卡尔曼滤波与组合导航原理—初始对准
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于贝叶斯估计理论的递归最优线性最小方差滤波器，它在信号处理和控制工程领域中广泛应用，尤其擅长于多传感器数据融合以及动态系统的状态估计。
其融合原理可以简化表述如下：
1.预测阶段：
1.利用系统的动态模型，根据上一时刻的状态估计值及其协方差矩
阵，结合当前时刻的系统输入（如果有），通过状态转移方程预测下一时刻的状态和相应的预测误差协方差矩阵。
2.更新阶段：
1.当新的观测数据可用时，通过观测模型计算出一个预测与实际观测
之间的残差（即所谓的卡尔曼增益K）。
2.卡尔曼增益是基于预测误差协方差和观测噪声的协方差之比确定
的，它反映了对预测的信任度和对观测的信任度的相对权重。
3.使用这个增益来调整预测状态，得到一个更加准确的状态估计，也
就是将预测结果与实际测量值进行加权融合。
4.同时更新后验状态误差协方差矩阵，以反映新信息被融合后的不确
定性。
整个过程的关键在于如何最优地结合来自系统动力学模型预测的信息（先验信息）与从传感器获取的实时观测信息（后验信息）。
由于假定噪声项服从高斯分布，卡尔曼滤波能够找到一种数学上的最优解，使得状态估计具有最小均方误差。
在实际应用中，这种融合方法非常强大且灵活，可以处理连续时间或离散时间的线性系统，对于非线性系统则可通过扩展如扩展卡尔曼滤波等方法来近似处理。
卡尔曼滤波算法基本原理 -回复
卡尔曼滤波算法基本原理-回复这里是一个关于卡尔曼滤波算法基本原理的文章，介绍了该算法的核心思想以及详细步骤。
卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的最优滤波方法，它基于状态空间模型和统计学原理，通过不断的测量和预测来对系统状态进行修正和优化。
该算法在许多领域有广泛的应用，包括自动控制、导航、机器人学等。
一、卡尔曼滤波算法的基本原理卡尔曼滤波算法的核心思想是利用系统的测量和预测信息，通过加权平均的方式对系统状态进行估计。
它假设系统的状态和测量都是服从高斯分布的，并通过最小化均方误差的准则，得到最优的估计结果。
1. 状态空间模型卡尔曼滤波算法以状态空间模型来描述系统的演化过程。
状态空间模型由两个方程组成：状态方程和观测方程。
状态方程描述了系统状态的演化过程，观测方程描述了系统状态的测量值与真实值之间的关系。
2. 测量和预测在卡尔曼滤波算法中，系统在每个时间步长都会进行两个步骤：测量和预测。
在测量步骤中，系统通过传感器获取当前状态的测量值；在预测步骤中，系统根据之前的状态和控制输入来预测下一时刻的状态。
3. 状态估计卡尔曼滤波算法的核心是状态估计，即对系统状态进行修正和优化。
在每个时间步长，通过将测量值和预测值进行加权平均，得到对系统状态的估计。
权重的计算基于系统状态和测量的方差，方差越大，权重越小，表示对该值的信任程度较低。
二、卡尔曼滤波算法的详细步骤卡尔曼滤波算法的具体实现包括以下步骤：1. 初始化首先需要初始化系统的状态和协方差。
状态是系统的位置、速度等变量，协方差是状态的不确定度。
通常将系统状态初始化为零向量，协方差初始化为一个较大的矩阵。
2. 预测根据状态方程和控制输入，预测下一时刻系统的状态和协方差。
预测的过程可以用线性方程组的形式表示，其中状态方程和控制输入可以通过物理模型或者经验来确定。
3. 更新通过观测方程，将当前的观测值与预测值进行比较，计算测量残差和协方差的更新。
根据残差和协方差的方差来计算权重，对预测值进行修正。
捷联惯性导航系统的解算方法
捷联惯性导航系统的解算方法捷联惯性导航系统（Inertial Navigation System，简称INS）是一种利用陀螺仪和加速度计等惯性测量单元测量物体的加速度和角速度，然后通过对这些测量值的积分计算出物体的速度和位置的导航系统。
INS广泛应用于航空航天、无人驾驶车辆和船舶等领域，具有高精度和自主性等特点。
INS的解算方法一般分为初始对准、运动状态估计和航位推算三个主要过程。
初始对准是指在启动导航系统时，通过利用外部辅助传感器（如GPS）或静态校准等方法将惯性传感器的输出与真实姿态和位置进行初次校准。
在初始对准过程中，需要获取传感器的初始偏差和初始姿态，一般采用标定或矩阵运算等方法进行。
运动状态估计是指根据惯性传感器的测量值，使用滤波算法对物体的加速度和角速度进行实时估计。
常用的滤波算法包括卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波和粒子滤波等。
其中，卡尔曼滤波是一种最优估计算法，通过对观测值和状态进行线性组合，得到对真实状态的最佳估计。
扩展卡尔曼滤波则是基于卡尔曼滤波的非线性扩展，可以应用于非线性INS系统。
粒子滤波是一种利用蒙特卡洛采样技术进行状态估计的方法，适用于非高斯分布的状态估计问题。
航位推算是指根据运动状态估计的结果，对物体的速度和位置进行推算。
INS最基本的航位推算方法是利用加速度值对速度进行积分，然后再对速度进行积分得到位置。
但是，在实际应用中，由于传感器本身存在噪声和漂移等误差，导致航位推算过程会出现积分漂移现象。
