数值分析课件 第五章2
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数值分析课件 第五章2
1 M4 = 5
f ′( x ) = − ∫ t sin txdt = ∫ t cos( tx +
0 0 1 2 1 2
1
1
π
2
)dt
2π f ′′( x ) = − ∫ t cos txdt = ∫ t cos( tx + )dt 0 0 2 1 kπ (k ) k 归纳法知 由归纳法知 f ( x ) = t cos( tx + )dt ∫0 2 1 1 kπ 1 (k ) k k f ( x ) ≤ ∫ t cos( tx + ) dt ≤ ∫ t dt = 0 0 2 k +1
xi
f ( xi )
1/2
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式 复化梯形公式(n=8) 梯形公式( )
h= 1
1 1 3 1 T8 ( f ) = f (0) + 2 f ( ) + f ( ) + f ( ) 2×8 4 8 8
b−a 2 Rn ( f ) = I − Tn ( f ) = − h f ′′(η ),η ∈ [a , b] 12
设 M 2 = max] | f ′′( x ) |，则 x∈[ a , b
b−a 2 | Rn ( f ) |≤ h M2 12
2
复化梯形公式是收敛的 复化梯形公式是收敛的，误差阶是O ( h 公式是收敛 以通过 M 2 求出 n 。
在区间[ xk , xk +1 ] , k
b a
b−a 将积分区间 [ a , b ] n等分 分点 xk = a + kh, h = 等分: 等分 n
清华第五版数值分析第5章课件
第一步：选 ai ,1 max ai 1 ,交换第1行和第i1行，
1 i n
然后进行消元，得
( a111 ) [ A( 2 ) , b ( 2 ) ]
( 1 a121 ) a1( n ) ( (2 a222 ) a2 n )
( an 2 ) 2
(2 ann )
三
高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素 （绝对值最大的元素）
设方程组 AX b的增广矩阵为 a11 a (1) (1) 21 [ A , b ] [ A , b] an1 具体步骤为：
1
b1 a22 a2 n b2 an 2 ann bn a12 a1 n
如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.
例：用Gauss列主元消去法解方程组 2 4 6 x1 3 4 9 2 x 5 2 1 1 3 x3 4
(1)
1 2 n
a (1) 0 0
a (1) a (1)
12 1n
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
b(1) ( 2) b2 ( 2) bn
1
则
a 令m i 1 , i 2,3,...,n a
n
a (1) 0 0
11
a (1) a (1)
12
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
数值分析第五版第5章学习资料
6
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
数值分析第五章
输出：有根区间为（3.3，3. 4）且区间（3.6，3.7）内无实根 。
8
§2
设有非线性方程
二 分 法
其中，f (x)为 [a,b] 上连续函数且设 f (a) ⋅ f (b) < 0 （不妨设方程（2.1）于 （2.1）
f (x) = 0
（2.1） 2.1）
[a,b] 内仅有一个实根。
y
求方程（2.1）实根 x* 的二分法过程，就是将含根区间 [a,b] 逐步分 （2.1） 半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。
a ←x
k ≤ N0
否
输出
图5-3
分半 N0 次还没有到 达精度要求信息
15
§3 迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组 的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。 为了用迭代法求非线性方程 f (x) = 0的近似值，首先需要将此方 程转化为等价的方程 3.1） （3.1）
x >b
≤
f1 ← f2
＜ 输出有根区间
(x − ∆x, x)
L2
图 5-1
L 1
7
+ 若 f (x) 于 [a, ∞) 某点 xs 分为两支曲线且 x → xs 时 f (x) →+∞或 − ∞ ， − 当 x → xs 时 f (x) → −∞ 或
[注] 当 f (x) 于 [a,b] 连续时，输出区间 (x − ∆x, x) 内一定有实根， 注
f (xk ) < ε1 或 h < ε2则输出 xk , f (xk ), k;
ak+1 = xk ,bk+1 = bk
其中 N0 表示给定的最大分半次数，当 f (x) < ε1 或 h < ε2 时分半终止， fmax为一大数。
数值分析第五章插值法精品PPT课件
证明 R n ( x i ) f ( x i ) n ( x i ) 0 ,
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
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(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
数值分析第五章线性方程组-数值分析课件
(1) 1n ( 2) 2n (1) 1 ( 2) 2
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想 例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或 除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方 程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个 部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次 数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想 例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或 除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方 程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个 部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次 数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(2)
xk
xk+1
f ( xk ) x k 1 [ x k ] (1 ) xk f ( xk ) xk f ( xk ) f ( xk )
xk 1 (1 ) xk , [0, 1]
注： = 1 时就是Newton’s Method 公式。 当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。
§1.牛顿法
定理 （收敛的充分条件）设 f C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) 0；
(3) 选取 x0 [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) > 0；
则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的 唯一根。 产生的序列单调有 有根 根唯一 定理 （局部收敛性）设 f C2[a, b]界，保证收敛。 ，若 x* 为 f (x) 在[a, b] 上的根，且 f ’(x*) 0，则存在 x* 的邻域 B ( x*) 使得任取初 值 x0 B ( x*)，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*， 且满足 x * x k 1 f ( x*) lim k ( x * x ) 2 2 f ( x*) k
f ( x) 其中 g( x ) x ，则 f ( x ) f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 | g( x*) | 1 1 1 2 f ( x*) n
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。
这是一个充分条件。 g ( p ) ( k )
数值分析第五章%282012%29
( a , b )， 时 ：
b a
f ( x)dx
a
i0
i
f ( xi )
h
n2
f
( n 1)
( )
( n 1) !
