河南省洛阳市2018届高三第二次统一考试数学(理)试题及答案解析

洛阳市2017—2018学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合1{|ln },{|0}3

x A x y x B x x +===≤- ，则A B =（ ） A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(1,0)- D ．(3,)+∞

2. 若复数z 满足为(3)3(i z i i +=-虚数单位），则z =（ ）

A ．3 C ．4 D ．5

3. 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

4. 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）

A ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则//m n

B ．,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥

C ．//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n

D ．//,//m n αβ且//αβ，则//m n

5. 在23(1)(1)x x ++展开式中，含5

x 项的系数是（ ）

A ．1

B ．1-

C ．1

D ．5

6.数学家发现的“31x +猜想”是指：任取一个自然数，如果它是欧式，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的20n =，则输出的结果为 （ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

7. 若,x y 满足约束条件210330230x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则222x y z x ++=+的最小值于最大值的和为（ ） A ．32- B ．12- C ．32 D ．52

8. 如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ）

A ．1320

B ．720

C ．12

D ．512

9. 设函数()201912017sin 201820191

x x x f x x -=+++，已知正实数,a b 满足(2)(4)0f a f b +-=，则12a b

+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C

．．4

10. 若锐角ϕ

满足sin cos ϕϕ-=

，则函数()2cos ()f x x ϕ=+的单调增区间为（ ） A ．5[2,2],()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．5[,],()1212

k k k Z ππππ-+∈ C ．7[2,2],()1212k k k Z ππππ++∈ D ．7[,],()1212

k k k Z ππππ++∈ 11. 已知12,F F 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点，以12F F 为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ，线段1MF 与双曲线的左支交于点N ，若点N 恰好平分线1MF ，则双曲线离心率为（ ）

A

C

12. 已知函数()()11,ln 22x x f x e

g x -==+，若()()f a g b =成立，则b a - 的最小值为（ ）

A ．1ln 22-

B ．1ln 22

+ C ．1ln 2+ D ．1ln 2- 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若(2,4),(3,4)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．

14.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若224()S a b c =--， 且4b c +=，则的最大值为 ．

15.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 ．

16.已知直线22y x =+与抛物线2(0)y ax a =>交于,P Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若AP AQ AP AQ +=-，则a = ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且31235,,,a a a a = 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设21,42

n n n b S a n =+-是数列{}n b 的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式12(1)0n n S a ++-⋅>恒成立，求实数a 的取值范围。

18. 如图，在三棱锥P ABC -中，0

,90,PA PB PC BC ABC D ===∠=为AC 的中点。

（1）求证：AB PD ⊥；

（2）若090PBC ∠=，求二面角B PD C --的余弦值。

19.某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ）有关，如果最高气温不低于25，需求量600桶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率。

（1）六六月份这种冰激凌一天需求量X （单位：桶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y （单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n （单位：桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？

20. 如图，已知圆22

4:(2)9G x y -+=是椭圆22

2:1(04)16x y T b b +=<<的内接ABC ∆的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA BC ⊥。

（1）求椭圆T 的标准方程；

（2）过点(0,1)M 作圆G 的两条切线角椭圆于,E F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系并说明理由。

21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈ 。