为了解决这个问题，通常采用辅助传感器（如GPS）和地图等数据对INS的输出进行校正和修正。
当前，还有一些先进的INS解算方法被提出，如基于深度学习的INS 解算方法。
这些方法利用神经网络等深度学习模型，结合原始传感器数据进行端到端的学习和预测，以实现更高精度的位置和姿态估计。
综上所述，捷联惯性导航系统的解算方法主要包括初始对准、运动状态估计和航位推算三个过程。
其中，运动状态估计过程利用滤波算法对传感器的测量值进行处理，得到物体的加速度和角速度的估计。
卡尔曼滤波器的原理与应用
卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。
预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。
2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。
更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。
通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。
3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。
卡尔曼滤波算法原理
卡尔曼滤波算法原理卡尔曼滤波(Kalman Filter)是一种用来估计系统状态的算法。
它基于对系统的数学模型和测量数据进行分析，通过使用贝叶斯统计推断来计算系统当前的最优状态估计。
卡尔曼滤波算法在控制系统、导航系统、机器人学、图像处理等领域有广泛的应用。
卡尔曼滤波算法的原理可以概括为以下几步：1. 系统建模：首先，需要建立系统的数学模型，包括系统的动态方程和观测方程。
动态方程描述了系统状态的演化规律，而观测方程则描述了系统状态与测量值之间的关系。
这些方程通常以线性高斯模型表示，即系统的状态和测量误差符合高斯分布。
2. 初始化：在开始使用卡尔曼滤波算法之前，需要对系统状态进行初始化。
这包括初始化系统状态的均值和协方差矩阵。
通常情况下，均值可以通过先验知识来估计，而协方差矩阵可以设置为一个较大的值，表示对系统状态的初始不确定性较大。
3. 预测：在每一次测量之前，需要对系统的状态进行预测。
预测过程基于系统的动态方程，将上一时刻的状态估计作为输入，得到当前时刻的状态的先验估计。
预测的结果是一个高斯分布，其均值和协方差矩阵表示了对当前状态估计的不确定性。
4. 测量更新：当获取了新的测量值时，需要将其与预测结果进行比较，以修正对系统状态的估计。
测量更新过程基于系统的观测方程，将预测的状态估计与实际的测量值进行比较，得到对系统状态的最优估计。
测量更新的结果也是一个高斯分布，其均值和协方差矩阵表示了对当前状态估计的不确定性。
5. 迭代：在每一次测量更新之后，会得到对系统状态的最优估计。
然后，可以根据当前估计的状态再次进行预测，并等待下一次的测量更新。
这样，通过不断地迭代，卡尔曼滤波算法可以逐步提高对系统状态的估计精度。
卡尔曼滤波算法的核心思想是将动态方程和观测方程结合起来，使用贝叶斯推断的方法进行状态估计。
通过动态方程对系统进行预测，再通过观测方程修正预测结果，从而得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波算法在估计过程中考虑了对系统状态的不确定性，通过动态预测和测量更新不断修正对系统状态的估计结果，达到更准确的状态估计。
卡尔曼滤波的原理说明
卡尔曼滤波的原理说明2009年10月23日星期五 01:19在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。
跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。
1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。
我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
如果对这编论文有兴趣，可以到这里的地址下载：.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。
他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。
近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。
2．卡尔曼滤波器的介绍（Introduction to the Kalman Filter）为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
卡尔曼滤波与组合导航—第四章
vE ) vU E RN h vU vE tan L) vE vN RN h RM h
v N aU E aEU 2(ie sin L
vN vE vU (2ie cos L sec 2 L)vE L N RM h RN h