n 0
t ( t 1)...( t n ) d t
结论是什么？
b
结论：应用高阶型插值求积公式计算 f ( x )d x 会出现 数值不稳定，而低阶公式（如梯形、辛普生公式） 又因积分区间步长过大使得离散误差大
二次插值求积公式（即Simpson公式）
先 将[a, b] 区 间 二 等 分 ： a , 再 作 二 次 la g ra n g e插 值 P2 ( x ) (x (a
抛物型求积公式： ab
, b 2
2
f ( x k )l k ( x ) )( x b ) f (a ) )( a b ) ( ( x a )( x ) ( b a )( b ab 2 ab 2 ) f (b ) )
第五章 数值积分
问题的提出：
f(x)的原函数没有具体的解析表达式或表达式 很复杂不适宜计算，只有f(x)的离散数据点。 如何求
a f ( x )d x ？
I
b
寻找近似计算方法
a f ( x )d x
f (x)
b
思路： 利用插值多项式Pn ( x )
，则积分易算。
5.1 插值型积分公式
b a
b-a ab P2 ( x ) d x f (b ) f (a ) 4 f 6 2
当 f ( x ) 1时
b a
f ( x ) ( b - a )，
数值分析 第5章haha
, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b
(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计 算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯 消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初 始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收 敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍 直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作 行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn
数值分析容第五章
第五章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x ≠的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)( ==（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)( ==得到如下线性代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋅=+++⋅=+++⋅n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j j innnnnnx xx x x x x x x x x D 0212110200)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ≠，;,2,1n i = n j ,2,1=时，D ≠ 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
结构动力学-第五章 数值分析方法 (Part 2)
§5.5 Wilson-θ 法
ti +1 时刻的解
}i +1 = {u }i +1 {u 6 θ 3 Δt 2
({u}
i +θ
{u}i +1
Δt }i + ({u }i +1 + {u }i ) = {u 2 Δt 2 }i + }i +1 + 2 {u }i ) = {u}i + Δt {u {u ( 6
结构动力学
第五章 动力反应数值分析方法
11 of 23
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土木工程系
§5.5 Wilson-θ 法
不同数值积分法计算精度的比较
(0) = 0 考虑无阻尼自由振动问题： mu + ku = 0 u (0) = 1, u
步长： Δt = 0.1 × Tn
结构动力学 第五章 动力反应数值分析方法 12 of 23 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
i +θ i
i +1
− {P}i ) +
⎡ 6 ⎤ 6 }i + 2 {u }i ⎥ + u + {u [M ] ⎢ 2 { }i θ Δt ⎢ ⎥ ⎣ (θ Δt ) ⎦ ⎛ 3 ⎞ θ Δt }i + }i ⎟ {u [C ] ⎜ {u}i + 2 {u 2 ⎝ θ Δt ⎠
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§5.5 Wilson-θ 法
加速度变化规律
( ti ) + ατ a ( ti + τ ) = u (0 ≤ τ ≤ θ Δt )
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
数值分析课件第5章
cn1xn1
fn1
an bn xn fn
其中|i-j|>1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件:
(1)|b1|>|c1|>0,|bn|>|an|>0
(2)|bi|≥|ai|+|ci|, aici≠0, i=2,3,…,n-1.
