人教版初三数学圆的基本性质和函数综合

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圆的综合知识点九年级

圆的综合知识点九年级圆的综合知识点圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有许多独特的性质和特点。

在初中数学的学习中，我们需要了解并掌握圆的相关知识，包括圆的定义、圆的性质、圆的测量等。

在本文中，将对圆的综合知识点进行详细论述。

一、圆的定义和基本概念1. 圆的定义：圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。

这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

2. 相关关系：圆心、半径、直径和弧长是圆的一些重要概念。

圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆心到圆上任意两点的距离称为直径。

直径的长度是半径的两倍。

圆上的一段弧称为弦，若弦的两个端点与圆心相重合，则称之为直径。

二、圆的性质1. 圆周角：圆周角是圆上的一个弧所对的圆心角。

在同一个圆上，对等弧所对的圆周角也是相等的。

我们可以根据扇形的角度来计算圆周角的大小，公式为：圆周角 = 弧度 / 圆周长 × 360°。

2. 圆的切线：切线是与圆相切的直线，切点为切线与圆的交点。

切线与半径的关系是切线和半径的交点与圆心相连时垂直。

切线与半径的夹角度数是90°。

3. 弦的性质：在圆内，一条弦所对的圆周角等于它所对的弧所对的圆周角的一半。

而在圆外，一条弦所对的圆周角等于它所对的弧所对的圆周角的补角。

4. 弧的性质：同样长的弧所对的圆周角相等。

当两个弧等长时，它们所对的圆周角相等。

而且，同样长的两个弧所对的弦相等。

5. 圆的内切和外切：一个圆内切于一个三角形，当且仅当这个圆的圆心与三角形的三条边的垂心共线。

相反，一个圆外切于一个三角形，当且仅当这个圆的圆心与三角形的三条边的三等分线交于一点。

三、圆的测量1. 圆的周长：圆的周长也称为圆周长，可以通过公式C=2πr来计算，其中C表示圆周长，r表示半径。

π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159。

将圆周长除以直径，可以得到一个重要的结果：C/d = π。

2. 圆的面积：圆的面积可以通过公式A=πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。

人教版九年级圆的知识点

人教版九年级圆的知识点圆是几何中的重要概念之一，在九年级数学课程中也有相应的学习内容。

下面将对人教版九年级圆的知识点进行详细的探讨和解析。

1. 圆的定义圆是平面上一点到另一点距离保持不变的点的集合。

其中，到圆心的距离称为半径，记作r，而整个圆的长度称为周长，记作C。

2. 圆的性质（1）圆内任意两点之间的距离都小于或等于半径的长度。

（2）圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，它等于两倍的半径。

（3）圆内切于同一个圆的两条弦相等。

（4）在同一个圆中，等弧所对的弧长也相等。

（5）在同一个圆中，弧所对的弦所夹的圆心角相等。

（6）在同一个圆中，圆心角相等的两个弧所对的弦相等。

3. 圆的相关公式（1）圆的面积公式：S = πr²，其中π≈3.14。

（2）圆的周长公式：C = 2πr。

4. 圆与角的关系（1）弧度制：圆的周长是2π，对应的角度是360°，所以1弧度对应的角度是180°/π。

（2）弧度与角度的换算公式：θ(弧度) = α(角度) × π/180 或α(角度) = θ(弧度) × 180/π。

（3）圆心角：以圆心为顶点的角，可以对应到圆的弧长。

（4）弧长：圆上两点所对应的弧长，可以表示为θ × r，其中θ为圆心角（弧度制），r为半径。

5. 圆的常见问题（1）判断题：根据给定的条件判断是否为圆。

（2）计算题：根据给定的圆的半径或直径、圆心角或弦长等，计算圆的周长或面积。

（3）推理题：根据已知的条件，推导出未知的结果。