11
4.1.2 卫星导航
动态性能差
信息主要从朝向卫星的天线获得。一旦载体做翻滚或
者拐弯等大机动动作，则将无法接收卫星信号，从而 也无法导航。
带宽有限 接收机的环路带宽不能同时满足高精度性能和动态跟
踪性能之间的矛盾要求。当航行体大机动运动时，系
统将难以正常工作。
提取载体的姿态信息比较困难
接收机的数据更新率低
工程实现简单，稳定性高，即使测量信息质量下 降时，也能保证解算的稳定性；
缺点
由于仅仅对惯导的输出结果进行修正，并未补偿 或校正惯性元件的参数（如陀螺漂移、加速度零 偏等），所以误差输入量将随时间不断增长，导 致推广卡尔曼滤波器出现较大的模型线性化误差 ，从而使组合系统的定位精度随工作时间延长而 下降
vU aEN aN E 2(ie cos L
2
vE ) vE RN h
vN vU 2ie sin Lve L U RM h
28
4.3.1 惯性导航的误差方程
3）位置误差方程
L
vN
RM h
vE
RN h
8
4.1.2 卫星导航
2）GLONASS存在的主要问题
与GPS相比，GLONASS因运行时间短，用户尚少，目前 还不具备象GPS增强系统和IGS网络长期不间断的观测 信息支持。
卡尔曼滤波在惯导初始对准中的应用
卡尔曼滤波在惯导初始对准中的应用许明成;戴邵武【摘要】针对捷联惯导系统中初始对准的问题,本文采用了设计卡尔曼滤波器的方法,通过建立惯导系统的误差模型,分析卡尔曼滤波的基本理论,以东向和北向速度误差进行分析.通过初始对准计算机仿真结果,进一步验证了该方法的快速性与准确性,所得结果可以为进行惯导系统快速精确对准方法研究提供理论与工程应用思考,这说明卡尔曼滤波在惯导系统中应用是有效的.%In order to solve the problem of initial alignment in strapdown inertial navigation system,the Kalman filter is designed and the error model of inertial navigation system is established.The basic theory of Kalman filter is analyzed and the velocity error is analyzed in east and north direction.The results of emulation show that the method has the advantage of rapidity and high degree of accuracy.The work in this paper can provide the academic and engineer reference for studying the fast and accuracy alignment method of SINS on revolving bases.The result illustrates the efficiency of the method.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2017(025)023【总页数】4页(P43-46)【关键词】惯导系统;初始对准;卡尔曼滤波;误差模型【作者】许明成;戴邵武【作者单位】海军航空工程学院山东烟台264000;海军航空工程学院控制科学与工程系,山东烟台264000【正文语种】中文【中图分类】TN0在新时期战场环境的驱使下，导航能力的提升逐步影响着战场态势[1]。
卡尔曼滤波与组合导航-第四讲
平台误差角
速度误差 为了简化 位置误差
不是姿态误差角
19
此处未将CNS和GPS的误差建为系统状态 陀螺随机常值漂移
加计随机常值偏置
4.2.2 基于集中滤波的SINS/CNS/GPS组合导航
(4) SINS/CNS/GPS集中滤波器设计 系统状态方程
X FX GW
W 系统噪声向量
W( t ) W x
W y
W z
Wx
Wy
Wz
T
陀螺随机漂移
20
加计随机误差
4.2.2 基于集中滤波的SINS/CNS/GPS组合导航
(4) SINS/CNS/GPS集中滤波器设计 系统状态方程
X FX GW
状态转移矩阵
033 Fb F 033 033 0 33
13
4.2.2 基于集中滤波的SINS/CNS/GPS组合导航
(1)基于集中滤波器的SINS/CNS/GPS组合导航系统结构
位置、速度和姿态
惯性 导航系统
卫星 导航系统
位置 速度
+ 姿态 观测量 + -
各子系统 误差
天文 定姿系统
14
最优 滤波
4.2.2 基于集中滤波的SINS/CNS/GPS组合导航
25
4.2.2 基于集中滤波的SINS/CNS/GPS组合导航
(5) 计算机仿真（弹道导弹） 仿真条件
导弹射程： 4373.446km 关机点速度： Vx=4118.629 m/s； Vy=3266.905 m/s； Vz=-141.3815 m/s
红色为主动段
26
仿真条件
