2019年高三年级第一次诊断性测试 理科数学答案
四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。
甘肃省兰州市2019届高三第一次诊断考试理数试题 含答案
函数 y f ( x) 在其定义域内为增函数，单调递增区间为 (0, ) .
（2）①当 a 0 时， f ( x )
1 2 1 x 2 x ( x 2)2 2 ( x 0) 2 2
由于 f (4) 0 ，故函数有且只有一个零点； ②当 a 1 时，由(1)知函数 y f ( x ) 在其定义域内为增函数， 由于 f (e)
则 f ( x ) 所以，当 a 1, b 1 时， a b 0 ，满足条件， a b 的最小值是 0.
三、解答题 （一）必考题 17. 解：（1）由已知得 5b sin A cos C 5c sin A cos B 3a 由正弦定理可得： 5 sin B sin A cos C 5 sin C sin A cos B 3 sin A sin A 0 5 sin B cos C 5 sin C cos B 3
……7 分
则点 M 到直线 l 的距离 d
2 cos φ 2 sin φ 3 2 5
y1 2 y1 y 2y ，k 2 2 2 2 2 , 2 y2 y1 2 y2 2 1 2
设 A(
……8 分
k1
y 1 2
2 1
2 4 2 2 2 2 2 2 y14 y2 y2 y1 8 y12 y2 4 ( y12 y2 ) 2)2 ( y12 2)2 y2 ( y2 2)2 y12 1 1 ( y12 2)2 ( y2 2 2 2 2 2 2 2 2 k1 k2 4 y1 4 y2 4 y1 y2 4 y1 y2
解得 a 由 h( 1) 2a 2a 4 0 得， 2 a 1 ，此时 1 a 2 不满足②恒成立；
2019年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学答案
an,1 = 1 −
1 1 ， an−1,1 = 1 − n−2 ,(n 2) n −1 2 2
下面求数列 an ,2 的通项， 由题意可知 an ,2 = an −1,1 + an −1,2 ,(n 3) ，
研 究
1
n−2
院
2 ,(n 3) ，即 an,2 − an−1,2 = 1 − 1 2
=
（my1 + 1 ） −2
理科数学试题答案及评分参考第6页（共14页）
深
6 y2 (my1 + 1) − 2 − 2 y1 (my2 + 1) + 2
圳
∵ 6 y2 − ( x2 + 2)
2 y1 6 y ( x − 2) − 2 y1 ( x2 + 2) = 2 1 x1 − 2 x1 − 2
育
A
x
R
Q
| n1 n2 | 2 2 ， = | n1 | | n2 | 3
2 2 ．……………………12 分 3
研
C B
究
2 2 , , 0) ， 2 2
P
z
院
直线 SP 为平面 PAD 与平面 PBC 的交线，
过 D 做 DG ⊥ BC ，交 BC 于 G ，连接 PG ，则 BC ⊥ 平面 PDG ，
CD =
【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形
育
结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18.（本小题满分 12 分）
P
教
圳 市
（1）求证： EF / / 平面 ABCD ； （2）若平面 PDC ⊥ 底面 ABCD ，且 PD ⊥ DC ，
2019年高三年级第一次毕业诊断与模拟测试理科数学试卷
2019年高三年级第一次毕业诊断及模拟测试理科数学试卷（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第I卷（选择题共60 分）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合A二｛1,2｝，集合B满足A B=｛1,2｝，则这样的集合B的个数为2.已知x, y • R , i 为虚数单位，且xi - y 二_1 • i，贝U (1 _i)(x- yi)二3. 下列函数既是偶函数又在（0, •：：）上是单调递增的是A. y = ln xB. y - -x2C. y 二e xD. y 二cosx4. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积是A. 4 4.2B. 6 4.2C. 8 4.2D. 1635. 在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在感染的标志为“连续10天，每天新增加疑似病例不超过7人”。
根据过去10天甲乙丙丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A.甲地总体均值为3，中位数为4 C.丙地中位数为3,众数为3B.乙地总体均值为2,总体方差大于0 D. 丁地总体均值为2,总体方差为36.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若2a n = 6 ■ an，则S9 =A. 54B. 45C. 36D. 277.已知有颜色为红黄蓝绿的四个小球，准备放到颜色为红黄蓝绿的四个箱子离，每个箱子只放一个小球，则恰好只有一个小球的颜色与箱子的颜色正好一致的概率为A.丄4B. 1 C. - D.—3 6 128.已知点2 2P在双曲线x2 -y2-1 （a 0,b 0）上, R,F2分另忧双曲线的左右焦点,a bA. 2B. -2iC. -4D. 2iA. 1B. 2C. 3D. 4段时间没有发生规模群体F1PF^90，且△ F1PF2的三条边长之比为3:4:5,则此双曲线的渐近线方程是A. y = 2 3xB. y = 4xC. y 二2 5xD. y = 2 6x9. 如图, AB1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB=4 , BC = 3,—2 * 2 -A BAA =5 , BB^8 , CC ! =12，则该几何体的体积是— 3已知sin (― -x) ，则sin2x 的值为4 5坐标原点，则△的面积为1a^3,a 1 a? •…a n =21 ,数列｛一｝的前n 项之和为S n ,a n若对一切n ・N *，恒有S 2n—成立，则m 能取到的最大正整数是 16三、解答题：本大题共 6小题，共70分。
2021年11月1日绵阳市高中2019级第一次诊断性考试绵阳一诊数学理科文科答案
绵阳市高中2019级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDBCC AABDD AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.714.2 15.3216.[1，三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.解：(1)()cos2)sin2f x x x ωω++sin 2x x ωω+2sin(2)3x πω=+. ………………………………………………4分∵相邻对称轴间距离为2π， ∴函数的最小正周期T π=，即2(0)2ππωω=>，解得1ω=， ∴()2sin(2)3f x x π=+. …………………………………………………………6分由222232≤≤k x k πππππ-+++，得51212≤≤k x k ππππ-++(k Z ∈)， ∴函数()f x 在 [0，2π]上的单调递增区间为[0，12π].………………………8分(2)将函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得()2sin[2()+]=2sin(22+)33g x x x ππϕϕ=++，∵()g x 为偶函数， ∴(0)2g =±，即sin(2)13πϕ+=±， ……………………………………………10分 ∴232k ππϕπ+=+，即()212k k Z ππϕ=+∈. 又02πϕ<<，∴12πϕ=.………………………………………………………………………12分18.解：(1)∵132n n S S +=+①，∴2312+=S S ，即23121+=+a a a .∵12a =，∴62=a . …………………………………………………………2分 当2≥n 时，231+=-n n S S .② 由①－②得n n a a 31=+，即13(2)≥n n a n a +=.又312=a a， ∴数列{}n a 是以首项为2，公比为3的等比数列. ………………………… 5分 ∴132-⨯=n n a .………………………………………………………………… 6分(2)由123n n n a n -⋅=⋅，…………………………………………………………7分 得011213233)（n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯① 123213233)（n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②由①－②，得0122233333)n n n T n -=+++⋅⋅⋅+⋅-1（-， 132223(12)3113nn n n T n n --=⨯-⋅=---.∴11()322n n T n =-+ . …………………………………………………………12分19.解：选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -，得sin (2)sin cos cos b C a b B CB-=，由正弦定理可得，sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -. ∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=， ∵(0)，C π∈，∴sin 0C ≠， ∴1cos 2A =，又(0)2，A π∈，∴3A π=.选择条件②：由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin C B A B =-， 又sin sin()A C B =+，∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-， 化简整理得2cos sin sin C B B =， 由sin 0B ≠，∴1cos 2C =， 又π02C <<，∴π3C =.选择条件③：由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+， 由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=， ∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+， ∴22cos cos cos ab C ac A a C =+， ∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =.又π(0)2，C ∈，∴π3C =. …………………………………………………………4分 (1)证明：由正弦定理得sin sin a c AC=∴a A ，∴)33cos a A B B B π++，得证. ……………………………6分(2)由AP =2PB 及AB=3，可得PB=1， 在△PBC 中，由余弦定理可得，2212cos CP a a B =+-2123cos )3cos )cos B B B B B ++=+-n 4i 2B =+.………………………………………………………………9分∵△ABC 为锐角三角形，∴()62，B ππ∈，即2()3B ππ∈，. 当2==24B B ππ，即时，2CP 取最大值为∴线段CP 的长度的最大值为………………………………………12分 20.解：(1)由题意得22()23= f x x ax a '=-++-(x -3a )(x +a ).…………………1分当1a =-时，()(1)(3)f x x x '=--+，x ∈[-4，2]. 由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43≤x -<-或12≤x <.