向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

向量的数量积——数量积的投影定义

一、基础知识

1、向量的投影：

（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，

如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。

（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。

（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角

（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正

（2）θ为直角：则投影为零

（3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现

（1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=

（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=

综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：

向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()

cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）

（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：

a b a b b λ→⋅=

即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题

（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）

（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题

二、典型例题：

例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）

A ．3

B ．3-.

C ．2-

D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b

b ⋅，所以只需求出a b ⋅即可。由a a b ⊥+ 可得：

()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以9a b ⋅=-。进而223a b

b ⋅=

=-答案：C

小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长

例2：如图，在ABC 中，4,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高，

则AD AC ⋅的值等于（ ）

A ．0

B ．4

C ．8

D ．4-

思路：由图中垂直可得：AC 在AD 上的投影为AD ，所以

2

AD AC AD ⋅=，只需求出ABC 的高即可。由已知可得sin 2AD AB ABC =⋅=，所以2

4AD AC AD ⋅==

答案：B

例3：两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3，如图所示，则

投影为AB 的中点，进而,AM AN 在AB 上的投影能够确定，所以考虑计算AM AB ⋅和AN AB ⋅时可利用向量的投影定义。

解：取AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MT AB NT AB ⊥⊥ 21922AM AB AT AB AB ∴⋅=⋅== 21922AN AB AT AB AB ∴⋅=⋅== 9AM AB AN AB ∴⋅+⋅=

例4：如图，O 为ABC 的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中

点，则AM AO ⋅的值为（ ）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7 思路：外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,P Q ，所以AO 在,AB AC 上的投影为11,22AP AB AQ AC =

=，而M 恰好为BC 中点，故考虑()

12A M A B A C =+，所以()()2211111+522222AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅== ⎪⎝⎭ 答案：B

小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。

例5：若过点()1,1P 的直线l 与22:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ⋅的取值范围是_______

思路：本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易

用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直

线OA 的垂线，

垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，