1）陀螺漂移取0.1度/小时， 加计偏置取10µg 2）选择不同的方位失准角（30角分、6角分） 3）水平失调角2角秒 5）星敏感器精度：分别取3 “ 、6“和10“° 6）导弹射程4373.446 km
卡尔曼滤波器原理
卡尔曼滤波器原理
卡尔曼滤波器是一种用于估计和预测系统状态的优秀滤波算法。
它基于状态空间模型，通过递归地融合测量值和预测值，提供了一个对系统状态更准确的估计。
卡尔曼滤波器的基本原理可以概括为以下几个步骤：
1. 初始化：首先，需要初始化系统的状态估计和协方差矩阵。
状态估计是对系统当前状态的最佳猜测，协方差矩阵则表示对该估计的不确定性。
2. 预测状态：根据系统的状态转移方程，将当前状态估计预测到下一个时刻的状态。
同时，也需要更新协方差矩阵以考虑预测带来的不确定性。
3. 更新状态：根据传感器测量值，通过观测方程将预测的状态估计和测量值进行比较，并计算出新的状态估计。
这个估计会综合预测的状态和测量的信息，以最佳地反映系统的真实状态。
4. 更新协方差矩阵：除了更新状态估计外，还需要更新协方差矩阵，以反映状态估计的不确定性。
这个更新是基于卡尔曼增益，它可以根据系统的状态估计和测量噪声的特性来权衡两者的重要性。
通过不断地进行预测和更新，卡尔曼滤波器可以在时间上优化系统状态的估计。
它最大限度地利用了观测值和模型的信息，让我们能够更准确地了解系统的实际状态。
需要注意的是，卡尔曼滤波器假设系统的状态变化和测量噪声都符合高斯分布，且系统的状态转移和观测方程是线性的。
在实际应用中，如果系统有非线性部分，可以采用扩展卡尔曼滤波器或无迹卡尔曼滤波器等扩展形式。
卡尔曼滤波器原理详解
卡尔曼滤波器原理详解卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的滤波算法，其原理基于状态空间模型和观测模型，并结合最小均方误差准则。
它通过使用系统动态方程和观测值，对系统的状态进行估计和预测，实现对噪声和偏差的最优抑制，从而提高状态估计的精度和稳定性。
1.预测步骤：预测步骤是基于系统的动态方程，利用上一时刻的状态估计和控制输入，预测系统的状态。
预测步骤中，通过状态转移矩阵A将上一时刻的状态估计值x(k-1)预测到当前时刻的状态估计值的先验估计值x'(k)：x'(k)=A*x(k-1)+B*u(k-1)其中，x(k-1)为上一时刻的状态估计值，u(k-1)为控制输入。
预测步骤还要对状态估计值的协方差矩阵P(k-1)进行更新，通过状态转移矩阵A和系统的过程噪声协方差矩阵Q的关系：P'(k)=A*P(k-1)*A'+Q2.更新步骤：更新步骤是基于观测模型，利用当前时刻的观测值和预测的状态估计值，对状态进行校正和更新。
更新步骤中，首先计算观测残差z(k)：z(k)=y(k)-H*x'(k)其中，y(k)为当前时刻的观测值，H为观测模型矩阵。
然后基于观测模型矩阵H、预测的状态估计值x'(k)和状态估计值的协方差矩阵P'(k)，计算卡尔曼增益K(k)：K(k)=P'(k)*H'*(H*P'(k)*H'+R)^(-1)其中，R为观测噪声协方差矩阵。
最后，利用卡尔曼增益对状态估计值进行校正和更新：x(k)=x'(k)+K(k)*z(k)更新步骤还要对状态估计值的协方差矩阵P'(k)进行更新，通过卡尔曼增益K(k)和观测噪声协方差矩阵R的关系：P(k)=(I-K(k)*H)*P'(k)其中，I为单位矩阵。
卡尔曼滤波器的主要优点在于可以根据系统的动态方程和观测模型进行状态估计，对于动态系统和噪声的建模具有一定的灵活性。
卡尔曼滤波算法原理及应用
卡尔曼滤波算法原理及应用随着科技的发展和应用场景的多样化，数据的处理与分析已成为各行各业不可或缺的工作。
在许多实际应用场景中，我们往往需要通过传感器获取某一个对象的位置、速度、加速度等物理量，并对其进行优化和估计，这就需要用到滤波算法。
在众多的滤波算法中，卡尔曼滤波算法因其高效性和准确性而备受推崇，今天我们就来了解一下卡尔曼滤波算法的原理及其应用。
一、卡尔曼滤波算法的原理卡尔曼滤波算法是用于估计状态量的一种线性滤波算法，其基本原理是通过利用先验知识和实际观测值，采用贝叶斯推理方法，迭代地进行状态估计。
具体而言，卡尔曼滤波算法通过将状态向量表示为均值（数学期望）和协方差矩阵的高斯分布来描述系统状态，然后通过时间上的递推和测量更新，根据贝叶斯公式来求得状态向量的后验概率分布，从而实现对状态的估计和预测。
一般情况下，卡尔曼滤波算法可以分为四个部分：（1）状态预测；（2）状态更新；（3）卡尔曼增益确定；（4）状态估计。
其中，状态预测是指根据上一时刻的状态量及其协方差矩阵，在无控制量作用下，预测当前时刻的状态量及其协方差矩阵；状态更新是指在测量值的作用下，利用状态预测值所对应的信息，计算出状态值的修正值以及其对应的协方差矩阵；卡尔曼增益确定是指通过状态预测值所对应的协方差矩阵和观测方程所对应的噪声协方差矩阵，确定一种最优的估计方案；状态估计是指根据状态更新的修正值，更新当前时刻的状态估计值及其协方差矩阵。
二、卡尔曼滤波算法的应用卡尔曼滤波算法广泛应用于恒星导航、车辆导航、机器视觉、航天技术、金融数据分析等领域。