（4）应用题：将圆的概念应用到实际问题中，解决生活、工程等方面的实际问题。

在实际生活中，圆的知识点也有许多实用的应用。

比如，在建筑中，圆的概念被广泛应用于设计和建造圆形建筑物，如圆形剧场和体育馆。

此外，在机械工程领域，圆的概念也用于设计和制造轮子、齿轮等零部件。

总之，对于人教版九年级的圆的知识点，我们需要掌握圆的定义、性质、公式以及与角的关系。

九年级圆知识点总结

九年级圆知识点总结在九年级数学学习中，圆作为一个重要的概念和知识点，被广泛涉及和应用。

本文将对九年级圆的相关知识进行总结和归纳，旨在提供一个全面而清晰的概述。

一、圆的基本性质1. 定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

2. 要素：圆心、半径、直径、弧、弦、边界等。

3. 关键概念：- 圆心角：以圆心为顶点的两条射线所夹的角。

- 弧度制：用弧长和半径的比值来度量圆心角的单位制。

- 弧长：沿着圆周的一段弧的长度。

- 弦长：圆周上的两个点之间的弦的长度。

- 弦切线定理：若一条弦与一条切线相交，那么切线所对的弦长等于弧切分的弧长。

二、圆的计算公式1. 圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。

2. 圆的面积：A = πr²，其中r为半径。

三、圆与其他图形的关系1. 圆与直线的关系：- 点到圆的位置关系：在圆内、在圆上、在圆外。

- 切线与圆的关系：内切线、外切线、相切。

- 弦与圆的关系：一条弦平分圆，当且仅当它垂直于半径。

- 弧与圆的关系：圆周角、弦心角、相交弧、相等弧、截弧等。

2. 圆与三角形的关系：- 角平分线与圆的关系：三角形内接圆的圆心是角平分线的交点。

- 三角形内切圆的性质：内切圆与三角形的切点构成的线段相等、角度相等等。

- 外接圆与三角形的关系：外接圆的圆心是三角形外角的角平分线的交点。

三、实际问题中的圆1. 圆的应用：在现实生活中，圆的概念和性质常被用于解决与圆相关的问题，如圆的轨迹、钟表等。

2. 圆的建模：圆的模型可以应用于建筑、设计等领域，例如环形结构的承重分析、圆形花坛的设计等。

3. 圆的测量：利用测量工具可以测量圆的直径、半径、弧长等。

结语：通过对九年级圆的知识点总结，我们可以更好地理解圆的基本概念、性质与计算公式，并应用于实际问题中。

深入掌握圆的知识对于进一步学习几何学和解决实际问题都具有重要的意义。

注：文章中的内容不完全围绕九年级圆的知识点展开，因为题目描述没有提供具体的要求，请知悉。

人教版九年级圆章节知识点

人教版九年级圆章节知识点圆是几何学中一个重要的概念，它的研究内容丰富多样，包括圆的定义、性质、定理等。

在九年级数学教材中，圆章节是一个重点和难点，本文将对人教版九年级圆章节的知识点进行详细讲解。

一、圆的基本概念1. 定义：平面上距离固定点（圆心）距离相等的所有点构成的图形称为圆。

2. 要素：圆心、半径、直径。

- 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。

- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示。

- 直径：连接圆上任意两点并经过圆心的线段，直径是半径的两倍，用字母d表示。

二、圆的性质和定理1. 圆的性质：- 圆上任意两点之间的线段都是半径。

- 圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于半径的长度。

- 圆的直径是圆上任意两点的最大距离，直径是半径的两倍。

- 圆的半径垂直于半径所在的弦。

2. 圆的定理：a. 弧的性质：- 圆的任意弧所对的圆心角相等。

- 圆上任意两点的弦所对的圆心角相等。

- 两条弦所夹的圆心角等于它们所夹的两个弧所对的圆心角之和。

b. 切线与弦的性质：- 从同一圆外一点引向圆的两条切线相等。

- 切线与半径垂直。

c. 同弧或同圆心角所对的弧相等。

三、圆的计算1. 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π，其中π取近似值3.14或22/7。

