向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
空间向量的数量积与向量积练习题
空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。
下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。
解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。
练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。
解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。
练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。
解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。
然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。
大招6投影法速解向量的数量积问题(含答案解析)
大招6投影法速解向量的数量积问题向量的数量积公式为cos a b a b θ⋅=，若将公式中的cos b θ 看作一个整体，则向量的数量积可表示为a b a ⋅=⨯ 向量b 在向量a上的投影向量的模（或模的相反数），如图所示．这种方法就是投影法，利用投影法可以快速求解高考中一些数量积问题，尤其是两个向量中一个向量固定不变时，可以使用该法．运用该法解题的思路模型为：识别题型→向量的数量积问题选择方法→投影法（有一个固定向量，用投影法；夹角不易求，用投影法）计算→谁不动，往谁身上投；或者选择投影向量的模好计算的向量进行求解【典例1】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，则AE EC ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．45【大招指引】利用投影解决向量积的方法进行求解．【解析】()()2444=2555AE EC AE EA AC AE AE AB AD ⋅⋅+=-⋅++=-+⨯=【题后反思】本题也可以利用极化恒等式进行化简：2224=5AE EC AO EO AE ⋅-==【温馨提醒】如图，PA PB PA PH⋅=⋅对于cos PA PB PA PB θ⋅= ，其中cos PB θ 是PB 在PA上的投影，在Rt △PBH 中cos PB PH θ=，故PA PB PA PH ⋅= ，考虑到cos θ可能为钝角，故写成PA PB PA PH ⋅=⋅．【举一反三】1．已知圆O 的方程为229x y +=，直线l 过点()1,2P 且与圆O 交于,M N 两点，当弦长MN 最短时，OM MN ⋅=（）A ．4-B ．8-C ．4D ．8【典例2】已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO PA PD ⋅的最大值为（）A ．122B ．1222+C ．12D ．22【大招指引】取PO 中点E ，1222DE BO ==，将P ，A ，O 看成定点，则D 为圆E 上的定点，作DH ⊥PA ，进而利用投影法进行求解．【解析】取PO 中点E ，122DE BO ==P ，A ，O 看成定点，则D 为圆E 上的定点，作DH ⊥PA ，则PA PD PA PH =⋅⋅，当DH ∥AO 时取到最值取PA 中点G最小值计算：此时2122PH HG PG =-=-，故()min 2122PA PD PA PH =⋅⋅-=- 最大值计算：此时2122PH HG PG =+=+，()max 2122PA PD PA PH ==⋅⋅+【题后反思】本题也可以构造函数进行求解：如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知：π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-12224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1．当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1cos4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin22ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+1224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅ 有最大值12．综上可得，PA PD ⋅的最大值为12．【温馨提醒】利用投影法处理平面向量的数量积的实质是数量积是几何意义，要善于作图，往往要利用平面几何知识．【举一反三】2．在ABC V 中，若OA OB OC OP === ，2AB AC ==uu u r uuu r ，120BAC ∠=︒，则AP AB ⋅的取值范围为．3．如图所示，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（）A ．1213PP PP ⋅ B ．1214PP PP ⋅C ．1215PP PP ⋅D ．1216PP PP ⋅4．ABC V 的外接圆的半径等于3，4AB =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是（）．A ．[8,12]-B ．[4,24]-C ．[4,20]-D ．[8,16]-5．设,A B 是圆C 上不同的两点.且AB =则⋅=AB AC .6．ABC V 中，3AB =，6AC =，G 为ABC V 的重心，O 为ABC V 的外心，则AO AG ⋅=．7．已知圆O 的半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值是__________．8．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，则BP BC ⋅的最大值为．参考答案：1．B【分析】根据题意，由条件可知，当MN 最短时，直线l OP ⊥，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当MN 最短时，直线l OP ⊥，OP ==4MN ==，()cos π82MN OM MN OM MN OMN MN ⋅=⋅-∠=-⋅=-.故选：B.2．[]2,6-【分析】要求AP AB ⋅ 的取值范围，只需要研究动向量AP 在定向量AB的投影向量的模的最值，然后利用数形结合思想，来找到最值点1P 和2P ，然后利用已知数据就可以计算出结果.【详解】因为OA OB OC OP ===，所以O 为ABC V 的外心，且P 为ABC V 外接圆上一动点，又2AB AC == ，120BAC ∠=︒，由余弦定理得：BC ==所以ABC V 外接圆的半径12sin1202BC r =⨯=︒，可得OA OB AB AC ===，即四边形OBAC 是菱形，可得OC //AB ，如图，作PD AB ⊥，垂足为D ，则AP 在AB方向上的投影向量是AD ，当点P 在圆O 上运动时，作PD AB ⊥，垂足D 可能不在线段AB 上，而是在直线AB 上，所以cos AP AB AP AB PAD ⋅=⋅∠，所以当PD 与圆相切时，AP AB ⋅取到最大值和最小值，即P 在1P （直线CO 与圆的另一个交点）处取最大值，此时cos 2cos306AP AB AP AB PAD ︒⋅=⋅∠=⨯⨯= ，在2P （与C 重合）处取最小值，此时cos 22cos1202AP AB AP AB PAD ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=- ，所以AP AB ⋅的取值范围为[]2,6-．