以下我们将以目标跟踪问题作为案例，介绍卡尔曼滤波算法在实际应用中的具体操作。
在目标跟踪问题中，我们需要估计目标的位置、速度等物理量。
由于目标的位置、速度是时间的函数，因此我们可以将目标状态表示为：x(k)= [p(k) v(k)]^T其中，x(k)为状态向量，p(k)表示目标的位置，v(k)表示目标的速度。
卡尔曼滤波详解
卡尔曼滤波详解卡尔曼滤波是一种常用的状态估计方法，它可以根据系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
卡尔曼滤波广泛应用于机器人导航、飞行控制、信号处理等领域。
本文将详细介绍卡尔曼滤波的原理、算法及应用。
一、卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本思想是利用系统的动态模型和观测数据，对系统的状态进行估计。
在卡尔曼滤波中，系统的状态被表示为一个向量，每个元素表示系统的某个特定状态量。
例如，一个机器人的状态向量可能包括机器人的位置、速度、方向等信息。
卡尔曼滤波的基本假设是系统的动态模型和观测数据都是线性的，而且存在噪声。
系统的动态模型可以表示为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t) + w(t)其中，x(t)表示系统在时刻t的状态向量，A是状态转移矩阵，B是控制矩阵，u(t)表示外部控制输入，w(t)表示系统的过程噪声。
观测数据可以表示为：z(t) = Hx(t) + v(t)其中，z(t)表示系统在时刻t的观测向量，H是观测矩阵，v(t)表示观测噪声。
卡尔曼滤波的目标是根据系统的动态模型和观测数据，估计系统的状态向量x(t)。
为了达到这个目标，卡尔曼滤波将状态估计分为两个阶段：预测和更新。
预测阶段：根据系统的动态模型，预测系统在下一个时刻的状态向量x(t+1)。
预测的过程可以表示为：x^(t+1|t) = Ax^(t|t) + Bu(t)其中，x^(t|t)表示在时刻t的状态向量的估计值，x^(t+1|t)表示在时刻t+1的状态向量的预测值。
卡尔曼滤波还需要对状态的不确定性进行估计，这个不确定性通常用协方差矩阵P(t)表示。
协方差矩阵P(t)表示状态向量估计值和真实值之间的差异程度。
预测阶段中，协方差矩阵也需要进行更新，更新的过程可以表示为：P(t+1|t) = AP(t|t)A' + Q其中，Q表示过程噪声的协方差矩阵。
更新阶段：根据观测数据，更新状态向量的估计值和协方差矩阵。
更新的过程可以表示为：K(t+1) = P(t+1|t)H'(HP(t+1|t)H' + R)^-1x^(t+1|t+1) = x^(t+1|t) + K(t+1)[z(t+1) - Hx^(t+1|t)]P(t+1|t+1) = (I - K(t+1)H)P(t+1|t)其中，K(t+1)表示卡尔曼增益，R表示观测噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。
卡尔曼滤波的基本原理及应用
采用伪线性卡尔曼滤波算法，在参数估计的收敛速度和收 敛精度上有明显的改善，在很大程度上克服了非线性问题线性 化时 ，线性化误差导致的不良结果 。 通过伪量测变量的引入 ，对 量测矩阵进行重新构造， 使得系统量测矩阵是量测角的函数， 并且具有线性形式。 该算法降低了对模型精度的要求，改进了 扩展卡尔曼滤波的发散问题，具有较好的稳定性，在一定的误
噪声协方差矩阵为 Q，观测噪声协方差矩阵为 R，即：
Wk ∽N（0，Q）
（3）
Vk ∽N（0，R）
（4）
A，B，H 我们统称为状态变换矩阵 ， 是状态变换过程中的
调整系数，是从建立的系统数学模型中导出来的，这儿我们假
设它们是常数。
1.2 滤波器计算原型
从建立的系统数学模型出发，可以导出卡尔曼滤波的计算
2 卡尔曼滤波的应用
图 2 卡尔曼滤波器应用示意 随着卡尔曼滤波理论的发展，一些实用卡尔曼滤波技术被 提出来，如自适应滤波，次优滤波以及滤波发散抑制技术等逐 渐得到广泛应用。 其它的滤波理论也迅速发展，如线性离散系
统的分解滤波 （信息平方根滤波 ，序列平方根滤波 ，UD 分解滤 波），鲁棒滤波（H∞ 波）。
n
在以上假设前提下，定义系统状态变量为 Xk ∈R ，系统控
制输入为 Uk ，系统过程激励噪声为 Wk ，可得出系统的状态随
［4］
机差分方程 为：
Xk ＝AXk－1 ＋BUk ＋Wk
（1）
m
定义观测变量 Zk ∈R ，观测噪声为 Vk ，得到量测方程：
Zk ＝HXk ＋Vk
（2）
假设 Wk ，Vk 为相互独立 ，正态分布的白色噪声 ，过程激励
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一个最优化自回归数据处 理 算 法 （optimal recursive data processing algorithm）， 它 的 广 泛 应用已经超过 30 年，包括航空器轨道修正 、机器人系 统 控 制 、 雷达系统与导弹追踪等。近年来更被应用于组合导航与动态定 位，传感器数据融合、微观经济学等应用研究领域。特别是在图 像处理领域如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等当前热门 研究领域占有重要地位。