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b1 c1
为单位下三角矩阵
这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为 两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要 定理。
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定理 7矩 ( 阵L的 U 分解 )设A为n阶矩阵， A的如 顺果 序主 Di 0(i1,2,,n1)，则 A可分解为一个 角单 矩L和 位 阵下 一个上三U的 角乘 矩积 阵，且这 唯种 一分 的解 。是
a(2) m2
a1(1n) a2(2n)
b1(1) b2(2)
mi2aa22((2221))
(a2(22) 0)
(i3,,m)
am(2n)
bn(2)
a1(11) 0
a(1) 12
a(2) 22
a1(1n)
a2(2n)
b1(1) b2(2)
A(3)
: b(3)
0
0
am(3n)
a(k) kk
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()
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高斯消去法的条件
定理5 设Axb,其中ARnn
(1) 如果ak(kk) 0(k 1,2,,n)，则可通过高斯将 消去法 Axb约化为等价的三组 角(方 )，程且计算公 (式 )。
《数值分析》第五章课件
h
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
数值分析5-2(高斯消去法)
M M ... (3) xn bn (3) ann
…
( 1 0 ... 0 x1 b1n) 0 1 ... 0 x b(n) • 2 = 2 O M M 0 0 ... 1 x (n) n bn
高斯-约当消去法的应用 高斯 约当消去法的应用
1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组 同时求解系数矩阵相同的多个方程组 用高斯-约当消去法求解两个方程 例 用高斯 约当消去法求解两个方程 组 AX=b1 和AX=b2 ，其中
3 4 6 2 4 5 A= 1 2 3
3 b1 = 4 1
(1 a11) ≠ 0
第一次 消元
(2 a22) ≠ 0
(2 (2 ( 1 a12) ... a1n) x1 b12) b(2) (2) (2) 0 a22 ... a2n x2 2 • = ... M M (2) (2) (2) 0 an2 ... ann xn bn
1 1 1 A = 0 4 − 1 2 − 2 1 1 0 0 1 1 1 ∆ = 0 1 0 • 0 4 − 1 = LU ห้องสมุดไป่ตู้ 2 − 1 1 0 0 − 2
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方 程组： 程组：
第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法 二、矩阵的三角分解 三、高斯消去法的计算量 四、高斯—约当消去法 高斯 约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想 举例 用消去法解方程组
基本思想：用逐次消去未知数的方法把 x1 + x2 + x3 = 6
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1 ba h Tn f ( x 1 ) f ( x 1 ) f ( xk ) k k 2 2n k 0 2 2 2
n 1
ba 1、首先将区间 [a , b] n等分： h n
3、终止条件：
由复化梯形公式的余项知
f ( x ) 变化不大时
ba ba 2 I Tn ( ) f (1 ) I Tn 12 n 4 ba ba 2 I T 2n I T2 n ( ) f (2 ) 12 2n 1 由此得到近似关系式 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1 1 误差控制条件 (T2 n Tn ) 4 1
4
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
1 2 1 2
2
)dt
2 f ( x ) t cos txdt t cos( tx )dt 0 0 2 1 k ( k ) k 由归纳法知 f ( x ) t cos( tx )dt 0 2 1 1 k 1 (k ) k k f ( x ) t cos(tx ) dt t dt Cotes公式
n 1 n 1 h C n ( f ) 7 f (a ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) k k 90 k 0 k 0 4 2 n 1 n 1 32 f ( x 3 ) 14 f ( xk ) 7 f (b ) k k 0 k 1 4
0 k 1
n
ba 将积分区间 [a , b] n等分: 分点 xk a kh, h n 在区间[ xk , xk 1 ], k 0,1, , n 1 上采用Simpson
公式
二、复化Simpson公式： /*Compound Simpon Formula */
I ( f ) f ( x )dx
设 f ( x ) C [a, b]
4
h h 4 ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f (k ) k 0 180 2
n 1 1 ( 4) ( 4) ( 4) m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
注意事项：
（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长 h ； （2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计； （3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大； （4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。
三、积分步长的自动选取： 基本思想：
将积分区间逐次分半 前后两次近似值的误差小于已知精度
复化梯形公式
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
n1
复化梯形公式的几何意义
y f ( x)
小梯形面积之和近似
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n 1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2
复化Simpson公式的几何意义
小抛物面积之和近似
y f ( x)
复化Simpson公式的余项
n 1
1 5 3 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 0.945692 2 8 4 8
复化Simpson公式(n=4)
h 1
