著名机构六年级数学讲义寒假06-预初基础版-一元一次方程的应用-学生版
六年级解方程上课讲义
解方程专题一.教学目标1.理解移项法则的理论根据,让学生逐步体会移项的优越性2.在利用移项法则解一元一次方程时,引导学生反思,从反思中自觉改正错误二.教学重点难点重点:移项法则推出及应用难点:移项要变号三.教学过程:【知识点】1、等式的性质:(1)等号的两边同时加上或减去同一个数,等号的左右两边仍相等;用字母表示为:若a=b,c为任意一个数,则有a+c=b+c (a-c=b-c);(2)等号的两边同时乘以同一个数,等号的左右两边仍相等;用字母表示为: ;(3)等号的两边同时除以同一个不为零的数,等号的左右两边仍相等.用字母表示为: ;2、方程(1)方程的定义:含有未知数的等式叫做方程;(2)方程的解:满足方程的未知数的值,叫做方程的解;(3)解方程:求方程的解的过程,叫做解方程。
3、移项法则:我们把一个数从等号的左边移到右边的过程,叫做移项,注意把一个数从方程的左边移到右边时,原来是加的变成减,原来是减的变成加号。
【例题精讲】例一、运用等式的性质解简单的方程257575575=-=-=-+=+x x x x 解: 3399345345443543=÷==+=+=+-=-x x x x x x 解:练习552=-x 73165%25⨯=-x例二、典型的例子及解方程的一般步骤263173731317137==-==++==-x x x x xx 解: 5.0147714147147=÷====÷x x x x x 解:1134656453)32(2532)32()53(=-=+-=+-=+=-÷+x xx x x x x x x 解:“移项”的作用:“移项”使方程中含x 的项归到方程的同一边(左边),不含x 的项即常数项归到方程的另一边(右边),这样就可以通过“合并”把方程转化为x=a 形式。
在解方程时,要弄清什么时候要移项,移哪些项,目的是什么。
练习7517=-x 7321=÷x 2048433=-⨯x 3)13()511(=-÷-x x()()x x x 6167531321+=++-例三、典型的例子及解方程的一般步骤【练习】1352=+x 12)2(3=+x3152534=+x 756+=x x)43(31)35(21x x -=- 7)5.0(4+=+x x 1)32(63=--x36)4331(9=-÷x 2)63()52(=-÷+x x 12)1(3=+y1)23(5)14(3)12(7-+=---x x x 25%25%50=-x x【拓展练习】x x x 6523)74(32)53(21+=-++ 2)412(31)234(41=---x x【家庭作业】解下列方程:5364+=-x x4412.021+=-x x x 144334=-+-x xx x 6159107-=+- 36)43(9=-÷x 7.08.223=+-x x22)]2(49[2)7(3=----x x 43%25%33+=x x。
一元一次方程的应用讲义(经典讲义)
一元一次方程的应用讲义用一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1)审:审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;(2)找:找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系;(3)设:设未知数(一般求什么,就设什么);(4)列:根据相等关系列出需要的代数式,从而列出方程;(5)解:解所列的方程,求出未知数的值;(6)检:检查所求解是否符合题意;(7)答:写出答案(包括单位名称).水箱变高了长方形的周长=_________,面积=__________ .长方体的体积=_________,正方体的体积=__________.圆的周长=___________;面积=_______________.圆柱的体积=_______________.例:把直径6cm ,长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢,求锻造后的圆钢的长?这个问题中的等量关系是:解:设锻造后圆钢的高为x 厘米,填写下表:随堂检测:将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱,高变成了多少?这个问题中的等量关系是:设锻压后圆柱的高为x 厘米,填写下表:例:用一根250cm 长的铁丝恰好能围成一个长方形,且长方形的长比宽多25cm,求长方形的宽? 等量关系:随堂练习:用一根长为60cm 的铁丝围成一个长方形,若长方形的宽是长的32,求这个长方形的长和宽?打折销售(1)进价:购进商品时的价格(有时也叫成本价)(2)售价:在销售商品时的售出价(有时称成交价,卖出价)(3)标价:在销售时标出的价(有时称原价,定价)(4)利润:在销售商品的过程中纯收入即:利润=售价-进价(5)利润率:利润占进价的百分率,即:利润率=利润÷进价×100%(6)打折:卖货时,按照标价乘以十分之几或百分之几十,则称打了几折,或理解为:销售价占标价的百分率。
例如某种服装打8 折即按标价的百分之八十出售。
【六年级寒假班讲义】第8讲:一次方程(组)和一次不等式(组)章节复习(学生版)
- 1 -一次方程(组)和一次不等式(组)是初中数学六年级下学期第2章的内容.本章学习了一元一次方程、二元一次方程(组)、三元一次方程组以及一元一次不等式(组)的概念及其解法,学习时应注意方程与不等式及其解法之间的联系与区别,体会消元与化归的数学方法和数学思想,加强用方程解决实际问题的意识.单元练习:一次方程(组)和一次不等式(组)内容分析知识结构一次方程(组)一次不等式(组)三元一次方程组一元一次方程二元一次方程(组) 一元一次不等式(组) 三元一次方程组一元一次方程二元一次方程组 消元消元多元一元化归思想实际问题检验解方程方程获得问题的解构建方程解决 问 题 方程意识- 2 -【练习1】 下列各式中,方程有( )个(1)633-+=-;(2)35x +=;(3)22ππ⨯=;(4)38a =;(5)7y =;(6)32p q -;(7)719nm +=;(8)1a a =+. A .3B .4C .5D .6【练习2】 下列各式中,一元一次方程有( )个(1)30x =;(2)437x y -=;(3)21303x -=;(4)()397y y --=;(5)23x -;(6)4x ≠. A .1B .2C .3D .4【练习3】 下列各式中,二元一次方程有( )个(1)2311x y -=;(2)23xy =-;(3)35m y+=;(4)25p q ->;(5)221x x +=;(6)21953m n -=.A .1B .2C .3D .4【练习4】 下列各式中,二元一次方程组有( )个(1)()()23111x y xy x y +=-⎧⎪⎨=+-⎪⎩;(2)31230x y x y +=⎧⎨-=⎩;(3)235x x y =⎧⎨+=-⎩;(4)3227x y x y -=+=+.A .1B .2C .3D .4【练习5】 二元一次方程组324526x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是( )A .11x y =⎧⎨=-⎩B .112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩C .112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D .112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩【练习6】 如果0m n <<,那么下列各式中正确的是( )A .0.30.3m n <B .22m n <C .11m n <D .m n m n -<+选择题- 3 -【练习7】 下列判断中正确的是( )A .如果0x <,那么15x x <B .不等式35x ->-的解集是53x <C .如果113x <-,那么3x >-D .不等式组11x x >⎧⎨<⎩的解集为1x =【练习8】 若方程()2210a x bx c +++=是表示字母x 的一元一次方程,则( )A .12a =,0b ≠,c 为任意数 B .12a ≠,0b ≠,0c = C .12a =-,0b ≠,0c ≠D .12a =-,0b ≠,c 为任意数【练习9】 下列式子中一定正确的是( )A .23a a< B .a b a -< C .2a a >D .322x x-< 【练习10】 下列说法中错误的是( )A .方程ax b =的解是bx a=(0a ≠)B .如果ax b ->,则bx a<-(0a ≠)C .若2k =时,方程()22k x k -=无解D .8-是不等式32x ->一个解【练习11】 下列各对数值,是方程342x y +=的解的为( )A .012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B .22x y =-⎧⎨=⎩C . 114x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D . 21x y =-⎧⎨=⎩【练习12】 某运输队运煤,第一天运了总量的27,第二天运煤恰好是第一天的23,还剩14 吨,设一共运煤x 吨,则可列出方程( )A .22214773x x x +⨯=-B .221473x x x ++=C .222114737x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭D .22214773x x x +÷+=【练习13】 学校的篮球数比排球数的2倍少3个,篮球数与排球数的比是3 : 2,求两种球各有多少个?若设篮球有x 个,排球有y 个,则根据题意得到的方程组是( ) A .2332x y x y =-⎧⎨=⎩B .2332x y x y =+⎧⎨=⎩C .2323x y x y =-⎧⎨=⎩D .2323x y x y =+⎧⎨=⎩【练习14】 已知不等式组00x a x b -<⎧⎨-<⎩的解集为x a <,则不等式组00x a x b +>⎧⎨+>⎩的解集为( )A .x a <-B .x a >-C .x b >-D .x b <-- 4 - 【练习15】 323x y+=的正整数解的个数为( )个A .1B .2C .3D .4【练习16】 观察下列方程组,无解的是( )A .61x y x y -=⎧⎨+=-⎩B .52210x y x y -=-⎧⎨-=⎩C .5229x y x y -=⎧⎨+=⎩D .423x y x y +=⎧⎨-=⎩【练习17】 已知不等式组5x x m >⎧⎨>⎩的解集为5x >,则m 的取值范围是( )A .5m >B .5m ≥C .5m <D .5m ≤【练习18】 已知方程组35223x y k x y k+=+⎧⎨+=⎩,其中x 是y 的2倍,则k 的值是( )A .72-B .72C .0D .以上都不对【练习19】 如果关于x 的不等式32x a ->的所有正整数解之和为6,则a 的取值范围为( ) A .5a ≥-B .3a <-C .53a -<<-D .53a -≤<-【练习20】 如果关于x 的不等式组30310x m x m -->⎧⎨-+<⎩无解,那么m 的取值范围是( )A .2m <B .2m ≤C .2m >D .2m ≥【练习21】 若3350m x ---=是一元一次方程,则m =______.【练习22】 把方程5239x y -+=化成用含x 的式子表示y 的形式,得______________.【练习23】 用不等式表示:2x y+减去()21x --所得的差是非负数________________. 填空题- 5 -【练习24】 用不等号填空,并说明不等式变形过程.(1)若x y >,则4x -______4y -; (2)若235x +≤-,则3x ______7-; (3)若1233x x -≥-,则x ______2; (4)若x y >,则6x -______6y -; (5)若x y >,则2x -______2y -; (6)若x y >,0m >,则mx ______my ; (7)若m n ≥,20k +<,则mk ______nk .【练习25】 解集32x -≤<中的整数解为__________________.【练习26】 不等式组340731x x +>⎧⎨-≥-⎩的解集为____________________.【练习27】 判断:(1)如果a b >,那么3232a b ->-;( ) (2)如果a b <,那么22a b <;( ) (3)如果22a b >,那么a b >;( ) (4)如果a b >,那么a b >;( ) (5)如果1a >,那么a 比1a大;( ) (6)如果5a >,那么55a a -=-;( ) (7)如果144m <-,那么1m <-;( )(8)如果x y >,那么()()2211m x m y -->--.( ) 【练习28】 若0a b +<,且0ab >,则a ______0,b ______0.- 6 - 【练习29】 满足不等式()10484x x ++≤的最大整数解是_______.【练习30】 当x ______时,52x -的值是正的,此时最小的整数x =_______.【练习31】 如果43x y =⎧⎨=-⎩是方程436x ay -=的一个解,则a =______.【练习32】 如果3235351m n m n x y +--++=-是二元一次方程,那么m =______,n =_______.【练习33】 若357x -+=,则x =______.- 7 -【练习34】 若:5:3x y =,且x 与y 的和是10,则x =______,y =______.【练习35】 已知1y =是方程()1223m y y --=的解,那么关于x 的方程 ()()3225m x m x --=-的解是______.【练习36】 若关于x 、y 方程组352278x y ax y a -=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数,则a =______.【练习37】 如果()222303x y x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,那么2016y =______.- 8 - 【练习38】 甲、乙两班共有88名学生,若从乙班调25人到甲班,则甲班人数是乙班人数的3倍,设甲班x 人,乙班y 人,可列出方程组_______________________,并解得甲班有______人,乙班有______人.【练习39】 有一个两位数,个位数字和十位数字之和是9,且这个两位数不大于63,求这个两位数.可设这个两位数的个位数字为x ,根据题意,可列不等式 ________________________,最后这个两位数为_______________________.【练习40】 若关于x 的不等式()22a x a +>+的解集是1x <,则a 的取值范围是______.- 9 -【练习41】 解方程:(1)1071253x x x +=--;(2)()()160%2180%22x x +-+=;(3)111257918643x ⎧⎫⎡+⎤⎛⎫+-+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭; (4)1.88 1.5350.401.220.3x x x -----=.【练习42】 解不等式:(1)()23213x x +-≤;(2)()30%151%x x +<+;(3)()()11221225x x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥⎣⎦; (4)()()0.20.30.40.50.10.21110.030.066x x --->+.解答题【练习43】解不等式组:(1)()()3241353324x xx x⎧-->-⎪⎨+≤+⎪⎩;(2)()210381274332xxxxx⎧---≤-⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩;(3)13222364553522x xx xx x⎧+>+⎪⎪+>+⎨⎪⎪-<-⎩;(4)()1226323112184xxx xx x⎧+>⎪⎪⎪+≥+⎨⎪+-⎪-<-⎪⎩.【练习44】解方程组:(1)521347a ba b+=-⎧⎨+=⎩;(2)5.3 4.7804.75.320x yx y+=⎧⎨+=⎩;- 10 -- 11 -(3)34135353x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩;(4)2636315764949x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩.【练习45】 关于x 的方程()143321223x x x a x x +----=-的解是最小的质数的倒数,求a 的值.【练习46】 解方程:2015122320152016x x x +++=⨯⨯⨯.【练习47】若关于x、y的方程组2323ax byx y-=⎧⎨-=-⎩和3424y xax by-=⎧⎨+=-⎩有相同的解,求a、b的值.【练习48】甲、乙两人同时求7mx ny-=的整数解,甲求出一组解为34xy=⎧⎨=⎩,而乙把7mx ny-=中的7看成1,求出一组解为12xy=⎧⎨=⎩,求m、n的值.【练习49】已知关于x、y的方程组321431x y px y p+=+⎧⎨+=-⎩满足x > y,求p的取值范围.【练习50】解方程组:252821126x yy zz uu x+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.- 12 -。
