高等代数试卷及答案1

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高等代数(一)试题及参考答案汇编

高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （） 5．任何数域都包含有理数域. （）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分）得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量）将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。

高等代数试卷含答案

1 1．已知)2,1,2,1(1-=a ,3),(1,2,2,(2,3,1,0),32-==a a 则),,(321a a a L 的维数为的维数为①① , ,此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为此生成空间的一组基为 ②② . 2．已知)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===a a a 是3P 的一个基，由基)0,0,1(1=e ，)1,0,0(),0,1,0(32==e e 到基321,,a a a 的过渡矩阵为① ，向量),,(c b a =b关于基321,,a a a 的坐标为的坐标为② .3.3. 设123,,a a a 是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为212121212-æöç÷--ç÷ç÷-èø，则向量12x a a =+的长度x 为 .三．（16分）已知复系数矩阵=A ÷÷÷øöçççèæ100021032104321，（1）求矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子；的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）求矩阵A 的若当标准形；的若当标准形；（3）求矩阵A 的有理标准形。

的有理标准形。

2 三．解：(1)÷÷÷÷øöççççèæ--------=-1000210032104321λλλλλA E 因因为)1(4210321432+--------λλλλ＝－，而3)1(100210321-=------λλλλ ………………………44分故故行列式因子1)(3=λD ，显然,1)(,1)(12==λλD D 44)1()(-=λλD …………22分不不变因子为 )(1λd ＝)(2λd ＝1)(3=λd ，44)1()(-=λλd ………………22分初初等因子为4)1(-λ ………………22分(2)若当标准型ççççèæ÷÷÷÷øö=1100011000110001J ………………………………33分 (3)1464)(2344+-+-=λλλλλd故有理标准型为：3 ççççèæ÷÷÷÷øö--4100601040011000 ………………………………33分七．七．(10(10分) 1、设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换。

【最新试题库含答案】高等代数习题及答案(1)

高等代数习题及答案(1)篇一：高等代数习题解答(第一章)高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明：f(x)?g(x)?h(x)?0．证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)：1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1；2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2．1）解法一待定系数法．由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 31 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即1 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 337262解得 a?? , b?? , c?? ，故得 99917262q(x)?x?, r(x)??x?.3999解法二带余除法．3-21 1 -3-1 -11 ???21 3374 ?-1 337147 ? 399262 ? 9917 ? 39?得17262q(x)?x?, r(x)??x?. 39992） q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)??2．m,p,q适合什么条件时，有1）x2?mx?1x3?px?q;2）x2?mx?1x4?px2?q.?1除x3?px1）解 x2?mx得余式为： ?q262x?. 99 r(x)?(p?m2?1)x?(q?m)，?p?m2?1?0;令r(x)?0，即 ? ?q?m?0.故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是?m?q; ? 2p?m?1?0.??1除x4?px2?q得余式为： 2）解 x2?mxr(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1)，2???m(p?m?2)?0;令r(x)?0，即 ? 2??q?p?m?1?0. 解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是?m?0; ? 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.?3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x)：。

高等代数期末试题及答案

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

(完整word版)高等代数期中考试题答案

高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。

3、所以解空间的维数是2，它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2；而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。

另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。

2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示，则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ，若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ，这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。

于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。

故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示，即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示，从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。

高等代数期末考试题库及答案解析

高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。

5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。

–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。

高代一期末考试试题及答案

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。

7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。

高代(一)期末试题

高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．在由几个不同元素组成的一个排列中，所有逆序的总数，叫做这个排列的（）。

2．1020003400-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（）。

3．设A 为三阶方阵，det 3A =-，则det (2)A A -=（）。

4．若矩阵A 的秩1r >，则A 的1r -阶子式的值（）。

5．设2是多项式43228x x ax bx -++-的二重根，则a =（），b =（）。

6．设,A B 都是n 阶可逆矩阵，矩阵00A C B⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为（）。

7．如行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则111213212223313233333222a a a a a a a a a =---（）。

8．设,a b 是整数且（），那么存在一对整数q 和r ，使得b aq r =+且（）。

满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。

二．选择题（每小题2分，共10分）：1．一个n 阶行列式，如果他的第1列上除了1111n a a ==外其余元素都为零，那么这行列式等于（）。

（A ）1111(1)n n M M +-- （B ）111n A A + （C ）111n M M - （D ）1111(1)n n A A ++-2．设3512A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A =（）。

（A ）3512--⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）2513⎛⎫⎪--⎝⎭(C)2153-⎛⎫ ⎪-⎝⎭(D) 1235⎛⎫⎪--⎝⎭3．初等方阵（）（A ）都是可逆阵（B ）所对应的行列式的值等于1（C ）相乘仍为初等方阵（D ）相加仍为初等方阵 4．若集合{}|,F a bi a b R =+∈（这里R 是实数集）是数域，则,a b 应满足条件（）。

（A ）,a b 是整数（B ）,a b 是有理数（C ）a 是有理数，b 是实数（D ）,a b 是任意数5．设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵。

高等代数试卷及答案一

一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。

1．多项式可整除任意多项式。

2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。

3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。

4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A*= 。

5．实数域上不可约多项式的类型有种。

6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的重因式。

7．写出行列式展开定理及推论公式。

8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过数次对换变成12n 。

9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。

10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。

二、判断题（共10 题，每题1分，共 10分）。

1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。

（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。

（）3．设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。

（）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。

（） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。

（） 6 秩()A B +＝秩A ，当且仅当秩0B =。

（）7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。

（）8．若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())f x g x f x g x +=。

（）9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。

高等代数考研试题及答案

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

大学高等代数试题及答案

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

完整版高等代数习题解答(第一章)

