 5
方法点睛
解三角形常与三角恒等变换相
结合考查正、余弦定理的应用,其实质是将三角形 问题转化为代数问题. 解题过程中也常利用三角 恒等变换知识进行转化,其中第(1)问结合三角恒 等变换,利用正弦定理把角转化为边;第(2)问利 用余弦定理将问题转化为关于 a,b 的方程.