小学六年级奥数经典讲义(全套36讲)
第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化,循环小数之间简单的加、减运算,涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题.1.真分数7a化为小数后,如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992,那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ,27=0.285714 ,37=0.428571 ,47=0.571428 ,57=0.714285 , 67=0.857142. 因此,真分数7a化为小数后,从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27,又因为1992÷27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以7a =0..857142 ,即a =6.评注:7a的特殊性,循环节中数字不变,且顺序不变,只是开始循环的这个数有所变化.2.某学生将1.23乘以一个数a 时,把1.23 误看成1.23,使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?【分析与解】 由题意得:1.23 a -1.23a =0.3,即:0.003 a =0.3,所以有:3390010a =.解得a = 90,所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111.3.计算:0.1+0.125+0.3+0.16,结果保留三位小数. 【分析与解】 方法一:0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二:0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364.计算:0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】 方法一:0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二:0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三:如下式, 0.011111… 0.122222... 0.233333... 0.344444...(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888...+0.899999... 2.399997...注意到,百万分位的7是因为没有进位造成,而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4.评注:0.9=99=1 ,0.09 =919010=.5.将循环小数0.027与0.179672 相乘,取近似值,要求保留一百位小数,那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位,100÷6=16……4,因此第100位小数是循环节中的第4位8,第10l 位是5.这样四舍五入后第100位为9.6.将下列分数约成最简分数:166********66666666664【分析与解】 找规律:161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注:类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++.7.将下列算式的计算结果写成带分数:0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198.计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569.计算:1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10.计算:153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011.计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512.计算:2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13.计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】 原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08,那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a .在算式(1993.81+a )×○的○内,填入一个适当的一位自然数,使乘积的个位数字达到最小值.问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ,0.126×79+1235x -6310÷25=10.08,解得:x =0.03,即口所代表的数是0.03.(2)设○内所填的数字是y ,(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ,有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94,所以○内所填的数字是8.15.求下述算式计算结果的整数部分:111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517.第二讲 和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题,重点是包含分数的问题.基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形,并结合起来进行比较而求出相关的量,其中要注意单位“1”的恰当选取.1.有甲、乙两个数,如果把甲数的小数点向左移两位,就是乙数的18,那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位,则甲数缩小到原来的1100,设这时的甲数为“1”,则乙数为1×8=8,那么原来的甲数=l×100=100,则甲数是乙数的100÷8=12.5倍.2.有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑、白两色棋子.已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,第三堆里的黑子占全部黑子的25.如果把这三堆棋子集中在一起,那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示:设全部黑子为“5”份,则第三堆里的黑子为“2”份,那么剩下的黑子占5-2=“3”份,而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多,将第一堆黑子和第二堆白子调换,则第二堆全部为黑子.所以第二堆棋子总数为“3”份,三堆棋子总数为3×3=“9”份,其中黑子占“5”份,则白子占剩下的9-5=“4”份,那么白子占全部棋子的4÷9=49.3.甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务,已知甲厂比乙厂少生产8台机床,并且甲厂的生产量是乙厂的1213,那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213,也就是甲厂为12份,乙厂为13份,那么甲厂比乙厂少1份=8台.总共=8×(12+13)=200台.4.足球赛门票15元一张,降价后观众增加了一半,收入增加了五分之一,那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”,则现在有1+0.5=1.5.原来收入为l×15=15,降价后收人为15×(1+15)=18元,那么降价后门票为18÷1.5=12元,则一张门票降价15-12=3元.5.李刚给军属王奶奶运蜂窝煤,第一次运了全部的38,第二次运了50块.这时,已运来的恰好是没运来的57.问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57,则运来的是5份,没有运来的是7份,也就是运来的占总数的512.则共有50÷(512-38)=1200块,还剩下1200×712=700块.6.有两条纸带,一条长21厘米,一条长13厘米,把两条纸带都剪下同样长的一段以后,发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813.问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一:开始时,两条纸带的长度差为21-13=8厘米.因为两条纸带都剪去同样长度,所以两条纸带前后的长度差不变.设剪后短纸带长度为“8”份,长纸带即为“13”份,那么它们的差为13-8=5份,则每份为8÷5=1.6(厘米).所以,剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米),于是剪去13-12.8=O.2(厘米).方法二:设剪下x厘米,则1382113xx-=-,交叉相乘得:13×(13-x)=8×(21-x),解得x=0.2,即剪下的一段长0.2厘米.7.为挖通300米长的隧道,甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工.第一天甲、乙两队各掘进了10米,从第二天起,甲队每天的工作效率总是前一天的2倍,乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍.那么,两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示:天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活,则第四天干完以后剩下:300-231.25=68.75米,那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天.8.有一块菜地和一块麦地.菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷.麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷.那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示:菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150,所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷).而菜地减去麦地,为78-72=6(公顷),所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷).9.春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵.植树开始后,当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后,又临时运来15棵槐树,这时剩下的3种树的棵数恰好相等.问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份,以这样的一份为一个单位,则:杨树=5份;柳树=2份+30棵;槐树=2份-15棵,则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵,有:杨树=5×165=825棵;柳树=165×2+30=360棵;槐树=165×2-15=315棵.10.师徒二人共同加工170个零件,师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个.那么,徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数,“徒”表示徒弟加工的零件个数,有:1 3“师”-14“徒”=10,4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680.那么有7“徒”=680-120=560,“徒”=80,徒弟一共加工了80个零件.11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍.上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍,下午这批工人中有712的人去甲工地,其他人到乙工地.