故答案为：[]2,6-．3．A【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得；【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知1213,6PP PP π= ，1214,3PP PP π= ，1215,2PP PP π= ，12162,3PP PP π=．12160PP PP ∴⋅< ，12150PP PP ⋅= ，211311122223cos 62P PP PP P P P P π⋅== ，212141212122cos 3PP PP PP PP PP π⋅=⋅⋅= ．比较可知A 正确．故选：A 4．C【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，设出C 点坐标，利用向量数量积的坐标运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r ，结合三角函数的取值范围求得AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围.【详解】依题意，ABC V 的外接圆的半径等于3，4AB =，以A 为原点，AB 为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，4,0，圆心O 到AB ，也即x =，故圆心(O ，半径3r =，所以圆的标准方程为()(22223x y -+=.设()[][]23cos ,3sin ,cos 1,1,sin 1,1C θθθθ+∈-∈-，C 与,A B 不重合.所以812cos AB AC θ⋅=+uu u r uuu r，由于[]cos 1,1θ∈-，所以[]812cos 4,20AB AC θ⋅=+∈- .故选：C5．6【分析】设D 点为AB 的中点，则CD AB ⊥，再根据数量积的定义计算即可.【详解】如图，设D 点为AB 的中点，则CD AB ⊥，则21cos 62AB AC AB AC BAC AB AD AB ⋅=∠=== .故答案为：6.6．152【解析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅= ，212AO AC AC ⋅= ，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+ ，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值.【详解】解：因为G 为ABC V 的重心，O 为ABC V 的外心，所以212AO AB AB ⋅= ，212AO AC AC ⋅= ，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅ 221166AB AC =+93615662=+=，即152AO AG ⋅= .故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力.7．6【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法来研究平面向量的数量积即可求解【详解】不妨以O 为原点，平行与AB 的直线为y 轴，AB 的垂直平分线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知圆的方程为：224x y +=，则可知))()1,,2cos ,2sin ABC θθ-，()()0,2,2cos 2sin 1AB AC θθ+==uu u r uuu r，()2sin 142sin 2AB AC θθ⋅==++uu u r uuu r，显然当sin 1θ=时，AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值是6故答案为：68．9【分析】BP 在BC 上的投影向量是BE，由向量数量积的几何意义，BP BC BE BC ⋅= ，求BE的最大值即可【详解】如图，过P 向BC 作垂线，垂足为E ，则BP 在BC 上的投影向量是BE，答案第5页，共5页BP 在BC上的投影向量BE 可能与BC 同向，也可能与BC 反向，在本题中BP 与BC 的夹角为锐角，所以是同向的，由向量数量积的几何意义，BP BC BE BC BE BC ⋅=⋅= ．由等边三角形ABC 边长为3，23AD AC = ，得2AD =，即半圆O 的直径为2，过点C 作直线BC 的垂线l ，AC 与直线l 的夹角为30o ，2OC =，则圆心O 到直线l 的距离为1，所以直线l 与圆O 相切，记切点为1P ，当点P 在半圆上运动到与1P 重合时，BE BC = ，BE 最大，BP BC ⋅ 取最大值，最大值为29BC = ．故答案为：9.。
向量的数量积(练习)(含解析)高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
6.2.4向量的数量积1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 中点，则AB → ·AE → ＝( )A ．2B ．4C ．25D ．52．[2022·山东东营高一期末]若向量a ，b 满足||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，则||a －b ＝( )A ．4B ．12C ．2D ．233．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影向量为________．4．已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b ).5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC 中，BD → ＝12DC → ，则AD → ·AC → ＝( )A ．24B ．6C ．18D ．－246．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a ，b 满足||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a ，b ，c 是满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，若||a ＝2 ，则||b ＝________．8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －2b )＝2，且|a |＝2 ，|b |＝2.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a ＋b .9.[2022·广东珠海高一期末]已知||a ＝2 ，|b |＝1，且a 与a －2b 相互垂直．(1)求向量a 与向量b 的夹角θ的大小；(2)求||a ＋b .10．在△ABC 中，AB → ＝c ，BC → ＝a ，CA → ＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )A ．