………………………………………3分 ∴函数f (x )在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减.又2532(4)(3)33f f -=--=-，， 327(4)5(1)(1)0(2)33，，，f f f f -=--=-==-， ∴函数()f x 在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为323-. ………………6分(2)存在实数m ，使不等式()0f x <的解集恰好为(m ，+∞)， 等价于函数f (x )只有一个零点.∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a '=-++--+，i)当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数f (x )在区间(3a ，-a )上单调递增； 由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数f (x )在区间(-∞，3a )，(-a ，+∞)上单调递减. 又5(0)03f =-<，∴只需要f (-a )<0，解得-1<a <0. ∴实数a 的取值范围为 -1<a <0.ii)当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立.…………………………………10分 iii) 当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<， 即f (x )在区间(-a ， 3a )上单调递增； 由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(-∞，-a )，(3a ，+∞)上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得0a <<.综上：实数a 的取值范围是(1-. ………………………………………12分21.解：(1)由题意得()(1)e (ln 1)x f x x b x x '=+-+-. …………………………1分∵函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2e -3，∴(1)2e 12e 3f b '=--=-，解得b =2. ………………………………………3分当x >1时，23()12x f x xe x >-+等价于22ln 10x x x -->，即12ln 0x x x-->.令1()2ln F x x x x =--，则22221(1)()10x F x x x x -'=-+=>. ∴函数()F x 在区间(1)，+∞上单调递增， ∴()(1)0F x F >=，∴当x >1时，23()12xf x xe x >-+. ……………………………………………6分(2)由题得21()e 2ln (4)12x g x x x x x a x =--+--.若g (x )=f (x )+(4-a )x -1无极值，则()0≥g x '恒成立或()0≤g x '恒成立. i)当()0≥g x '恒成立时，()(1)2(1ln )40e ≥x g x x x x a '=+-+-+-，即min 2[(1)2ln ]x a x x x -+--≤e . 令()(1)e 2ln x h x x x x =+--. ∴2(2)1()(2)e 1(2)e (2)(e )x x x x h x x x x x x x+'=+--=+-=+-(x >0). 令1()e x x xϕ=-，则21()e 0x x x ϕ'=+>，即()x ϕ在 (0，+∞)上单调递增. ………………………………………………8分又1()220(1)e 102，ϕϕ==->，∴存在0x ∈(12，1)，使得0001()e =0x x x ϕ=-.∴当0(0)，x x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<， ∴函数h (x )在区间0(0)，x 单调递减. 当0()，x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>， ∴函数h (x )在区间0()，x +∞单调递增.∴函数h (x )的最小值为h (x 0)=0000(1)e 2ln x x x x +--.………………………10分 又001e x x =，即00ln x x =-， 代入，得h (x 0)=0000(1)e 2ln x x x x +--=0000011121x x x x x ++-=++. 又0x ∈(12，1)，则h (x 0)= =0011x x ++∈(3，72).∴正整数a 的最大值是5.ii)当()0≤g x '恒成立时，()(1)e 2(1ln )40≤x g x x x x a '=+-+-+-， 即max 2[(1)2ln ]x a x x x -+--≥e ，又由(i)知， 函数h (x )在区间0()，x +∞上单调递增， ∴函数h (x )不存在最大值.综上：正整数a 的最大值是5. ………………………………………………12分22.解：(1)曲线1C 的极坐标方程为2(0)=≤≤ρθπ. …………………………2分设P (，ρθ)为曲线2C 上的任意一点， ∴=2cos()2πρθ-.∴曲线2C 极坐标方程为2sin (0)=≤≤ρθθπ. …………………………………5分 (2)∵直线(0)θααπρ=<<∈R ，与曲线1C ，2C 分别交于点A ，B (异于极点)， ∴设B (，B ρα)，则A (，A ρα). 由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，∴22sin A B AB ρρα=-=-. ……………………………………………………7分 ∵点M 到直线AB 的距离sin 2sin d OM αα=⨯=， ∴11=(22sin )2sin 22AOM S AB d αα∆⋅=-⨯ 2(sin 1sin )12(1sin )sin 242αααα+-=-⨯⨯=≤1(sin )2α=当且仅当时，等号成立 .∴△ABM 的面积的最大值为12. ……………………………………………10分 23.解：(1)由题意得()2()(2)3≤f x x m x m x m x m m =+--+--=. ………3分∵函数()f x 的最大值为6，∴36m =，即2m =±.∵m >0，∴m =2. ………………………………………………………………5分 (2)由(1)知，2x y z ++=，∵x >0，y >0，z >0，∴2()()22x xx y z y z =++=+++≥当且仅当2x y z ==时，等号成立). …………………………8分∴2，∴当且仅当11=2x y z ==，时，等号成立). ………………10分绵阳市高中2019级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDADC ACBBA BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.714.2 15.16.[1，三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.解：(1)由题意得A =2，22ππω=，∴4ω=.…………………………………………………………………………2分 ∵函数()f x 的图象经过点7(2)24，M π--， ∴72cos()26πϕ-+=-. 又|φ|＜2π，∴6πϕ=. …………………………………………………………5分 ∴()2cos(4)6f x x π=+. …………………………………………………………6分由2426≤≤k x k ππππ-++，得7(Z)242224≤≤k k x k ππππ-+-∈. ∴函数()f x 的单调递增区间为[7242k ππ-+，224k ππ-](k Z ∈). ……………8分 (2)∵[]88，x ππ∈-，∴24[]633，x πππ+∈-， ∴1cos(4)[1]62，x π+∈-， ∴函数()f x 的值域为[-1，2]. ………………………………………………12分18.解：(1)当n =1时，2211-=a S =1a ，解得12a =. …………………………………………………………………… 2分 ∵22-=n n a S ，①∴当2≥n 时，2211-=--n n a S .② ①－②得12-=n n a a ， 整理得12-=n n a a (n ≥2) .∴数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列. …………………………5分∴nn a 2=. ………………………………………………………………………6分(2)由(1)得n n n a a 421⨯=+. ………………………………………………7分 ∴112231(1)n n n n T a a a a a a ++=-++-2182(44(1)4)[1(4)]5n n n +=-++-⨯=-- . …………………………12分19.解：选择条件①： 由tan =(2)tan b C a b B -，得sin (2)sin cos cos b C a b B CB-=，由正弦定理可得，sin sin cos =(2sin sin )sin cos B C B A B B C -. ∴sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C C B B C C B A =+=+=， ∵(0)，A π∈，∴sin 0A ≠， ∴1cos 2C =，又(0)2，C π∈，∴3C π=.选择条件②：由正弦定理可得，2sin cos 2sin sin C B A B =-， 又sin sin()A C B =+，∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin C B C B B C B C B B =+-=+-， 化简整理得2cos sin sin C B B =，由sin 0B >，故1cos 2C =， 又π02C <<，∴π3C =.选择条件③：由已知得，2222cos cos b a c ac A a C +-=+， 由余弦定理，得2222cos b a c ab C +-=， ∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+， ∴22cos cos cos ab C ac A a C =+， ∵0a >，∴2cos cos cos b C c A a C =+，由正弦定理，有2sin cos sin cos sin cos sin()sin B C C A A C A C B =+=+=， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2C =.又π(0)2，C ∈，∴π3C =. …………………………………………………………6分 (2)∵=a mb ，∴sin()sin 13sin sin 2B a A m b B B π+====…………………………………………8分 ∵△ABC 为锐角三角形，则()62B ππ∈，，∴tan B >…………………………………………………………………10分 ∴122m <<. ……………………………………………………………………12分 20.解：(1)由题意得22()23= f x x ax a '=-++-(x -3a )(x +a ).…………………1分当1a =-时，()(1)(3)f x x x '=--+，x ∈[-4，2]. 由()0f x '>，解得31x -<<；由()0f x '<，解得43≤x -<-或12≤x <. ……………………………………3分 ∴函数f (x )在区间(-3，1)上单调递增，在区间[-4，-3)，(1，2]单调递减.又2532(4)(3)33f f -=--=-，， 327(4)5(1)(1)0(2)33，，，f f f f -=--=-==-， ∴函数()f x 在区间[-4，2]上的最大值为0，最小值为323-. ……………6分 (2)函数f (x )只有一个零点.