到傍晚时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需4名工人再做1天.那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”,则乙工地的工作量为“1”.甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=,乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =.这批工人的23完成了“1.5”的工作量,那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量,于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量,这“0.25”的工作量需要4人工作1天.而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5,那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天.所以原来这批工人共有40-4=36人.12.有一个分数,如果分子加1,这个分数就等于12;如果分母加1,这个分数就等于13.问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1,则分数为12,设这时的分数为:2xx,则原来的分数为12xx-,分母加1后为:11213xx-=+,交叉相乘得:3(x-1)=2x+1,解得x=4,则原分数为38.13.图2-1是某市的园林规划图,其中草地占正方形的34,竹林占圆形的67,正方形和圆形的公共部分是水池.已知竹林的面积比草地的面积大450平方米.问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14,是圆的17,则正方形是水池的4倍,圆是水池的7倍,相差7-4=3倍,差450平方米,则水池=450÷3=150平方米.14.唐僧师徒四人吃了许多馒头,唐僧和猪八戒共吃了总数的12,唐僧和沙僧共吃了总数的13,唐僧和孙悟空共吃了总数的14.那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14.(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112.则:2唐=112,唐=124.唐僧吃了总数的124.15.小李和小张同时开始制作同一种零件,每人每分钟能制作1个零件,但小李每制作3个零件要休息1分钟,小张每制作4个零件要休息1.5分钟.现在他们要共同完成制作300个零件的任务,需要多少分钟?【分析与解】方法一:先估算出大致所需时间,然后再进行调整.因为小李、小张的工作效率大致相等,那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右;小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟;在200分钟左右,198分钟是5.5的整数倍,此时乙生产198÷5.5×4=144个零件,并且刚休息完,所以在2分钟后,即200分钟时完成144+2=146个零件;那么在200分钟时,小李、小张共生产150+146=296个零件,还剩下4个零件未完成,所以再需2分钟,小李生产2个零件,小张生产2个零件,正好完成.所以共需202分钟才能完成.方法二:把休息时间包括进去,小李每4分钟做3个,小张每5.5分钟做4个.则在44分钟内小李做了:44÷4×3=33个,小张做了:44÷5.5×4=32个,他们一共做了:33+32=65个.300÷65=4……40,也就是他们共同做了4个44分钟即:44×4=176分钟后,还剩下40个零件没有做完.而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4,所以22分钟内小李做了:3+3+3+3+3+2=17个,小张做了:4×2=16个,那么还剩下:40-17-16=7个,4分钟内小李做3个,小张做4个,共做4+3=7个,即这40个零件还需要26分钟.所以共用时间:44×4+26=202分钟.第三讲行程问题(1)涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系,以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用,有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑.1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55=155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开.2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟.而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟,即2最小时.以下给出两种解法:方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒. 则无风速度=2顺风速度+逆风速度=982+7=米/秒 所以无风的时候跑100米,需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ,B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图,有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时. 而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时. 设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25. 所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】 设AB 两地的路程为单位“1”,则:甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ;甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ;甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1);甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1).有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时, 乙船的顺水速度为24千米/小时,逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”;甲船第二次追上乙船时,它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时,一定是甲走了2~3个AB 长度,乙走了2~1个AB 长度,设甲走了2+x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++=112416x -+,解得13x =,即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时,有甲行走2y z +(y 为整数,z ≤1)个AB 的长度,则乙行走了24y z -+个AB 的长度,有322432y y z ++=22241624y y z --++,化简得320y z +=,显然无法满足y 为整数,z ≤1;②第二次甲追上乙时,有甲行走21y z ++(y 为整数,z ≤1)个AB 的长度,则乙行走了23y z -+个AB 的长度,有1322424y y z +++=12241616y y z--++,化简有3213y z +=,有0.5z =,4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离,那么距A 也是12AB 的距离.所以,题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ,为40千米,所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ,B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度-水速.还有从开始到甲第一次到达B 地,乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的.甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速.从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟. 有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时. 即河水的流速为每小时0.375千米.7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发,背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟,如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟,再行走70-45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟,乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程. 甲行走一圈需70分钟,所以乙需70÷25×45=126分钟.即乙走一圈的时间是126分钟.8.如图3-1,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长.【分析与解】 注意观察图形,当甲、乙第一次相遇时,甲乙共走完12圈的路程,当甲、乙第二次相遇时,甲乙共走完1+12=32圈的路程. 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1:3,因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍,即100×3=300米. 有甲、乙第二次相遇时,共行走(1圈-60)+300,为32圈,所以此圆形场地的周长为480米.9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13;乙跑第二圈时速度提高了15.已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米,那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3,那么乙跑第一圈的速度为2,甲跑第二圈的速度为4,乙跑第二圈的速度为125. 如下图,第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度. 有甲回到出发点时,乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时,甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈.所以还剩下13的跑道长度,甲以4的速度,乙以125的速度相对而跑,所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈.即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈, 所以,这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米.10.如图3-2,在400米的环形跑道上,A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ,B 两点同时出发,按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】 如果甲、乙均不休息,那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒. 此时甲跑了100×5=500米,乙跑了100×4=400米.而实际上甲跑500米,所需的时间为100+4×10=140秒,所以140~150秒时甲都在逆时针距A 点500处.而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒,所以130~140秒时乙走在逆时针距B点400处.显然从开始计算140秒时,甲、乙在同一地点,即甲追上乙需要时间是140秒.11.周长为400米的圆形跑道上,有相距100米的A ,B 两点.甲、乙两人分别从A ,B 两点同时相背而跑,两人相遇后,乙即转身与甲同向而跑,当甲跑到A 时,乙恰好跑到B .如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变,那么甲追上乙时,甲从出发开始,共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时,乙跑了BC 的路程;而当甲跑了400米时,乙跑了2BC 的路程. 由乙的速度保持不变,所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米),也就是甲跑了200米时,乙跑了100米,所以甲的速度是乙速度的2倍.那么甲到达A ,乙到达B 时,甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程,所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米,加上开始跑的l 圈400米.所以甲从出发到甲追上乙时,共跑了600+400=1000米.12.如图3-3,一个长方形的房屋长13米,宽8米.甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发,甲每秒钟行3米,乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时,甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米.因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13,即至少要追上29-13=16米. 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒,此时甲行了3×16=48米,乙行了2×16=32米.甲、乙的位置如右图所示:显然甲还是看不见乙,但是因为甲的速度比乙快,所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边,从而看见乙.而甲要到达上面的边,需再跑2米,所需时间为2÷3=23秒. 所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重.甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇.并且只能在AB 顺时针的半跑道上.易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米.我们将甲、乙的行程状况分析清楚.当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处.而当乙第一次到达B 点时,所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处.乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处.所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇. 从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒.所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米.14.如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路.已知汽车在AB 上时速是90千米,在BC 上的时速是120千米,在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米.从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇.如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇.问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有:16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++; 乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++,解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6,8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ,B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇;丁由D 向C 走去,8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图,标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置.先分析甲的情况,甲10分钟,行走了AD 的路程;再看乙的情况,乙的速度等于甲的速度,乙14分钟行走了60+AE 的路程,乙20分钟走了60+AD+DF 的路程.所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程.有601014AD AE +=6010DF +=,有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离.。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次一次方程的解法和应用
主课题:一元一次方程的解法及应用教学目标:1、理解一元一次方程的概念及有关概念和等式的基本性质性质;2、掌握一元一次方程解法的基本步骤;3、使学生了解如何列一元一次方程求解数字的问题;4、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力;5、培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力,渗透化未知为已知的重要数学思想。
教学重点:1、一元一次方程的解法与运用;2、正确掌握移项的方法解方程;3、列一元一次方程解决实际问题。
教学难点:1、一元一次方程的解法与运用;2、正确掌握移项的方法解方程;3、列一元一次方程解决实际问题。
考点及考试要求:一、考点:(1)一元一次方程的有关概念及其解法;(2)一元一次方程的应用,比如相遇问题,工作效率问题。
二、考试要求:(1)了解一元一次方程的相关概念;(2)理解一元一次方程中解法的各个步骤;(3)会根据实际问题列出一元一次方程。
知识精要一、一元一次方程定义及解法:1、一元一次方程的有关概念:(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程。
(2)一元一次方程的标准形式是: 。
(3)一元一次方程的最简形式: 。
注意:①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式,所以判断一个方程是不是一元一次方程,可以通过变形为最简形式或标准形式来验证.如方程22216x x x ++=-是一元一次方程.如果不变形,直接判断就出会现错误。
②方程ax b =与方程(0)ax b a =≠是不同的,方程ax b =的解需要分类讨论完成。
2、等式的基本性质:(1)等式的两边同时加上(或减去) 或 ,所得结果仍是等式。
(2)等式的两边同时乘以 或除以 ,所得结果仍是等式。
3、解一元一次方程的基本步骤:(1)去分母:在方程的两边都乘以各分母的 。
注意:不要漏乘不含分母的项,分子是个整体,含有多项式时应加上括号。
(2)去括号:一般地,先去 ,再去 ,最后去 。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识,它在解决实际问题中有着广泛的应用。
掌握一元一次方程的应用,不仅能够提高我们的数学解题能力,还能培养我们用数学思维解决生活中各种问题的能力。
一、一元一次方程的基本概念在深入探讨一元一次方程的应用之前,我们先来回顾一下一元一次方程的基本概念。
一元一次方程指的是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
其一般形式为:$ax + b = 0$(其中$a$,$b$为常数,且$a ≠ 0$)。
例如:$3x +5 =14$就是一个一元一次方程,其中$x$是未知数,$3$是$x$的系数,$5$是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为:1、去分母(如果方程中有分母):在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数,去掉分母。
2、去括号:运用乘法分配律去掉括号。
3、移项:将含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边,注意移项要变号。
4、合并同类项:将方程化为$ax = b$的形式。
5、系数化为 1:在方程两边同时除以未知数的系数$a$,得到方程的解$x =\frac{b}{a}$。
例如,解方程$2(x 3) + 3 = 5 (x + 1)$:首先去括号:$2x 6 + 3 = 5 x 1$然后移项:$2x + x = 5 1 + 6 3$合并同类项:$3x = 7$系数化为 1:$x =\frac{7}{3}$三、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
基本公式:路程=速度×时间例如,甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发,相向而行。
甲的速度为每小时5 千米,乙的速度为每小时4 千米,经过3 小时两人相遇。
问 A、B 两地的距离是多少?设 A、B 两地的距离为$x$千米。
甲行驶的路程为$5×3 = 15$千米,乙行驶的路程为$4×3 = 12$千米。
由于两人相向而行,所以他们行驶的路程之和等于 A、B 两地的距离,即$15 + 12 = x$解得$x = 27$千米。
沪教六年级春季班第9讲:一元一次方程的应用-学生版-张于
一元一次方程的应用内容分析一元一次方程的应用是初中数学六年级下学期第2章第二节的内容,主要考察方程的思想方法.列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系列出含有未知数的等式,即列出方程,然后解出未知数的值.本讲的重点是掌握利用方程的思想解决相关的实际问题,有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.知识结构模块一:和差倍分比问题知识精讲1、列方程解应用题的一般步骤(1)审题:分析题中的条件,什么是所求的,什么是已知的,并了解已知量和所求量之间的数量关系;(2)设未知数(元);(3)列方程;(4)解方程;(5)检验并作答.例题解析【例1】小敏和另两位同学去春游,买了三瓶矿泉水和两瓶可乐,可乐的价格是矿泉水的1.5倍,一共花去了12.6元,求每瓶矿泉水的价格.【难度】★【答案】【解析】【例2】今有2分与5分硬币共27枚,它们总值为0.99元,问这两种硬币各多少枚?【难度】★【答案】【解析】【例3】一个学生有中国邮票和外国邮票共325张,中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少5,这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张?【难度】★【答案】【解析】【例4】六年级学生若干人报名参加足球队,男女生之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求:报名时男生与女生的人数各为多少人?【难度】★★【答案】【解析】【例5】六一儿童节,幼儿园为学生发放小红花,如果每人3朵则还剩下23朵,若每人4朵则还少2朵,问该幼儿园有多少个学生,共有多少朵小红花?【难度】★★【答案】【解析】【例6】小华看一本书,第一天看了全书的18再加16页,第二天看的是第一天的34还多16页,还剩下131页未看完,问这本书共有多少页?【难度】★★【答案】【解析】【例7】六年级三个班为灾区捐款,六(1)班同学共捐了380元,六(2)班捐款数是另两个班级的平均数,六(3)班捐款数是三个班级的总数的25,求六(2)班,六(3)班的捐款数.【难度】★★【答案】【解析】【例8】某公路收费站的收费标准是大客车20元,大货车10元,轿车5元,某天通过收费站的三种车子的数量之比是5 : 7 : 6,共收费4.8万元,这天通过收费站的三种车子各有多少辆?【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知今年甲、乙二人的年龄之和为50岁,当甲是乙那么大年龄时,甲的年龄就是乙的年龄的2倍,问今年甲、乙各多少岁?【难度】★★★【答案】【解析】【例10】某机关有A、B、C三个部门,公务员依次有84人、56人、60人,如果每个部门按相同比例裁减人员,并使这个机关仅留下公务员150人,那么C部门留下的人数是多少人?【难度】★★★【答案】【解析】1、 多位数的表示方法若一个数的个位数为a ,十位数为b ,百位数为c ,则这个三位数可表示为:10010c b a ++.【例11】 一个两位数,十位上的数比个位上的数小1,十位上与个位上的数之和为这个数的15,求这个两位数. 【难度】★★【答案】【解析】【例12】 有一个两位数,它的十位数字比个位数字大5,并且这个两位数比它的两个数上的数字之和的8倍还要大5,求这个两位数.【难度】★★【答案】【解析】【例13】 一个四位数的首位数字是7,若把首位数字放在个位上,其余数字进一位,那么所得到的新的四位数比原四位数的一半多3,求原四位数.【难度】★★★【答案】【解析】模块二:数字问题 知识精讲 例题解析1、 盈亏问题等量关系售价 = 成本 + 利润;售价 = 成本 (1 + 利润率);盈利率 = 售价-成本成本.【例14】 一双皮鞋按成本价加五成作为售价,后因季节性原因,按售价的七五折降价出售,降价后的新价格是每双63元,问这种皮鞋每双的成本是多少元?按降低以后的新价格每双还可以赚多少元?【难度】★★【答案】【解析】【例15】 某商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售,那么将赔25元;而按定价的九折出售,将赚20元,这种商品的定价是多少元?【难度】★★【答案】【解析】【例16】 原价每件100元的服装100套,按照五成利润定价卖出,还剩30%的服装没有卖掉,降价后全部卖完,总利润只有预定利润的88%,问降价后每套服装的售价是多少?【难度】★★★【答案】【解析】模块三:盈亏问题 知识精讲 例题解析模块四:利息问题知识精讲1、利息问题等量关系利息= 本金⨯利率⨯期数;税后利息= 本金⨯利率⨯期数⨯(1-利息税率);本利和= 本金+ 利息;税后本利和= 本金+ 税后利息.例题解析【例17】小智的父亲将一笔年终奖金存入银行,一年后取出本金和利息,并扣除利息税90元,如果银行的定期储蓄的年利率为2.25%,问小明的父亲存入银行的本金为多少元?(利息税= 利息⨯20%)【难度】★【答案】【解析】【例18】小方的父亲一年前存入银行一笔钱,年利率为2.25%,并缴纳20%的利息税,共得本利和16288元,求小方的父亲一年前存入的本金是多少元?【难度】★★【答案】【解析】【例19】丽丽创造了一项小发明,获奖金10000元,她将这笔奖金存入银行,10个月后,因扶贫助学,将这笔存款取出,并要扣除利息税37.5元,求银行年利率.(利息税率为20%)【难度】★★【答案】【解析】【例20】某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元,每年需利息5万元.甲种贷款年利率为14%,乙种贷款年利率为12%,那么该厂申请甲种贷款多少万元?【难度】★★【答案】【解析】【例21】张先生有一笔钱,两年后才用,他到银行里去存定期储蓄,银行人员告诉她,有两种存款方式:一是存两年期,年利率2.7%;二是先存一年期,年利率为2.25%,到期后再转存一年期.储蓄员算了一下又说,按第一种方式存,扣除20%的利息税后可多得利息825.12元,问张先生这笔钱有多少?【难度】★★★【答案】【解析】模块五:工程问题知识精讲1、工程问题等量关系工作量= 工作效率 工作时间.例题解析【例22】一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,现在由甲做4小时,剩下的部分甲乙合做,求剩下的部分需几小时完成?【难度】★★【答案】【解析】【例23】一件工作,甲独做15天完成,乙独做30天完成,甲先做5天之后由乙接替,乙又做了10天,剩余工作由甲乙两人合作完成,求还需要几天?【难度】★★【答案】【解析】【例24】一项工程,甲队独做10小时完成,乙队独做15小时完成,丙队独做20小时完成,开始时3队合做,中途甲队另有任务,由乙、丙二队完成,从开始到工程完成共用6小时,问甲队实际做了几小时?【难度】★★★【答案】【解析】模块六:行程问题知识精讲1、行程问题等量关系路程= 速度⨯时间相遇问题:路程和= 速度之和⨯时间追及问题:路程差= 速度之差⨯追及时间.例题解析【例25】甲、乙两人从相距60千米的两地同时出发,相向而行.甲步行,每小时走5千米;乙骑自行车,3小时后两人相遇,求乙骑自行车每小时走多少千米?【难度】★【答案】【解析】【例26】甲、乙两辆汽车从同一站点出发同向而行,甲每小时行36千米,乙每小时行48千米,已知甲车比乙车早出发2小时,问经过多少小时乙车赶上甲车?