3.2函数表示法

420 360 300
240
180 120 60
1
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3
4
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7
解析法有两个优点：1、简明；2、给自变量 可求函数值。
图象法的优点：直观形象，反映变化趋势。
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。 并不是所有的函数都能用解析法表示。
解析法，就是用数学表达式表示两个变量 间的对应关系。
解析法有两个优点：
（1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的函数值； （3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用解析法表示函数时, 必须注明函数的定义域.
并不是所有的函数都能用解析法表示。
例2 求解下列问题： (1)一个三角形的底边一定，它的面积可以 看做什么变量函数？如果它的某条边上的高一 定呢？分别分析当自变量的值加1个单位时， 因变量如何随自变量的变化而变化。 (2)一个圆柱的底面半径一定，它的体积可 以看做什么变量的函数？如果它的高一定呢？ 分别分析当自变量的值增加1个单位时，因变 量如何随自变量的变化而变化
根据上表提供的数据回答下列问题： (1)我国人口数首次突破8亿大约在哪一年？ (2)我国人口数据变化的总趋势是什么？ (3)哪一个十年我国人口增长量最大？ 解：（1）由表格可知，我国人口数首次突破8亿大约在 1969年。 （2）由表格可知，我国人口数据变化的总趋势是增长。 （3）对表格的第二行数据采用“后一个数据减前一个数 据”的方法，可以得到如下结果：1.30，1.35，1.68，1.32， 1.52，0.76。因此，1969年至1979年的十年间，我国人口 增长量最大。
练习：P60 练习1，2
作业：P64 习题1，2
把一根长9.14m的铁丝弯成下 部为矩形、上部为半圆形的框 架，设矩形的底边长为x(m)， 此框架围成的图形的面积为 y(m2). (1)请将y表示成x的函数。 (2)当矩形的底边长为2m时， 该框架的面积为多少(精确到 0.01m2)？
探究
12 14.0 24 14.2
根据上表提供的数据回答下列问题： (1)这一天该港口水位最高是多少米？发生在这一天的什么时间? (2)这一天该港口水位最低是多少米？发生在这一天的什么时间？ (3)这一天什么时段内该港口水位高度的变化最快？ (4)一艘吃水约17m的轮船这一天是否可以停泊该港口？什么时间段停泊比较安 全？
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自 变量取某些值时函数的对应值。
探究
生物学研究表明，某种蛇的长度y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数，当蛇的尾长是6cm时，测得蛇长 是45.5cm；当蛇的尾长是14cm时， 测得蛇长为 105.5cm。 （1）写出y与x之间的函数关系式。 （2）若一条该种蛇的尾长是10cm，它的长度是多 少？
如图给出了某网络公司每 月收取的上网费用标准， 其中x表示上网时间(单位： h)，y表示收取的费用(单 位：元)。根据图象回答下 列问题： （1）若小燕本月上网时间为12h,她应缴纳的上网费 用是多少元？ （2）如果小君本月缴纳了20.4元的上网费用，他本 月的上网时间大约有多少小时？
图像法，就是用图像表示两个变量的对应关系
一辆客车下午1时从甲地出发，以 60km/h的速度匀速行驶2h后到达乙地，在 乙地停留0.5h,然后以80km/h的速度匀速行 驶3h后到达丙地，请以时间t(h)为横坐标、 客车行驶的路程s(km)为纵坐标建立直角坐 标系，并在坐标系中画出每个整点时对应的 点，再用线段将它们连起来。根据图象提供 的信息回答下列问题： （1）下午3时和6时时，客车行驶的路程分别 是多少？ （2）哪一段时间内，客车行驶的路程没有发 生改变？ （3）甲地经乙地到丙地的路程是多少？
1 14.6 13 14.4
2 15.5 14 15.4
3 17.2 15 18.1
4 18.5 16 18.5
5 19.5 17 19.4
6 21.2 18 20.0
7 19.4 19 19.6
8 19.6 20 19.3
9 16.9 21 17.0
10 15.4 22 15.6
11 14.3 23 14.7
问题解决：
几名学生准备去某景点旅游，甲旅行社的报价为： 只要1人购买全票，其他人均可购买半票；乙旅行社的报 价为：2人以上参加旅游，所有人均享受原价的7折优惠。 请问：哪家旅行社的报价更优惠？
解：设票价为a元一张，共x名学生参加旅行，由已知可得 x>1. 设甲旅行社的总票价为y1元，乙旅行社的总票价为y2元， 则有 y1=a+0.5a(x-1)=0.5a(x+1), y2=0.7ax。 当y1>y2时，解得x<2.5，即2个人以内（包括2人）旅游， 乙旅行社的报价优惠；2人以上旅游，甲旅行社报价优惠。
列表法，就是列出表格来表示两个变量间 的对应关系。
例1 下表给出了194Βιβλιοθήκη Baidu年到2009年间每十年我国人口的统 计数据（精确到了0.01亿）
年份 1949年 1959年 1969年 1979年 1989年 1999年 2009年 人口数 5.42 量/亿
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
例3 图中的直线m反映了某 公司产品的销售收入与销售 量之间的关系，直线n反映了 该公司的销售成本与销售量 之间的关系。 根据图象回答下列问题：
（1）当销售量为2t时，销售收入和销售成本分别大约是多少 元？此时该公司赢利多少元？
（2）当销售量为5t时，销售收入和销售成本分别大约是多少 元？此时该公司赢利多少元？ （3）销售量大约为多少时，该公司收支平衡？ （4）销售量在什么范围内，该公司亏损？销售量在什么范围 内，该公司赢利？
函数的表示法
1、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系。 2、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系。
3、图 像 法，就是用图像表示两个 变量的对应关系。
探究
大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低，下表给出了 某个港口某天整点时的水位数据。
时间/ 时 水位/m 时间/ 时 水位/m
图象法可以直观地表示一个函数的变化过程、变 化趋势和整体的变化规律，通过对函数图象特征 的观察，我们可以比较方便地预测它的总体变化 趋势。但是，仅仅依据函数图象，常常难以求得 一些精确的函数值。
时间-水位表 水位/m 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
温故知新
f ( x) x 2 x ，则 1.已知函数
2 a a f (2) ___; f ( a) _____; f (2 a 1) 4a 6a 2 _____.
2
2
1 x 2.函数 f ( x) 的定义域为 x 1 {x | x 1且x 1} (或(-,-1) (1,1]) ______________.
h a
h r
解：（1）由三角形的面积公式S=ah/2（a是一条边长，h是这条边上的高）可知，当 a一定时，S可以看做h的函数，而且h每增加1个单位长度，面积S就增加a(h+1)/2ah./2=a/2单位面积；如果h一定，则S可以看做a的函数，而且a每增加1个单位长度， 面积S就增加（a+1）h/2-ah/2=h/2单位面积。 由此可见，高的变化与底边长的变化对三角形面积的变化起到同样的影响。 （2）由圆柱的体积公式V= πr2h(r是底面半径，h是高)可知，当r一定时，V可以 看做h的函数，而且h每增加1个单位长度，体积V就增加πr2 (h +1）-πr2h=πr2单位体 积；如果h一定，则V可以看做r的函数，而且r每增加1个单位长度，体积V就增加 π(r+1)2 h -πr2h=πh(2r+1)单位体积。 由此可见，高的变化与底面半径的变化对圆柱体积的影响不同。