∵22()23=(3)()f x x ax a x a x a '=-++--+，i)当a <0时，由()0f x '>，解得3a x a <<-，∴函数f (x )在区间(3a ，-a )上单调递增；由()0f x '<，解得3x a <或x a >-，∴函数f (x )在区间(-∞，3a )，(-a ，+∞)上单调递减. 又5(0)03f =-<，∴只需要f (-a )<0，解得-1<a <0. ∴实数a 的取值范围为 -1<a <0.ii)当a =0时，显然f (x )只有一个零点成立. ………………………………10分 iii) 当a >0时，由()0f x '>，解得3a x a -<<， 即f (x )在区间(-a ， 3a )上单调递增； 由()0f x '<，解得x a <-或3x a >，即函数f (x )在区间(-∞，-a )，(3a ，+∞)上单调递减；又5(0)03f =-<，∴只需要f (3a )<0，解得0a <<.综上：实数a 的取值范围是(1-. ………………………………………12分21.解：(1)由题意得()(1)e 2x f x x ax b '=-+-. ………………………………2分∵函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线的斜率为-3，∴(0)13f b '=--=-，解得b =2. ………………………………………………………………………4分 (2)∵ f (x )>-e -1恒成立，∴f (1)=-e+a -2>-e -1，即a >1.∴f (x )≥(x -2)e x +x 2-2x (当x =0时，取“=”). ……………………………6分 令g (x )=(x -2)e x +x 2-2x ，则()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x g x x x x '=-+-=-+. 由()0g x '>，得x >1，由()0g x '<，得x <1. ∴函数g (x )在区间(-∞，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增. ……………………………………8分∴min ()(1)1g x g ==--e -1，∴g (x )≥-e -1(当x =1时，取“=”) . ∴f (x )>-e -1.综上，实数a 的取值范围为a >1. …………………………………………12分文科数学答案第 11 页（共5页） 22.解：(1)曲线1C 的极坐标方程为2(0)=≤≤ρθπ. …………………………2分设P (，ρθ)为曲线2C 上的任意一点，可得=2cos()2πρθ-. ∴曲线2C 极坐标方程为2sin (0)=≤≤ρθθπ. …………………………………5分(2)∵直线(0)θααπρ=<<∈R ，与曲线1C ，2C 分别相交于点A ，B ，∴设B (，B ρα)，则A (，A ρα).由题意得2sin B ρα=，2A ρ=，∴22sin A B AB ρρα=-=-. ……………………………………………………7分 ∵点M 到直线AB 的距离sin 2sin d OM αα=⨯=， ∴11=(22sin )2sin 22AOM S AB d αα∆⋅=-⨯ 2(sin 1sin )12(1sin )sin 242αααα+-=-⨯⨯=≤ 1(sin )2α=当且仅当时，等号成立 . ∴△ABM 的面积的最大值为12. ……………………………………………10分 23.解：(1)由题意得()2()(2)3≤f x x m x m x m x m m =+--+--=. ………3分∵函数()f x 的最大值为6， ∴36m =，即2m =±.∵m >0，∴m =2. ……………………………………………………………5分(2)由(1)知，2x y z ++=，∵x >0，y >0，z >0，∴2()()22x x x y z y z =++=+++≥当且仅当2x y z ==时，等号成立). …………………………8分∴2，∴(当且仅当11=2x y z ==，时，等号成立). ………………10分。
2019年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学答案
2019年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9． 27 ． 10． －8 ． 11． 6 ． 12．}2{)0,( -∞． 13． 67 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．2． 15．7710．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC ． 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f)6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω． ……………………………4分而)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=πω22， 解之，得1=ω． ………………………6分（2）由（1）得)32sin()(π-=x x f ．若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解之，得4π=x 或127π=x ．由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ， ∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． …………………………10分 又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． …………………………12分 说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运算求解能力． 17．（本小题满分12分）如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，AB AC AE ==．（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值． 解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P ． ……1分证明如下：取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则AC FP //，AC FP 21=， …………………2分 取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒，A BCDE PMF∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴AC MC ED 21==．又∵AC ED //，………3分 ∴FP ED //且ED FP =，四边形EFPD 是平行四边形．……………………4分 ∴EF DP //，而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，∴//DP 平面EAB ． ……………………6分（2）（解法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ， ∵AC ED //， ∴l ED //，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分∵平面EAC ⊥平面ABC ，AC DC ⊥， ∴⊥DC 平面ABC ，又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ， ∴DG l ⊥，∴DGC ∠是所求二面角的平面角．………………10分 设a AE AC AB 2===，则a CD 3=，a GC 2=，∴a CD GC GD 722=+=， ∴772cos cos ==∠=GD GC DGC θ． ………………………12分 （解法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内（如图）． 设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，)3,,0(a a E ，)3,2,0(a a D ．∴)3,,2(a a a EB --=，)0,,0(a ED =， ………………………8分 设平面EBD 的法向量为),,(z y x =n ， 则EB ⊥n 且ED ⊥n ， ∴⎩⎨⎧=⋅=⋅.0,0ED EB n n∴⎩⎨⎧==--.0,032ay az ay ax A BCDE PM FG解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.0,23y z x取2z =，得平面EBD 的一个法向量为)2,0,3(=n . …………………………10分又∵平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(='n ．77210020)3(120003,cos cos 222222=++⋅++⨯+⨯+⨯=>'<=θn n ．………………………12分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．（本小题满分14分）已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ，2)1()(x x f x f ++='恒成立．（1）求)(x f 的解析表达式；（2）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值．解：（1）设c bx ax x f ++=2)(（其中0≠a ），则b ax x f +=2)('， ………………2分c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+)2()1()1()1(22．由已知，得22(1)(2)ax b a x a b x a b c +=++++++，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+b c b a a b a a 2201，解之，得1-=a ，0=b ，1=c ， ∴1)(2+-=x x f ． ………………5分（2）由（1）得，)1,(2t t P -，切线l 的斜率t t f k 2)('-==，∴切线l 的方程为)(2)1(2t x t t y --=--，即122++-=t tx y ． ………………7分从而l 与x 轴的交点为)0,21(2tt A +，l 与y 轴的交点为)1,0(2+t B ， ∴tt t S 4)1()(22+=（其中0>t ）． ………………9分∴224)13)(13)(1()('t t t t t S -++=． ………………11分当330<<t 时，0)('<t S ，)(t S 是减函数；当33>t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数． ………………13分∴93433)]([min =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S t S ． ………………14分 说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力．19．（本小题满分14分）某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且 这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）解：（1）若按“项目一”投资，设获利1ξ万元，则1ξ的分布列为17300(150)20099E ξ∴=⨯+-⨯=（万元）. ………………………2分若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：23500(300)02005315E ξ∴=⨯+-⨯+⨯=（万元）. ………………………4分又22172(300200)(150200)3500099D ξ=-⨯+--⨯=， ………………………5分2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，………………………6分所以12E E ξξ=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ………………………8分 （2）假设n 年后总资产可以翻一番，依题意：2001000(1)20001000n+=，即1.22n =，………10分两边取对数得：lg 20.30103.80532lg 2lg3120.30100.47711n ==≈+-⨯+-．