3.2函数表示法
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解析法有两个优点:1、简明;2、给自变量 可求函数值。
图象法的优点:直观形象,反映变化趋势。
列表法的优点:不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。 并不是所有的函数都能用解析法表示。
解析法,就是用数学表达式表示两个变量 间的对应关系。
解析法有两个优点:
(1)函数关系清楚; (2)容易从自变量的值求出其对应的函数值; (3)便于研究函数的性质。
注意:解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用解析法表示函数时, 必须注明函数的定义域.
并不是所有的函数都能用解析法表示。
例2 求解下列问题: (1)一个三角形的底边一定,它的面积可以 看做什么变量函数?如果它的某条边上的高一 定呢?分别分析当自变量的值加1个单位时, 因变量如何随自变量的变化而变化。 (2)一个圆柱的底面半径一定,它的体积可 以看做什么变量的函数?如果它的高一定呢? 分别分析当自变量的值增加1个单位时,因变 量如何随自变量的变化而变化
根据上表提供的数据回答下列问题: (1)我国人口数首次突破8亿大约在哪一年? (2)我国人口数据变化的总趋势是什么? (3)哪一个十年我国人口增长量最大? 解:(1)由表格可知,我国人口数首次突破8亿大约在 1969年。 (2)由表格可知,我国人口数据变化的总趋势是增长。 (3)对表格的第二行数据采用“后一个数据减前一个数 据”的方法,可以得到如下结果:1.30,1.35,1.68,1.32, 1.52,0.76。因此,1969年至1979年的十年间,我国人口 增长量最大。
练习:P60 练习1,2
作业:P64 习题1,2
把一根长9.14m的铁丝弯成下 部为矩形、上部为半圆形的框 架,设矩形的底边长为x(m), 此框架围成的图形的面积为 y(m2). (1)请将y表示成x的函数。 (2)当矩形的底边长为2m时, 该框架的面积为多少(精确到 0.01m2)?
探究
12 14.0 24 14.2
根据上表提供的数据回答下列问题: (1)这一天该港口水位最高是多少米?发生在这一天的什么时间? (2)这一天该港口水位最低是多少米?发生在这一天的什么时间? (3)这一天什么时段内该港口水位高度的变化最快? (4)一艘吃水约17m的轮船这一天是否可以停泊该港口?什么时间段停泊比较安 全?
列表法的优点:
不必通过计算就知道当自 变量取某些值时函数的对应值。
探究
生物学研究表明,某种蛇的长度y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数,当蛇的尾长是6cm时,测得蛇长 是45.5cm;当蛇的尾长是14cm时, 测得蛇长为 105.5cm。 (1)写出y与x之间的函数关系式。 (2)若一条该种蛇的尾长是10cm,它的长度是多 少?
如图给出了某网络公司每 月收取的上网费用标准, 其中x表示上网时间(单位: h),y表示收取的费用(单 位:元)。根据图象回答下 列问题: (1)若小燕本月上网时间为12h,她应缴纳的上网费 用是多少元? (2)如果小君本月缴纳了20.4元的上网费用,他本 月的上网时间大约有多少小时?
图像法,就是用图像表示两个变量的对应关系
一辆客车下午1时从甲地出发,以 60km/h的速度匀速行驶2h后到达乙地,在 乙地停留0.5h,然后以80km/h的速度匀速行 驶3h后到达丙地,请以时间t(h)为横坐标、 客车行驶的路程s(km)为纵坐标建立直角坐 标系,并在坐标系中画出每个整点时对应的 点,再用线段将它们连起来。根据图象提供 的信息回答下列问题: (1)下午3时和6时时,客车行驶的路程分别 是多少? (2)哪一段时间内,客车行驶的路程没有发 生改变? (3)甲地经乙地到丙地的路程是多少?
1 14.6 13 14.4
2 15.5 14 15.4
3 17.2 15 18.1
4 18.5 16 18.5
5 19.5 17 19.4
6 21.2 18 20.0
7 19.4 19 19.6
8 19.6 20 19.3
9 16.9 21 17.0
10 15.4 22 15.6
11 14.3 23 14.7
问题解决:
几名学生准备去某景点旅游,甲旅行社的报价为: 只要1人购买全票,其他人均可购买半票;乙旅行社的报 价为:2人以上参加旅游,所有人均享受原价的7折优惠。 请问:哪家旅行社的报价更优惠?
解:设票价为a元一张,共x名学生参加旅行,由已知可得 x>1. 设甲旅行社的总票价为y1元,乙旅行社的总票价为y2元, 则有 y1=a+0.5a(x-1)=0.5a(x+1), y2=0.7ax。 当y1>y2时,解得x<2.5,即2个人以内(包括2人)旅游, 乙旅行社的报价优惠;2人以上旅游,甲旅行社报价优惠。
列表法,就是列出表格来表示两个变量间 的对应关系。
例1 下表给出了194Βιβλιοθήκη Baidu年到2009年间每十年我国人口的统 计数据(精确到了0.01亿)
年份 1949年 1959年 1969年 1979年 1989年 1999年 2009年 人口数 5.42 量/亿
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
例3 图中的直线m反映了某 公司产品的销售收入与销售 量之间的关系,直线n反映了 该公司的销售成本与销售量 之间的关系。 根据图象回答下列问题:
(1)当销售量为2t时,销售收入和销售成本分别大约是多少 元?此时该公司赢利多少元?
(2)当销售量为5t时,销售收入和销售成本分别大约是多少 元?此时该公司赢利多少元? (3)销售量大约为多少时,该公司收支平衡? (4)销售量在什么范围内,该公司亏损?销售量在什么范围 内,该公司赢利?
函数的表示法
1、列 表 法,就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系。 2、解 析 法 ,就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系。
3、图 像 法,就是用图像表示两个 变量的对应关系。
探究
大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低,下表给出了 某个港口某天整点时的水位数据。
时间/ 时 水位/m 时间/ 时 水位/m
图象法可以直观地表示一个函数的变化过程、变 化趋势和整体的变化规律,通过对函数图象特征 的观察,我们可以比较方便地预测它的总体变化 趋势。但是,仅仅依据函数图象,常常难以求得 一些精确的函数值。
时间-水位表 水位/m 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
温故知新
f ( x) x 2 x ,则 1.已知函数
2 a a f (2) ___; f ( a) _____; f (2 a 1) 4a 6a 2 _____.
2
2
1 x 2.函数 f ( x) 的定义域为 x 1 {x | x 1且x 1} (或(-,-1) (1,1]) ______________.
h a
h r
解:(1)由三角形的面积公式S=ah/2(a是一条边长,h是这条边上的高)可知,当 a一定时,S可以看做h的函数,而且h每增加1个单位长度,面积S就增加a(h+1)/2ah./2=a/2单位面积;如果h一定,则S可以看做a的函数,而且a每增加1个单位长度, 面积S就增加(a+1)h/2-ah/2=h/2单位面积。 由此可见,高的变化与底边长的变化对三角形面积的变化起到同样的影响。 (2)由圆柱的体积公式V= πr2h(r是底面半径,h是高)可知,当r一定时,V可以 看做h的函数,而且h每增加1个单位长度,体积V就增加πr2 (h +1)-πr2h=πr2单位体 积;如果h一定,则V可以看做r的函数,而且r每增加1个单位长度,体积V就增加 π(r+1)2 h -πr2h=πh(2r+1)单位体积。 由此可见,高的变化与底面半径的变化对圆柱体积的影响不同。