||a ＋b ≤||a ＋||bB ．a ·b ≤||a ·||bC ．若||a ＝||b ，则a ＝bD ．若||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b12．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．答案：1．解析：由题设，AB → ·AE → ＝|AB → ||AE → |cos ∠BAE ＝|AB → |2＝4.故选B.答案：B 2．解析：由||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，可得a ·b ＝||a ·||b cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 2π3＝－2， 所以||a －b ＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝||a 2＋||b 2－2a ·b ＝4＋4－2×（－2）＝23 .故选D.答案：D3．解析：因为a 在b 方向上的投影为||a cos 135°＝－2 ，与b 同向的单位向量为b ||b ＝13 b ，所以a 在b 方向上的投影向量为－23b . 答案：－23b 4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3 ＝4×2×(－12)＝－4； (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－a ·b －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝42＋4－2×22＝12.5．解析：因为BD → ＝12DC → ， 所以BD → ＝13 BC → ＝13(AC → －AB → )， 所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → . 因为等边三角形ABC 的边长为6，所以AC → ·AB → ＝6×6cos 60°＝18，所以AD → ·AC → ＝(23 AB → ＋13AC → )·AC → ＝23 AB → ·AC → ＋13AC → 2 ＝23 ×18＋13×36＝24，故选A. 答案：A6．解析：因为||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝||a 2－a ·b ＝5，所以a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝－11×2＝－12 ， 因为θ∈[]0，π ，所以θ＝2π3.故选C. 答案：C 7．解析：因为a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，又因为a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，且||a ＝2 ，可得(2a －b )·c ＝(2a －b )·[]－（a ＋b ） ＝－2a 2－a ·b ＋b 2＝－2×(2 )2－0＋||b 2＝0， 解得||b 2＝4，所以||b ＝2.答案：2 8．解析：(1)由(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝4－3×2 ×2cos θ－8＝2， 得cos θ＝－22 ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)由题意得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝2－42×22＋4 ＝2 . 9．解析：(1)由题意，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝0，所以2－22 cos θ＝0，可得cos θ＝22，而0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)由||a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2＋1＝5， 所以||a ＋b ＝5 .10．解析：在△ABC 中，易知AB → ＋BC → ＋CA → ＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝（－c ）2，（a ＋c ）2＝（－b ）2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2，因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB → |＝|BC → |＝|CA → |，即△ABC 是等边三角形．11．解析：对A ，||a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ＝(||a ＋||b )2，当且仅当a ，b 同向时等号成立，所以||a ＋b ≤||a ＋||b ，故A 正确；对B ，因为cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ＝||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a ·||b ，当且仅当a ，b 同向时等号成立，故B 正确；对C ，若||a ＝||b ，因为a ，b 方向不一定相同，所以a ，b 不一定相等，故C 错误； 对D ，若||a ＋b ＝||a －b ，两边平方可得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，化简得2t 2＋15t ＋7＜0.解得－7＜t ＜－12. 当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为180°时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142． ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142 )∪(－142 ，－12 ).。
向量的数量积练习题
向量的数量积练习题向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，它能够帮助我们计算向量之间的夹角、判断正交性等。
在这篇文章中，我们将通过练习题来加深我们对向量数量积的理解。
在每个练习题之后，我将给出详细的解答，以便读者参考。
题目一：已知向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，计算向量a与向量b的数量积。
解答一：根据数量积的定义，我们可以通过将对应分量相乘再相加来计算。
数学公式如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3将向量a和b的分量代入上述公式，即可计算出结果：a ·b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32所以，向量a与向量b的数量积为32。
题目二：已知向量c = (2, -1, 3)，d = (-3, 2, -4)，计算向量c与向量d的数量积。
