高斯(Gauss)求积公式汇总.
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
Gauss型积分公式
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
gauss型求积公式
gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。
1. 定义。
- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。
对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。
这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。
2. 特点。
- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。
对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。
这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。
- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。
这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。
例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。
二、求积节点与求积系数。
1. 求积节点的确定。
- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。
勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。
通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。
2. 求积系数的计算。
- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。
一种常见的方法是利用正交性条件。
对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
Gauss型积分公式
R[ f ] [ f ( x) H ( x )]dx
b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!
b
a
w ( b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式
区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称
为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项 式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
(a b) (b a)t ba 1 ab ba t )dt ( x ) 1 f ( 由 a f ( x)dx 2 2 2 2
a
b
称为权函数 定义两个可积函数的内积为：
( f , g ) W ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0
以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式
Gauss点
证明：
Gauss积分，记为Gn(f)
有2n－1阶的代数精度
E ( f ) I ( f ) I n ( f ) f [ x1 , x2 ,, xn , x]n ( x)W ( x)dx
2
3 x 1 2 1 4 xx 5 1 x dx 1 x dx
2 2
1 x dx
1
4
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为
x1
3 5
, x2
3 5
,
积分系数为
x x2 1 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3
Gauss型积分公式
G a u s s型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为12此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre 求积公式的系数其中k 的取值范围为Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss 点，在实际应用中只需查表即可。
gauss型求积公式系数和
高斯（Gauss）求积公式的系数和确定方法如下：确定节点：首先确定求积公式所使用的节点，这些节点通常选择为高斯点。
构造高斯型求积公式：根据所选的节点，构造高斯型求积公式。
高斯型求积公式的一般形式为：∫f(x)dx≈∑(A*f(x_i))，其中A是求积系数，x_i是高斯点。
确定求积系数：通过求解线性方程组来确定求积系数。
具体地，根据高斯型求积公式的构造原理，可以建立一个线性方程组，该方程组由节点处的函数值和高斯型求积公式中的求积系数组成。
解这个线性方程组可以得到求积系数。
验证求积公式的精度：通过数值试验来验证求积公式的精度。
例如，可以选择一些已知的函数进行测试，比较使用高斯型求积公式计算的结果与真实值之间的误差。
高斯(Gauss)型求积公式
(6.13)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立， 只要 x0 , x1 和 A0 , A1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x02
A0
x03
A 0
解之得
A0 A1 1
定义6.4 一个仅以区间-1,1上的高斯点
xk , (k 0,1,, n) 为零点的n+1次多项式 称为Legendre多项式。
定理6.6 若 xk , (k 0,1,, n) 是高斯点，则以这些点 为根的多项式 (x) 是最高次幂系数为1的勒让得多项
式 L~(n1) (x) ，即
(x) = L~(n1) (x)
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给 出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
可以查用。
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分 值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
数值计算方法
高斯（Gauss）型求积公式*
1.1 高斯积分问题的提出 在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计
算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后 再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的 精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插 值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要 问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若 有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个 例子：
高斯(Gauss)求积法
Central South University《MATLAB 程序设计实践》《matlab 程序设计实践》课程考核1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。
（参考书籍《MATLAB 与科学计算》，王沫然著，电子工业出版社，2009年）“高斯（Gauss ）求积法”（1）算法说明：为了使求积公式得到较高的代数精度，可以使用到Guass 公式：∑⎰=-≈nkk k x f A dx x f 011)()(式中k A 为Gauss-Legendre 系数。
它可使计算达到2n-1次的代数精度。
对任意的求积区间[a,b]，通过变换x=(a-b)x/2+(a+b)/2，可以转化到区间[-1,1]上。
此时⎰⎰-++--≈badt ba t ab f a b dx x f 11)22(2)(（2）流程图（3）源程序代码： gauss1.mfunction s=gauss1(a,b,n) h=(b-a)/n; s=0.0;for m=0:(1*n/2-1)s=s+h*(gaussf(a+h*((1-1/sqrt(3))+2*m))+gaussf(a+h*((1+1/sqrt(3))+2*m)));end应用举例：求下面的积分值。
G=dx x ⎰1)cos(解：先确定n 的值。
由高斯余项可得下式：6451052701270-<=x nnh 计算得到n=6。
（1）源程序代码：（编制函数文件）gaussf.mfunction y=gaussf(x) y=cos(x)（在Matlab 命令窗口中计算得）>> gauss1(0,1,6)ans =0.8415（2）流程图：2.已知Appolo 卫星的运动轨迹（x,y ）满足下面方程：323122)()(2r x r x x dt dy dt x d λμμλ--+-+=， 3231222r y r y y dt dx dt y d μλ--+-= 其中，222221)(,)(,1,45.82/1y x r y x r ++=++=-==λμμλμ ，试在初值x(0)=1.2,x ’(0)=0, y(0)=0, y ’(0)=-1.04935371下求解，并绘制Appolo 卫星轨迹图。
gauss-legendre求积公式
gauss-legendre求积公式
高斯-勒让德求积公式是指利用勒让德多项式的零点来求解定积分的数值近似方法。
它是一种高精度、高效率的积分数值求解方法。
具体地，用勒让德多项式的根来代替单位区间上的等距节点，再用适当的权系数乘以函数值，然后把结果求和，便得到积分的数值近似值。
高斯-勒让德求积公式可以表示为：
$\int_{-1}^{1}f(x)dx≈\sum_{i=0}^{n}w_if(x_i)$。
其中，$f(x)$为被积函数，$x_i$为勒让德多项式的$n$个零点，$w_i$为相应的权系数。
当$n$越大时，数值近似的精度越高。
高斯-勒让德求积公式的主要优点在于可以在任何有限区间内求解积分。
此外，它还具有收敛速度快、精度高、有理权系数等优点。
但是，它的缺点也是显而易见的，主要在于它只适用于比较光滑的函数，对于函数间断点、壁垒等特殊情况不太适用。
第四节 高斯Gauss求积公式讲解
1
? F (t )dt ?1
?