所以大约4年后，即在2019年底总资产可以翻一番． ………………………13分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2019年底，总资产可以翻一番．…………………14分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力．20．（本小题满分14分）已知A 、B 分别是直线x y 33=和x y 33-=上的两个动点，线段AB 的长为32， P 是AB 的中点．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(Q 作直线l （与x 轴不垂直）与轨迹C 交于M N 、两点，与y 轴交于点R ．若RM MQ λ=，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．解：（1）设),(y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ．∵P 是线段AB 的中点，∴1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ …………………………2分∵A B 、分别是直线y x =和y x =上的点，∴11y x =和22y x =．∴1212,.x x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩…………………………4分又23AB =12)()(221221=-+-y y x x ． …………………………5分 ∴22412123y x +=， ∴动点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=． …………………………6分 （2）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-． ………………………7分 设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=， …………………………9分∴22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k -=+． ② …………………………10分∵MQ RM λ=，∴[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-．即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x ∴)1(33x x -λ=．∵l 与x 轴不垂直，∴13≠x ，∴331x x -=λ，同理441x x -=μ． …………………………12分∴443311x x x x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++． 将①②代入上式可得49-=μ+λ． …………………………14分说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力． 21．（本小题满分14分）在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（1）分别计算3513,a a a a 和4624,a a a a 的值； （2）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n nS n ，*n N ∈．解：解：（1）由已知，得33a =，56a =，492a =，68a = . …………………………2分（2）（证法1）121222a ⨯==，362322a ⨯==，5123422a ⨯==，……； 2222a =，2432a =，2642a =，…….∴猜想21(1)2n n n a -+=,22(1)2n n a +=，*n N ∈， …………………………4分 以下用数学归纳法证明之． ①当1=n 时，21111a a ⨯-==，221222a ⨯==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)2k k k a -+=,22(1)2k k a +=，那么[]22(1)121221(1)(1)1(1)(1)22222k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=⨯-=, [][]2222212(1)2222(1)(2)(1)1(2)222(1)2k k k kk k k a k a a a k ++++++++=====+. ∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立． …………………6分∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n n n a n ；当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a n ． 即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2． ……………………9分 （注：通项公式也可以写成16)1(721812n n n n a -+++=）（证法2）令1212-+=n n n a ab ，*n N ∈，则12222121212221212122212321-=-⨯=-==++++++++++kk k k k k k k k k k n a a a a a a a a a a a b11411412212121212121212-+=-+⨯=-+=-+-++-+nnk k k k k k k b b a a a a a a a ． ∴n n n b b b +-=-+1)1(211，1121)1(22)1(111-+=-+-=-+n n n n b b b b ．从而2111111=---+n n b b （常数），*n N ∈，又21111=-b ， 故}11{-n b 是首项为21，公差为21的等差数列，∴221)1(2111n n b n =⨯-+=-， 解之，得nn b n 2+=，即n n a a n n 21212+=-+，*n N ∈． …………………………6分∴32125232573513112-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n a aa a a a a a a a a a2)1(1123524131+=-+⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=n n n n n n ，从而2)1(22)2)(1(2)1(2212122+=++++=+=+-n n n n n a a a n n n ．（余同法1）……………………8分 （注：本小题解法中，也可以令n n n a a b 222+=，或令122-=n n n a ab ，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 显然，2114341111+⨯=<==a S ； …………………………10分 当n 为偶数时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⨯+++⨯++⨯++⨯=2222)2(1)2(18186161641414218n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯<)2(1)2(18618616416414214218n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2118161614141218n n2421218+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n ； …………………………12分 当n 为奇数（3≥n ）时，)3)(1(82)1()1(411++++--<+=-n n n n a S S n n n 24)3)(2)(1(8242)3)(1(211424+<+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-++=n nn n n n n n n n n n n n n . 综上所述，24+<n nS n ，*n N ∈． …………………………14分（解法2）由（2），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n nS n ，*n N ∈．①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立．……11分 ②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k kS k ，那么，当k 为奇数时，211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时，)4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k)4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k2)1()1(4+++<k k ． ∴1+=k n 时，不等式也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，不等式24+<n nS n 成立．……14分说明：本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念，考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、不等式的放缩等重要数学思想方法，并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查． 命题人：李志敏、康达军、姚亮 审题人：石永生。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理科数学试卷附答案解析