周长 = 直径× π = 2 × 半径× π。

2. 面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，其中π取近似值3.14或22/7。

面积 = 半径 ×半径× π = 半径的平方× π。

四、圆的应用1. 圆在几何图形中的运用，如圆的切线问题、圆与三角形、四边形的关系等。

2. 圆的运动学应用，如汽车轮胎的旋转、摩天轮的运动等。

3. 圆的工程应用，如建筑物的圆形设计、电子设备的圆形面板等。

总结：通过对人教版九年级圆章节的学习，我们了解了圆的基本概念、性质和定理，学会了圆的计算方法，并了解了圆在几何学、运动学和工程学中的应用。

九年级人教版圆的知识点

九年级人教版圆的知识点圆的知识点圆是一个经典的几何形状，它在我们生活中随处可见。

在九年级数学课程中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的性质、圆的元素和圆的应用。

下面，让我们来详细探究一下这些知识点。

圆的性质首先，我们来了解一些基本的圆的性质。

圆是由一条不断旋转的直线形成的，它的每一个点到圆心的距离都是相等的，这个距离被称为半径。

对于任意一个圆，它的直径是通过圆心的一条直线段，它的长度恰好是半径的两倍。

圆的周长是所有点到圆心距离的总和，我们可以使用公式C=2πr来计算。

而圆的面积则是圆内所有点的面积总和，我们可以使用公式S=πr²来计算。

接下来，我们来探讨一下切线的性质。

切线是与圆只有一个交点的直线，它与半径的夹角是直角。

对于同一个圆，所有切线的夹角都是相等的。

而对于切线与半径所夹的角，我们称其为切线的切点。

圆的元素除了圆本身的性质外，圆还包括一些重要的元素，比如弦、弧和扇形。

首先，弦是圆上连接两个点的线段，它的两个端点位于圆上任意两点之间。

而弧则是圆上的一段连续的曲线，由弦所对应。

弧的长度可以使用几何方法或者运用弧长公式进行计算。

需要注意的是，对于同一个圆而言，两个相等的弧所对应的弦也是相等的。

另外，我们还需要了解一下扇形的概念。

扇形是圆内的一个部分，它由圆心、两个边界点和连结这两个点的弧组成。

我们可以使用扇形角来描述扇形，扇形角是圆心所对应的角，它的大小等于它所对应的弧的大小与圆心的夹角。

圆的应用圆的应用非常广泛，它不仅出现在我们的日常生活中，也在许多领域得到广泛应用。

下面，我们以几个例子来说明圆的应用。

首先，我们先来谈谈钟表。

钟表是我们生活中常见的计时工具，它的外形通常是圆形。

钟面上的刻度可以帮助我们读取时间。

另外，钟表的指针也是直线段，它们在圆面上转动，记录时间的流逝。

其次，圆也与建筑结构密切相关。

许多建筑物的结构都含有圆形的元素，比如圆顶和拱门。

这些圆形的结构不仅赋予建筑物美感，还能够提供稳定的支撑力，增加结构的强度。

九年级上册数学圆基础

九年级上册数学圆基础
一、圆的基本性质
1. 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

3. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

4. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

5. 直径：经过圆心的弦叫做直径。

6. 弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。

7. 圆的性质：
（1）等圆：半径相等的圆叫做等圆；
（2）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；
（3）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

8. 切线：
（1）定义：和圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线；
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

9. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

二、点和圆、直线和圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系：
（1）点在圆上；
（2）点在圆外；
（3）点在圆内。