A0F (t0) ?
A1F (t1 ) ?
A2F (t2 ) ?
? 0.888888889 f (0) ? 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积
? 公式计算积分1 x ? 1.5dx ?1
解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
1
? x ? 1.5dx ?1
? 0.555556( 0.725403? 2.274596)? 0.888889 1.5
(高斯点），
2.用高斯点 x 0 , x 1 ,? x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
n
? f ( x ) ? li ( x ) f ( x i )
i? 0
? ? ? 代入积分式
b
b
n
? ( x ) f ( x )dx ? ? ( x )(
a
a
li ( x ) f ( x i ))dx
解：先作变量代换
x
?
1 (a
?
b) ?
1 (b ?
a)t
?
1 (1 ?
t ),
2
2
2
dx ? 1 dt 2
? ? ? 于是
1
1
f ( x )dx ?
11
?1
f ( (1 ? t ))dt ?
1
F (t )dt
0
2 ?1 2
2 ?1
? 对积分 1 F (t )dt用四点 Gauss ? Legendre 求积公式 ?1
? 0 ( x ), ? 1 ( x ), ? 2 ( x ).
第3节 Gauss型求积公式
3．Laguere（拉盖尔）多项式
dn n x Ln ( x ) e x n ( x e ), 0 x , n 0,1, 2, dx
为区间[0,+ ∞)上关于权函数ρ(x)=e -x 的正交多项式。 而且 Ln(x) 的首项系数为 (-1)n 。具有性质：
(1). ( Lm , Ln )
得到 n-1 次插值多项式及误差：
n (x x ) i f ( x) f ( xk ) f [ x , x1 , x2 ,, xn ] n ( x ) i 1 k 1 i k ( x k x i )
n
两端积分得到：
n ( x ) ( x x1 )( x x2 )( x xn )
( x ), x [a , b]
则称多项式族 { gk(x)} 在[a,b]上带权ρ(x) 正交，并称gn(x) 为[a,b]上带权ρ(x) 的 n 次正交多项式。
1 1] 例如： 1, x , x , 在 [1， 上带权 ( x ) 1 正交。 3 gk ( x ) * , 则称其为首项系数为1的多项式， 令： gk ( x ) Ak
( x ) 1 x 2 , x [1,1]
2、正交多项式
对于多项式序列
gn ( x ) An x An1 x
n
n 1
A1 x A0 , n 0,1,2 ,
及权函数 如果：
b
a
0, l m, ( x ) gl ( x ) gm ( x )dx b 2 ( x ) gm ( x )dx 0, l m a
4.Hermite多项式
是区间(-∞,+∞)上关于权函数 ( x ) e 的正交多项 式。而且 Hn(x) 的首项系数为 2n ,具有性质：
Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和方法
Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和⽅法⽬录0、Gauss型积分通⽤形式1、Gauss–Legendre quadrature勒让德2、Gauss–Laguerre quadrature拉盖尔——积分区间[0，inf]3、Chebyshev–Gauss quadrature切⽐雪夫0、Gauss型积分通⽤形式The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive weight functionω into the integrand（被积函数）, and allowing an interval other than（除了，不同于） [−1, 1]. That is, the problem is to calculatefor some choices of a, b, and ω. For a = −1, b = 1, and ω(x) = 1, the problem is the same as that considered above（勒让德问题）. Other choices lead to other integration rules. Some of these are tabulated（列表） below.1、Gauss–Legendre quadrature勒让德——积分区间[-1，1]The most common domain of integration for such a rule is taken as [−1, 1], so the rule is stated aswhich is exact for polynomials of degree 2n − 1 or less. This exact rule is known as the Gauss-Legendre quadrature rule. The quadrature rule will only be an accurate approximation to the integral above if f(x) is well-approximated by a polynomial of degree 2n − 1 or less on [−1, 1]. The Gauss-Legendre quadrature rule is not typically used for integrable functions with endpoint singularities.（端点奇点）（1）基本概念注：P0没有根（与x轴⽆交点），P1有1个根（与x轴有⼀个交点），P2有2个根（与x轴有两个交点），。
gauss-legendre求积公式的复合求积公式
我们要找出高斯-勒让德求积公式的复合求积公式。
首先，我们需要了解高斯-勒让德求积公式的基本形式。
高斯-勒让德求积公式是用于数值积分的一种方法，它基于多项式的零点（即，使多项式为0的x值）来选择求积点。
对于一个n次多项式P(x)，其零点为x1, x2, ..., xn，高斯-勒让德求积公式为：
∫P(x) dx = ∑ (wi × P(xi))
其中，wi和xi是高斯-勒让德求积公式的权重和零点，它们可以通过求解某些方程组来得到。
当我们需要使用高斯-勒让德求积公式进行多次积分时，我们可以使用复合求积公式。
复合求积公式的一般形式为：
∫∫ P(x, y) dxdy = ∑ (wi × P(xi, yi))
其中，P(x, y)是我们要积分的函数，wi, xi, yi是高斯-勒让德求积公式的权重和零点。