2019年甘肃省高考一诊试卷数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A,—— H—i B.———i C.—— H i 252525252525【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为a+bi的形式，由此得出正确选项.71 D,—2525【详解】依题意,(l+i)(3+4i)_—l+7i八乱一(3—42)(3+4，)25~17—方+云'，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集U=R,集合A={x\-3<x<l},B={x\x<—2或x>2},那么集合A n(C…B)=()A.{x|—3<x<—2}B.{x|—3<x<2}C.(x|—2<x<1}D.(x|x<lgfcx>2)【答案】C【解析】【分析】先求得集合B的补集，然后求其与集合A的交集.【详解】依题意C u B={x\-2<x<2},故/10(^6)={%|-2<%<1},故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.2,713.己知平面向量片的夹角为与■,淑=(0,—1),|日|=2,贝!]|2a+B|=()A.4B.2C.2^/2D.2龙【答案】B【解析】【分析】将\2a+t\两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意 |2』+ = J(2& + 酣=^4a 2 + 4a-b + b 2 = f4 + 4xlx2x (-：) + 2?=皿=2.故选 B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线v v 22 = 8x 的焦点到双曲线二-/ = 1的渐近线的距离是()4R 2扼5C 四!. 5【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为(2,0),双曲线的渐近线为y= ±2x,其中一条为2x-y = 0,由点到直线的距4 4a /5离公式得d = — = —^~.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础 题.5.已知函数的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A. f(x) = e 闵.cosxC. /(x) =+ cosx 【答案】D【解析】【分析】 B. f(x) = ln\x\ • cosx D. f(x) = ln\x\ + cosx根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B 两个选项，4；) = 0,不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，f(l) = e + cosl>L 不符合 图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.71 716.若函数/(x) = asiwc + cosx 在［-弓引为增函数，则实数。
2019届一诊理科数学答案(定稿)
高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学参考答案及评分意见一、选择题：1-5 DABDB 6-10 CADCD 11-12 CD二、填空题： 13．3i +， 14.-84 ， 15． 16．]21,2[--． 三、解答题：17．解：(I) 当2≥n 时，利用公式1--=n n n S S a ，可得nn a 2=，.................4分验证当1=n 时是适合的，即）（*2N n a n n ∈=；..........................5分（II)n n b b b b T ++++=...321 23225282...(31)2nn =⨯+⨯+⨯++-, ①2n T = 234+1225282...(31)2n n ⨯+⨯+⨯++-, ②......................7分①-②得：23143232...32(31)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯-- ...........9分114(12)43(31)212n n n -+-=+⨯---18(34)2n n +=---，18(34)2n n T n +∴=+-............................................12分18. 解：（I ）由题意得，（0.02+0.032+a +0.018）×10=1，解得a =0.03；........2分由最高矩形中点的横坐标为20，可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨；.......................................................4分 50户居民10月份用水量的平均值为：x =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（吨），故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨．..............6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2,则X ～B （3，51），X =0，1，2，3； )0=X P （=30354）（C =12564；)1=X P （=5154213）（C =12548； )2=X P （=2235154）（C =12512；)3=X P （=33351）（C =1251．.............10分 ∴X 的分布列为：1253125212511250=⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（X E ． .................12分19. 解：（Ⅰ）在ABO V 中，Θ390OA OB AOB ==?o，，∴60OAB?o，.................................................2分在OAM V 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，∴OM = ..................................................5分（Ⅱ）,060AOMq q ?<<o o ，在OAM V 中，由sin sin OM OAOAB OMA =行，得2sin(60)OM q =+o ，在OAN V 中，由sin sin ON OAOAB ONA =行，得2sin(90)2cos ON θθ==+o， ..................................................................8分∴11sin 22OMN S OM ON MON =仔=?V 2sin(60)θ⋅+o12＝2716sin(60)cos θθ+o60θ<<o．......................11分 当26090θ+=o o，即15θ=o∴应设计15AOM?o ，可使OMN V 的面积最小．..................12分20．解：（I ）Θ|1AF |、|21F F|、|2AF |构成等差数列， ∴2a =|1AF |+|2AF |=2|21F F|=8，∴a =4．....2分 又因为c =2，所以2b =12，.....................3分∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．...............4分 （II ）假设存在直线AB ，使得21S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 方程为)2(+=x k y ,..................................................5分将其代入1121622=+y x ，整理得 0481616342222=-+++k x k x k ）（,....6分 设A ),11y x （，B ),22y x （，∴22214316kk x x +-=+, ∴点G 的横坐标为22214382k k x x +-=+，∴G )436438222k kk k ++-，（．....... 8分 Θ DG ⊥AB ，∴1438436222-=⨯-+-+k x kk k kD，解得22D 432k k x +-=，即D （22432k k +-，0）, ∵Rt △1GDF 和Rt △ODE 相似，∴若21S S =，则|GD |=|OD |,..........10分∴ 222222222432)436()432438k k k k k k k k +-=+++--+-（，整理得 8k 2+9=0． Θ方程8k 2+9=0无解，∴不存在直线AB ，使得 21S S =．..............12分21．解：（I ）Θa x x x f +-+=211)('，..................................1分 ∴函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，即0211)('≤+-+=a x x x f 在),2[+∞上恒成立，也即112+-≤x x a 在),2[+∞上恒成立，.................................3分令112)(+-=x x x h ，则)(x h 在),2[+∞上为增函数，min )(x h =)2(h =113，∴113a ≤；........................................................5分（II ）设211x x ≤<-，令)()()()221221x f m x f m x m x m f x F --+=（，],12x x -∈（， 则0)2=x F （，)(')(')'12211x f m x m x m f m x F -+=（）（)(')('2211x f x m x m f m -+=，0)()1(22222221221≥-=+-=+-=-+x x m x m x m x m m x x x m x m Θ，x x m x m ≥+∴221，..................................................7分又a x x x f +-+=211)('Θ，02)1(1)(''2<-+-=x x f ，)('x f ∴在),1(+∞-上是减函数，)(')('221x f x m x m f ≤+∴，0)(')('2211≤-+∴）（x f x m x m f m ，即0)'≤x F （，......................9分 )x F （∴在],12x -（上是减函数，0)()2=≥∴x F x F （，0)≥∴x F （，0)()()(221221≥--+∴x f m x f m x m x m f ，...........................11分],12x x -∈∴（，有)()()(221221x f m x f m x m x m f +≥+，又211x x ≤<-Θ，)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+∴.................................12分22．解：（I ）由1(4x tt y at=+⎧⎨=+⎩为参数）得，直线l 的直角坐标方程为：4(1)y a x -=-,..2分由P 的极坐标为()1π，得：P 的直角坐标为()1-，0,............................3分又点P 在直线上，代入得2a =，...............................................4分 ∴直线l 的直角坐标方程为：22y x =+ .......................................5分（II ）由24sin 50ρρθ--=得曲线C 的直角坐标方程为：22450x y y +--=,即：22(2)9x y +-=...........................................................6分∴曲线C 的圆心为(0,2)M ，半径3r =..............................................7分 ∵直线l ：4(1)y a x -=-过定点N (1,4)，且该点在圆C 内,..........................8分 ∴直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB 最小时,有l MN ⊥,1l MN k k ∴⋅=-,...............9分101422l k -∴=-=--,直线l 的直角坐标方程14(1)2y x -=--,化为极坐标方程为：cos 2sin 90ρθρθ+-=.....................................10分 23. 解：（I ）原函数可化为：13(23()1(22)213(22)2)x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩<-⎪ ,..................................................3分函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形三顶点坐标分别为：2(6,0),(2,2),(,0)3----,∴此三角形面积1216(6)2233S =⨯-+⨯=...................................5分 （II ）由（I ）知函数()f x 的最小值M =(2)2f -=-,.................................6分⸫关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解即222x x m +-≤-有实数解，即222m x x ≥++有实数解, .................................................8分令2()2h x x x =++,当12x =-时，2min 117()()2224h x =--+=,72,4m ∴≥ 即7.8m ≥........................................................10分。