【难度】★【答案】【解析】【例27】已知甲、乙两地相距120千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲、乙的速度.【难度】★★【答案】【解析】【例28】一条环形跑道长400米,甲练习骑自行车,平均每分钟骑450米;乙练习赛跑,平均每分钟跑250米,两人同时同地出发,经过多少分钟两人首次相遇?【难度】★★【答案】【解析】【例29】轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时.若船速为26千米/时,水速为2千米/时,那么A港和B港相距多少千米?【难度】★★【答案】【解析】【例30】甲、乙两个车站相距162千米,一辆货车先从甲站开出,速度为每小时36千米,一辆客车从乙站开出,速度为每小时48千米.(1)两辆汽车同时开出,相向而行,多少小时后相遇?(2)货车开出1小时后客车开出,两车相向而行,货车开出几小时后两车相遇?(3)两辆汽车同时相背而行,多少小时后,两车相距280千米?(4)两辆汽车同时同向而行,客车在货车后面,几小时后客车可以追上货车?(5)两辆汽车同时同向而行,客车在货车前面,几小时后客车在货车前280千米?(6)客车开出1小时后货车开出,两车同向而行,客车在货车后面,客车开出几小时后追上货车?【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】 甲、乙两种零件共32个,每个甲种零件上钻5个孔,每个乙种零件上只钻1 个孔,共钻100个孔,甲、乙两种零件各有多少个?【难度】★【答案】【解析】【习题2】 一项工程甲单独做3天完成,乙单独做7天完成,两人共同完成全部工程需要多少天?如果设两人合做共同完成全部工程需x 天,那么可列得方程( )A .371x x +=B .11137x x += C .11137x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D .11137x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【难度】★【答案】【解析】【习题3】 若干辆汽车装运一批货物,如果每辆装3.5吨,那么这批货物有2吨不能运走;如果每辆装4吨,那么装完这批货物后,还可以装其他货物1吨.问汽车多少辆?这批货物有多少吨?【难度】★★【答案】【解析】【习题4】 李明买了两种免税债券共5000元,一种债券的年利率为5%,另一种债券的年利率为4%,一年后共获利息235元,两种债券各买了多少元?【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题5】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大8,十位上的数字与个位上的数字之差等于这个两位数的110,求这个两位数.【难度】★★【答案】【解析】【习题6】一种节能冰箱,商店按原售价的九折出售,降价后的新售价是每台2430元,因为商店按进价加价20%作为原售价,所以降价后商店还能赚钱,请问这种节能型冰箱的进价是多少元?按降价后的新售价出售,商店每台还可赚多少元?【难度】★★【答案】【解析】【习题7】某工作甲单独做3小时完成,乙单独做4小时完成,甲先单独做了1小时50分钟,然后甲和乙共同完成余下的工作,合作的时间为多少小时?【难度】★★【答案】【解析】【习题8】有一天,小明从家到校上课,他先以4千米/时的速度步行了全程的一半,再顺路搭上速度为20千米/时的班车,所以比原全程步行所需时间早到了1小时,问他家到学校的距离是多少米?【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】某公司有A、B两台复印机,某天上午8时30分办公室用它们给公司9时将召开的会议复印材料.若用复印机A、B单独复印,估计分别需时40分钟和50分钟.现两台机器同时工作,复印了20分钟,A机器出了故障,而材料必须在会议召开前印好.算一算:若由B机单独完成剩下的工作,则会不会影响会议的进行?【难度】★★★【答案】【解析】【习题10】一个三位数的三个数字和是24,十位数字比百位数字少2.如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数,而这个三位数的数字的顺序与原来三位数的数字的顺序恰好相反,求原来的三位数.【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】在155米长度内装设25根水管,一部分水管每根长5米,另一部分水管每根长8米,求两种水管各多少根?【难度】★【答案】【解析】【作业2】一次环保知识竞赛有25道选择题,评分细则是:每道题选对得4分,选错或不选倒扣2分,某同学得了70分,他做对了多少题?【难度】★【答案】【解析】【作业3】某电视的进价为1000元,出售的标价为1400元,后来商店准备打折出售,降到利润率为12%,则商店打了几折?【难度】★【答案】【解析】【作业4】用库存化肥给麦田追肥,如果每公顷施90千克,那么就缺少3000千克;如果每公顷施肥75千克,那么就剩余4500千克.有多少公顷麦田?库存化肥有多少千克?【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一个两位数,个位上的数比十位上的数少3,个位上的数与十位上的数的和恰好为15,那么这个两位数是______.【难度】★★【答案】【解析】【作业6】王英的家长为了支付三年后她上大学时的费用,现在准备将一笔钱存入银行,若供她上大学四年的费用为30000元,银行三年定期的年利率为3.24%,到期应缴纳20%的利息税,则现在应存款多少元?(只列方程不计算)【难度】★★【答案】【解析】【作业7】一次工程甲单独完成需要9天,乙单独完成需要12天,丙单独完成需要15天,若甲、丙先做3天后,甲因故离开,由乙接替甲的工作,问还需要多少天能完成这次工程的56?【难度】★★【答案】【解析】【作业8】一环形跑道的长为400米,甲、乙两人在跑道上练习跑步,甲每秒钟跑4米,乙每秒钟跑3.5米,两人同时同地出发.(1)反向跑步经过几秒钟两人相遇?(2)同向跑步经过几秒钟甲领先乙半圈?(3)同向跑步经过几秒钟两人相遇?【难度】★★【答案】【解析】【作业9】有甲、乙、丙三个商店,甲、乙两店一天的营业额之比为3 : 2,乙、丙两店的营业额之比是8 : 5,若甲、丙两店一天的营业额之和是乙店的2倍还多90元,问这三个商店一天的营业额各是多少元?【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】一个三位数,个位上的数是十位上的数的2倍,十位上的数比百位上的数少7,如果把百位上的数与个位上的数对换,那么所得的新的三位数比原来的12少33,求原来的三位数?【难度】★★★【答案】【解析】。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次方程的解法
学科教师辅导讲义(课题)一元一次方程的解法【知识精要】1、等式与方程等式:用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式;未知数:表示所要求的未知数量的字母;方程:含有未知数的等式;元:在方程中,所含的未知数又称为元。
2、列方程的方法(1)根据题设条件设未知数(一般设所求的量为未知数);(2)找____未知数与已知数之间的等量关系________。
3、方程中的项、系数、次数等概念(1)项:在方程中,被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项;(2)未知数的系数:在一项中,写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数;(3)项的次数:在一项中,所有未知数的指数和称为这一项的次数;(4)常数项。
4、方程的解和解方程(1)能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解;(2)求方程解的过程叫做解方程。
5、一元一次方程(1)只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程;(2)等式性质:性质1:等式两边同时加上或减去同一个数或代数式,所得结果仍是等式;性质2:等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。
(3)解法:去分母—去括号—移项—化成ax=b(a≠0)_的形式—去系数6.重点、难点分析本节的重点是移项法则,一元一次方程的概念及其解法,难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用.掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键.学习中应注意以下几点:1.关于移项.方程中的任何一项都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边.也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边.移项中常犯的错误是忘记变号.还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别.如果等号同一边的项的位置发生变化,这些项不变号,因为改变某一项在多项式中的排列顺序,是以加法交换律与给合律为根据的一种变形,但如果把某些项从等号的一边移到另一边时,这些项都要变号.2.关于去分母去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数.常犯错误是漏乘不含有分母的项.如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6,为避勉这类错误,解题时可多写一步.再用分配律展开.再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面.分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上,如上例提到的. 3.关于去括号.去括号易犯的错误是括号前面是负号,而去括号时忘记变号;一个数乘以一个多项式,去括号时漏乘多项式的后面各项.如及都是错误的.4.解方程的思路:解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式,然后再解即可.【名题精解】【例1】 判断下列各式哪些是方程,哪些不是方程:(1)13(2)20(3)2(4)13(5)322x x y xm n a ππ=+-=-=⨯=【例2】 根据下列条件列出方程:(1)50千克含糖5%的盐水,现在要把它的浓度提高到含糖15%,需要加糖千克;(2)商店对某种商品调价,按原价的八折出售,此时商品的利润率是15%,此时商品的原价为300, 商品的进价是x 元。
沪教版数学六年级下册6.4《一元一次方程的应用》教学设计
沪教版数学六年级下册6.4《一元一次方程的应用》教学设计一. 教材分析《一元一次方程的应用》是沪教版数学六年级下册第六章的内容。
本节课主要让学生掌握一元一次方程的应用,通过解决实际问题,让学生了解一元一次方程在生活中的应用,培养学生解决实际问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题,帮助学生巩固知识,提高解题技能。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了代数的基础知识,对一元一次方程有一定的理解。
但是,学生在应用一元一次方程解决实际问题时,还存在着一定的困难。
因此,在教学过程中,教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合,提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能:让学生掌握一元一次方程的应用,能够解决实际问题。
2.过程与方法:通过解决实际问题,培养学生运用一元一次方程解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣,培养学生积极解决问题的态度。
四. 教学重难点1.重点:让学生掌握一元一次方程的应用。
2.难点:如何引导学生将实际问题转化为一元一次方程,并解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过提出问题,引导学生思考,运用案例教学法讲解实际问题,让学生在解决实际问题的过程中掌握一元一次方程的应用。
同时,采用小组合作法,让学生在小组内讨论、交流,提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题,用于引导学生解决问题。
2.准备多媒体教学设备,用于展示案例和讲解。
七. 教学过程1.导入(5分钟)教师通过提出一个问题:“小明买了一些苹果,比梨多3倍,如果小明买了45个梨,那么他买了多少个苹果?”引发学生的思考,引导学生进入本节课的主题。
2.呈现(10分钟)教师通过多媒体展示几个实际问题,让学生尝试解决。
例如:“一家商店卖出一件衣服,赚了20元,卖出一双鞋子,赚了15元。
如果商店一天卖出了3件衣服和2双鞋子,那么商店一共赚了多少钱?”学生在解决问题的过程中,教师进行讲解和指导。
一元一次方程的应用教案(通用5篇)
一元一次方程的应用教案一元一次方程的应用教案(通用5篇)作为一位兢兢业业的人民教师,通常需要准备好一份教案,教案是实施教学的主要依据,有着至关重要的作用。
写教案需要注意哪些格式呢?以下是小编精心整理的一元一次方程的应用教案(通用5篇),欢迎阅读与收藏。
一元一次方程的应用教案1教学目标:一、知识与技能:1、熟练运用列方程解应用题的一般步骤列方程;2、让学生学会列一元一次方程解决与行程有关的实际问题。
二、过程与方法:1、借助“线段图”分析行程问题中的数量关系,从而将实际问题转化为数学问题,体会转化等数学思想方法;2、通过列方程解决实际问题,培养学生发现问题、提出问题的能力。
激发学生的求知欲。
三情感态度与价值观:1、在列一元一次方程解决与行程有关的实际问题过程中,让学生感知生活中的实际问题与数学的关系。
2、在探索和交流的过程中,培养学生小组合作的能力。
懂得学习数学的重要性。
教学重难点:重点:经历将实际问题转化为数学问题的过程中,发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
难点:从不同的角度来找等量关系,列出一元一次方程。
前置作业:写出有关行程问题的公式。
教学过程:一、问题导入问题1、(1)若小红每秒跑4米,那么他5秒能跑___米。
(2)小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米),那么他的速度为_____米/分。
(3)已知小强家离火车站2000米,他以5米/秒的速度骑车到达车站需要__秒。
问题2、知识回顾在行程问题中,我们常常研究这样的三个量:分别是:_________,________,_________.其中,路程=______×______速度=______÷______时间=______÷______二、探索过程活动一:小组内完成例3,(1)先自己独立思考,再小组交流讨论。
(2)然后每个小组派一名组员展示,并说出解决问题的思路。
课件出示:例3:某中学组织学生到校外参加义务植树活动。
六年级寒假班第5讲方程与一元一次方程-学生版