解答二：同样地，我们可以使用数量积的定义来计算向量c与向量d的数量积：c ·d = c1 * d1 + c2 * d2 + c3 * d3将向量c和d的分量代入公式，即可计算出结果：c ·d = 2 * (-3) + (-1) * 2 + 3 * (-4) = -6 - 2 - 12 = -20因此，向量c与向量d的数量积为-20。
题目三：已知向量e = (3, 2)、f = (4, 1)，计算向量e与向量f的数量积。
解答三：这次我们处理的是二维向量，数量积的计算方法与之前相同：e ·f = e1 * f1 + e2 * f2将向量e和f的分量代入公式，即可计算出结果：e ·f = 3 * 4 + 2 * 1 = 12 + 2 = 14所以，向量e与向量f的数量积为14。
题目四：已知向量g = (1, -2, 3)，h = (-2, 1, -3)，判断向量g与向量h是否正交。
解答四：要判断两个向量是否正交，我们需要计算它们的数量积。
第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()c o s a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。
平面向量的数量积与向量投影
平面向量的数量积与向量投影平面向量的数量积和向量投影是线性代数中重要的概念和计算方法。
它们在解决几何和物理问题时起着关键作用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量投影，探讨它们的定义、性质和计算方法。
1. 平面向量的数量积平面向量的数量积也称为点积或内积，用来计算两个向量之间的夹角和它们之间的关系。
给定两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2)，它们的数量积定义为a→⋅a→=a1a1+a2a2。
数量积有以下几个重要的性质：性质1：a→⋅a→=a→⋅a→，即数量积的顺序可以交换。
性质2：a→⋅(a→+a→)=a→⋅a→+a→⋅a→，即数量积对加法的分配律。
性质3：a→⋅a→=‖a→‖^2，即一个向量与自身的数量积等于它自身的模的平方。
性质4：如果两个向量的数量积为0，即a→⋅a→=0，则它们垂直。
基于数量积定义和性质，可以进行向量的投影计算。
2. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
通过向量投影可以计算两个向量之间的夹角。
给定两个平面向量a→和a→，它们夹角的余弦可以通过它们的数量积计算如下：cos a = a→⋅a→ / (‖a→‖ * ‖a→‖)其中cos a表示a→和a→夹角的余弦值，‖a→‖和‖a→‖分别表示向量a→和a→的模。
从上述公式中可以看出，如果两个向量的数量积等于它们的模的乘积，则它们的夹角为0度，即两个向量共线。
反之，如果数量积小于0，则夹角为180度，即两个向量反向。
在计算中，可以通过向量的投影来求解两个向量之间的夹角。
向量投影的计算公式如下：a→=(a→⋅a→ / ‖a→‖^2) * a→其中，a→表示向量a→在向量a→上的投影向量。
通过向量投影的计算，我们可以得到两个向量之间的夹角，并且可以判断它们的方向和关系。
3. 数量积与向量投影的应用数量积和向量投影在几何和物理问题中有广泛的应用。
在几何中，利用数量积可以求解两个向量之间的夹角，判断向量的垂直、平行关系，以及计算向量的投影长度。
【高考数学热点问题】第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
第38炼 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB u u u r是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=u u u r ，且当AB u u u r 与轴同向时，0λ>，当AB u u u r 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB u u u r 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b r r ，若a r 的起点,A B 在b r 所在轴l （与b r同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B u u u u r 在轴l 上的值称为a r 在b r 上的投影，向量''A B u u u u r 称为a r 在b r 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b r r的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a r 在b r 上的投影还是b r 在a r上的投影）均为正（2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a r 在b r上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当θ为锐角时，cos b λθ=r ，因为0λ>，所以cos b λθ=r（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-r r，因为0λ<，所以cos b λθ-=-r 即cos b λθ=r（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=r综上可得：a r 在b r 上的投影cos b λθ=r，即被投影向量的模乘以两向量的夹角4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b r r 数量积公式为cos a b a b θ⋅=r r r r，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅r r r r 或()cos a b b a θ⋅=⋅r r r r，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b r r的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅r r r r r（记abλ→r r 为a r 在b r 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：aba b bλ→⋅=r r r r r即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b r r满足3,a b ==r r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-. C．2-D思路：考虑b r 在a r 上的投影为a bb⋅r rr ，所以只需求出a b ⋅r r 即可。
第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)
第38讲 向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．2-D 思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。
向量的数量积向量积和混合积
向量的数量积向量积和混合积向量的数量积、向量积和混合积向量是在物理学和数学中广泛应用的概念。
在向量运算中，数量积、向量积和混合积是重要的概念和运算符号。
本文将详细介绍向量的数量积、向量积和混合积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量关系的一种表示方法。