2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)参考答案(20190221考)
深圳市2019年高三年级第一次调研考试 理科数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一．选择题1.D2.B3.A4.C5.B6.C7.B8.A9.C 10.D 11.B 12.A11. 解析:设△ABC 的外接圆圆心为O '，其半径为r ，球O 的半径为R ，且||OO d '=， 依题意可知1max 2()3V R dV d +==，即2R d =，显然222R d r =+，故3R r =， 又2sin 3AC r ABC ==∠，故3r =，∴球O 的表面积为2216644πππ39R r ==，故选B .12. 解析： Q 11()9xx λ≤，∴9x x λ≥，∴ln 2ln 3x xλ≥，Q *x ∈N ，∴0λ>， （法一）∴ln 2ln 3x x λ≥，令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x -'=， 易知()f x 在(0,e)上递增，在(e,)+∞上递减， 注意到2<e<3，只需考虑(2)f 和(3)f 的大小关系， 又ln 2ln8(2)26f ==，ln 3ln 9(3)36f ==，∴(2)(3)f f <， ∴只需ln 32ln 3(3)3f λ=≥，即6λ≥，即实数λ的最小值为6，故选A. （法二）Q ln 2ln 3x x λ≥，2ln 3ln x x λ∴≥，令2ln 3k λ=，则ln x kx ≥（*），不等式（*）有正整数解，即ln y x =在y kx =的图象上方（或者图象的交点）存在横坐标为正整数的点，易知直线exy =与曲线ln y x = 相切，如右图所示，∴ln 22k ≥，或ln33k ≥， 解得4ln 3ln 2λ≥，或6λ≥，不难判断4ln 36ln 2≥，即实数λ的最小值为6，故选A.二．填空题：13. 314. 1515. 8 16. 10316. 解析：Q ,11112n n a -=-，∴1,1211,(2)2n n a n --=-≥ 下面求数列{},2n a 的通项，由题意可知,21,11,2,(3)n n n a a a n --=+≥，∴,21,21,1211,(3)2n n n n a a a n ----==-≥，即,21,2211,(3)2n n n a a n ---=-≥，∴,2,21,21,22,23,22,22,2215()()()22n n n n n n a a a a a a a a n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-，Q 数列{},2n a 显然递增，又易知102,2103,2100a a <<， ∴m 的最小值为103，故应填103．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线， 已知1BC =，且3cos 5BCD ∠=-．（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长； （2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长．解：（1）若对角线AC 平分BCD ∠，即22BCD ACB ACD ∠=∠=∠，∴23cos 2cos 15BCD ACB ∠=∠-=-，Q cos 0ACB ∠>，∴cos ACB ∠=，………………………3分 Q 在△ABC 中，1BC =，2AB =，cos ACB ∠=∴由余弦定理2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-⋅⋅∠可得：230AC AC --=，解得AC =AC =（舍去），∴AC…………………6分PAC（2）Q 3cos 5BCD ∠=-，∴4sin 5BCD ∠==，……………7分 又Q 45CBD ∠=︒，∴sin sin(18045)=sin(+45CDB BCD BCD∠=︒-∠-︒∠︒） (sin cos )210BCD BCD =∠+∠=，…………………………9分 ∴在△BCD 中，由正弦定理=sin sin BC CDCDB CBD∠∠，可得sin =5sin BC CBDCD CDB⋅∠=∠，即CD 的长为5.………………………12分【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 为1的菱形，45BAD ∠=︒，2PD =，M 为PD 的中点，E 为AM 的中点，点F 在线段PB 上，且3PF FB =.（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若平面PDC ⊥底面ABCD ，且PD DC ⊥， 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：（法一）如图，设DM 中点为N ，连接EN ，NF ，BD ，则有//NE AD ，NE ⊄Q 平面ABCD ，AD ⊆平面ABCD ， //NE ∴平面ABCD ，……………………2分又Q34PN PF PD PB ==， ∴//NF DB ，……………………4分NF ⊄Q 平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD ， //NF ∴平面ABCD ，……………………5分又Q NF NE N =I ，∴平面//NEF 平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ．……………………6分（第18题图）P ABCDF MEPAC（法二）如图，设AD 中点为R ，Q 为线段BD 上一点，且3DQ QB =. 连接ER 、RQ 、QF ，则有//ER PD ，……………………1分Q14BF BQ BP BD ==，∴//QF PD ，……………………3分 ∴//QF ER ，且14QF PD ER ==，…………………4分 即QFER 为平行四边形，∴//EF QR ，………………5分EF ⊄Q 平面ABCD ，RQ ⊆平面ABCD ， //EF ∴平面ABCD ．……………………6分（2）（法一）解：Q 平面PDC ⊥底面ABCD , 且PD DC ⊥，∴PD ⊥底面ABCD ，……………………7分如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz-，则(0,0,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)A ，(,22C -∴(1,0,0)BC AD ==-u u u r u u u r，(,,2)22PC =--u u u r ，……………………8分设平面PBC 的一个法向量为1(,,)n x y z =r，则1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，∴02022x x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩， 取y =1n =u r，……………………10分又易知平面PAD 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r，……………………11分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为q ，则1212||cos ||||n n n n θ⋅=⋅u r u u r ur u u r 3=， ∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为3．……………………12分 （法二）如图，过A 、P 分别做PD 、AD 的平行线，交于点S ，则////SP AD BC ，CPCS∴直线SP 为平面PAD 与平面PBC 的交线，过D 做DG BC ⊥，交BC 于G ，连接PG ，则BC ⊥平面PDG ，∴GPD ∠即为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角，设为θ，……………………9分Q 底面ABCD 是边长为1的菱形，45BAD ∠=︒， ∴DGC 为等腰直角三角形，∴2DG =，又2PD =， ∴cos θ=3．…………………………12分 【说明】本题主要考察了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的性质，平面与平面所成角等知识，意在考察考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力． 19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为(1,0)F ，且点3(1,)2P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．解：（1）(法一)设椭圆C 的方程为221(0)a b a b+=>>，Q 一个焦点坐标为(1,0)F ，∴另一个焦点坐标为(1,0)-，……………………1分∴由椭圆定义可知2a =4=∴2a =，……………………3分∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………4分 (法二)不妨设椭圆C 的方程为221x y m n += (0m n >>)， Q 一个焦点坐标为(1,0)F ，∴1m n -=，① ……………………1分又Q 点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴1312m n+=，② ……………………2分 联立方程①，②，解得4m =，3n =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………4分 （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，并整理得：22(34)690m y my ++-=，∵22(6)36(34)0m m =++>∆， ∴122634m y y m +=-+， 122934y y m =-+，……………………7分 ∵直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =联立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -，……………………9分 ∴22(2,)AN x y =+u u u r ，112(6,)2y AQ x =-u u u r ∵122126(2)2y y x x -+⋅-211216(2)2(2)2y x y x x --+=- [][]211216(1)22(1)212y my y my my +--++=+-（）1212146()1my y y y my -+=-221964()6()343401mm m m my ---++==-，∴//AN AQ u u u r u u u r，……………………11分又向量AN uuu r 和AQ uuu r有公共点A ，故A ，N ，Q 三点在同一条直线上．…………12分【说明】本题以直线与椭圆为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20.