卡尔曼滤波与组合导航
/
k
1H
T k
Rk )1
P P Q k /k1
T k ,k 1 k 1 k ,k 1
T k 1 k 1 k 1
Pk
(I
Kk Hk )Pk / k1(I
Kk Hk )T
K
k
Rk
K
T k
或
Pk (I Kk H k )Pk / k1
2、离散卡尔曼滤波方程
T k ,k 1 k 1 k ,k 1
T k 1 k 1 k 1
Pk
(I
Kk Hk )Pk / k1(I
Kk Hk )T
K
k
Rk
K
T k
13
各滤波方程的物理意义：
（1）状态一步预测方程
Xˆ k1
Xˆ k / k 1
Xk-1的卡尔曼滤波估值 利用Xk-1计算得到的一步预测
E X~X~T E[X~ EX~][X~ EX~]T
因此，最小方差估计不但使估值 X (Z)的均方误差最小， 而且这种最小的均方误差就是估计的误差方差
5
2、线性最小方差估计
如果将估值
X
规定为量测矢量Z的线性函数，即
X AZ b
式中A和b分别是（n×m）阶和n维的矩阵和矢量。这 样的估计方法称为线性最小方差估计。
最小方差 估计
3
线性最小 方差估计
递推线性最小 方差估计
1、最小方差估计
最小方差估计的估计准则是估计的均方误差最小，即：
Z是m维随机 量测向量
E{[ X X (Z )][ X X (Z )]T } E{[ X (Z )][ X (Z )]T }
卡尔曼滤波技术在捷联惯导系统初始对准中的应用
36
《装备制造技术》2009 年第 12 期
将加速度计和陀螺漂移扩充为状态变量，可定义状态向 量 X 为系统状态矢量:
X1 (t) = XδVE δVN δφ α β γ XT
C C C C
C
C C
11
12
13
C C
C
C
T=
CC
C 21
C212
C23
CC为捷联矩阵。
C
C
C C C C
C
C
C
C 31 32 33 C
徐海岩，祝世兴
（中国民航大学 航空工程学院，天津 300300）
摘要：阐述了卡尔曼滤波技术在捷联惯导系统初始对准中的应用，建立了捷联惯导系统初始对准的误差模型和卡尔曼滤波模型观测 方程，进行了卡尔曼滤波仿真，并分析了提高采样频率对系统的估计精度和收敛速度的影响。仿真结果表明，此方法算法简单，能有效 缩短初始对准时间，对准稳态精度较高，是一种理想的初始对准方案。 关键词：捷联惯性导航系统；初始对准；卡尔曼滤波
的克服各种随机误差的影响。卡尔曼滤波技术，因其在硬件设 施的配置和软件计算的便捷性上都具有较强的优势，而在精 对准技术中被广泛采用。
1 捷联掼导系统误差模型的建立
捷联惯导系统的初始对准过程，包括粗对准和精对准两 个阶段。在粗对准阶段，可利用重力矢量 G 和地球自转角速率 ωe 的测量值，直接估算载体坐标系到地理坐标系的变换阵。在 精对准阶段，通过处理来自外部传感器的信息，精确估计参考 坐标系与真实坐标系之间的小失准角，从而建立起准确的初 始变换矩阵。
X2 (t) = X荦x 荦y εx εy εz XT
W(t)为系统噪声矢量:
2 卡尔曼滤波观测方程的建立
卡尔曼滤波与组合导航原理—初始对准
.
27
2.3 惯导系统的误差方程
静基座初始对准时，位置和垂直方向速度可准确知道 惯导系统的误差方程可简化为：
rN 0 siL n L
1
0
0
0
0
0 rN 0
rE
rV D N
sL iL nc0oLsc0oLs
g/R 0
0
0 0 0
1
0
(2)siL n
0
1 L
0
0
0
0
0
fD
0 rE 0
0 fE
rV D N
惯导系统的Ψ角误差方程：
惯导系统的误差模型可由下列3个基本方程表示：
V V f g
r rV
（2.3.1）
• δV、r和Ψ分别为速度、位置和姿态矢量
• Ω为地球自转角速度
• ω为导航坐标系相对惯性坐标系的角速度矢量
• ▽是加速度计常值偏值，ε是陀螺常值漂移
• f是比力，△g是重力矢量计算误差，
静基座条件下速度误差方程：
速度误差定义为计算速度与真实速度之差
V N 2 sL iV E n E g N
V E 2 sL iV n N N g E
静基座条件下位置误差方程：
（2.3.9）
L
1 R
VN
VE secL
R
.
32
2.3 惯导系统的误差方程
最终可得，平台惯导系统的Φ角误差方程： 不考虑δλ平台惯导系统的Φ角误差方程可简化为：
可以证明两种模型是等价的！
.
23
2.3 惯导系统的误差方程
描述惯导系统误差特性的微分方程可分为：
两种
平动误差方程 表示形式
变量取为位置误差 变量取为速度误差
卡尔曼滤波与组合导航原理
----卡尔曼滤波与组合导航技术
主要学习内容
• 最优估计与卡尔曼滤波 • 组合导航基本原理和方法
学习参考资料
1.秦永元.卡尔曼滤波与组合导航原理.西北工业大学出版社 2.付梦印等.Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用 3.王志贤 编著.最优状态估计与系统辨识.西北工业大学出版社.