给定两个 n 维实数向量 A 和 B，它们的数量积定义为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 表示 A 和 B 的夹角。
数量积的性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C数量积的应用：1. 判断向量的正交性：若 A·B = 0，则向量 A 和 B 垂直（即正交）。
2. 求两个向量夹角：θ = arccos(A·B / (|A| |B|))3. 计算向量的投影：向量 A 在 B 方向上的投影为 ProjB A = (A·B /|B|²) B二、向量的向量积向量积，也叫叉积或外积，是两个向量的向量关系的一种表示方法。
给定三维实数向量 A 和 B，它们的向量积定义为：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 表示 A 和 B 的夹角，n 是一个垂直于向量 A 和 B 的单位向量，其方向由右手法则确定。
向量积的性质：1. 反交换律：A × B = -B × A2. 分配律：A × (B+C) = A × B + A × C向量积的应用：1. 求面积：以向量 A 和 B 为邻边的平行四边形的面积为 S = |A × B|2. 求法向量：若平面上有两个向量 A 和 B，则平面的法向量为 n =(A × B) / |A × B|3. 求垂直向量：若向量 A 和 B 垂直，则它们的向量积为A × B ≠ 0三、向量的混合积混合积是三个向量（也可看作三维向量组成的平行六面体）之间的一种数量关系。
平面向量的数量积与向量投影练习题
平面向量的数量积与向量投影练习题在平面向量的运算中，数量积和向量投影是两个重要的概念。
它们在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将通过练习题的形式来帮助读者更好地理解和应用平面向量的数量积与向量投影。
1. 练习题一已知向量a = 3i + 4j和向量b = -2i + 3j，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量a与向量b的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
首先，我们需要计算|a|和|b|，它们分别表示向量a和b的模。
向量a 的模为|a| = √(3^2 + 4^2) = 5，向量b的模为|b| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13。
接下来，我们需要计算θ的余弦值。
根据向量的坐标表示，可以得出cosθ = (a·b)/(|a||b|)。
代入已知数据，可以得到cosθ = ((3)(-2) +(4)(3))/(5√13) = 6/(5√13)。
最后，将cosθ代回数量积公式，可以求得向量a与向量b的数量积：a·b = (5)(√13)(6/(5√13)) = 6。
因此，向量a与向量b的数量积为6。
2. 练习题二已知向量a = i + 2j和向量b = 2i + 3j，求向量a在向量b上的投影。
解析：向量a在向量b上的投影可以用以下公式计算：proj_b(a) = (a·b/|b|)* (b/|b|)，其中proj_b(a)表示向量b上投影的向量。
首先，我们需要计算a·b，它表示向量a与向量b的数量积。
根据向量的坐标表示，可以得出a·b = (1)(2) + (2)(3) = 2 + 6 = 8。
接下来，计算|b|，它表示向量b的模。
向量b的模为|b| = √(2^2 +3^2) = √(4 + 9) = √13。
然后，计算投影向量的方向，即b/|b|。
根据向量的坐标表示，可以得出b/|b| = (2/√13)i + (3/√13)j。
向量代数与空间解析几何相关概念和例题
空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。
向量数量积的五种求法
向量的数量积的五种求解策略方法一：定义法利用向量数量积的概念，即：a ·b=∣a ∣·∣b ∣cos θ。
根据向量的数量积的公式可知，在求解两个向量的数量积时，需要先确认两个向量的模以及它们的夹角，在判断向量的夹角时，要特别注意它们是否为“共起点“，如果不是”共起点“的需要先转化为”共起点“的向量再进行求解。
定义法也是求向量数量积的最常见的方法。
例题1：在▲ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上，且满足AP=2PM ，则PA ·(PB+PC)=解：∵ M 是BC 的中点，AM=1，且AP=2PM 可得：PB+PC=2PM 又AP=23∴ PA ·(PB+PC)=PA ·AP=-49例题2：在▲ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足ccosB+bcosC=4acosA ，S ▲ABC =√15，则AB ·AC= 解：由射影定理可得：a=ccosB+bcosC=4acosA ， ∴ cosA=14，可得：sinA=√154PMABC·又 S ▲ABC =12∣AB ∣··∣AC ∣·sinA可得：∣AB ∣··∣AC ∣=8∴ AB ·AC=∣AB ∣··∣AC ∣·cosA=2 方法二：数量积的几何意义a ·b 的几何意义为： a 的模∣a ∣和b 在a 方向上的投影∣b ∣cos θ的乘积。
当两个向量的夹角θ未知时，有时可以根据题目条件，利用其几何意义迅速解决向量的数量积问题。
例题1：如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，AP=3，试求AP ·AC 的数量积。
解： ∵ AC=2AO ∵ AP ⊥BD∴ 可知AO 在AP 方向上的投影为∣AP ∣ ∴ AC 在AP 方向上的投影为2∣AP ∣ ∴ AP ·AC=∣AP ∣·2∣AP ∣=18例题2：点P 是▲ABC 的外心，且∣AC ∣=4，∣AB ∣=2，求AP ·(AC-AB)的数量积。
啊啊啊向量数量积的投影定义
专题27 向量的数量积——数量积的投影定义1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足ABλ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l上有向线段AB 的值.（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合.所以说，投影往往伴随着垂直.（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量.2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正（2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【经典例题】例1.设向量a ， b 满足2a =， 1b =，且()b a b ⊥+，则向量b在向量2a b +方向上的投影为（ ） A. 1 B. 1-C.12-D.12【答案】D设向量b 和向量2a b +的夹角为θ，则向量b 在向量2a b +方向上的投影为()()221cos 222b a b b a b b b b a ba bθ⋅+⋅+=⋅==⋅++．选D ．例2.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ） A. 3 B. C. 3- D. 