（本小题满分12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级 消费金额 普通会员 2000 银卡会员 2700 金卡会员3200预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(1600,3200]内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(3200,4800]内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回．．．地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由. 解：（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X 人， 则X 的可能值为“0,1,2”，……………………1分∴11284422121216319(1)(1)(2)333333C C C P X P X P X C C ≥==+==+=+=. ………………3分（或者2821219(1)1(0)133C P X P X C ≥=-==-=. ……………………3分）（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：28257100⨯=，602515100⨯=，12253100⨯=，……………………4分 ∴按照方案1奖励的总金额为：1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=元， ……………………5分方案2： 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能值为“0,200,300”， ……………………6分Q 摸到红球的概率：121525C P C ==，∴03120133232381(0)5555125P C C η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21232336(200)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(300)5125P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭， …………………………8分∴η的分布列为∴81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=元，……………………10分 ∴按照方案2奖励的总金额为：2(28260312)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=元， ……………………11分Q 方案1奖励的总金额1ξ多于方案1奖励的总金额2ξ，∴预计方案2投资较少. ……………………12分【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分布列模型及分层抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力，综合考查了考生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识. 21.（本小题满分12分）已知定义域为(0,)+∞的函数()e (2)xaf x x x=--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的递增区间；（2）若函数()f x 为定义域上的增函数，且12()()4e f x f x +=-，证明:122x x +≥.解：（1）易知22e (1)()()x x x a f x x--'=，……………………………………………1分 ①若0a ≤，由()0f x '>解得1x >，∴函数()f x 的递增区间为(1,)+∞；……………………………………………2分②若01a <<，则∴3分③若1a =，则22e (1)(1)()0x x x f x x-+'=≥， ∴函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；……………………………………………4分④若1a >，则∴5分综上，若0a ≤，()f x 的递增区间为(1,)+∞；若01a <<，()f x 的递增区间为和(1,)+∞； 若1a =，函数()f x 的递增区间为(0,)+∞；若1a >，函数()f x 的递增区间为(0,1)和)+∞.（2）Q 函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，∴1a =，即1()e (2)xf x x x=--，…………………… 6分 注意到(1)2e f =-，故12()()4e 2(1)f x f x f +=-=，∴不妨设1201x x <≤≤，…………………………7分(法一)欲证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()(2)f x f x ≥-， 即证114e ()(2)f x f x --≥-，即证11()(2)4e f x f x +-≤-， 令()()(2)x f x f x ϕ=+-，01x <≤，只需证()(1)x ϕϕ≤，……………………8分∴222222e (1)(3)()()(2)e(1)[](2)x xx x x f x f x x x x ϕ--+-'''=--=---，下证()0x ϕ'≥，即证2222e (1)(3)0(2)x x x x x -+--≥-， 由熟知的不等式e 1xx ≥+可知221222e(e )(11)x x x x --=≥+-=，当01x <≤时，即222e 1x x-≥，∴22322222e (1)(3)(3)311(2)(2)(2)x x x x x x x x x x x x -+---++-≥+-=---，…………………10分 易知当01x <≤时，2210x x --<，∴32231(1)(21)0x x x x x x -++=---≥，∴2222e (1)(3)0(2)x x x x x -+--≥-，………………………………11分 ∴()0x ϕ'≥，即()x ϕ单调递增，即()(1)x ϕϕ≤，从而122x x +≥得证. ………12分(法二) 令222e (1)(1)e (1)()()e (1)x x xx x x g x f x x x x-+-'===--，则323e (1)(2)()x x x x g x x -++'=，…………………8分x (0,1) 1 (1,)+∞()g x ' - 0 +()g x ] 极小值 Z由上表可画出()e (2)x f x x x =--的图象，如右图实线所示，右图虚线所示为函数1()e (2)x f x x x =--(01)x <≤的图象关于点(1,2e)Q -对称后的函数()4e (2)h x f x =---的图象，设图中点11(,())A x f x ，则12(2,())C x f x -，22(,())B x f x ，欲证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证点B 不在点C 的左侧即可，即证当12x ≤<时，4e (2)()f x f x ---≥恒成立，即证2114e e ()e (2)2x x x x x x -----≥---，即证211e (2)e ()4e 2x x x x x x -+-++≥-，……………………………………10分由基本不等式可知221111e (2)e ()2e (2)e ()22x x x xx x x x x x x x --+-++≥+-⋅+--112e 2(2)2e 22(2)4e (2)(2)x x x x x x x x =+-+≥⋅+-⋅=--，∴211e (2)e ()4e 2x x x x x x -+-++≥-，∴122x x +≥得证. ……………12分【说明】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．（1）求曲线C 的参数方程；（2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PA PB +的取值范围． 解:（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=， ……………………1分将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入上式， ……………………2分 可得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，……………3分 ∴曲线C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. ……………………5分（2）将⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2ααt y t x 代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：26cos 80t t α-+=， ………………………………………………6分 由题意得236cos 320α∆->=，故98cos2>α， 又1cos 2≤α，∴28cos (,1]9α∈， ………………………………………………7分设方程26cos 80t t α-+=的两个实根分别为1t ，2t ，则αcos 621=+t t ，821=⋅t t ，…………………………………………………………8分 1t ∴与2t 同号，由参数t 的几何意义，可得αcos 62121=+=+=+t t t t PB PA ，821=⋅=⋅t t PB PA ，22222()211PA PB PA PB PA PB PA PB +-⋅∴+=⋅221212212()29cos 4()16t t t t t t α+-⋅-==⋅， ………………… ……………………9分 Q 28cos (,1]9α∈， 29cos 415(,]16416α-∴∈， 2211PB PA +∴的取值范围为15(,]416． ……………………………………10分 【说明】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数21)(-++=x x x f ，1)(2++-=mx x x g ．（1）当4-=m 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）若不等式)()(x g x f <在1[2,]2--上恒成立，求实数m 的取值范围． 解: (1) 21)(-++=x x x f Θ，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=∴,2,12,21,3,1,12)(x x x x x x f …………………………………………1分当4-=m 时，14)(2+--=x x x g ，①当1-≤x 时，原不等式等价于022<+x x ，解得02<<-x ， 12-≤<-∴x ； …………………………………………2分 ②当21<<-x 时，原不等式等价于0242<++x x ， 解之，得2222+-<<--x ，221+-<<-∴x ； ……………………………………………………3分 ③当2≥x 时，11)2()(-=≤g x g ，而3)2()(=≥f x f ，∴不等式)()(x g x f <解集为空集． …………………………………………4分 综上所述，不等式)()(x g x f <的解集为(2,2--+．…………………………5分 （2）①当12-≤≤-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于x x mx 22->，又0<x ， 2-<∴x m ，故4-<m ；…………………………………………………………7分 ②当211-≤<-x 时，)()(x g x f <恒成立等价于3)(>x g 恒成立，即3)(min >x g ， 只需(1)31()32g g -≥⎧⎪⎨->⎪⎩即可，即3,9,2m m ≤-⎧⎪⎨<-⎪⎩ 29-<∴m ， ……………………………………………………9分综上，9(,)2m∈-∞-．………………………………………………………………10分【说明】本题主要考查绝对值不等式以及一元二次不等式的解法、分段函数等知识点，重点考查分类讨论思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．命题人：徐黄（深圳市南头中学），吕正军（深圳市新安中学），冯广军（深圳市科学高中），徐尤清（深圳实验学校）审题人：李志敏（深圳市教科院）。