2. 直线和圆的位置关系：
（1）相切；
（2）相交；
（3）相离。

数学九年级知识点圆

数学九年级知识点圆圆是数学中常见的几何图形之一，它不仅在数学中有广泛的应用，还与我们日常生活息息相关。

本文将对九年级数学中的圆相关知识点进行探讨。

一、基本概念1. 定义：圆是由平面上与一个定点的距离等于一定数值的所有点所组成的图形。

2. 元素：圆心、半径、弧、弦和扇形。

二、圆的性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，其度数等于对应弧所对的圆心角的度数。

2. 弧长：弧长等于弧所对圆心角的度数除以360°再乘以圆周长。

3. 弦长：弦长等于半径的两倍乘以正弦的一半。

三、圆的公式与定理1. 圆的周长：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。

2. 圆的面积：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。

3. 切线与弧的关系：切线与弧的交点与圆心的连线垂直。

4. 弧与弦的关系：等弧所对的弦相等。

5. 弦切角定理：切线和弦所夹的角等于对应的弦与圆心角的一半。

四、圆的应用1. 圆的几何变换：平移、旋转和缩放。

2. 圆与三角函数：三角函数的周期、幅度与角度的关系等。

3. 圆与图形的位置关系：判断点与圆的位置关系、判断两圆的位置关系等。

4. 圆的测量：利用圆的周长和面积计算实际问题，如计算运动的轨迹、计算物体的表面积等。

五、习题1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。

2. 在一个半径为6cm的圆中，一条弧所对的圆心角为60°，求该弧的长。

3. 如果一个直径为12cm的圆，切割成一块长方形，长方形的长是10cm，求其宽。

4. 一个圆的直径是20cm，求它的面积与另一个半径为12cm的圆的面积之比。

5. 若一个半径为8cm的圆A与一个直径为18cm的圆B相切，求圆B的圆心到切点的距离。

六、小结通过对九年级数学中的圆的知识点进行了系统的介绍与讲解，我们对圆的定义、性质、公式与应用有了更深入的了解。

掌握圆的相关知识，对于解决几何问题和应用数学都至关重要。

希望同学们能在学习中努力提升对圆的理解与应用能力，为进一步学习数学打下坚实的基础。

九年级圆的综合知识点

九年级圆的综合知识点圆，作为几何学中的基本概念之一，贯穿了数学学科的各个领域。

而了解和掌握圆的综合知识点，不仅可以深化对几何学的理解，还可以为解决实际问题提供便利。

在本文中，我们将深入探讨九年级圆的综合知识点。

1. 圆的定义和性质圆是由平面上距离一个确定点的距离都相等的所有点组成的集合。

在圆的定义中，需要了解圆心、半径和直径的概念。

圆心是确定圆的位置的点，通常用大写字母O表示。

半径是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

直径是通过圆心的一条线段，其两个端点位于圆的边界上，通常用字母d表示。

圆有许多重要的性质。

首先，圆上任意两点之间的距离都等于半径的长度。

其次，圆的直径是圆上任意两点的最长距离，并且是半径的两倍。

第三，圆上的任意一条弦都小于或等于直径。

这些性质在解决几何问题时经常用到，因此掌握起来非常重要。

2. 圆周长和面积圆的周长和面积是圆的两个重要的量度指标。

圆的周长指的是圆边界上一圈的长度，常常用字母C表示。

周长可以通过公式C= 2πr求得，其中π是一个无理数，大约等于3.14，r是圆的半径。

需要注意的是，圆的直径也是圆的周长。

另外，圆的面积是指圆所包围的区域的大小，通常用字母A表示。

圆的面积可以通过公式A = πr^2求得。

面积的计算还可以使用圆的直径或周长来表示，例如A = (πd^2)/4或A = (C^2)/(4π)。

3. 弧长和扇形面积圆的边界上的一部分叫做弧。

在解决弧长和扇形面积问题时，需要了解两个重要的概念：圆心角和弧度制。

圆心角是以圆心为顶点的角，其大小可以用角度度量或弧度度量。

弧度制是一种衡量角度的方式，其中2π弧度等于一个完整的圆周。

弧长是圆边界上一段圆弧的长度。

弧长可以通过公式l = rθ求得，其中r是半径，θ是圆心角的弧度度量。

在求解扇形面积问题时，需要将圆弧与圆心连线所形成的扇形分离出来，并计算其面积。

扇形的面积计算公式为A = (θ/2) * r^2，其中θ是圆心角的度数度量。

九年级数学圆的知识点总结

九年级数学圆的知识点总结数学作为一门重要的学科，每个学生在学习过程中都会接触到各种各样的概念和知识点。

在九年级的数学课程中，圆是一个十分重要的内容。

圆的知识点涉及到圆的基本性质、弧长、面积、切线等。

在本文中，将对这些知识点进行总结和归纳。

一、圆的基本性质圆是平面上的一个特殊几何图形，由所有离某一点相等距离的点组成。

圆的基本性质有：1. 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：圆的直径是通过圆心的一条线段，其两个端点在圆上。

直径是半径的2倍，即d=2r。

3. 弧长：圆上的一段弧，可以通过圆心的角来测量，用弧所对圆心角的度数（角度）来表示。

4. 弧度：圆上长为r的弧所对的圆心角的弧度数为1弧度。

二、弧长和扇形面积对于圆上的弧，我们经常需要计算其长度。

弧的长度等于弧所对圆心角的度数与半径的乘积。

换句话说，一个半径r对应的圆心角为360°时，弧长为2πr：弧长s = θ/360° × 2πr圆扇形是指圆心角小于360°的扇形区域，扇形面积的计算公式为扇形的圆心角度数θ与圆的面积πr²的乘积再除以360°：扇形面积A = θ/360° × πr²三、切线切线是指与圆相切且只与圆相交于一点的直线。