【答案】B例3.已知单位向量1e 与2e 的夹角为，则向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为（）x.kw A.B.C.D.【答案】A【解析】∵单位向量1e 与2e 的夹角为∴cos 32e e π⋅=()21e e e e -=-=，∴ 向量122e e +在向量12e e -方向上的投影为：()()()()212212e e e e e e e e e e +⋅-+⋅-=-- A. 例4.设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( ) A.B.C.D.【答案】D故当λ1=时，取得最小值为1，即当λ0<时，故答案选D例5.如图，菱形ABCD的边长为2,60,∠=为DC中点，若N为菱形内任意一A M点（含边界），则AM AN⋅的最大值为（）A.3 B. C. 6 D. 9【答案】D2213922AD DC AD DC =++⋅=答案D.例6.已知平面向量，，且，则在方向上的投影是__________． 【答案】例7．若非零向量，满足，则在方向上的投影为____． 【答案】-1【解析】分析：先求出、和与的夹角，然后根据投影的定义求解．详解：将两边平方整理得，∴．将两边平方整理得．又，故．设向量与的夹角为，则在方向上的投影为．例8．已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()1AP OA λ=-（R λ∈）（O 是坐标原点），且•72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为_____． 【答案】15【解析】∵()1AP OA λ=-，则线段OP 在x 轴上的投影长度为27272cos ||x xx OP OP OA OAOA OAθ=⋅=⋅=2272721516925x x y x x==≤=++，当且仅当16925x x =，即154x =时等号成立．∴线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 答案：15例9.若平面向量1e ， 2e 满足32e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是___． 32e e e =+=可得： 1221222964e e e e e =++=2126cos θe e e +1e 在2e 方向上投影为222321321cos θ66e e e e e ⎛⎫-- ⎪==-+≤-⨯ ⎪故最大值为：例10.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则· （＋）＝____． 【答案】6【解析】设BC 的中点为D ，则AD ⊥BC ，【精选精练】1．已知向量()()2110a b =-=，，，，则向量a 在向量b 上的投影是 A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】D【解析】向量a 在向量b 上的投影是21a b b⋅-==,选D.2.已知平面向量()()1,2,,1a b k =-=，且a b ⊥，则a b+在a 上的投影为（ ）A.B. 2C.D. 1【答案】A【解析】因为a b ⊥，所以()1210, 2.k k -⨯+⨯=∴=所以()1,3,a b += 所以221310,5,a ba +=+==所以a b⊥在a 上的投影为()16cos 10 5.5a b a a b a b aα+⋅-++=⋅==+故选A.3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A.B.C.D.315【答案】A【解析】()2,1AB =，()5,5CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为251552AB CD CD⋅⨯+⨯=，故选A ．4．已知向量,a b 的夹角为60°2a b ==，则向量a b -在向量a 方向上的投影为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3 【答案】B5．已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】由a =（1，2），可得|a |=a •（b+a ）=2，可得a •b +2a =2，∴·a b =﹣3，∴向量b 在a 方向上的投影为·355a b a =-.故答案为：D.6.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( )A. 3B.C. -3D. 【答案】B 【解析】△ABC 的外接圆的圆心为O,半径为2,且0,OA OB OC OB CA ++=∴=，本题选择B 选项.7．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+，且OA AB =，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为（ ）A. 12 B. 32- C. 12- D. 32【答案】D【解析】由题意可得： ()()0AB AO AC AO -+-=，即： 0,OB OC OB OC +==-, 即外接圆的圆心O 为边BC 的中点，则ABC 是以BC 为斜边的直角三角形， 结合1OA AB ==有： ,6ACB CA π∠==则向量CA 在向量CB 方向上的投影为3cos 622CA π==. 本题选择D 选项.8.已知向量a ， b 满足5a=， 6a b -=， 4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为__________．【答案】1- 9．已知向量a ， b的夹角为120︒，则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为_____．)()22222324831913244a b a b a a b b a b a a b b +++⋅+==++⋅+10．已知向量()()1,,3,1a b λ==，若向量2a b -与()1,2c =共线，则向量a 在向量c 放向上的投影为_____．【答案】0【解析】向量()1,a λ=， 31b =（，），向量2121a b λ-=--（，），∵向量2a b -与12c =（，）共线，∴212λ-=-，即12λ=-，∴向量112a =-（，），∴向量a 在向量c 方向上的投影为21112cos ,01a c a a c c ⨯-⨯⋅⋅===+，故答案为0.11．已知向量，，若向量在方向上的投影为1，则__________．【答案】 【解析】∵向量，,向量在方向上的投影长为1∴解得.故答案为：.12．已知M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC上的高，且6,AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ⋅=_________【答案】-56AO CO AC +==，所以解得2,4AO OC ==，再由P 为OA 的中点可得1,5AP PC ==，所以5PE PQ AP PC ⋅=⋅=，进而5PD PE PE PQ ⋅=-⋅=- 答案：5- .。
空间向量的数量积运算(经典练习及答案详解)