1 3 5 7 1 S4 ( f ) f ( 0) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 4 8 8 8 8 1 3 1 2 f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 2 4 4
例2：选取5个等距节点，分别利用复化梯形公式、复化
x dx Simpson公式计算积分 I 的近似值，要 2 0 4 x
1
求小数点后保留4位 。
x h 0.25 ,令 f ( x ) 解：将区间[0,1]4等分， 2 4 x
计算各节点的函数值为：
xi
f ( xi )
0 0
0.25
0.5
0.75
1 0.2
0.0615 0.1176 0.1644
复化梯形公式(n=4,h=0.25)
0.111571775657
0.25 T4 ( f ) f (0) 2 f (0.25) f (0.5) f (0.75) 2 f (1) 0.1109
复化Simpson公式(n=2,h=0.5)
1 n1 m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 n1 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 ba 2 余项估计式 Rn ( f ) I Tn ( f ) h f ( ) 12
0.5 S2 ( f ) f (0) 2 f (0.5) 4 f (0.25) f (0.75) 6 f (1) 0.1116
例3：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算
sin x 积分I 的近似值，要求按复化 Simpson公 dx 0 x 6
1 b a ba f ( xk ) f ( xk ) 2 n k 0 n k 1
n1 n
f ( x )dx (n )
a
b
复化梯形公式是稳定的 其中定积分与 区间分法和 k 的取法无关
b a
f ( x )dx lim f (k )xk
4
b a h ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f ( ) 180 2
( 4) M max | f ( x ) | ，则 设 4 a xb
ba h | Rn ( f ) | M4 180 2 4 复化Simpson公式是收敛的，误差阶是O( h ) ， 可以通过 M 4 求出 n 。
4
0.9460832
复化Simpson公式的算法
n n1 h Sn ( f ) f (a ) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i ) f (b) 3 i 1 i 1
ba 其中 h 2n
1. 输入积分区间a,b,等分数n; Y1: 端点的值 2. 令 h=(b-a)/2n; Y2: 半点值 3. 令 Y1=f(a)+f(b),Y2=0,Y3=0; Y3: 内部整节点值 4. 对 i=1,2,...2n-1 令 x=a+ih; 如果 i 为偶数，则 Y3=Y3+f(x); 如果 i 为奇数，则 Y2=Y2+f(x); 5. 令 S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3.
2
复化梯形公式是收敛的，误差阶是O( h 以通过 M 2 求出 n 。
1
) ，可
,
x e dx 问题： 若用复化梯形公式计算 , 要求误差不超过 0 6 利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。 10
复化梯形公式的收敛性
设 f ( x ) C [a , b]
n1 h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
1 ( 4) 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 4 b a h ( 4) 余项估计式R ( f ) I S ( f ) f ( ) n n 180 2
( 4)
n 1
复化Simpson公式的余项
设 f ( x ) C 4 [a, b]
终止法则：
I 2n I n
具体过程（以复化梯形公式为例）
n1
h Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1 h 2、再将区间[a , b] 2n等分，即步长减半： h 1 2 n 1 n 1 h1 T2 n f (a ) 2 f ( xk ) 2 f ( x 1 ) f (b) k 2 k 1 k 0 2
b a
k 0
n 1
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
h f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 ) Rn ( f ) k 6 k 0 2
h 其中 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2 2
复化Simpson公式
1 1 1 1 6 Rn ( f ) M4 0.5 10 180 2n 900 2n
解不等式得
4
4
n4
0 1/8 1/4 3/8
将区间 [0,1 8] 等分，分别采用复化Simpson、梯形公式
xi
f ( xi )
1/2
1
5/8
0.997398 0.989688 0.976727
6/8 7/8 1
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式(n=8)
h 1
1 1 3 1 T8 ( f ) f ( 0) 2 f ( ) f ( ) f ( ) 28 4 8 8
8 0.946083070367
n 1
ba 1、首先将区间 [a , b] n等分： h n
3、终止条件：
由复化梯形公式的余项知
f ( x ) 变化不大时
ba ba 2 I Tn ( ) f (1 ) I Tn 12 n 4 ba ba 2 I T 2n I T2 n ( ) f (2 ) 12 2n 1 由此得到近似关系式 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1 1 误差控制条件 (T2 n Tn ) 4 1
4
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
1 2 1 2
2
)dt
2 f ( x ) t cos txdt t cos( tx )dt 0 0 2 1 k ( k ) k 由归纳法知 f ( x ) t cos( tx )dt 0 2 1 1 k 1 (k ) k k f ( x ) t cos(tx ) dt t dt Cotes公式
n 1 n 1 h C n ( f ) 7 f (a ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) k k 90 k 0 k 0 4 2 n 1 n 1 32 f ( x 3 ) 14 f ( xk ) 7 f (b ) k k 0 k 1 4
0 k 1
n
ba 将积分区间 [a , b] n等分: 分点 xk a kh, h n 在区间[ xk , xk 1 ], k 0,1, , n 1 上采用Simpson
公式
二、复化Simpson公式： /*Compound Simpon Formula */
I ( f ) f ( x )dx
设 f ( x ) C [a, b]
4
h h 4 ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f (k ) k 0 180 2