对于任意一个圆，其切线和半径的关系有以下几种情况：1. 切线和半径相垂直：当切线与半径相切的时候，切线和半径的交点与圆心连线相垂直。

2. 切线定理：切线与半径的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。

3. 外切线定理：若一条直线与一个圆外切，那么连接切点和圆心的线段垂直于这条直线。

四、圆的离心率圆的离心率是指由一个圆心O和两个焦点F1和F2一起组成的图形。

对于圆，其离心率值为0，即两个焦点完全重合。

圆是所有离心率值为0的曲线之一。

五、圆的作图在九年级数学课程中，我们需要掌握基本的圆的作图技巧。

常见的圆的作图有：1. 已知圆心和半径作圆。

九年级数学圆的知识点总结大全

一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径、圆周。

3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。

二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。

2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。

3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。

4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。

三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。

2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。

3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。

4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。

四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。

2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。

五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。

2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。

六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。

人教版初三数学圆的有关性质

圆一、知识要点1、与圆有关的概念（1）圆可以看做是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，它是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条直径所在的直线为对称轴的轴对称图形．不在同一直线上的三点确定一个圆．（2）圆中的弦、弧、弦心距、同心圆、等圆、等弧等概念．2、与圆有关的角（1）圆心角与圆周角的概念、弦切角的概念．（2）在同圆（或等圆中）同弧（或等弧）所对的圆周角是它所对圆心角的一半．（3）弦切角等于它夹弧所对的圆周角．（4）圆周角定理及其推论3、圆的对称性（1）圆的轴对称性（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；弦的中垂线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（2）圆的旋转对称性：在同圆或等圆中，有如下相等关系：等弦等弧等弦心距等圆心角4、圆的两条平行弦所夹的弧相等．5、圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角.二、典例剖析例1、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB=2DE，∠E=18°．求∠AOC的度数．例2、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C．求证：AB=CD．例3、已知，如图，AD=BC．求证：AB=CD．一、选择题1、在下列各说法中，正确的结论共有（）①圆心决定圆的位置；②半径决定圆的大小；③半径相等的圆是同心圆；④半径相等的圆是等圆 A．1个B．2个 C．3个D．4个2、如图，P(x,y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x,y都是整数，则这样的点共有（）A．4个B．8个 C．12个D．16个3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．54、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．105、如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数为（）A．80°B．100° C．120°D．130°6、如图，C是⊙O上一点，O是圆心，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35°B．70° C．105° D．150°7、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径且∠AOC=50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则所对的圆心角的度数为（） A．65°B．70° C．75°D．80°8、如图所示，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于B，若OB=5，则BC等于（）A．B． C．3 D．5 9、如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC，MNOH，DEOF均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（）A．a>b>c B．a=b=c C．c>a>b D．b>c>a10、⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程的两个根，则∠BAC的度数为（）A．15°B．75° C．15°或75°D．不能确定11、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（） A．5米B．8米C．7米D．二、填空题1、如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A=40°，则∠C=_____度.2、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=______.三、解答题1、如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．求证：AC=BD．2、如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E．AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．3、已知：如图，∠AOB=90°，C、D是的三等份点，AB分别交OC、OD于点E、F．求证：AE=BF=CD．4、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连结DE．求证：DE=AB．5、如图，在△ABC中，∠BAC与∠ABC角平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D．连结BD、CD、CE，且∠BDA=60°．(1)求证：△BDE是等边三角形；(2)若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想。