本文是六年级寒假班第五讲方程与一元一次方程的学生版,以方程的定义、解方程的基本方法、一元一次方程的解法为主要内容。
一、方程的定义在数学中,方程是由等号连接起来的含有未知数的数学式。
方程可以用来表示一种关系,并且可以通过求解方程来确定未知数的值。
在代数中,方程的解是使得方程等式成立的所有值。
二、解方程的基本方法1.通过观察、推理和实际问题解方程。
2.变量的相等原则:等式两边加减同一个数,等式仍相等;等式两边乘除同一个不等于0的数,等式仍相等。
3.通过移项化简方程。
4.通过验证解的方法验证方程的解是否正确。
三、一元一次方程的解法1.方程的基本形式:a*x+b=c,其中a、b、c为已知数,x为未知数。
2.移项化简方程,将未知数x的项移动到等式的一边,将已知数项移动到等式的另一边。
3.对于方程a*x=b,未知数x的解为x=b/a。
4.对于方程a*x+b=c,通过将b移动到等式的另一边,得到a*x=c-b,再进行解方程。
四、实例分析例1:解方程3*x+4=7解:将未知数x的项移动到等式的一边,得到3*x=7-4,即3*x=3然后将等式两边除以3,得到x=1例2:解方程2*x-3=5解:将未知数x的项移动到等式的一边,得到2*x=5+3,即2*x=8然后将等式两边除以2,得到x=4五、解方程的应用解方程不仅仅是为了求解问题中的未知数值,更重要的是培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
综上所述,方程与一元一次方程是数学中重要的概念和方法,学好这部分知识对于学生的数学学习非常重要。
希望同学们在学习中能够认真思考,理解方程与一元一次方程的概念,并能够熟练运用解方程的基本方法和一元一次方程的解法解题。
通过不断的练习和实践,同学们一定能够在解题中找到快乐与成就感!。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次方程的解法 (2)
学科教师辅导讲义学员姓名:年级:预初授课时间:课时数:2 辅导科目:数学学科教师:学科组长签名组长备注课题一元一次方程的解法教学目标1.了解一元一次方程的概念,灵活运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程,会对方程的解进行检验;2.通过对一元一次方程的解法步骤的灵活运用,培养学生的运算能力;3.通过解方程的教学,了解“未知”可以转化为“已知”的思想.重点1、根据题设条件列方程2、一元一次方程及其解法难点1、根据题设条件列方程考点判定(简单),解方程(简单),根据条件列方程(中等)(课题)一元一次方程的解法【知识精要】1、等式与方程等式:用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式;未知数:表示所要求的未知数量的字母;方程:含有未知数的等式;元:在方程中,所含的未知数又称为元。
2、列方程的方法(1)根据题设条件设未知数(一般设所求的量为未知数);(2)找____未知数与已知数之间的等量关系________。
3、方程中的项、系数、次数等概念(1)项:在方程中,被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项;(2)未知数的系数:在一项中,写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数;(3)项的次数:在一项中,所有未知数的指数和称为这一项的次数;(4)常数项。
4、方程的解和解方程(1)能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解;(2)求方程解的过程叫做解方程。
5、一元一次方程(1)只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程;(2)等式性质:性质1:等式两边同时加上或减去同一个数或代数式,所得结果仍是等式;性质2:等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。
(3)解法:去分母—去括号—移项—化成ax=b(a≠0)_的形式—去系数6.重点、难点分析本节的重点是移项法则,一元一次方程的概念及其解法,难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用.掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键.学习中应注意以下几点:1.关于移项.方程中的任何一项都可以在改变符号后,从方程的一边移到另一边,即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边.也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边.移项中常犯的错误是忘记变号.还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别.如果等号同一边的项的位置发生变化,这些项不变号,因为改变某一项在多项式中的排列顺序,是以加法交换律与给合律为根据的一种变形,但如果把某些项从等号的一边移到另一边时,这些项都要变号.2.关于去分母去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数.常犯错误是漏乘不含有分母的项.如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6,为避勉这类错误,解题时可多写一步.再用分配律展开.再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面.分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上,如上例提到的.3.关于去括号.去括号易犯的错误是括号前面是负号,而去括号时忘记变号;一个数乘以一个多项式,去括号时漏乘多项式的后面各项.如及都是错误的.4.解方程的思路:解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式,然后再解即可.【名题精解】【例1】判断下面的移项对不对,如果不对,应怎样改正?(1)从得到;(2)从得到;(3)从得到;(4)从得到;【例2】解方程:(1);(2)【例题3】解方程:(1) (2)【例4】解方程:解:【例5】已知关于的方程的根是2,求的值.【例6】甲、乙两工程队共有100人,甲队人数比己队人数的3倍少20人.求甲、乙两队各有多少人?【例7】解含有绝对值的方程 432x x -+-=方法提炼 零点分段法:1、先令绝对值里面的代数式为0,求出零点2、零点将数轴划分为几段3、讨论在每段区间里,绝对值是正是负,并去绝对值,得出最终结果。
2022年上海六年级数学下学期同步教材满分攻略第06讲一元一次方程的应用(核心考点讲与练)(练习版)
第06讲一元一次方程的应用(核心考点讲与练)一.由实际问题抽象出一元一次方程审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程.(1)“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式,在这一类问题中,表示出各部分的量和总量,然后利用它们之间的等量关系列方程.(2)“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系,也是列方程的一种基本方法.通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示,进而列出方程.二.一元一次方程的应用(一)一元一次方程解应用题的类型有:(1)探索规律型问题;(2)数字问题;(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率=×100%);(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);(5)行程问题(路程=速度×时间);(6)等值变换问题;(7)和,差,倍,分问题;(8)分配问题;(9)比赛积分问题;(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).(二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.列一元一次方程解应用题的五个步骤1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.2.设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.3.列:根据等量关系列出方程.4.解:解方程,求得未知数的值.5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.一.一元一次方程的应用(共9小题)1.(2021秋•奉贤区期末)甲乙两车从相距250千米的两地同时出发,相向而行,2小时后相遇.已知甲车的速度与乙车的速度比是2:3,求甲、乙两车的速度.2.(2021秋•奉贤区期末)一种商品的原价是100元,先提价10%,又降价10%,则现价()元.A.100B.99C.108.9D.1013.(2021秋•定西期末)甲每天加工零件80个,甲加工3天后,乙也加入加工同一种零件,再经过5天,两人共加工这种零件1120个,问乙每天加工这种零件多少个?4.(2021秋•城关区期末)如图,在2021年4月份日历中按如图所示的方式任意找7个日期“H”,那么这7个数的和可能是()A.64B.72C.98D.1185.(2021秋•闵行区期末)列方程求解:某数的是8的1,求这个数.6.(2021秋•浦东新区期末)一件商品的原价是6000元,打八折后还获利20%,求打折后的售价及进价.7.(2021秋•阳江期末)一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是60千米/小时,卡车的行驶速度是40千米/小时,客车比卡车早2小时经过B地,A、B两地间的路程是多少千米?8.(2021秋•黄石期末)某工厂甲乙两车间生产汽车零件,四月份甲乙两车间生产零件数之比是4:7,五月份甲车间提高生产效率,比四月份提高了25%,乙车间却比四月份少生产50个,这样五月份共生产1150个零件.求四月份甲乙两车间生产零件个数各多少个.9.(2021秋•闵行区期末)某商店为迎接新年举行促销活动,促销活动有以下两种优惠方案:方案一:购买一件商品打八折,购买两件以上在商品总价打八折的基础上再打九折;方案二:购买一件商品打八五折,折后价格每满100元再送30元抵用券,可以用于抵扣其他商品的价格.(注:两种优惠只能选择其中一种参加)(1)小明想购买一件标价270元的衣服和一双标价450元的鞋子,请你帮助小明算一算选择哪种优惠方案更合算.(2)如果衣服和鞋子的标价都是在进价的基础上加价了50%,那么这两种优惠方案商店是赚了还是亏了?为什么?(3)如果小明已决定要购买标价为450元的鞋子,又想两种方案的优惠额相同,那么小明想购买的衣服的标价(低于450元)应调整为多少元?二.由实际问题抽象出一元一次方程(共11小题)10.(2021春•嘉定区期中)一项工程,甲单独做需要3天完成,乙单独做需要6天完成,两人合作x天可完成,则根据题意可列方程为()A.3x+6x=1B.x=1C.(+)x=1D.x=x+1 11.(2021春•嘉定区期中)根据“x的相反数减去5的差为1”可列方程.12.(2021春•松江区期末)某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%,小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元.(注:不计利息税)若设小明爸爸存入银行的本金是x元,则根据题意可列方程为.13.(2021春•普陀区期中)小杰妈妈去银行存款,银行一年定期储蓄的年利率是1.5%,小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元,设她存入银行的本金为x元,那么下列方程中,正确的是()A.x•1.5%×2=61800B.x+x•1.5%×2=61800C.x•(1+1.5%)×2=61800D.(1+1.5%x)×2=6180014.(2021春•奉贤区期中)货轮从甲地顺流开往乙地,所用时间比乙地逆流回到甲地少2.5小时,已知货轮在静水中速度为每小时24千米,水流速度为每小时3千米,求甲乙两地距离.设两地距离为x千米,则可列方程()A.B.C.D.15.(2021春•普陀区期末)一辆汽车从A城出发驶向B城,如果以每小时50千米的速度行驶恰好准时到达,如果以每小时40千米的速度行驶,会比规定时间晚15分钟到达.设A、B两城的距离为x千米,根据题意,可列出方程是.16.(2021•嘉定区二模)为了估计某个鱼塘里的鱼的数量,养殖工人网住了50条鱼,在每条鱼的尾巴上做个记号后,又将鱼放回鱼塘.等鱼游散后再随机撒网,网住60条鱼,发现其中有2条鱼的尾巴上有记号.设该鱼塘里有x条鱼,依据题意,可以列出方程:.17.(2021春•杨浦区校级期中)x人住房,若每间住6个人,余8个人;若每间住7个人,则有一间房空3个床位,则可列方程为.18.(2021春•宝山区期末)一队同学在参观花博会期间需要在农庄住宿,如果每间房住4个人,那么有8个人无法入住,如果每间房住5个人,那么有一间房空了3个床位,设这队同学共有x 人,可列得方程()A.=B.=C.﹣8=+3D.4x+8=5x﹣3 19.(2021春•普陀区校级月考)根据数量关系列出方程:某数x的与﹣1的差等于10,方程为:.20.(2020春•宝山区期中)根据条件列方程:(1)正方形的边长为2x,周长为50厘米.(2)x的相反数减去3的差是x的2倍.分层提分题组A 基础过关练一.选择题(共3小题)1.(2021春•奉贤区期中)某商店实行“买四斤送一斤”促销活动,“买四斤送一斤”相当于打()折销售.A.二B.二五C.七五D.八2.(2020春•宝山区期中)一双皮鞋现在售价为100元,比原价降低了20%,则原价为()A.80元B.125元C.120元D.145元3.(2021秋•浦东新区期中)一个数的是,这个数是()A.B.C.D.二.填空题(共6小题)4.(2021春•松江区期末)某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%,小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元.(注:不计利息税)若设小明爸爸存入银行的本金是x元,则根据题意可列方程为.5.(2021•浦东新区模拟)某品牌旗舰店将某商品按进价提高40%后标价,在一次促销活动中,按标价的8折销售,售价为2240元,那么这种商品的进价为元.6.(2020秋•松江区期末)六年级(1)班学生去野外郊游,无意中发现了一口枯井,外号“神童”的小明想了个办法测出井深,他的方法是:用绳子测量井深,将一根绳子先折成三折来量,量出井外,还余1米,将一根绳子先折成四折来量,量出井外还余米,请你算算看,这口枯井深为米.7.(2020秋•奉化区校级期末)一个数的是,那么这个数是.8.(2021春•上海期中)某同学把积攒的零用钱1000元存入银行,月利率是0.24%,如果到期他连本带利可取回1024元,那么他共存了个月.9.(2020秋•奉化区校级期末)学校组织七年级部分学生参加社会实践活动,已知在甲处参加社会实践的有27人,在乙处参加社会实践的有19人,现学校再另派20人分赴两处,使在甲处参加社会实践的人数是乙处参加社会实践人数的2倍,设应派往甲处x人,则可列方程.