2019届高三第一次诊断性检测数学(理)试题(附解析)
2019届高三第一次诊断性检测数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为,,所以，根据集合并集的定义可得，故选 A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.【详解】,复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限，故选 D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选 B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数满足约束条件,则的最小值为（）。
2019届高三第一次诊断性考试数学(理)试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，化简集合，然后根据交集的定义求解即可.【详解】，由交集的定义可得，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.复数A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数可得结论.【详解】，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知向量，，若，则实数m的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，又因为，，所以，故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.4.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.【详解】，，，，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.5.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.6.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是A. －1B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，可得，因为，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义求出的值，由二倍角的余弦公式可得结果.【详解】在第三象限，且，由正弦函数的定义可得，，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象9.已知向量满足，若与的夹角为，则m的值为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】由求得，，结合与的夹角为，可得，从而可得结果.【详解】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.10.已知偶函数在(－∞，0]上单调递增，令，，，则a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】C【解析】【分析】化简，可得，根据单调性与奇偶性可得结果.【详解】偶函数在上单调递增，在上单调递减，，，，即，故选C.【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．11.若函数在为单调函数，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，由排除，由排除，从而可得结果.【详解】利用特值法：时，；时，单调递增，即合题意，排除；时，，单调递减，即合题意，排除，故选A.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.12.已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性可得，时，最多有两个根，最多有2个根，即时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，时，最多有两个根，最多有2个根，即在有两个根时，的零点最多为4个，，解得，故选B.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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由（Ⅰ）及 k1 k2
1 ，MN 2
MP ，ME
x 轴得 k1
1 k
，k2
k ，E 2
x1, 0
，
∴ kNE
0 y1 x1 x1
k ，∴ N , E, P 三点共线. 2
…12 分
21.（12 分）
（Ⅰ）由
f
x
1 xa
1 ln x a
ex
，且 x 1 是 f x 的极值点，∴ f 1 =0 ；
0 h(x) 0 0 x 1；
同理 f x 0 x 1，
∴ f x 的递增区间是 0,1 ， f x 的递减区间是 1, ；
…5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
g
x
1
x ln ex
x
(x
0)
，
①当 x
1时，1
x ln
x
1
2019 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案及6 分
（Ⅱ）设平面 BFC 的法向量 n (x, y, z) ，∵ BC 1,1, 0, BF 0,1,1 ，
…12 分
由
n
BC
0
，得
n BF 0
x y
y z
0 ，令 z 0
1 ，得 x 1, y
1 ，∴ n (1, 1,1) ，
∴ sin
C2 100
990
C2 100
198
C2 100
∴ X 的分布列为
…6 分
1， 495
X
0
1
2
893
19
1
P
990
198
495
…12 分
20.（12 分）
（Ⅰ）设 P x0, y0 , M x1, y1 ，则 N x1, y1 ，
则 k1
y0 x0
y1 x1
， k2
y0 x0
g(x)
1 ex
1 e
1
e2 e2 1
，即
g
(
x)
e2 ， e2 1
②当 0
x
1时，
g(x)
(x
1) ln ex
x
2
x ex
1
(ln
x
2 )， x 1
设 u(x) ln x 2 (0 x 1) ，在 0,1 上递增，且 x 0 时， u x
4，
1 12
2
2 2 sin α π 1
∴ S ABP
1 2
14
4 2
7 2 2 sin α π 1 4，
2
∴当 时,
4
SABP
max
14
7. 2
…10 分
23．（10 分）
（Ⅰ）当 a 1时， f x
x 1 x 3，
即f x
4,
x 1,
2x 2, 1 x 3, 故不等式 f x
0.74
设第二档与第三档的临界值为 3.5 y ，则 0.1y 0.02 ， y 0.2 ，
∴第二档与第三档的临界值为 3.5 0.2 3.7（吨）； （Ⅱ）因为任取一名用户属于第三档的概率是 0.05 ，所以 X 服从超几何分布，
P X 0 C925 893 ， P X 1 C915C51 19 ， P X 0 C52
2019 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案及评分标准第 2 页（共 4 页）
即 1 [1 ln(1 a)] 0 ，由 h(x) 1 (1 ln x) 在（0，+）是减函数，
1+a
x
且 h 1 0 ，∴1 a 1，即 a 0 ，
1 (1 ln x)
此时， f x = x ex
y1 x1
，∴ k1
k2
y0 y1 y0 y1 x0 x1 x0 x1
y02 y12 ， x02 x12
又∵ x02 y02 1, x12 y12 1，两式相减得 x02 x12 y02 y12 0 ，
a2 b2
a2 b2
a2
b2
∴ k1 k2
b2 ； a2
…5 分
（Ⅱ）设直线 MN 的斜率为 k ，则 k y1 ， x1
2019 年高三年级第一次诊断性测验
理科数学答案及评分标准
一、 选择题：每小题 5 分 1~5. DABCB 6~10.
二、填空题：每小题 5 分.
13. 60
14. 1
三、解答题： 17.（12 分）
BBDAA 11~12.
15. 1 2
BA 16.②③
a1 2d 6
（Ⅰ）依题意，得
7a1
7 6d 2
n FD 1 ，∴直线 FD 与平面 BFC 所成角的正弦值为 1 ． …12 分
n FD 3
3
2019 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案及评分标准第 1 页（共 4 页）
19.（12 分）
（Ⅰ）由频率分布直方图得，用水量前 5 组的频率为 0 . 08 0 . 5 0 . 1 6 0 . 5 0 . 3 0 . 5 0 .4 4 0 . 5 ，0 . 5 0 . 5 设第一档与第二档的临界值为 2.5 x ，则 0.2x 0.01， x 0.05 ， ∴第一档与第二档的临界值为 2.5 0.05 2.55 （吨）， 用水量前 7 组的频率为 0.74 0.2 0.5 0.18 0.5 0.93 ，
∴ Tn
8 8 4n 9
2n 22n2 3
3n 1 22n3
9
8
18.（12 分）
（Ⅰ）依题意，建立如图空间直角坐标系 A xyz ：设 AD 1
则 A(0,0,0), B(0, 2,0),C(1, 1,0), D(1,0,0), F(0, 1,1)
∴ FD 1,1, 1 , AC 1, 1,0 ，∴ FD AC 0 ，
4,
x 3,
2 的解集为 x | x 2 ；
…5 分
（Ⅱ）当 x 0,1 时， f x x 2 等价于 x a 5 ，即 5 a x 5 a ，
若存在 x 0,1 使 a 5 x a 5 成立，只需要满足 5 a 1,
5 a 0,
∴ a 的取值范围是 a 6,5 .
…10 分
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．
56 ，解得 a1
2，d
2 ，∴ an
2n ；
…6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 bn 2n 22n ，
则 Tn b1 b2
bn 2 22 4 24
2n 22n
①
4Tn 2 24 4 26
2n 22n 2
①式 ②式得 3Tn 2 22 2 24 2 26
②
2 22n 2n 22n 2
2 22 24
22n 2n 22n 2 8 8 4n 2n 22n 2 ， 3
（Ⅱ）设 P 2 cos, 2 2sin ，联立 x2 y 2 2 4, 得 2x2 2x 3 0 ，
x y 1,
∴ AB 1 12 1 2 4
3
14 ，
2
2019 年高三年级第一次诊断性测验理科数学答案及评分标准第 3 页（共 4 页）
2 2 sin α π 1
点 P 到直线 AB 的距离 d 2 cos α 2 2sin α 1
1
x0 ln x0 e x0
e x0
1 1
x0 x0
1 1 x0
1 x0 1 x0
1 1 x0
，
由
y
2 1 x
1
在
(0,1)
上递增；∴
g
(
x0
)
1
1 e2
e2 ， e2 1
即
0
x
1 时，
g(x)
e2 e2 1
.
…12 分
22．（10 分）
（Ⅰ）曲线 C1 的普通方程为 x2 y 2 2 4 ，C2 的直角坐标方程为 x y 1； …5 分
x 1
又
u
1 e2
2 e2 1
0 ，∴ u(x)
0 有唯一的根
x0 , x0
0,
1 e2
，且 ln
x0
2， x0 1
由于 x (0, x0 ) 时， g x 0 ； x (x0,1) 时 g x 0 ，
∴ g(x)max
g(x0 )