空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值． 解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0， 同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.。
向量的数量积经典例题（含详细答案）
向量的数量积经典例题（含详细答案）向量的数量积经典例题（含详细答案）1．已知3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o .求（1）a b r r g ，()()22a b a b +?-r r r r ；（2）23a b +r r2．已知向量a r 、b r 的夹⾓为2,||1,||23a b π==r r . （1）求a r ·b r 的值（2）若2a b -r r 和ta b +r r 垂直，求实数t 的值.3．已知平⾯向量()()1,2,2,a b m =-=r r（1）若a b ⊥r r ，求2a b +r r ；（2）若0m =，求a b +r r 与a b -r r 夹⾓的余弦值.4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r ，（1）求()a b c ?+r r r；（2）若()a b c λ+r r r ∥，求实数λ的值.5．已知||2a =r ，||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r .（1）求a b ?r r 的值；（2）求a r 与b r 所成⾓的⼤⼩.6．已知()1,2a =r ，()3,4b =-r（1）若ka b +r r 与2a b -r r 共线，求k ；（2）若ka b +r r 与2a b -r r 垂直，求k .7．已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹⾓为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r ,(1)当c d v P v 时，求实数k 的值；(2)当c d ⊥r u r 时，求实数k 的值.参考答案1．（1）6-，32-；（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义进⾏求解；（2）根据23a b +=r r 先求数量积，再求模长．【详解】解：（1）∵3,4a b ==r r ，,a b r r 的夹⾓为120o ，∴cos120a b a b ?=r r r r g 134()2=??-=6-， ()()22a b a b +?-=r r r r 22223a b a b -+r r r r g 292163(6)=?-?+?-=32-；（2）23a b +=r r== 【点睛】本题主要考查平⾯向量的数量积的定义及平⾯向量的模长，考查计算能⼒，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.【解析】【分析】（1）利⽤数量积的定义直接计算即可．（2）利⽤()()20t b a b a +=-r r r r g 可求实数t 的值．【详解】（1）21cos 12132a b a b π==??-=-r r r r ．（2）因为2a b -r r 和ta b +r r 垂直，故()()20t b a b a +=-r r r r g ，整理得到：()22220ta t a b b +--=r r r r g 即()12212402t t ??+---=，解得2t =．【点睛】本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个⾮零向量,a b v v 垂直的等价条件是0a b ?=v v，本题属于基础题．3．（1）25a b +=r r （2）65【解析】【分析】（1）由题可得0a b ?=r r ，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=r r ，进⽽得出答案。
平面向量的数量积与向量的投影
平面向量的数量积与向量的投影平面向量是在平面上具有大小和方向的箭头表示的数学对象。
在平面向量的运算中，数量积和向量的投影是两个重要的概念。
本文将分别介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探讨它们在数学和物理中的应用。
数量积（又称为点积、内积）是两个向量的数学运算，计算的结果是一个标量（即实数）。
数量积的定义如下：对于平面上的两个向量A和B，它们的数量积记作A·B，计算方法为A·B = |A| * |B| * cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积的运算规则如下：1. A·B = B·A，即数量积满足交换律。
2. A·A = |A|^2，即一个向量与自身的数量积等于该向量模长的平方。
3. 若A·B = 0，则说明向量A和B正交（垂直）。
4. 若A·B > 0，则说明向量A和B夹角小于90°，即为锐角。
5. 若A·B < 0，则说明向量A和B夹角大于90°，即为钝角。
数量积的应用非常广泛。
在几何中，数量积可以用来判断两个向量的夹角，并且可以通过夹角的余弦值计算其大小关系。
在物理中，数量积可以用来计算力的功和力矩等物理量，进而解决力学问题。
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
在平面向量中，向量的投影可以分为两种情况：一个向量在另一个向量上的投影和一个向量在坐标轴上的投影。
1. 一个向量在另一个向量上的投影，可以通过数量积进行计算。
设有一个向量A，它在向量B上的投影记作proj_B A。
投影的计算方法为proj_B A = (A·B) / |B| * B，即向量A与向量B的数量积除以向量B 的模长，再乘以向量B。
投影的结果是一个向量。
注：如果向量A与向量B的夹角为90°，则投影为零向量。
2. 一个向量在坐标轴上的投影，可以通过数量积的性质进行计算。
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向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正（2）θ为直角：则投影为零（3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b b λ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．2-D 思路：考虑b 在a 上的投影为a bb ⋅，所以只需求出a b ⋅即可。
由a a b ⊥+ 可得：()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以9a b ⋅=-。
进而223a bb ⋅==-答案：C小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长例2：如图，在ABC 中，4,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（ ）A ．0B ．4C ．8D ．4-思路：由图中垂直可得：AC 在AD 上的投影为AD ，所以2AD AC AD ⋅=，只需求出ABC 的高即可。
由已知可得sin 2AD AB ABC =⋅=，所以24AD AC AD ⋅==答案：B例3：两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3，如图所示，则投影为AB 的中点，进而,AM AN 在AB 上的投影能够确定，所以考虑计算AM AB ⋅和AN AB ⋅时可利用向量的投影定义。