三.解答题(共7小题)10.(2021春•浦东新区期中)现有面值为5元和2元的人民币共32张,币值共计100元,问:这两种人民币各有多少张?11.(2021春•青浦区期中)小丽从家到学校有公路和小路两种路径,已知公路比小路远320米.早上小丽以61米/分钟的速度从公路去上学,10分钟后,爸爸发现她的作业忘带了,就以90米/分钟的速度沿小路去追赶,结果恰好在学校门口追上小丽.问小丽从家到学校的公路有多少米?12.(2021春•奉贤区期中)六年级和七年级分别有192人和133人,现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动,并且要使六年级,七年级剩余学生数之比为2:1,问应从六年级,七年级各选出多少人?13.(2021春•奉贤区期中)一家商店将某种服装每件按进价加价40%作为标价,随后又打出八折优惠大促销,结果每件服装还可获利60元.问这件服装每件的进价是多少元?14.(2021春•上海期中)列方程解应用题:六年级学生若干人报名参加课外活动小组,男女生人数之比为3:4,后来又报了20名男生,这时男生人数恰好是女生人数的2倍,求最初报名时男生与女生各有多少人?15.(2020秋•柳南区校级期中)一家商店将某种服装按成本加40%作为标价,又以标价的8折卖出,结果每件服装仍可获利15元,问:(1)这种服装每件的成本价是多少元?(2)成本提高40%后的标价是多少元?16.(2020秋•长宁区期末)一件上衣的成本价为500元,以40%的盈利率定价,后因季节性原因商家八折销售出此上衣,问:(1)这件服装的定价是多少元?(2)这件服装最后的盈利率是多少?题组B 能力提升练一.选择题(共1小题)1.(2021秋•青浦区校级期中)某外贸服饰店一天内销售两种服装的情况是,甲种服装共卖得200元,乙种服装共卖得100元,若按两种服装的成本分别计算,甲种服装盈利,乙种服装亏本,那么两种服装合起来算该外贸店这一天是()A.盈利B.盈利C.盈利D.盈利二.填空题(共2小题)2.(2020秋•徐汇区期末)上海男篮为了冲击季后赛,正努力提高自己的胜率.现在他们的胜率为45%,在接下来的8场客场比赛中,若能取得6场胜利,则可以将队伍的胜率提升到50%.那么到目前为止,他们在本赛季已经取得了场胜利.3.(2021春•浦东新区期中)某校六年级两个班共有78人,若从一班调3人到二班,那么两班人数正好相等.一班原有人数是人.三.解答题(共11小题)4.(2021春•上海期中)阅读下面材料并回答问题:点A、B在数轴上分别表示数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设A在原点,如图1,AB=|b|=|a﹣b|;当A、B两点都不在原点时,(1)如图②,点A、B都在原点的右边,AB=OB﹣OA=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;(2)如图③,点A、B都在原点左边,AB=OB﹣OA=|b|﹣|a|=(﹣b)﹣(﹣a)=|a﹣b|;(3)如图④,点A、B在原点的两边,AB=OA+OB=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;综上,数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|.(1)回答问题:数轴上表示﹣3和﹣8的两点之间的距离是.(2)若数轴上表示x和﹣2的两点分别是点A、B,AB=5,那么x=.(3)若数轴上点A表示数﹣1,点B表示数7,动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动,点P的移动速度是每秒3个单位长度,点Q的移动速度是每秒2个单位长度,求①运动几秒后,点P追上点Q?②运动几秒后,P、Q两点相距3个单位长度?5.(2021春•杨浦区校级期中)甲、乙两种商品成本共240元,已知甲商品按40%的利润率定价,乙商品按45%的利润率定价,后来甲打9折出售,乙打8折出售.结果共获利润48元,两种商品成本各为多少元?6.(2021春•奉贤区期中)小李和爸爸周末去体育中心晨练,两人沿400米的跑道匀速跑步,每次总是小李跑了2圈爸爸跑3圈,一天两人在同地反向而跑,小李最后发现隔了32秒两人第一次相遇.(1)求两人的速度.(2)若小李和爸爸在同地同向而跑,则过多久两个人首次相遇?7.(2020秋•静安区期末)小丽看一本科技书,第一天看了这本书的一半,第二天看了这本书的,还剩下20页没有看,求这本科技书的页数.8.(2021春•杨浦区校级期中)某项工程,甲单独做需18天完成,乙单独做需12天完成,甲、乙二人合做6天以后,再由乙继续完成,乙再做几天可以完成全部工程?9.(2021春•临渭区期末)某车间有62个工人,生产甲、乙两种零件,每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个.已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套,问应分配多少人生产甲种零件,多少人生产乙种零件,才能使每天生产的这两种零件刚好配套?10.(2021春•奉贤区期中)某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.(1)若家电商场同时购进A、B两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,求商场购进这两种型号的电视机各多少台?(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C 种电视机可获利250元.该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台,为了使销售时获利最多,该家电商场应该购买哪两种型号的电视机?分别购进多少台?11.(2016春•闵行区期中)某人从甲地出发到乙地办事,他先以每小时4千米的速度步行了全程的一半后,再搭上速度为20千米/时的顺路班车,所以比原来需要的时间早到了一小时,问甲乙两地的距离是多少千米?12.(2015春•浦东新区期末)减少雾霾,环保出行.家住上海的小明家人经常拼车出行.某拼车公司规定车主“一对一服务”,即车主每次服务一个拼车订单,不能中途接送他人,并按照乘客上、下车地点、时间准时接送乘客.按照拼车所发生的成本等制定了合理的付费规则.其中上海、昆明两个城市拼车付费规则如下:(见表1、表2)表1 上海拼车付费规则路程x(公里)计费规则0<x≤310元3<x≤10 1.5元/公里x>101元/公里表2 昆明拼车付费规则路程x(公里)计费规则x>04元+1.2元/公里例如,小李拼车一次的路程是15公里,如果他在上海,那么所付的费用为10+(10﹣3)×1.5+(15﹣10)×1=25.5元;如果他在昆明,所付的费用为4+15×1.2=22元.(1)一天,小明爸爸从家到单位拼车出行一次,付费16元,那么从他家到单位的拼车路程是多少公里?(2)如果小明爸爸从上海到昆明出差的路上,除了乘动车外的路程,他都选择该拼车公司拼车出行.已知小明爸爸在上海和昆明两地各拼车出行一次,且每次拼车路程大于3公里.①如果小明爸爸在两地拼车路程共计50公里,付费71.3元,那么他在两地拼车的路程各为多少公里?②如果小明爸爸在上海拼车的路程超过10公里,他在两地拼车的费用共36.1元,且在两地拼车的路程都是整数公里,那么小明爸爸在这两地拼车的路程各为多少公里?13.(2015春•闵行区期中)上海市出租车收费标准分两个时间段:日间段(5:00~23:00)和夜间段(23:00~次日5:00).如日间段:起步价14元(即使不满3公里也要收取14元);超过3公里并且不大于10公里的,超过部分按每公里2.4元计算;总里程超过10公里后,超过部分按每公里3.6元计算.而夜间段的收费在日间段的基础上都有所上浮,详见下表:上海市出租车收费标准公里数日间段(5:00~23:00)夜间段(23:00~次日5:00)0~3公里14元18元3~10公里 2.4元/公里(超过3公里部分) 3.1元/公里(超过3公里部分)10公里以上 3.6元/公里(超过10公里部分)4.7元/公里(超过10公里部分)(1)若在日间段乘坐出租车,行程5.5公里,此时应付车费元.(2)今年寒假小明一家出去旅游,飞机起飞的时间是上午9:00,由于家离机场较远,因此他们提前了3小时从家出发去机场,打车费为164元,请算算小明家离机场有多少公里?(注:忽略出租车行驶中的所有等候时间.)14.(2016春•浦东新区期中)从小华家到世纪公园,步行比乘公交车多用36分钟,已知他步行速度为每小时8千米,公交车的速度为每小时40千米,问小华家离世纪公园相距多少千米?。
著名机构六年级数学讲义寒假06-预初基础版-一元一次方程的应用-教师版
教师姓名冯娜娜学生姓名年级预初上课时间单击此处输入日期。
学科数学课题名称一元一次方程的应用一元一次方程的应用知识模块Ⅰ:储蓄问题中的等量关系(1)利息 = 本金⨯利率⨯期数;(2)税后利息 = 本金⨯利率⨯期数⨯(1-利息税率);(3)本利和 = 本金 + 利息;(4)税后本利和 = 本金 + 税后利息.【例1】若银行一年定期储蓄的年利率是2.25%,小丽的父亲取出一年到期的本金和利息时,扣除了利息税(利息税=利息×20%)27元,问小丽的父亲存入的本金是多少元?【答案】6000元【例2】小明的妈妈在银行里存入人民币5000元,国家规定存款利息的纳税办法是:利息税=利息⨯20%,储户取款时由银行代扣代收。
存取一年,到期可得人民币5090元,求这项储蓄的年利率是多少?【答案】2.25%【例3】小王的父亲一年前存入一笔钱,年利率为2.25%,并缴纳20%的利息税,共得本利和16288元,求小王的父亲一年前存入的本金是多少?【答案】16000知识模块Ⅱ:盈亏问题中的等量关系(1)售价 = 成本 + 利润;(2)售价 = 成本⨯(1 + 利润率);(3)盈利率 = 售价-成本成本.【例4】一家商店将某种服装按成本价加价40%作为标价,又以8折优惠卖出,结果每件服装仍可获利15元,问这种服装每件的成本价是多少元?【答案】125元【例5】一种节能型冰箱,商店按原售价的九折出售,降价后的新售价是每台2430元,因为商店按进价加价20%作为原售价,所以降价后商店还能赚钱,请问:这种节能型冰箱的进价是多少元?按降价后的新售价出售,商店每台还可多赚多少元?【答案】进价:2250元,可赚180元【例6】原价每件100元的服装100套,按照五成利润定价卖出,还剩30%的服装没有卖掉,降价后全部卖完,总利润只有预定利润的88%。
问降价后每套服装的售价是多少?【答案】130元知识模块Ⅲ:行程问题中的等量关系(1)路程 = 速度⨯时间;(2)相遇问题:路程和 = 速度之和⨯时间;(3)追及问题:路程差 = 速度之差⨯追及时间.【例7】甲、乙两辆火车,长分别为144米和180米,甲车比乙车每秒钟多行4米,两列火车相向而行,从相遇到错开需要9秒钟,问两车的速度各是多少?【答案】甲:20m/s 乙:16m/s【例8】一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。
【6年级数学】六年级寒假班第5讲:方程与一元一次方程-学生版
六年级寒假班数学(学生版)最新教案方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容.在预习阶段,本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念,方程的解的检验,一元一次方程的解法及一元一次方程的简单应用.重点在于理解一元一次方程的概念,熟练掌握一元一次方程的解法,为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备.1、方程及其相关概念(1)未知数:用字母x、y…等表示所要求的未知的数量,这些字母称为未知数;(2)方程:含有未知数的等式叫做方程;(3)元:在方程中,所含的未知数又称为元;(4)列方程:为了求得未知数,在未知数和已知数之间建立一种等量关系式,就是列方程;(5)项:在方程中,被“+”、“-”号隔开的每一部分(包括这部分前面的“+”、“-”方程与一元一次方程内容分析知识结构模块一:方程与方程的解知识精讲号在内)称为一项;如在方程 2.50x +=和2052y -=中,x 、2.5、25、2y-都是方程中的一项;(6)系数:在一项中,数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数;如x 的系数为1,2y -的系数为12-;(7)次数:在一项中,所含有的未知数的指数和称为这一项的次数;如x 、2y-的次数都是1;(8)常数项:不含未知数的项称为常数项;如2.5,25. 2、 方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等,那么这个未知数的值叫做方程 的解.【例1】 判断下列各式,哪些是方程?(1)17x +=; (2)514-+=-; (3)1a a =+; (4)395yx +=; (5)32m n -; (6)2t =; (7)26p =; (8)33ππ⨯=.【例2】 (1)方程2405y x -=中,项25y-的系数是______,次数是______; (2)方程360mn -=中,项3mn 的次数是______,常数项是______. 【例3】 列方程:(1)x 的23与3的和为5; (2)m 的相反数与2的差为2;(3)a 的三次方与b 的平方的和为10;(4)x 、y 的积减去19的差的一半为23.【例4】 检验1x =是不是方程97124x x --=--的解.【例5】 在下列问题中,引入未知数,列出方程:(1) 某数的3倍与7-的和等于91,求这个数;例题解析(2)一个数与它的一半的和为56,求这个数; (3)长方形的长比宽多4厘米,长方形的周长是30厘米,求长方形的长.【例6】 检验4-、1是不是方程2340x x --=的解.【例7】 根据条件,引入未知数列方程:学校开学安排宿舍时,如果每间宿舍安排住4人,将会空出5间宿舍;如果每间宿舍安 排住3人,就有100人没有床位,那么在学校住宿的学生有多少人?【例8】 根据下列条件列出方程:(1)50千克含糖5%的盐水,现在要把它的浓度提高到含糖15%,需加糖x 千克; (2)商店对某种商品调价,按原价的8折出售,此时商品的利润率是15%,此商品的原价为300元,商品的进价为x 元.【例9】 试写出一个方程使它的解分别是:(1)7x =;(2)2x =或3x =. 思考:满足条件的方程是唯一的吗?【例10】 引入未知数,列出方程:如图,足球上的黑色皮都是五边形的,白色皮都是六边形的,白色皮共有20块,则有多少块黑色皮?1、 一元一次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程.2、 解方程求方程的解的过程叫做解方程.3、 解一元一次方程的一般步骤(1)去分母; (2)去括号; (3)移项;(4)化成ax b =(0a ≠)的形式(5)两边同除以未知数的系数,得到方程的解b x a=.【例11】 判断下列方程是否是一元一次方程?如果不是,请说明理由.(1)30x =; (2)29x y -=; (3)538+=; (4)()234m m --=; (5)61x=; (6)3443x x +=+;(7)0x a +=; (8)2221x x x x ++=+.模块二:一元一次方程及其解法知识精讲例题解析【例12】 当m 为______时,()231m m x -+=是一元一次方程.