九年级数学课本圆知识点

九年级数学课本圆知识点圆是九年级数学课本中的一个重要知识点，它涵盖了许多重要的概念和定理。

在这篇文章中，我们将深入探讨九年级数学课本中的圆知识，包括圆的定义、性质、常见的定理以及与圆相关的应用。

一、圆的定义和性质圆是平面上与给定点距离相等的所有点的集合。

给定圆心为O，半径为r，可以表示为圆O(r)。

圆的直径是通过圆心的一条线段，长度为2r。

圆的周长是圆周上所有点到圆心的距离之和，可以表示为2πr。

除了圆的定义，九年级数学课本还介绍了一些圆的性质。

首先是圆的对称性，即圆内任意两点关于圆心的连线对称。

其次是圆的切点，切点是过曲线与圆相切的点。

再次是圆与直线的关系，直线可以与圆相交、相切或者不相交。

二、常见的圆定理九年级数学课本中介绍了一些重要的圆定理，包括：1. 弧度与弧长的关系：弧长等于半径与对应的圆心角的弧度数之积。

这个定理是计算圆周长的基础。

2. 圆心角与半径的关系：圆心角的弧度数等于圆上对应的弧长除以半径。

这个定理可以帮助我们计算圆周上的角度。

3. 切线定理：切线与半径垂直。

切线与半径的交点称为切点。

4. 弧度制和度制的换算：1弧度等于180/π度。

这些定理在解决圆的问题时经常用到，掌握它们将极大地帮助我们解题。

三、与圆相关的应用圆不仅在数学中具有重要地位，而且在日常生活中也有许多应用。

例如，考虑到圆周短而面积相对较大的特点，我们可以使用圆形塑料盘子来装载食物。

圆形车轮的设计使车辆更加平稳，减少颠簸感。

圆形钢珠的形状使其在轨道上滚动时减少摩擦。

此外，许多雕塑和建筑物也使用了圆形的设计元素，如大型喷泉、圆顶等等。

另外，圆还与几何艺术和曲线图形密切相关。

圆有一种美学和和谐的感觉，被广泛应用于艺术和设计中。

它在几何图形和数学问题中也起着重要的作用，例如绘制图表和分析曲线。

结论：通过本文的探讨，我们深入了解了九年级数学课本中有关圆的知识点。

我们了解了圆的定义和性质，熟悉了一些常见的圆定理，并了解了与圆相关的应用。

九年级数学知识点人教版圆

九年级数学知识点人教版圆圆是数学中一个重要的几何概念，在九年级的数学课程中也是一个重点内容。

学习圆的知识，不仅可以帮助我们理解围绕圆的一系列概念和性质，还可以拓展我们的数学思维和解题能力。

本文将探讨一些九年级数学课本中关于圆的知识点，从基本概念到性质定理，帮助同学们更好地理解和应用。

一、圆的基本概念首先，我们先来了解一下圆的基本概念。

在数学中，圆是由平面上到一个固定点的距离等于常数的所有点组成的集合。

这个固定的点被称为圆心，而这个常数被称为半径。

可以简单地记作：圆的圆心O，半径为r。

二、圆的常见性质圆与其他几何图形有许多有趣的关系和性质。

以下是一些九年级数学中与圆相关的经典性质。

1. 圆上的任意两点与圆心之间的距离相等。

证明：设圆的圆心为O，半径为r，任意取圆上两点A和B。

根据圆的定义，AO = r，BO = r，所以AO = BO。

2. 圆的内切正方形的对角线和边长之间有一个关系。

证明：设正方形的边长为a，对角线的长度为d。

根据正方形的性质，可以得出d = √2a。

而根据正方形内切圆的性质，可以得出d = 2r（r为圆的半径）。

所以√2a = 2r。

3. 外接圆的性质外接圆是指可以与一个不规则图形的所有顶点相切的圆。

外接圆的圆心在三角形的外心，而外接圆的半径等于三角形两条边之积除以四倍的面积。

4. 内切圆的性质内切圆是指可以与一个图形的所有边相切的圆。

内切圆的圆心在三角形的内心，而内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

5. 圆心角与弧度关系圆心角是指圆上任意两点与圆心构成的角度。

对于任意的圆心角θ（弧度制），它所对应的弧长S等于θ乘以半径r。

即S = rθ。

三、九年级数学中的圆相关应用在九年级数学课程中，圆的知识点不仅仅停留在基本概念和性质上，还能应用到解题中。

以下是一些九年级数学课本中常见的与圆相关的应用示例。

1. 弓形线的面积给定一个半径为r的圆和一个半径为a的扇形，我们可以通过计算弓形线的面积来讨论圆周率π的概念。

人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理

第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。

初三数学圆知识点总结归纳

初三数学圆知识点总结归纳数学是一门重要的学科，其中圆是初三阶段的重点内容之一。

为了帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，本文将对初三数学圆的知识点进行总结和归纳。

下面将从圆的基本性质、圆的相关定理以及圆的应用三个方面进行详细介绍。

一、圆的基本性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，了解圆的基本性质对于理解和解题都非常重要。

1.圆的定义：圆是平面上一点到另一点距离保持不变的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。

圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点，常用字母O表示；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示；直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。