（1）状态一步预测方程
最小方差估计 根据题意，量测方程为：
Z HX V
Z Z1 Z2 Zm T H 1 1 1T
V V1 V2 Vm T
根据公式有：
Xˆ MV (Z ) mX
P CX CV
mCX mCX CV
1 m
m i 1
Zi
mx
mCX CV
1 最优估计与卡尔曼滤波
1.1 最优估计的基本概念
卡尔曼
鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Emil Kalman），匈 牙利裔美国数学家，1930年出生于匈牙利首都 布达佩斯。 1953年于麻省理工学院获得电机工 程学士，翌年硕士学位。1957年于哥伦比亚大 学获得博士学位。1964年至1971年任职斯坦福 大学。1971年至1992年任佛罗里达大学数学系 统理论中心（Center for Mathematical System Theory）主任。1972起任瑞士苏黎世联 邦理工学院数学系统理论中心主任直至退休。 先居住于苏黎世和佛罗里达。2009年获美国国 家科学奖章。
最小方差估计 定理 2
最小方差估计是 X 的无偏估计。
定理 3
E(Xˆ MV (Z)) E[X ]
若被估计向量Xn1 和量测向量 Zm1 都服从正态分布，且
E[X ] mX , E[Z] mZ
Cov[ X , Z] E[( X mX )(Z mZ )T ] CXZ
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惯导系统的Ψ角误差方程：
惯导系统的误差模型可由下列3个基本方程表示： V V f g
rrV
（2.3.1）
• δV、r和Ψ分别为速度、位置和姿态矢量 • Ω为地球自转角速度 • ω为导航坐标系相对惯性坐标系的角速度矢量 • ▽是加速度计常值偏值，ε是陀螺常值漂移 • f是比力，△g是重力矢量计算误差， • ρ是地理系相对地球转动速度矢量
粗对准 精对准
• 要求尽快地将平台调整到 通常一在个精精对度准范过围程内中，要进行陀 螺的测• 漂缩和短定对标准，时进间一是步主补要偿指陀标螺 漂移率和标定刻度系数，以提高对
准精度• 在粗对准基础上进行，
• 对准精度是主要指标
• 平台，先水平（调平），后方位，使系统有较好的动态性能 • 捷联：精确建立姿态矩阵 — 水平和方位对准同时（现代）
常用坐标系：地心惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系、 载体坐标系。
参考坐标系
Z
2、几个参考坐标系的定义
★惯性坐标系
通常把使得牛顿力学定律成立的参考坐标系,称为惯性坐 标系，简称惯性系；
根据选取的坐标系原点不同，分为日心惯性坐标系赤和道地 心惯性坐标系。
日心惯性坐标系：原点取在太阳的中心,三根轴指向确定的
始
对
准
的
发
展
可观测性分析和
可观测度研究
自适应滤波 H∞滤波 神经网络
非线性滤波 预测滤波
从根本提高对准 的精度和速度
第五章 卡尔曼滤波在惯性导航初始对准中的应用
一、惯导系统初始对准概述 二、惯导系统的静基座初始对准 三、惯导系统的动基座对准 四、惯导系统的传递对准
二、惯导系统的静基座初始对准方法
2.3 惯导系统的误差方程
Ψ角误差模型+速度误差表达形式的优点：
（1）平动误差不会耦合到姿态误差方程中， 特别便于动基座对准问题的分析和研究。
（2）Φ动角可通过位置误差和Ψ角得到： Φ=Ψ+θ
（3）静基座时，惯导所处地理位置可精确获得， 且对准时间较短，可忽略位置误差，此时： Φ=Ψ
2.3 惯导系统的误差方程
（2）同时，尽可能估计出陀螺漂移和加速度计偏置；
（3）时间不长，因此陀螺漂移和加速度计偏置可看作常值；
（4）根据分离定理，对随机系统的最优估计和最优控制 可以分开单独考虑，故可用卡尔曼滤波器对平台误差 角及惯性仪表的误差进行单独研究。
二、惯导系统的静基座初始对准方法 2.3 惯导系统的误差方程
惯导系统误差源
舒勒摆原理在惯导系统中的应用 普通地平液体摆做敏感元件受加速度影响较大，需用舒 勒摆原理
有害加速度的消除 消除由于地球自转、飞机飞行引起的牵连、哥氏、重力 加速度等
初始对准问题 惯导系统要正确而精确的工作，必须精确给定初始条件
捷联惯导解算问题 数学平台代替机电平台
一、惯导系统初始对准概述 1.1 初始对准的必要性
随惯机导误系差统 为随机系统
若采用状态反馈控制，就必须对状态进行估计！
卡尔曼滤波器
二、惯导系统的静基座初始对准方法
2.2 静基座初始对准方案(续)
（1）采用KALMAN滤波进行初始对准，就是将平台误差角 ΨN，ΨE，ΨD从随机误差和随机干扰中估计出来， 通过系统的校正使平台坐标系与导航坐标系对准；
g
0 g 0
0
0 0
V VN E
N E
sinL 0
0 0
0 1/R
1/R 0
0 sinL
sinL 0
c0oLs N E
D coLs 0 0 tanL/R 0 coLs 0 D
二、惯导系统的静基座初始对准方法
2.4 卡尔曼滤波方程的建立
（1）系统方程
X A X W
X 系统状态向量 X V N V E N E D N E N E D
0
N 0
0
0
cosL