【例13】 方程()2123x x -=变形为13x x -=,其根据是( ) A .方程两边同时加上x B .方程的两边同时乘以43xC .方程的两边同时乘以23D .方程的两边同时乘以32【例14】 解方程:(1)4354x x +=-; (2)0.30.66 1.2x x -=-;(3)93277575x x +=-;(4)()()547715x x ---=.【例15】 下列解方程过程中,变形正确的是( )A .由213x -=,得231x =-B .由9798x -=,得9798x =-C .由0.311 1.240.1x x ++=+,得31011241x x ++=+D .由132x x-=,得236x x -= 【例16】 若方程()2310n a x bx c +++=表示关于x 的一元一次方程,则常数a 、b 、c 、n 必须满足怎样的条件?【例17】 解方程:(1)()()()2234191x x x ---=-; (2)()30%70%440%x x x ++=-;(3)32122234x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; (4)()()()21133336424x x x -+-=-+;(5)0.40.31.60.20.5x x +--=-.【例18】 当x =______时,代数式()1316x +与233x -的值为互为相反数.【例19】 已知关于x 的方程()()324x a x a +=-的解为3x =,求a 的值.【例20】 解方程:235x +=.【例21】 解方程:100813355720152017x x xx++++=⨯⨯⨯⨯.【例22】 若a 、b 、c 是正数,解方程:3x a b x b c x c ac a b------++=.1、 列方程解应用题的一般步骤(1)审题:分析题中的条件,什么是所求的,什么是已知的,并了解已知量和所求量之间的数量关系;(2)设未知数(元); (3)列方程; (4)解方程; (5)检验并作答.模块三:一元一次方程的应用知识精讲【例23】列方程求解:(1)某数与6的和的3倍等于21,求这个数;(2)矩形的周长是40,长比宽多10,求矩形的长和宽.【例24】三个连续整数的和为93,求这三个数.【例25】甲、乙两桶油质量相等.甲桶用去26千克,乙桶加入14千克,此时乙桶油的质量是甲桶油的3倍,两桶油原来各多少千克?【例26】一根电线,第一次用去13,第二次用去16米,还剩全长的25,这根电线的原长多少米?【例27】某班学生合买一件纪念品,每人出0.6元,则多出4.8元,若每人出0.5元,则差0.3元,求该班的学生人数.例题解析【例28】鸡和兔一共20只,共有70条腿,求鸡和兔各有几只?【例29】希腊数学家丢番图(公元3~4世纪)的墓碑上记载着:“他生命的六分之一是幸福的童年;再活了他的寿命的十二分之一,两颊长起了细细的胡须;他结了婚,又度过了一生的七分之一;再过五年,他有了儿子,感动很幸福;可是儿子只活了他父亲年龄的一半;儿子死后,他在极度悲痛中度过了四年,也与世长辞了.”请回答:(1)他结婚的年龄;(2)他开始当爸爸的年龄;(3)他儿子死时他的年龄;(4)他去世时的年龄.【例30】牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?(假设每头牛每天吃草量相同)【习题1】 下列式子中,不是方程的是( )A .5x y +=B .3y =-C .2x y -D .21x =- 【习题2】 判断下列方程是不是一元一次方程:(1)511x =;(2)2100x -=; (3)392y x -=; (4)()4320t t -+=.【习题3】 和方程334x x -=+的解不完全相同的方程是( )A .74511x x -=-B .1203x +=+ C .()()()()2213134a x a x +-=++ D .()()()()7415111x x x x --=--【习题4】 当a ______,n =______时,方程()2232n a x -+-=是一元一次方程.【习题5】 检验下列各数是不是方程124326x x x +-+-=的解.(1)1x =; (2)2x =.【习题6】 根据条件,设未知数,列方程.(1) 学校举办科技节,航模组16人,小明加入车模组后,航模组的人数比车模组人数的14多5人,求原车模组人数;随堂检测(2)小智和小方交流暑假活动,小智说:“我参加了夏令营,外出五天,这五天的日期之和为40,你知道我是几号出去的吗?”请你帮小方解决这个问题.【习题7】 解方程:(1)111128612345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭;(2)()0.370%20020054%x x +-=⨯;(3)0.20.50.030.0250.50.032x x x ++--=.【习题8】 若x = 2是方程40ax -=的解,求方程243x ax x a -=+的解.【习题9】 小智今年的年龄是妈妈的13,两年前母子的年龄相差24岁,那么四年后母子的年龄和为多少?【习题10】 方程()72234x x -=-和方程()()7463x a x a ++=--+的解相同,求a 的值.【作业1】 判断下列各式是不是方程,如果不是说明理由.(1)41y x =-;(2)232x x ++;(3)8998⨯=⨯;(4)1 = 0.【作业2】 下列方程中是一元一次方程的是( )A .12x x+= B .2520x x -+= C .2163x -= D .40xy -=【作业3】 方程5324x x +=-移项可得( )A .5234x x +=-B .5234x x -=-C .5234x x +=--D .5234x x -=--【作业4】 检验2、3-是不是方程2560x x -+=的解.课后作业【作业5】 解方程:(1)211136x x x +---=+;(2)()35%25%10030024%x x +-=⨯;(3)1.7210.30.7x x -=-.【作业6】 关于x 的方程()22450k x kx k ++-=是一元一次方程,则方程的解x =___.【作业7】 方程32x -=的解是______.【作业8】 已知2-是关于x 的方程()21523mx x =+-的解,则()201721117m m -+=______.【作业9】甲、乙两人各有钱若干元,已知甲的钱数是乙的4倍,当甲花去13后,又花去余下的13,如果这是甲给乙7元钱,甲、乙两人的钱数正好相等,问甲原来有多少钱?【作业10】已知方程124123x x+--=的解是2a+,那么方程()()2233x x a+--=⎡⎤⎣⎦3a的解是______.。
著名机构六年级数学寒假班讲义列方程解应用题
著名机构六年级数学寒假班讲义列方程解应用题列方程解应用题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容列方程解应用题课型一对一教学目标1、理清题意,学会寻找等量关系式2、灵活设未知数,根据等量关系式列出方程3、解决一般应用题,和倍、差倍应用题4、解决较复杂的分数、百分数、比和比例应用题重、难点重点:教学目标1、4 难点:教学目标3、4课首沟通1、你学过列方程解决问题吗?如果学过,你觉得列方程解决问题的解题关键是什么?2、你能说说列方程解决问题的方法吗?知识导图课首小测1.鸡、兔同笼,共有头48个,脚120只,问鸡、兔各有多少只?2.某车间生产甲、乙两种零件,生产的甲种零件比乙种零件多12个,乙种零件全部合格,甲种零件只有合格,两种零件合格的共有42个,两种零件各生产了多少个?3.一个两位数,十位上的数字是个位上数字的2倍,将个位数字与十位数字调换,得到一个新的两位数,这两个两位数的和是132。
求原来的两位数。
导学一:以总量为等量关系建立方程知识点讲解1:根据公式找出数量关系式(部分量+部分量=总量)列出方程;例 1. (2013年白云区期末测试题)两列火车同时从距离536千米的两地相向而行,4小时相遇,慢车每小时行60千米,快车每小时行多少千米?我爱展示1.降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落,与此同时有一热汽球从地面升起,20分钟后降落伞与热气球在空中相遇,热汽球每秒上升多少米?2.甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水,甲管每分钟注水400千克,要想在8分钟注满水池,乙管每分钟注水多少千克?3.某生产小组9个工人要生产1926个零件,每人每小时可生产20个,工作5.5小时后,要求剩下的任务必须在4小时内完成,每人每小时必须生产多少个?导学二:以相差数为等量关系建立方程知识点讲解 1:常用的数量关系式:较大量-较小量=相差量例1. (2012年白云区单元测试题)化肥厂三月份用水420吨,四月份用水380吨,四月份比三月份节约水费60元,这两个月各付水费多少元?【学有所获】在多个数量都不知道的应用题中,我们一般间接地设中间量为X;其他几个相关的量用含有X的式子来表示,然后再根据等量关系式列方程。
应用一元一次方程—希望工程”义演(小升初衔接)(课件)-2023-2024学年北师大版六年级下册数学
希望工程
所以票款不可能是6930元。 当不确定答案是否有实际意义的时候,都需要进行这样的验证。
归纳总结 一元一次方程解决实际问题需要几个关键的步骤
实际问题
解释
实际问题的解
抽象 寻找等量关系
验证
数学问题 (一元一次方程)
解方程
数学问题的解 (一元一次方程的解)
当题目中涉 及两个等量 关系时,一 个用来设未 知数,另一 个就要用于 列方程。
应用一元一次方程
——“希望工程”义演
探究新知
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,成人票八元,学生票五 元,共售出1000张票,筹得票款6950元。成人票与学生票各售出多少张?
希望工程
探究新知
某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,成人票八元,学生票五 元,共售出1000张票,筹得票款6950元。成人票与学生票各售出多少张?
成人票+学生票=1000
学生票 张,成人票
+
=1000
张。
1000张
等量关系
学生票5元 成人票8元
6950元
解得y 5=350 张,学生票1000-350=650张。
未知量
探究新知
方法一
方法二
解:设学生票为x张,则成人 票为(1000-x)张。
解:设学生票为y元,则成人 票款为(6950-y)元。
解:设学生票为x张,则成人票为(1000-x)张。
5x+8(1000-x)=6950 解得 x =350
即学生票350张 成人票1000-350=650张
1000张
未知量
等量关系
学生票5元 成人票8元
6950元
等量关系
希望工程
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教师姓名冯娜娜学生姓名年级预初上课时间单击此处输入日期。
学科数学课题名称一元一次方程的应用
一元一次方程的应用
知识模块Ⅰ:储蓄问题中的等量关系
(1)利息 = 本金⨯利率⨯期数;
(2)税后利息 = 本金⨯利率⨯期数⨯(1-利息税率);
(3)本利和 = 本金 + 利息;
(4)税后本利和 = 本金 + 税后利息.
【例1】若银行一年定期储蓄的年利率是2.25%,小丽的父亲取出一年到期的本金和利息时,扣除了利息税(利息税=利息×20%)27元,问小丽的父亲存入的本金是多少元?
【例2】小明的妈妈在银行里存入人民币5000元,国家规定存款利息的纳税办法是:利息税=利息⨯20%,储户取款时由银行代扣代收。
存取一年,到期可得人民币5090元,求这项储蓄的年利率是多少?
【例3】小王的父亲一年前存入一笔钱,年利率为2.25%,并缴纳20%的利息税,共得本利和16288元,求小王的父亲一年前存入的本金是多少?
知识模块Ⅱ:盈亏问题中的等量关系
(1)售价 = 成本 + 利润;
(2)售价 = 成本⨯(1 + 利润率);
(3)盈利率 = 售价-成本
成本
.
【例4】一家商店将某种服装按成本价加价40%作为标价,又以8折优惠卖出,结果每件服装仍可获利15元,问这种服装每件的成本价是多少元?
【例5】一种节能型冰箱,商店按原售价的九折出售,降价后的新售价是每台2430元,因为商店按进价加价20%作为原售价,所以降价后商店还能赚钱,请问:这种节能型冰箱的进价是多少元?按降价后的新售价出售,商店每台还可多赚多少元?
【例6】原价每件100元的服装100套,按照五成利润定价卖出,还剩30%的服装没有卖掉,降价后全部卖完,总利润只有预定利润的88%。
问降价后每套服装的售价是多少?
知识模块Ⅲ:行程问题中的等量关系
(1)路程 = 速度⨯时间;
(2)相遇问题:路程和 = 速度之和⨯时间;
(3)追及问题:路程差 = 速度之差⨯追及时间.
【例7】甲、乙两辆火车,长分别为144米和180米,甲车比乙车每秒钟多行4米,两列火车相向而行,从相遇到错开需要9秒钟,问两车的速度各是多少?
【例8】一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。
若每小时行15千米,则可早到25分钟;若每小时行12千米,则将迟到12分钟。
问原来规定的时间是多少小时,到某地路程有多远?
【例9】一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米/小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头之间的距离。
知识模块Ⅳ:工程问题等量关系
工作量 = 工作效率 工作时间.
【例10】2017年春节期间,为了尽快修复因雪灾毁坏电线,某工程队第一周修了全长的35%,第二周修了3600米,这时两周修的总长距全长的
4
3还有400米。
?
【例11】一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,现在由甲做4小时,剩下的部分甲乙合做,求剩下的部分需几小时完成?
知识模块Ⅳ:其他问题
【例12】5位教师和一群学生一起去公园,教师按全票的票价是每人7元,学生只收半价。
如果买门票共花费206.50元,那么学生有多少人?
【例13】一个学生有中国邮票和外国邮票共325张,中国邮票的张数比外国邮票的张数的2 倍少5,这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张?
【例14】六年级学生若干人报名参加足球队,男女生之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求:报名时男生与女生的人数各为多少人?
【例15】有一个两位数,它的十位数字比个位数字大5,并且这个两位数比它的两个数上的数字之和的8倍还要大5,求这个两位数.
【习题1】小杰把过年的压岁钱1000元存入银行,若干个月以后,小杰全部取回存款(税后),共拿到了1036元,已知银行的月利率是0.18%,利息税为20%,问小杰存了几个月?
【习题2】一件商品受季节性的影响准备打折出售,如果按标价的七五折出售,那么每件将赔30元,如果按九折出售,那么每件可赚30元,求这件商品的标价是多少元?成本价是多少元?
【习题3】某市按以下规定收取每月消费:若每月每户用水不超过20立方米,则每立方米水价按1.2元收费;若超过20立方米,则超过部分每立方米按2元收费,如果某户居民在某月所交消费的平均水价为每立方米1.5元,那么他这个月一共用了多少立方米的水?。