3.弧与弦：圆上两点之间的线段叫做弦，圆上两点之间的弧是圆上除去弦包含的部分所剩下的弯曲部分。

4.圆周角：以圆心为顶点的角叫做圆周角，圆周角的度数是弧长所对应的圆心角的度数。

二、圆的相关定理熟练掌握圆的相关定理对于解题非常有帮助，下面将介绍常用的圆的定理。

1. 半径相等定理：同一个圆内，所有的半径相等。

2. 弦长定理：在同一个圆上，相等弧所对的弦相等，或者说弦相等所对的弧相等。

3. 切线定理：切线与半径垂直，半径与切线的交点恰好在切点上。

4. 弧度制与角度制转换：1 弧度＝180°/π，1 度＝π/180 弧度。

三、圆的应用圆的知识不仅仅用于理论中，还有很多实际应用场景。

下面将介绍几个常见的应用。

1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S表示面积，r表示半径。

2. 扇形面积：扇形是由圆心、弧和两条半径组成的区域，计算扇形的面积可以使用扇形面积公式S = (θ/360°) × πr^2。

3. 弧长公式：弧长公式为L = rθ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

4. 圆与三角形的关系：在三角形中，圆的内切圆是三角形内接圆，三角形的外接圆是三角形外接圆。

通过以上对圆的基本性质、相关定理和应用的总结归纳，我们可以更好地理解和掌握圆的知识点。

九年级上圆的知识点总结

九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容之一，九年级上学期也学习了圆的相关知识点。

下面就对这些知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握圆的概念及其相关性质。

一、圆的概念圆是平面内所有到定点（圆心）距离相等的点的集合。

其中，距离的大小称为圆的半径。

二、圆的性质1.圆的直径：过圆心的一条线段，且它的两个端点在圆上，这条线段就叫做圆的直径，直径的长度等于圆的半径长度的2倍。

2.圆的弧：在一个圆上截取两点A、B所在的弧，记作AB。

圆的弧的长度等于它所对应的圆心角的度数所对应的弧长。

3.圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧是在这个圆里的弧。

4.切线：切线是与圆只有一个公共点的线段。

线段与此点相切的点叫做切点。

5.相交弧的性质：相交弧的度数差等于他们所对应的圆心角的度数。

三、圆的测量1.弧度角：在圆的周长上取一段长度为半径的弧所对应的圆心角叫做1弧度角。

弧度大小等于这段弧长与半径长度的比值。

一个完整的圆可以对应到2π弧度角。

2.角度角：以度为单位来表示角度大小，一个圆对应的角度就是360度。

同样，一个圆的1度角就是圆心角等于1/360的圆心角。

四、圆的位置关系1.两圆公切线的性质：两圆的外切线和两圆的内切线相交的点都在两圆的连线上。

2.两圆的位置关系：当两个圆的半径长度分别为R1和R2，且它们的圆心之间的距离为d时，可以根据它们的位置关系来分类：（1）d=R1+R2：两圆外离；（2）d>R1+R2：两圆相离；（3）d=R1-R2：两圆内含；（4）R2<d<R1+R2：两圆相交。

五、三角函数圆上的三角函数是指对于位置在圆周上的任意一点P，以圆心O为原点建立右手直角坐标系，求得点P的坐标(x,y)与半径r之间的比值。

其中，正弦、余弦与正切分别是：sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x以上就是九年级上圆的知识点总结，通过学习和掌握这些知识点，同学们能够更好地理解圆的性质，应用相关公式进行计算，并在其他数学题目中应用到圆的知识。

九年级数学人教版圆知识点

九年级数学人教版圆知识点圆是九年级数学中重要的知识点之一，它涉及到很多基础概念和重要定理。

通过对圆的学习，不仅可以提升学生的数学能力，还可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将围绕圆的概念、性质和应用展开讨论，帮助学生更好地理解和运用圆的知识。

一、圆的定义和构造在数学中，圆是一个非常基本的几何图形。

它的定义是：平面上距离某一定点（称为圆心）相等的所有点构成的图形。

圆可以由圆心和半径来唯一确定，半径是圆心到圆上任意一点的距离。

为了更好地理解圆，我们可以通过构造的方式来认识它。

首先，用一个定点作为圆心，在平面上画出这个定点到任意一点的线段，然后以这个线段的长度作为半径，在线段的两个端点上分别画出两个圆，连接两个圆的交点，就可以得到一个圆。

这种方法被称为圆的构造。

二、圆的重要性质圆作为一个特殊的几何图形，具有一些重要的性质。

首先，圆的所有点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径。

其次，圆上任意两点与圆心的距离都相等。

同时，圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，它等于半径的两倍。

另外，圆上任意两条弦的长度乘积等于这两条弦所夹的两个弧的长度乘积。

这个性质被称为弦弧定理，是解决圆相关问题时非常重要的工具。

此外，圆与直线的关系也是圆的重要性质之一。

当直线与圆相交时，可以有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆并且有两个交点、直线和圆不相交。