解：取AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MT AB NT AB ⊥⊥ 21922AM AB AT AB AB ∴⋅=⋅== 21922AN AB AT AB AB ∴⋅=⋅== 9AM AB AN AB ∴⋅+⋅=例4：如图，O 为ABC 的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 思路：外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,P Q ，所以AO 在,AB AC 上的投影为11,22AP AB AQ AC ==，而M 恰好为BC 中点，故考虑()12A M A B A C =+，所以()()2211111+522222AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅== ⎪⎝⎭ 答案：B小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。
例5：若过点()1,1P 的直线l 与22:4O x y +=相交于,A B 两点，则OA OB ⋅的取值范围是_______思路：本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线，垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，0OA OB ⋅=，AB 位于其他位置时，D 点始终位于OA 的反向延长线上，OA OB OA OD ⋅=-⋅，故0O AO B ⋅<，故()m a x 0O AO B ⋅=，下面寻找最小值，即DO的最大值，可得当B 在OA 上的投影与C 重合时，DA 最大，即为AC ，此时直线OP 即为直线AB 。
所以()2mi n 4OA OBOA OD OA OC r ⋅=-⋅=-⋅=-=-。
进而OA OB ⋅的范围是[]4,0- 答案：[]4,0- 例6：已知1,3OA OB ==，且,OA OB 的夹角为150，点C 是AOB 的外接圆上优弧AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值是________思路：题中OA 的模长为定值，考虑OA OC ⋅即为OA 乘以OC 在OA 上的投影，从而OA OC ⋅的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当MC 与OA 同向时，投影最大。
即()max OA OC OA OD ⋅=⋅，只需计算OD 的模长即可 解：当MC 与OA 同向时，OC 在OA 上的投影最大()max OA OC OA OD ∴⋅=⋅ 在AOB 中，2222cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-=7AB ∴=21sin 2ABR AOB ∴=== 即R =1122OD ON ND OA R ∴=+=+=+()max 12OA OC OA OD ∴⋅=⋅=+答案：12+例7：如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 3B.C. 6D. 9思路：在所给菱形中AM 方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即AM 乘以AN 在AM 上的投影，所以AM AN ⋅的最大值只需要寻找AN 在AM 上的投影的最大值即可，而A 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在AM 投影距离A 最远的，结合图像可发现C 的投影距离A 最远，所以()max AM ANAM AC ⋅=⋅，再由,AD DC 表示后进行数量积运算即可 解：()()()()max 12AM AN AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫⋅=⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2213922AD DC AD DC =++⋅= 答案：9小炼有话说：（1）从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况（2）在找到取到最值的N 点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，AM 不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。
正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。
例8：如图，在等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，P 点是ABC 内（包括边界）任一点，则AN MP ⋅的取值范围是____________ 思路：因为P 点为ABC 内任一点，所以很难用定义表示出AN MP ⋅，考虑利用投影定义。
由AN 长为定值，可得AN MP ⋅为AN 乘以MP 在AN 上的投影，所以只需找到投影的范围即可。
如图，过M 作AN 的垂线，则M 点的投影为F ，当P 在B 点时， MP 在AN 上的投影最大且为线段FE 的长，当P 在A 点时， MP 在AN 上的投影最小，为AF -，分别计算相关模长即可。
在图中有条件可得：1AN CN BN === BE AE ⊥，所以可得：Rt ACNRt BEN，则5ANNENE CN BN =⇒，所以AE AN NE =+=FM BE ∥，M 为中点可得：F 为AE 中点，从而,MB MA 在ANAN =即可求得AN MP ⋅的范围为[]3,3-答案：[]3,3-例9：已知M 为直角三角形ABC 的外接圆，OB 是斜边AC上的高，且6,AC OB ==，AO OC <，点P 为线段OA 的中点，若DE 是M 中绕圆心M 运动的一条直径，则PD PE ⋅=_________ 思路：本题的难点在于DE 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
考虑到DE 为直径，所以延长EP 交圆M 于Q ，即可得DQ QE ⊥，则PD 在PE 上的投影向量为PQ 。
所求A B PD PE PE PQ ⋅=-⋅，而由P E P Q ⋅联想到相交弦定理，从而P E P Q A P P C ⋅=⋅。
考虑与已知条件联系求出直径AC 上的各段线段长度。
由射影定理可得：28AO CO OB ⋅==，且6AO CO AC +==，所以解得2,4A O O C ==，再由P 为OA 的中点可得1,5A P P C ==，所以5P E P Q A P P C⋅=⋅=，进而5PD PE PE PQ ⋅=-⋅=- 答案：5- 例10：已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，I 为PC 上一点，满足4PA PB -=，10PA PB -=，PA PC PB PCPA PB ⋅⋅=，且()0A C A P B I B A A C A P λλ⎛⎫ ⎪=++> ⎪⎝⎭，则B I B A BA ⋅的值为（ ）A. 2B. 4C. 3D. 5 思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则10PA PB AB -==。