高等代数试卷及答案1

高等代数

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）

1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）

1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1

0V V σσ

-+=。

（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实

数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则

12n V V P ⊕= （ ）

5．2

2

11n

n i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭

∑∑为正定二次型。（ ）

6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ）

7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ∀∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）

三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）

1．设线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为122212221A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，求σ的特征值与特征向量，并

判断σ是否可对角化？

2．t 取什么值时，下列二次型是正定的？

()222

123123121323,,5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+

3．设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,εεε下的矩阵为：11

121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

,求σ在基()12,,0k k P k εε∈≠且，3ε下的矩阵B 。 四、证明题 （共4题，每题10分，共40分）

1．证明：

1

2

n A λλλ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭O 与12

i i in B λλλ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

O 相似，其中12,,,n

i i i ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅的一

个排列。 2．证明：和

1s

i

i V =∑是直和的充要条件为：{}()1

1

02,3,,i i

j

j V V i s -===⋅⋅⋅∑I 。

3．设A 是n 级实对称矩阵，且2A A =，证明：存在正交矩阵T ，使得：

111100T AT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

O O

4．证明：1

2

n A λλλ⎛⎫

⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O 与 12

i i in B λλλ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

O 合同， 其中12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅的一个排列。

答案

一．1．零 2．3996⎛⎫

⎪⎝⎭

3.充分大

4.正交矩阵

5. E

6.有n 个线性无关的特征向量

7.

0000000

a b a b c d

c d ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

8.

12

V V = 9.

()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=+-I

10. X AY =

二．1. ⨯ 2. ⨯ 3. ⨯ 4.√ 5. ⨯ 6. ⨯ 7. ⨯ 8. √ 9. ⨯ 10. √

三．1.解：()()()2

1

22

2

1

2512

2

1

A f E A λλλλλλλ---=-=---=-+--- （3分） 所以，σ的特征值为11λ=-（二重）和25λ=。把11λ=-代入方程组

()0E A X λ-=得：

122122122222022202220x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪---=⎩

基础解系为1101n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 2011n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

因此，σ属于1-得两个线性无关得特征向量为： 112223,ξεεξεε=-=- 因而属于1-的全部特征向量就是1122k k εε+ ，1k 、2k 取遍P 中不全为零的全部数对 （6

分），再用25λ=代入()0E A X λ-=得：基础解系3111n ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，因此，属于5的全部特征向量是3k ξ，k 是P 中任意不等于零的数。 （9分）

因为σ有三个线性无关的特征向量，所以σ可能对角化。 （10分）

2.解：f 的矩阵为：1112125t A t -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