为了得到具体的复合求积公式，我们需要知道P(x, y)的形式以及它的零点。
对于给定的函数P(x, y) = x^2 + y^2，其零点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)。
使用高斯-勒让德求积公式，我们可以得到复合求积公式为：
∫∫ (x^2 + y^2) dxdy = 1/36 * (3pi + 4sqrt(2) + 4)
其中，pi是圆周率。
6.5Gauss求积公式
n k 0
项式P ( x ) 均正交, 即满足
b
a
p( x)n1 ( x)dx 0 .
推论 6.5.1 在区间 [a , b] 上 n + 1次正交多项 式 gn+1( x ) 的零点即为 Gauss 点。
2. Gauss-Legendre 求积公式
若有解，则得 到的插值型的 数值积分公式 （1）至少有 2n+1次代数精 度。
1. Gauss 求积公式
但是，考虑2n+2次多项式：
f ( x)
2 n 1 n
( x ) ( x xi ) 0,1,…,n）处为零，在其它点 处均大于零，所以 而
6.5 Gauss 求积公式
1. Gauss 求积公式
设插值型的数值积分公式：
n
b a
f ( x ) d x Ak f ( xk ),
k 0
b
(1)
Ak lk ( x) d x 。 其中 现在取消对积分节点的限制，让它与 Ak 一样， a 作为一个待定常数，这样在数值积分公式 (1)中 前面讲述的方法（lagrange插值型数值积 需要确定的系数为xk和Ak（x kk= 0, 1, …, n），共 分法）是事先给定积分节点 。例如 Newton2n+2公式把区间 个系数。根据代数精度的概念，要确定这 Cotes [a , b] 的等分点作为求积节点， 2n+2个系数（xk和Ak），需要解如下n+1 2n+2 个方 这样所求积分公式的代数精度至多为 。 程构成的非线性方程组
再计算A0和A1时，它们已成为线性关系，取 f(x) = 1 和 x可得到 3 3 A0 A1 2， A0 A1 0 . 3 3 解得A0= A1=1。
Gauss型积分公式解读
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
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b
a
( x ) P ( x ) Pn ( x )dx 0, n 1
4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。
计算物理
计算物理
定理2 设x0,x1, …,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式
b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ), Ak
计算物理
计算物理
定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式
b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
的代数精度最高为2n+1次。 证明：取特殊情形 ( x ) 1, 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为
等式，得：
b
a
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
计算物理
b
b
计算物理
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 于n，故有
b a
b
a
( x )r ( x )dx Ak r ( xk ) Ak f ( xk ) (4)
A0 + A1 + …… + An =∫a 1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2
......
b
x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫a xr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
计算物理
b
计算物理
第四节 高斯(Gauss)求积公式
前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。 我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。
计算物理
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) P ( x ) P ( x )dx 0,(i j )
a
i
j
3）对任意一个次数≤n-1的多项式P(x)，有
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n ik
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如
上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,
即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是
2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(xxn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有
计算物理
计算物理
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 计算物理
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
计算物理
计算物理
定义: 使求积公式
b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
计算物理
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
I ( f ) ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
n
定义：若求积公式
b
a
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 对一切
k 0
不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对 于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的 代数精度为m.