在求解与圆有关的问题时，我们可以根据这些情况采取不同的方法和定理。

三、圆的应用圆不仅是数学中的一个抽象概念，还有很多实际应用。

在几何学中，许多图形和定理都与圆相关。

例如，正多边形内切圆和外接圆的性质，可以通过圆的知识来解决。

此外，圆也是工程学、建筑学等领域中的重要元素。

在设计和建造桥梁、建筑物等工程项目时，圆的性质和应用经常被用到。

另外，在物理学和工程学中，圆的运动也是一个重要的研究对象。

圆的运动具有稳定性和周期性，因此在描述和分析物体的运动轨迹时，常常采用圆的模型。

例如，天体的运动、机械装置的旋转等问题都可以用圆的知识来解决。

人教版九年级圆知识点总汇

人教版九年级圆知识点总汇圆是数学中的重要概念之一，也是初中数学的基础知识之一。

本文将对人教版九年级圆的相关知识进行总汇，包括圆的定义、性质、相关定理等。

希望通过本文的学习，能够使大家对圆的概念有更深入的了解。

1. 圆的定义圆是平面上距离某一个固定点距离相等的点的集合。

这个固定点叫做圆心，距离叫做半径。

用符号“O”表示圆心，符号“r”表示半径。

2. 圆的性质（1）半径相等的两个圆是相等的。

（2）圆心到圆上任意一点的距离都相等。

（3）直径是通过圆心的一条线段，且直径的两端点都在圆上。

（4）弦是圆上的任意两点之间的线段，且两端点在圆上。

（5）弦长相等的两个弦所对应的两个圆心角相等。

（6）半径垂直于弦，且半径平分弦。

3. 圆的相关定理（1）相交弦定理：若两条弦在圆内相交，那么两条弦的乘积等于两条弦的交叉部分与弦的交叉部分的乘积。

（2）切线定理：若一条直线与圆相切，那么切线与半径的垂直关系成立。

（3）切线长度定理：切线与半径的垂直关系成立，且两条切线长度相等。

（4）切线与半径的夹角定理：切线与半径的夹角是直角。

4. 圆的常见计算（1）周长的计算：圆的周长等于直径与π的乘积，即C=πd。

（2）面积的计算：圆的面积等于半径的平方与π的乘积，即A=πr^2。

（3）扇形面积的计算：扇形的面积等于圆心角的度数占整个圆的比例乘以圆的面积，即S=θ/360° *πr^2。

5. 圆的应用圆是几何中经常使用的形状，广泛应用于生活和工程中。

例如，在建筑设计中，圆形的柱子、圆形的窗户等都常常出现。

在艺术设计中，圆形图案也经常被运用。

此外，圆的概念也用于解决一些实际问题，例如物体的旋转、圆形轨迹等。

综上所述，圆是数学中的重要概念，掌握圆的定义、性质、相关定理以及常见计算方法，对于学习几何和解决实际问题都具有重要意义。

在学习过程中，我们应该注重理论的学习，结合实际应用进行训练，不断提高对圆的认知和运用能力。

九年级上册人教版圆知识点

九年级上册人教版圆知识点圆是几何中的一个基本概念，广泛应用于生活和学术领域。

在九年级上册人教版数学教材中，圆是一个重要的知识点。

本文将详细介绍九年级上册人教版数学教材中关于圆的知识点，包括定义、性质和相关定理。

一、圆的定义在几何学中，圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的所有点组成的集合。

二、圆的性质1. 圆的圆心与圆上任意点的距离相等。

2. 圆的半径是任意一条从圆心到圆上任意点的线段。

3. 圆的直径是通过圆心的两个相对点之间的线段，它的长度是半径的两倍。

4. 圆的周长是圆上任意一条弧的长度。

它等于圆周率π与直径的乘积，即C = πd。

5. 圆的面积是圆内所有点构成的部分。

它等于π与半径平方的乘积，即A = πr²。

三、圆的常用定理1. 弧长定理：圆的周长等于圆心角所对的弧长的两倍。

2. 弧度制：常用于计算圆的弧长和扇形面积。

圆心角的弧度数等于弧长与半径之比，记作弧度制。

3. 圆心角的度数与弧度之间的转换关系：360° = 2π弧度。

4. 切线定理：切线与半径所构成的角是直角。

四、九年级上册人教版数学教材中涉及的圆相关定理1. 弧长公式：对于角度为θ的圆心角所对应的弧长l，可以用圆的半径r和圆心角的弧度制表示，即l = rθ。

2. 扇形面积公式：对于角度为θ的圆心角所对应的扇形面积S，可以用圆的半径r和圆心角的弧度制表示，即S = 0.5r²θ。

3. 弦长公式：对于圆上的弧所对应的弦的长度，可以用圆的半径r和圆心角的弧度制表示，即弦长= 2r sin(0.5θ)。

总结：本文介绍了九年级上册人教版数学教材中关于圆的知识点，包括圆的定义、性质和常用定理。

圆是几何学中的一个基本概念，在数学学习中具有重要的作用。

通过掌握圆的相关知识，可以帮助学生更好地理解几何学的基本原理，提高解决几何题的能力。

（注：本文内容参考了九年级上册人教版数学教材中关于圆的知识点和相关定理，但未将具体内容展示出来）。