0
0
0
0
0
1
D
0
0
0
0 0 0 0 0 0N
E
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E
N 0
E
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 N
0
0
0
0
0
0
0
0
0
E
D 0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 D Nhomakorabea.3 惯导系统的误差方程
惯导系统的Φ角误差方程：
Φ角与Ψ角之间的关系：
卡尔曼滤波与组合导航原理
Theory of Kalman Filter and Integrated Navigation
第五章 卡尔曼滤波在惯性导航初始对准中的应用
一、惯导系统初始对准概述 二、惯导系统的静基座初始对准 三、惯导系统的动基座对准 四、惯导系统的传递对准
参考坐标系
1、建立参考坐标系的意义 宇宙间的一切物体都是在不断地运动,但对单个物体是无运
静基座条件下位置误差方程：
（2.3.9）
L
1 R
VN
VE secL
R
2.3 惯导系统的误差方程
最终可得，平台惯导系统的Φ角误差方程： 不考虑δλ平台惯导系统的Φ角误差方程可简化为：
L 0 0 1/R
0
0
0
0 L
0
V VN E
0 0
00
seLc
0
R
0 0 2sinL 0
0 2sinL 0
恒星。
X
Y
地心惯性坐标系（OXiYiZi）：原点取在地球的中心,Xi和 Yi轴位于赤道平面内并指向确定的恒星，Zi轴与地轴（地 球自转轴）重合。地心惯性坐标系不参与地球自转。
惯性空间：惯性坐标系三根轴所代表的空间。
参考坐标系
★地球坐标系（OXeYeZe）
与地球固连，原点取在地球的 中心,Xe和Ye轴位于赤道平面内， 分别指向本初子午线和东经90° 子午线，Ze轴与地轴重合。
2.1 粗对准与精对准 2.2 静基座初始对准方案 2.3 惯导系统的误差方程 2.4 卡尔曼滤波方程的建立 2.5 计算机仿真研究 2.6 静基座初始对准的可观测度分析 2.7 提高静基座初始对准精度与速度的方法
二、惯导系统的静基座初始对准方法
2.1 粗对准与精对准
根据对准精度的要求，静基座对准过程分为：
地球坐标系参与地球自转，它 相对于惯性坐标系的转动角速度 就等于地球自转角速度。
地球相对惯性空间的转动，可 以用地球坐标系相对于惯性坐标 系的转动来表示。
X Ω*t
Xe
本初子午线
Ze Ω
赤道
Ye
参考坐标系
★地理坐标系（ONEZ）
其原点与运载体的重心
重合,E轴沿当地纬线指东,N
轴沿当地子午线指北,Z轴沿
仪表误差
安装误差
初始条件 误差
运动干扰 （有害）
其他误差
如地球曲率半径描述误差； 有害加速度补偿中忽略二阶小量
2.3 惯导系统的误差方程
Φ角误差模型和Ψ角误差模型
初始对准
基础 惯导误差方程
推导
Φ角误差模型 方法 真实地理坐标系法
正确反映惯导系统的误差特性， 便推于导分析和应用！
Ψ角误差模型 方法 计算地理坐标系法
地理坐标系的三根轴构成右手直角坐标系，可以按“北、 东、天”、“北、西、天”或“北、东、地”顺序构成。
参考坐标系
★载体坐标系（OXbYbZb） 与载体固连，其原点与载体的重心重合, Xb轴沿载 体纵轴方向, Yb轴沿载体横轴方向，Zb轴沿载体竖轴方向。
Zb
Yb
Xb
实现惯导要解决的几个问题
平台跟踪坐标系 平台跟踪什么样的坐标系是平台式惯导系统的首要问题
N Nc o Ls
E EL
D D siL n
将2.3.5微分：
（2.3.5）
N N cL o s sL i L n
E EL
（2.3.6）
D D sL i n cL o L s
2.3 惯导系统的误差方程
惯导系统的Ψ角误差方程：
N E sL i n V R E ta L n D V R N N
2.3 惯导系统的误差方程
惯导系统的Ψ角误差方程：
V V f g
rrV
在北东地坐标系中，有：
（2.3.1）
cos L
0
（2.3.2）
sin L
（2.3.3）
cos L
0 sin
L
（2.3.4）
将2.3.2~2.3.4代入2.3.1，可得状态空间模型：
E N sL i V n R E ta L n D cL o V R E s E （2.3.7）
D N V R N E co L V s R E D
将2.3.7代入2.3.6，在静基座条件下，得：
NV R E siL n L E siL n N E V R N N siL n D co L sE
自主对准
对准阶段
静基座
对外信息 的需求
初始对准
基座 运动状态
非自主 对准
对准轴系
动基座
水平对准
方位对准
一、惯导系统初始对准概述 1.3 初始对准的要求
初
对准精度
始
对
准
的
要
求
对准时间
快又准
对准精度与对准时间相互制约，不同场合侧重点不同
一、惯导系统初始对准概述
1.4 初始对准的发展趋势
初
新的滤波方法
动可言的,只有在相对的意义下才可以谈运动.一个物体在空间 的位置只能相对于另一个物体而确定,这样,后一个物体就构成 了描述前一个物体运动的参考系.