n 1 1 ( 4) ( 4) ( 4) m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
注意事项：
（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长 h ； （2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计； （3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大； （4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。
三、积分步长的自动选取： 基本思想：
将积分区间逐次分半 前后两次近似值的误差小于已知精度
复化梯形公式
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
n1
复化梯形公式的几何意义
y f ( x)
小梯形面积之和近似
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n 1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2
复化Simpson公式的几何意义
小抛物面积之和近似
y f ( x)
复化Simpson公式的余项
n 1
1 5 3 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 0.945692 2 8 4 8
复化Simpson公式(n=4)
h 1
1 3 5 7 1 S4 ( f ) f ( 0) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 4 8 8 8 8 1 3 1 2 f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 2 4 4
例2：选取5个等距节点，分别利用复化梯形公式、复化
x dx Simpson公式计算积分 I 的近似值，要 2 0 4 x
1
求小数点后保留4位 。
x h 0.25 ,令 f ( x ) 解：将区间[0,1]4等分， 2 4 x
计算各节点的函数值为：
xi
f ( xi )
0 0
0.25
0.5
0.75
1 0.2
0.0615 0.1176 0.1644
复化梯形公式(n=4,h=0.25)
0.111571775657
0.25 T4 ( f ) f (0) 2 f (0.25) f (0.5) f (0.75) 2 f (1) 0.1109
复化Simpson公式(n=2,h=0.5)
1 n1 m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 n1 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 ba 2 余项估计式 Rn ( f ) I Tn ( f ) h f ( ) 12
0.5 S2 ( f ) f (0) 2 f (0.5) 4 f (0.25) f (0.75) 6 f (1) 0.1116
例3：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算
sin x 积分I 的近似值，要求按复化 Simpson公 dx 0 x 6
1 b a ba f ( xk ) f ( xk ) 2 n k 0 n k 1
n1 n
f ( x )dx (n )
a
b
复化梯形公式是稳定的 其中定积分与 区间分法和 k 的取法无关
b a
f ( x )dx lim f (k )xk
4
b a h ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f ( ) 180 2
( 4) M max | f ( x ) | ，则 设 4 a xb
ba h | Rn ( f ) | M4 180 2 4 复化Simpson公式是收敛的，误差阶是O( h ) ， 可以通过 M 4 求出 n 。
4
0.9460832
复化Simpson公式的算法
n n1 h Sn ( f ) f (a ) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i ) f (b) 3 i 1 i 1
ba 其中 h 2n
1. 输入积分区间a,b,等分数n; Y1: 端点的值 2. 令 h=(b-a)/2n; Y2: 半点值 3. 令 Y1=f(a)+f(b),Y2=0,Y3=0; Y3: 内部整节点值 4. 对 i=1,2,...2n-1 令 x=a+ih; 如果 i 为偶数，则 Y3=Y3+f(x); 如果 i 为奇数，则 Y2=Y2+f(x); 5. 令 S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3.
2
复化梯形公式是收敛的，误差阶是O( h 以通过 M 2 求出 n 。
1
) ，可
,
x e dx 问题： 若用复化梯形公式计算 , 要求误差不超过 0 6 利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。 10
复化梯形公式的收敛性
设 f ( x ) C [a , b]
n1 h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
1 ( 4) 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 4 b a h ( 4) 余项估计式R ( f ) I S ( f ) f ( ) n n 180 2
( 4)
n 1
复化Simpson公式的余项
设 f ( x ) C 4 [a, b]
终止法则：
I 2n I n
具体过程（以复化梯形公式为例）
n1
h Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1 h 2、再将区间[a , b] 2n等分，即步长减半： h 1 2 n 1 n 1 h1 T2 n f (a ) 2 f ( xk ) 2 f ( x 1 ) f (b) k 2 k 1 k 0 2
b a
k 0
n 1
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
h f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 ) Rn ( f ) k 6 k 0 2
h 其中 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2 2
复化Simpson公式
1 1 1 1 6 Rn ( f ) M4 0.5 10 180 2n 900 2n
解不等式得
4
4
n4
0 1/8 1/4 3/8
将区间 [0,1 8] 等分，分别采用复化Simpson、梯形公式
xi
f ( xi )
1/2
1
5/8
0.997398 0.989688 0.976727
6/8 7/8 1
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式(n=8)
h 1
1 1 3 1 T8 ( f ) f ( 0) 2 f ( ) f ( ) f ( ) 28 4 8 8
8 0.946083070367