24.4 弧长和扇形面积(第一课时)

24.4 弧长和扇形面积

第一课时

一、教学目标

1．了解弧长、扇形的概念．

2．理解弧长公式中n 的意义，并会运用弧长公式进行有关计算．

3．理解并掌握扇形面积的两个公式，会计算一些组合图形的面积．

二、教学重难点

重点：弧长、扇形面积公式的推导及应用．

难点：组合图形的面积的计算问题．

教学过程（教学案）

一、情境引入

探究P111“思考”

学生作图思考后，交流讨论．

二、互动新授

1.推导弧长公式

（1）学生代表发言

（2）教师归纳总结：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C

＝2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR 360，即πR 180

，于是n °的圆心角所对的弧长为l ＝n πR 180

. 2.运用新知，教学例1

（1）师生合作分析题意.

（2）学生自主解答，一人板演.

（3）集体订正，教师展示解答过程.

3.扇形面积公式的推导

（1）扇形的定义：如教材图24.4－2，由组成圆心角的两条半径

和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆

的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关．圆心角越大，扇形面

积也就越大．

（2）提出问题：怎样计算圆的半径为R ，圆心角为n °的扇形面积

呢？

学生交流讨论．

（3）探究P112“思考”

师生共同分析：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面

积S ＝πR 2，所以圆心角是1°的扇形面积是πR 2360

.于是圆心角为n °的扇形面积是S 扇形＝n πR 2

360

. （4）推导弧长与扇形面积的关系

比较弧长公式和扇形面积公式，用弧长和半径来表示扇形面积公式.

学生讨论，教师引导学生将扇形面积公式改写成12R ·n πR 180

. 因此，扇形面积公式还可以表示为S ＝12

lR ，其中l 为扇形的弧长，R 为半径． 说明：在运用扇形面积公式时，要根据已知条件灵活地选择这两个面积公式．

4.运用新知，教学例2

（1）师生共同分析题意

连接OA ，OB ，那么弓形面积就是扇形面积与△ABO 面积的差．扇形半径已知，只需求圆心角∠AOB 即可．

（2）学生自主解答，一人板演.

（3）集体订正，教师展示解答过程.

三、课堂小结

四、板书设计

五、教学反思

本节课每个教学环节都以设置问题情境，给学生提供探索的空间，问题由简单到复杂，由具体到抽象．在推导出弧长公式后，运用类比的方法推出扇形面积公式．教学中要求学生在运用扇形面积公式时，要根据已知条件灵活选择这两个面积公式．

导学案

一、学法点津

学生在理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360

，是建立弧长公式的关键．同样，理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360

是建立扇形面积公式的关键．在解决求由一些规则图形简单组合而成的图形的面积的问题时，要注意分析图形，学会分解和组合图形，关于弧形部分要弄清各弧的圆心、半径，切勿盲目进行计算．

二、学点归纳总结

1.知识要点总结

（1）n °圆心角所对的弧长l ＝n πR 180

. （2）n °圆心角的扇形面积S ＝n πR 2360＝12

lR . 2.规律方法总结

（1）运用弧长公式和扇形面积公式时，要注意方程思想的渗透．例如在弧长公式中有三个变量：l 、n 、R .知道其中两个量，就可通过公式求出第三个量．同样，扇形面积公式中S 、n 、R 、l 四个量中知道两个量，就可求出其余两个量．

（2）当已知半径R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式：S 扇形＝n πR 2

360

；当已知半径R 和弧长求扇形的面积时，选用公式：S 扇形＝12

lR . （3）求组合图形面积的关键通常是将不规则图形转化为几个可求面积的和或差．

课时作业设计

一、选择题

1．已知圆上一段弧长为5π，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为( )．

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

2．钟表上轴心到分针外端点的长为5cm ，那么经过40分钟，分针外端点转过的弧长是

( )．

A.10π3cm

B.20π3cm

C.25π3cm

D.50π3

cm 3．如图，等边△ABC 的边长为12cm ，内切圆O 切BC 边于点D ，则图中阴影部分的面积为( )．

A ．πcm 2 B.3π3

cm 2 C ．2πcm 2 D.3πcm 2

二、填空题 4．如图，在⊙O 中，∠AOB ＝60°，AB ＝3cm ，则劣弧AB ︵的长为________cm.

5．如图，⊙O 的半径为1，圆周角∠ABC ＝30°，则图中阴影面积是________(用π表示)．

6．如图，AB ＝2cm ，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，以OA 为半径作AB ︵，以AB 为直径作半圆AMB ，

则半圆和AB ︵所围成的阴影部分面积是________cm 2.

第3题图 第4题图 第5题图 第6题图

三、解答题

7．如右图，∠AOB ＝90°，∠B ＝20°，以点O 为圆心，OA 长为半径的圆交AB 于点C ，

若AO ＝12，求AC ︵的长(结果保留π)．

【参考答案】1. B 2. B 3. C

4.π

5.π6－34

6.1

7.解：连接OC ，∵∠A ＝90°－∠B ＝70°，

∴∠AOC ＝180°－2∠A ＝40°.∴l ＝40×π×12180＝8π3

.