完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。

若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。

若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。

综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。

1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。

由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。

用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。

高等代数1考试题及答案

高等代数1考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是（）A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的2. 线性方程组的解集是（）A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 一个空集3. 向量空间的基是（）A. 一组线性无关的向量B. 一组线性相关的向量C. 一组向量，但不一定线性无关D. 一组向量，但不一定线性相关4. 矩阵A和B可以相乘的条件是（）A. A的行数等于B的列数B. A的列数等于B的行数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数5. 矩阵的秩是指（）A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中非零行和列的最大数量D. 矩阵中零行和零列的最大数量6. 线性变换的特征值是（）A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量长度的缩放因子D. 变换后向量方向的旋转角度7. 二次型可以表示为（）A. 一个对称矩阵B. 一个斜对称矩阵C. 一个正定矩阵D. 一个负定矩阵8. 线性方程组的增广矩阵是（）A. 系数矩阵和常数项的组合B. 系数矩阵和变量的组合C. 常数项和变量的组合D. 系数矩阵和变量的组合9. 矩阵的迹是指（）A. 矩阵对角线元素的和B. 矩阵非对角线元素的和C. 矩阵所有元素的和D. 矩阵所有元素的乘积10. 线性方程组有无穷多解的条件是（）A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于变量的个数B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于变量的个数二、填空题（每题4分，共40分）1. 如果矩阵A的行列式为1，则矩阵A是_________的。

2. 线性方程组的解集是空集，说明该方程组是_________的。

3. 向量空间的基是一组_________的向量。

4. 矩阵A和B可以相乘的条件是A的_________等于B的_________。

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题〔下列命题你认为正确的在题后括号内打"√〞,错的打"×〞；每小题1分,共10分〕1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式,那么)(x p 在F 中必定没有根. 〔〕2、若线性方程组的系数行列式为零,由克莱姆法则知,这个线性方程组一定是无解的. 〔〕3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n . 〔〕4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间.〔〕 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数. 〔〕 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数. 〔〕 7、零变换和单位变换都是数乘变换. 〔〕 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个. 〔〕 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵. 〔〕10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基,且∑==ni i i x 1αβ,那么∑==ni ix12β.〔〕二、单项选择题〔从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者,该题无分.每小题1分,共10分〕 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中,错误的是〔〕 ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f .2、设D 是一个n 阶行列式,那么〔〕①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换,则行列式不变符号； ③若0=D ,则D 中必有一行全是零； ④若0=D ,则D 中必有两行成比例. 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1,那么〔〕①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式. 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型,则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为〔〕①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n .5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组,它是线性无关的充要条件为〔〕①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有∑=≠mi i i k 10α；②任一组数m k k k ,,,21 ,有∑==mi i i k 10α；③当021====m k k k 时,有∑==mi i i k 10α；④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有∑==mi i i k 10α.6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间,那么〔〕①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； ④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W .7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换,那么下列错误的说法是〔〕①σ是单射⇔σ的亏=0； ②σ是满射⇔σ的秩=n ； ③σ是可逆的⇔核()σ={}0； ④σ是双射⇔σ是单位变换. 8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是〔〕①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的. 9、设V 是n 维欧氏空间 ,那么V 中的元素具有如下性质〔〕 ①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若βαβα=⇒=； ③若()11,=⇒=ααα； ④若()βα,>βα=⇒0. 10、欧氏空间3R 中的标准正交基是〔〕①()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；③()0,0,0;31,31,31;31,31,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---三、填空题〔将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分.每空2分,共20分〕1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为.2、利用行列式的性质可知四阶行列式gfe d c b a00000000的值为.3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3,那么该方程组的增广矩阵的秩等于.4、在线性空间V 中,定义()0αασ=〔其中0α是V 中一个固定向量〕, 那么当=0α时,σ是V 的一个线性变换.5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的..6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类,可分为类.7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ,而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ,那么着两个坐标的关系是.8、设W 是线性空间V 的非空子集,若W 对V 的加法和数乘,则称W 为V 的子空间.9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为.10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有.四、改错题〔请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面.指出错误1分,更正错误2分.每小题3分,共15分〕1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式,那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式.2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解,那么B AX =也有无穷多解.3、设A 是一个n m ⨯矩阵,若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ,则相当对A 施行了一次"A 的第三列乘5加到第四列〞的初等变换.4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量,那么任取221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量.5、设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角.五、计算题〔每小题10分,共40分〕 1、计算n 阶行列式2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解3、解矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--87107210031012423321X4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,00014321αααα是()F M 2的一个基,而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231,2121,1121,25324321ββββ是另一组基,求由{}4321,,,αααα到{}4321,,,ββββ的过渡矩阵,并求向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2945ξ在{}4321,,,ββββ下的坐标.六、证明题设321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基,试证：也是V 的一个标准正交基.高等代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√×√√二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②①④③①④④②③① 三、填空题1、()()()2112++-x x x ；2、acef ；3、4；4、0；5、正交；6、()()221++n n ； 7、X P Y 1-=； 8、封闭；9、⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡b a d c 33； 10、相同的维数. 四、改错题1、'那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式.'2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解,那么BAX =也有无穷多解.当AX=B 有解时,AX=B 也有无穷多解3、设A 是一个n m ⨯矩阵,若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ,则相当对A 施行了一次"A 的第三列乘5加到第四列〞的初等变换.A 的第4列乘5加到第3列4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量,那么任取,,21F k k ∈5、设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角.必要条件。

(完整word版)高等代数(一)试题及参考答案

高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r αααL ，其中12m αα=.D 、{}12,,,r αααL ，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （） 5．任何数域都包含有理数域. （）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式0001020010000D n n==-L L LLLL L L L. 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L 有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分）得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩ 取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量）将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。